第第頁高考數學總復習《導數-利用導數解決恒成立與存在性問題》專項練習題（附答案）常見考點考點一恒成立問題典例1．已知函數（e是自然對數的底數）曲線在點處的切線為。(1)求ab的值(2)若不等式在上恒成立求正實數m的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）求導由切線為可得運算即得解（2）參變分離可得令求導分析單調性可得的最小值為分析即得解(1)可得因為曲線在點處的切線為。所以解得。(2)由（1）知∵不等式在上恒成立∴在上恒成立即在上恒成立。令∵當時解得。∴當時為減函數當時為增函數∴的最小值為∴∴正實數m的取值范圍為。變式1-1．已知函數．(1)證明：直線都不是曲線的切線(2)若使恒成立求實數的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）求出的導數設出切點可得切線的斜率根據斜率相等進而構造函數求出導數和單調區間即可證明（2）由使恒成立轉化為再利用導數法求出在的最大值即可求解。(1)由題意可知的定義域為由得直線過定點若直線與曲線相切于點則即設則所以在上單調遞增又從而當且僅當時成立這與矛盾。所以直線都不是曲線的切線。(2)由得若使恒成立轉化為即可。令則令則所以所以在上是單調遞減所以故在上是單調遞減當時取得最大值為即。所以實數的取值范圍為【點睛】解決此題的關鍵利用導數的幾何意義及兩點求斜率再根據同一切線斜率相等即可證明對于恒成立問題通常采用分離常數法進而轉化為求函數的最值問題利用導數法即可求解。變式1-2．已知函數。(1)當時求函數的單調區間(2)若恒成立求實數a的值?！敬鸢浮?1)遞減區間為遞增區間為(2)。【解析】【分析】（1）當時求得令得到且即可求得函數的單調區間（2）求得設當時不滿足題意當時得到單調遞增設有唯一的零點使得結合函數單調性得到再令結合單調性求得即可求解。(1)解：當時函數其定義域為可得令可得單調遞增又由當時可得單調遞減當時可得單調遞增所以的遞減區間為遞增區間為。(2)解：由可得設當時可得單調遞增當時不滿足題意當時由單調遞增設有唯一的零點即當時可得單調遞減當時可得單調遞增所以因為可得當且僅當時等號成立所以所以因為恒成立即恒成立令可得當時單調遞增當時單調遞減所以即又由恒成立即所以。變式1-3．已知函數（）恰有兩個極值點且．(1)求實數的取值范圍(2)若不等式恒成立求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對求導后分析其導數的零點（2）將代入后消去然后為不等式恒成立問題換元后分類討論最值(1)∵依題意得為方程的兩不等正實數根∴令當時當時∴在上單調遞增在上單調遞減且當時∴解得故實數的取值范圍是(2)由（1）得兩式相減得∵令∴即令則需滿足在上恒成立∵令則（）①當時∴在上單調遞減∴∴在上單調遞增∴符合題意②當時∴在上單調遞增∴∴在上單調遞減∴不符合題意③當時∴在上單調遞增∴∴在上單調遞減∴不符合題意綜上所述實數的取值范圍是?？键c二存在性問題典例2．已知函數。(1)討論函數的單調性(2)若存在使得成立求實數a的取值范圍?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求得對進行分類討論由此求得的單調區間。（2）根據（1）的結論對進行分類討論由結合構造函數法以及導數來求得的取值范圍。(1)已知函數定義域為①當時x+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增在上單調遞增在上單調遞減②當時函數在單調遞增③當時x+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增在上單調遞增在上單調遞減。綜上所述時在上單調遞增在上單調遞減時在單調遞增時在上單調遞增在上單調遞減。(2)若存在使得成立即使得。由（1）可知當時在上單調遞增不滿足當時x-0+遞減極小值遞增所以即令∴∴在上單調遞減又∵由得。綜上實數a的取值范圍為。變式2-1．已知函數．(1)判斷函數的單調性(2)已知若存在時使不等式成立求的取值范圍．【答案】(1)函數在區間上單調遞減(2)。【解析】【分析】(1)求出函數的導數判斷的符號作答。(2)對給定不等式作等價變形借助(1)脫去法則“f”分離參數構造函數再求出函數最值作答。(1)函數求導得：令則即函數在區間單調遞減而則當時即所以函數在區間上單調遞減。(2)當時因且則由(1)知在單調遞減則存在不等式成立令則當時當時因此函數在上單調遞增在上單調遞減于是得所以的取值范圍是?！军c睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題將給定不等式等價轉化構造函數再利用函數的導數探討解決問題。變式2-2．已知函數．(1)當時求的單調區間(2)若存在使得成立求實數的取值范圍．【答案】(1)單調遞減區間為單調遞增區間為(2)。【解析】【分析】（1）當時得出的定義域并對進行求導利用導數研究函數的單調性即可得出的單調區間（2）將題意等價于在內有解設即在上函數對進行求導令得出分類討論與區間的關系并利用導數研究函數的單調和最小值結合從而得出實數的取值范圍。(1)解：當時可知的定義域為則可知當時當時所以的單調遞減區間為單調遞增區間為。(2)解：由題可知存在使得成立等價于在內有解可設即在上函數令即解得：或（舍去）當即時在上單調遞減得又所以當時即時在上單調遞增得不合題意當即時則在上單調遞減在上單調遞增即不符合題意綜上得實數的取值范圍為?！军c睛】思路點睛：本題考查利用導數研究函數的單調性以及利用導數解決不等式成立的綜合問題：（1）利用導數解決單調區間問題應先確定函數的定義域否則寫出的單調區間易出錯利用導數解決含有參數的單調性問題要注意分類討論和化歸思想的應用（2）利用導數解決不等式的綜合問題的一般步驟是：構造新函數利用導數研究的單調區間和最值再進行相應證明。變式2-3．已知函數(1)若求函數的極值(2)設函數求函數的單調區間(3)若存在使得成立求a的取值范圍．【答案】(1)極小值為無極大值(2)單調遞增區間為單調遞減區間為。(3)【解析】【分析】（1）研究的單調區間進而求出的極值（2）先求再解不等式與求出單調區間注意題干中的的條件（3）先把題干中的問題轉化為在上有再結合第二問研究的的單調區間對a進行分類討論求出不同范圍下的求出最后結果(1)當時定義域為令得：當時單調遞增當時單調遞減故是函數的極小值點的極小值為無極大值(2)定義域為因為所以令得：令得：所以在單調遞增在單調遞減。綜上：單調遞增區間為單調遞減區間為。(3)存在使得成立等價于存在使得即在上有由（2）知單調遞增區間為單調遞減區間為所以當即時在上單調遞減故在處取得最小值由得：因為故。當即時由（2）知：在上單調遞減在上單調遞增在上的最小值為令因為所以則即不滿足題意舍去綜上所述：a的取值范圍為【點睛】導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用二是函數的零點不等式證明常轉化為函數的單調性極(最)值問題處理．鞏固練習練習一恒成立問題1．已知函數。(1)求在處的切線方程(2)當時不等式恒成立求實數的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義直接求解即可（2）分離變量可得利用導數可求得由此可得的取值范圍。(1)又在處的切線方程為(2)當時由得：令則令則當時在上單調遞增在上單調遞增即實數的取值范圍為。【點睛】方法點睛：本題考查導數的幾何意義利用導數解決函數中的恒成立問題解決恒成立問題的基本思路是采用分離變量的方式將問題轉化為變量與函數最值之間關系即由得由得。2．已知函數．(1)當時討論的單調性(2)當時恒成立求實數a的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞增在上單調遞減(2)【解析】【分析】（1）直接求導先確定導數的單調性及零點即可確定的單調性（2）當時當時參變分離得構造函數求導得再構造函數確定單調性后即可求出實數a的取值范圍．(1)當時易得在上遞增又故當時單調遞增故當時單調遞減所以在上單調遞增在上單調遞減(2)當時不等式恒成立可得當時由恒成立可得恒成立設則可設可得設由可得恒成立可得在遞增即在遞增所以即恒成立即在遞增所以再令可得當時在上遞增當時在遞減所以所以綜上可得?！军c睛】本題關鍵點在于參變分離構造函數求導后通過因式分解將導數變為再把分子的因式構造成函數確定后即得的正負進而求解。3．已知函數。(1)若在上是減函數求實數的取值范圍(2)當時若對任意的不等式恒成立求實數的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）求出導函數得到即可求出的取值范圍（2）把題意轉化為分類討論：當時求出當時轉化為令利用導數求出即可求出實數的取值范圍。(1)因為所以令得則的單調遞減區間為因為在上是減函數所以即故的取值范圍是(2)由題知：則即當時恒成立則當時令則則當時遞減當時遞增故則綜上所述實數的取值范圍是．4．已知函數(1)當時求曲線在點（0f（0））處的切線方程(2)當且時]恒成立求b的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）求出然后算出即可（2）由條件可得恒成立構造函數則原不等式等價于在上恒成立然后可證明然后得在上單調遞增然后即可求解。(1)當時則又因為所以曲線在點（0f（0））處的切線方程為。(2)恒成立即恒成立。等價于恒成立。構造函數則在上恒成立等價于在上恒成立。因為所以令函數則顯然是增函數則在上單調遞增所以故從而可得在上單調遞增所以當時恒成立。所以所以即b的取值范圍是[-1+∞）【點睛】關鍵點睛：解答本題第二問的關鍵是將原不等式變形構造出函數屬于函數的同構類型解答的關鍵是觀察不等式的特點變成同一函數在兩個變量處的取值。練習二存在性問題5．己知函數。(1)當時求的單調區間。(2)存在使得成立求整數的最小值。【答案】(1)增區間為無單減區間(2)【解析】【分析】（1）利用導數與函數的單調性之間的關系可求得結果（2）由題意可知存在使得構造函數其中利用導數分析函數的單調性求出的取值范圍可求得整數的最小值。(1)解：當時該函數的定義域為則當且僅當時等號成立故函數的增區間為無單減區間。(2)解：存在使得成立即令其中則令則令對任意的恒成立故函數在上為增函數則即對任意的恒成立則函數為增函數。因為所以存在使得當時此時函數單調遞減當時此時函數單調遞增所以設則令則對任意的恒成立故函數在上為增函數則即對任意的恒成立故函數在為增函數故即即因為為整數所以整數的最小值為。【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立可根據以下原則進行求解：（1）（2）（3）（4）。6．已知函數(1)討論函數的單調性(2)證明：存在使得不等式有解（e是自然對數的底）。【答案】(1)討論見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)對原函數求導后利用判別式對進行分類討論即可(2)理解“有解”的含義構造函數將原不等式轉化為求函數的最大值。(1)的定義域為R①當時有兩個不等實數根為：時單調遞增時單調遞減時單調遞增②當時所以在上單調遞增(2)不等式等價于所以只需證的最大值大于1因為又所以時等號成立所以設函數單調遞增單調遞減因為所以存在使不等式有解?！军c睛】對于第二問使用函數的縮放法是核心對原函數由于的不確定性使得求其最大值很困難“化繁為簡”“化難為易”的數學思想就顯得特別重要通過本題的計算應該能夠體會到這種數學思想在以后的數學計算中遇到很復雜的計算應該首先考慮這種數學思想。7．已知函數。(1)當時證明函數在區間上只有一個零點(2)若存在使不等式成立求的取值范圍?！敬鸢浮?1)證明見解析(2)或【解析】【分析】（1）首先求得導函數的解析式然后討論函數的單調性結合函數的性質即可確定函數零點的