Page21高三其次次考試數學試卷1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定位置.2.答選擇題時，運用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動答案，需用橡皮擦將原標號擦干凈，再選涂其他答案標號.3.全部試題必需在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.4.答非選擇題時，必需用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規定位置.一、單選題（本題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用復數的除法可求，從而可求.【詳解】由題設有，故，故，故選：D3.從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.4.嫦娥二號衛星在完成探月任務后，接著進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為探討嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據，再利用數列與的關系推斷中各項的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設則故D正確.5.若為偶函數，則（）．A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】依據偶函數性質，利用特別值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.6.記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.【詳解】由函數的最小正周期T滿意，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參與文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法支配甲，利用排列組合與計數原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必需且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；留意到丙丁兩人的依次可交換，有2種排列方式，故支配這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B8.已知函數的定義域為，且對隨意實數，滿意，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】利用賦值法，結合周期性求得正確答案.【詳解】因為且，令，，則，故，即，所以：，，所以函數是周期為6的周期函數.在中，令，，得，則；令，，得，則；由得：，，，，所以故由函數的周期性知中，隨意連續6個數之和為，而，所以.故選：B【點睛】方法點睛：對于抽象函數求值的問題，解題方法主要有兩個，一個是賦值法，依據已知條件進行賦值，可求得相關的函數值，由此來對問題進行求解；其次個是利用周期性進行求值，函數周期性的表現形式有許多，但最重要的是.二、多選題（本題共有4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.9.有一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則（）A.的平均數等于的平均數B.的中位數等于的中位數C.的標準差不小于的標準差D.的極差不大于的極差【答案】BD【解析】【分析】依據題意結合平均數、中位數、標準差以及極差的概念逐項分析推斷.【詳解】對于選項A：設的平均數為，的平均數為，則，因為沒有確定的大小關系，所以無法推斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數等于的中位數均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數，標準差，，則平均數，標準差，明顯，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.10.已知數列滿意，，則（）A. B.為等比數列C. D.數列的前項和為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由遞推式干脆求解，對于B，對遞推式變形進行推斷，對于C，由等差數列的通項公式求解，對于D，利用裂項相消法求解.【詳解】對于A，因為，，所以，，所以A正確；對于B，因為，所以，即，所以為等差數列且特別數列，所以B不正確；對于C，由選項B可知，所以，所以，所以C正確；對于D，，所以，所以D正確，故選：ACD.11.聲音是由物體振動產生的聲波，其中包含著正弦函數.純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在上是增函數C.的最大值為D.若，則【答案】AD【解析】【分析】依據三角函數的對稱性、單調性、最值、周期等學問對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，，所以的圖象關于點對稱，A選項正確.，，B選項錯誤.由于，所以，C選項錯誤.，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，，，結合的單調性可知的最小正周期為，所以當時，取得最大值為：，當時，取得最小值為：，而，所以，D選項正確.故選：AD12.若實數，滿意，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式或者三角換元法對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】（時等號成立）對于A，法1由得，即，解得，當且僅當時，取等號，故A正確.法2由變形可得，可設，（三角換元），則，，所以，當且僅當，或，時，，故A正確.對于B，由得，解得，當且僅當時，取等號，故B正確.對于C，D，由得，即，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，故C正確，D錯誤.故選：ABC【點睛】利用基本不等式求解不等式的問題，主要是通過化歸與轉化的數學思想方法，然后選擇中的一個，或利用整體代換的方法來求得正確答案.在解題的過程中，要留意基本不等式等號成立的條件.三、填空題（本題共有4小題，每小題5分，共20分）.13.已知隨機變量聽從正態分布，且，則______.【答案】##【解析】【分析】依據正態分布的對稱性求得正確答案.【詳解】依題意，，所以.故答案為：14.的綻開式中的系數為________________（用數字作答）．【答案】-28【解析】【分析】可化為，結合二項式綻開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的綻開式中含的項為，的綻開式中的系數為-28故答案為：-2815.已知向量，滿意，，則______．【答案】【解析】【分析】法一：依據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.16.已知函數若方程有四個不同的實根，滿意，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】畫出函數的圖象，由有四個根，可得，結合圖象，找到四個根，的關系可解決.詳解】由圖可知，且，所以，又因為，由二次函數的對稱性可知，則，，令，所以函數單調遞增，由二次函數求值域可知.故答案為：四、解答題（本題共有6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）.17.已知函數.（1）求的最小正周期；（2）當時，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡的解析式，然后依據三角函數最小正周期的求法求得正確答案.（2）依據三角函數值域的求法求得正確答案.【小問1詳解】∵∴函數的最小正周期為【小問2詳解】∵當時，，∴，故函數的值域為.18.已知函數求曲線在點處的切線方程若函數，恰有2個零點，求實數a的取值范圍【答案】(1)x+y-1=0.(2).【解析】【分析】(1)求得f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線方程；(2)函數恰有2個零點轉化為兩個圖象的交點個數問題，數形結合解題即可.【詳解】（1）因為，所以.所以又所以曲線在點處的切線方程為即.（5分）（2）由題意得，，所以.由，解得，故當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以.又，，若函數恰有兩個零點，則解得.所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查函數零點問題.函數零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原函數為兩個函數，利用兩個函數的交點來求解.19.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）若的面積為1，求的周長的最小值.【答案】（1）（2）（或寫成）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化，結合三角函數恒等變形，化簡求，即可求解；（2）首先由面積公式得，再結合余弦定理和基本不等式，即可求解周長的最小值.【小問1詳解】因為，所以，即,由正弦定理得，，，即，且，所以，，則；【小問2詳解】由題知，，則，，當時，等號成立，，，即，所以當（或寫成），時，周長的最小值是（或寫成）20.記為數列的前項和，已知，且．（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿意________，記為數列的前項和，證明：．從①②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分類探討和，利用作差法得，從而依據等比數列定義求出；（2）若選擇①利用裂項相消求和，若選擇②利用錯位相減求和，最終證明結論即可.【小問1詳解】①，當時，，；當時，②①-②得，即又，∴數列是從第2項起的等比數列，即當時，．．【小問2詳解】若選擇①：，．若選擇②，則③，④，③-④得，．21.某學校為了提升學生學習數學的愛好，實行了“趣味數學”闖關競賽，每輪競賽從10道題中隨意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.（1）求小明同學在一輪競賽中所得積分的分布列和期望；（2）規定參賽者在一輪競賽中至少積2分才視為闖關勝利，若參賽者每輪闖關勝利的概率穩定且每輪是否闖關勝利相互獨立，問：小明同學在5輪闖關競賽中，需幾次闖關勝利才能使得對應概率取值最大？【答案】（1）分布列見解析，（2）3次或4次【解析】【分析】（1）依據超幾何分布的學問求得分布列并求得數學期望.（2）依據二項分布的學問求得闖關勝利的次數的分布列，由此求得正確答案.【小問1詳解】由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.【小問2詳解】方法1、參賽者在一輪競賽中至少積2分才視為闖關勝利，記概率為若小明同學在5輪闖關競賽中，記闖關勝利的次數為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學5輪闖關競賽中，需3次或4次闖關勝利才能使得對應概率取值最大.方法2、參賽者在一輪競賽中至少積2分才視為闖關勝利，記概率為若小明同學在5輪闖關競賽中，記闖關勝利次數為，則故∴假設當時，對應概率取值最大，則解得，而故小明同學在5輪闖關競賽中，需3次或4次闖關勝利才能使得對應概率取值最大.22.已知函數，且.（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點，且.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）第一問轉換為，對參數分類探討首先得出，然后轉換為即可求解.（2）對連續求導，得出的根的狀況即可得出存在唯一的極大值點，進而即可證明.【小問1詳解】定義域為,設，則，等價于.而，若，則，所以此時在上單調遞減，又留意到，所以當時，不成立，因此只能，令，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以的最小值為，若恒成立只需即可，不妨設，則