專題07二次函數專題專題綜述課程要求二次函數作為初中比較重要的知識點，已經研究了很多。相對于初中所研究的，高中學習二次函數更加注重將其與二次方程、二次不等式結合起來。同時，注重研究圖像的各種變換關系，掌握變換前后的圖像區別。新高一的同學要夯實初中基礎，同時要理解新的知識。課程要求課程要求《初中課程要求》1、能根據條件求出二次函數表達式；2、能夠掌握幾種二次函數的形式；3、能由表達式得到對稱軸、頂點、與軸交點等?！陡咧姓n程要求》1、掌握二次函數概念、圖像特征；2、掌握二次函數單調性、對稱性，會求在給定定義域上的值域；3、掌握二次函數、二次方程、二次不等式之間的關系。知識精講知識精講初中知識儲備：二次函數初中知識儲備：二次函數備：絕對值1．二次方程的幾種形式一般式：y=a頂點式：y=a(x??)2+k(a交點式：y=a(x?x1)(x?x2)(a≠02.二次函數的平移變換函數y=(x+?)2+k例如：y=(x+1)2的圖像由y=(x?2)2的圖像由總結：左右的移動是對x的變動，左加右減。y=x2+1y=x2?1總結：上下的移動是對y的變動，上加下減。3.二次函數的對稱變換y=x2+|x|的圖像由y=x2總結：翻折變換是對y的變動，去左翻右。y=|x2+x|的圖像由y=x2總結：翻折變換是對y的變動，保上翻下。典例剖析典例剖析例題1．已知二次函數的圖象與軸有且只有一個公共點．①求的頂點坐標；②將向下平移若干個單位后，得拋物線，如果與軸的一個交點為，求的函數關系式，并求與軸的另一個交點坐標；（2）若，是上的兩點，且，求實數的取值范圍．變式訓練變式訓練1.如圖，二次函數（a為常數）的圖象的對稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數的圖象，使其經過原點，求平移后圖象所對應的二次函數的表達式．能力提升能力提升1.已知：二次函數的圖象經過，兩點．（1）求二次函數的表達式．（2）將原點向上平移個單位得到點，過點作軸交拋物線于點，（在的右側），且，求的值．對點精練對點精練1．在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A． B． C． D．2．若坐標平面上二次函數的圖形，經過平移后可與的圖形完全疊合，則a、b、c的值可能為下列哪一組？（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，將該拋物線向右平移（）個單位長度后得到拋物線，與x軸交于、兩點，記拋物線的函數表達式為．則下列結論中錯誤的是（）A．若，則拋物線的函數表達式為：B．C．不等式的解集是D．對于函數，當時，隨的增大而減小4．已知二次函數，當時，，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．5．如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示．則下列結論：①點，，是該拋物線上的點，則﹔②；③；④；⑤（t為實數），其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤6．二次函數（、均為常數）的圖象經過、、三點．若，則的取值范圍是_________________7．將二次函數的圖象先向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的圖象與一次函數的圖象有公共點，則實數b的取值范圍是_____________．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經過O、A、B三點，那么a+b+c＝_____．9．將二次函數（）的圖象先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象的表達式是，則原函數的表達式是________．10．已知函數，下列說法：①方程必有實數根；②若移動函數圖象使其經過原點，則只能將圖象向右移動1個單位；③當時，拋物線頂點在第三象限；④若，則當時，y隨著x的增大而增大．其中正確的序號是__________．11．已知函數是關于的二次函數．（1）求的值．（2）當為何值時，該函數有最小值？最小值是多少？12．（1）已知是y關于x的二次函數．求m的值；（2）如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象交于點及點①求二次函數的解析式及B的坐標②根據圖象，直按寫出滿足的x的取值范圍13．已知二次函數（a是常數，）．（1）若該二次函數圖象經過三點中的一個點，求該函數表達式．（2）當時，y有最小值，若將該二次函數圖象向右平移個單位，平移后的圖象的函數在的范圍內有最小值，求a，k值．14．已知拋物線y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常數．（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝4．①求該拋物線的函數解析式；②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．15．已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為（3，2），且過點（0，11）．（1）求拋物線的解析式；（2）將拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移m（m＞0）個單位長度后得到新拋物線．①若新拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新拋物線上的兩點，當n≤x1≤n+1，x2≥4時，均有y1≤y2，求n的取值范圍．專題07二次函數專題專題綜述課程要求二次函數作為初中比較重要的知識點，已經研究了很多。相對于初中所研究的，高中學習二次函數更加注重將其與二次方程、二次不等式結合起來。同時，注重研究圖像的各種變換關系，掌握變換前后的圖像區別。新高一的同學要夯實初中基礎，同時要理解新的知識。課程要求課程要求《初中課程要求》1、能根據條件求出二次函數表達式；2、能夠掌握幾種二次函數的形式；3、能由表達式得到對稱軸、頂點、與軸交點等?！陡咧姓n程要求》1、掌握二次函數概念、圖像特征；2、掌握二次函數單調性、對稱性，會求在給定定義域上的值域；3、掌握二次函數、二次方程、二次不等式之間的關系。知識精講知識精講初中知識儲備：二次函數初中知識儲備：二次函數備：絕對值1．二次方程的幾種形式一般式：y=a頂點式：y=a(x??)2+k(a交點式：y=a(x?x1)(x?x2)(a≠02.二次函數的平移變換函數y=(x+?)2+k例如：y=(x+1)2的圖像由y=(x?2)2的圖像由總結：左右的移動是對x的變動，左加右減。y=x2+1y=x2?1總結：上下的移動是對y的變動，上加下減。3.二次函數的對稱變換y=x2+|x|的圖像由y=x2總結：翻折變換是對y的變動，去左翻右。y=|x2+x|的圖像由y=x2總結：翻折變換是對y的變動，保上翻下。典例剖析典例剖析例題1．已知二次函數的圖象與軸有且只有一個公共點．①求的頂點坐標；②將向下平移若干個單位后，得拋物線，如果與軸的一個交點為，求的函數關系式，并求與軸的另一個交點坐標；（2）若，是上的兩點，且，求實數的取值范圍．【答案】（1）（?1，0）；（2）y＝（x＋1）2?4，（1，0）；（3）n＞2或n＜?4【分析】（1）由于二次函數的圖象C1與x軸有且只有一個公共點，那么頂點的縱坐標為0，由此可以確定m，進而即可求解；（2）首先設所求拋物線解析式為y＝（x＋1）2＋k，然后把A（?3，0）代入即可求出k，也就求出了拋物線的解析式；（3）由于圖象C1的對稱軸為直線x＝?1，所以知道當x≥?1時，y隨x的增大而增大，然后討論n≥?1和n≤?1兩種情況，利用前面的結論即可得到實數n的取值范圍．【詳解】（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m?1，對稱軸為直線x＝?1，∵拋物線與x軸有且只有一個公共點，∴頂點的縱坐標為0，∴C1的頂點坐標為（?1，0）；（2）設C2的函數關系式為y＝（x＋1）2＋k，把A（?3，0）代入上式得（?3＋1）2＋k＝0，得k＝?4，∴C2的函數關系式為y＝（x＋1）2?4．∵拋物線的對稱軸為直線x＝?1，與x軸的一個交點為A（?3，0），由對稱性可知，它與x軸的另一個交點坐標為（1，0）；（3）對于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m?1，當x≥?1時，y隨x的增大而增大，當≥?1時，∵y1＞y2，∴n＞2．當＜?1時，P（n，y1）的對稱點坐標為（?2?n，y1），且?2?n＞?1，∵y1＞y2，∴?2?n＞2，∴n＜?4．綜上所述：n＞2或n＜?4．【點睛】本題主要考查二次函數的圖形和性質，掌握拋物線與x軸交點個數與其判別式的關系，拋物線平移的性質，拋物線的增減性，是解題的關鍵．變式訓練變式訓練1.如圖，二次函數（a為常數）的圖象的對稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數的圖象，使其經過原點，求平移后圖象所對應的二次函數的表達式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函數化為一般式，再利用對稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數的解析式為：，再結合平移后拋物線過原點，則從而可得平移方式及平移后的解析式．【詳解】解：（1）．∵圖象的對稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數的表達式為，∴拋物線向下平移3個單位后經過原點，∴平移后圖象所對應的二次函數的表達式為．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的性質，二次函數圖像的平移，熟練掌握二次函數的基礎知識是解題的關鍵．能力提升能力提升1.已知：二次函數的圖象經過，兩點．（1）求二次函數的表達式．（2）將原點向上平移個單位得到點，過點作軸交拋物線于點，（在的右側），且，求的值．【答案】（1）；（2）5【分析】（1）待定系數法求而出函數解析式即可（2）利用A、B兩點坐標求出拋物線對稱軸為，和線段，由，求出線段，利用對稱軸求出點C的橫坐標，再求縱坐標即可．【詳解】解：（1）把點，代入解析式：，∴，，∴．（2）∵對稱軸為，，∴，∴，∵二次函數對稱軸為直線，∴，∴點C（-2，m）∵點C在拋物線上∴．∴的值為5．【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，拋物線平移問題，利用拋物線的軸對稱性，求平移后的C點坐標是解題關鍵．對點精練對點精練1．在平面直角坐標系中，將二次函數的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平移后拋物線的頂點坐標，進而即可得到答案．【詳解】解：∵的頂點坐標為（0，0）∴將二次函數的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的頂點坐標為（-2，1），∴所得拋物線對應的函數表達式為，故選B【點睛】本題主要考查二次函數的平移規律，找出平移后二次函數圖像的頂點坐標或掌握“左加右減，上加下減”，是解題的關鍵．2．若坐標平面上二次函數的圖形，經過平移后可與的圖形完全疊合，則a、b、c的值可能為下列哪一組？（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】利用平移拋物線形狀不變，即a值不變，先確定a，再確定b,c的值即可．【詳解】解：二次函數的圖形，經過平移后可與的圖形完全疊合，．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數的平移性質，根據已知得出a的值不變是解題關鍵．3．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，將該拋物線向右平移（）個單位長度后得到拋物線，與x軸交于、兩點，記拋物線的函數表達式為．則下列結論中錯誤的是（）A．若，則拋物線的函數表達式為：B．C．不等式的解集是D．對于函數，當時，隨的增大而減小【答案】D【分析】利用平移規律求出將該拋物線向右平移個單位長度后得到拋物線的解析式為．當n=2即可直接求出的解析式，即可判斷A；對于，令，即，解出x，即可知點C、D坐標，即可求出CD的長，即可判斷B；，即，解出不等式即可判斷C；由的解析式為，可知其對稱軸為，根據拋物線開口向下，即可知當時，y隨x的增大而減小，即可判斷D．【詳解】將改為頂點式為．則將該拋物線向右平移個單位長度后得到拋物線的解析式為．當n=2時，拋物線的解析式為，整理得：，故A正確，不符合題意；對于，令，即，解得：．即C(，0)、D(，0)，∴．故B正確，不符合題意；，即，∴∴∴，故C正確，不符合題意；∵的解析式為，∴其對稱軸為，∵該拋物線開口向下，∴當時，y隨x的增大而減?。蔇錯誤，符合題意．故選D．【點睛】本題考查二次函數的平移，二次函數的圖象和性質．掌握其平移規律“上加下減，左加右減”是解答本題的關鍵．4．已知二次函數，當時，，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以求得該函數的開口方向為向上，對稱軸為x=1，且當x=1時，該函數取得最小值2-a．又由當y＝2時，x＝2或x＝0，結合題意即可求出m的取值范圍．【詳解】解：二次函數，∴該函數圖象開口向上，對稱軸是直線x=1，∴當x=1時，該函數取得最小值-a+2，∵當時，，且當y＝2時，x＝2或x＝0，∴，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．5．如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示．則下列結論：①點，，是該拋物線上的點，則﹔②；③；④；⑤（t為實數），其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】根據拋物線的開口向下且對稱軸為直線知圖象上離對稱軸水平距離越小函數值越大，可判斷①，根據拋物線的對稱軸可判斷②，由拋物線與軸的交點及拋物線的對稱性可判斷③，由時可判斷④，由時函數取得最大值可判斷⑤．【詳解】解：拋物線的開口向下，且對稱軸為直線，拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數值越大，，故①錯誤；拋物線的對稱軸為直線，，故②正確；與軸的一個交點在和之間，由拋物線的對稱性知，另一個交點在和之間，拋物線與軸的交點在軸的負半軸，即，故③正確；由③知，時，且，即，故④正確；由函數圖象知當時，函數取得最大值，，即為實數），故⑤錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大?。敃r，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時（即，對稱軸在軸左；當與異號時（即，對稱軸在軸右．常數項決定拋物線與軸交點：拋物線與軸交于；拋物線與軸交點個數由△決定：△時，拋物線與軸有2個交點；△時，拋物線與軸有1個交點；△時，拋物線與軸沒有交點．6．二次函數（、均為常數）的圖象經過、、三點．若，則的取值范圍是_________________【答案】【分析】由二次函數可知，開口向上，對稱軸為，再根據，，三點橫縱坐標的大小關系進行判斷求解．【詳解】解：由二次函數可知，開口向上，對稱軸為在對稱軸左側函數值隨的增加而減小，在對稱軸右側隨的增大而增大．注意到，兩點的橫坐標之和正好是橫坐標的二倍，又∵∴（若，，不符合題意）又∵∴（若，，不符合題意）故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的有關性質是解題的關鍵．7．將二次函數的圖象先向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的圖象與一次函數的圖象有公共點，則實數b的取值范圍是_____________．【答案】【分析】先根據平移原則：上→加，下→減，左→加，右→減寫出解析式，再列方程組，有公共點則△≥0，則可求出b的取值．【詳解】解：由題意得：平移后得到的二次函數的解析式為：y=（x-3）2-1，則，∴（x-3）2-1=2x+b，整理得，x2-8x+8-b=0，∴△=（-8）2-4×1×（8-b）≥0，解得，b≥-8，故答案是：b≥-8．【點睛】主要考查的是函數圖象的平移和兩函數的交點問題，兩函數有公共點：說明兩函數有一個交點或兩個交點，可利用方程組→一元二次方程→△≥0的問題解決．8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，如果拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經過O、A、B三點，那么a+b+c＝_____．【答案】【分析】根據等腰直角三角形的性質求得A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐標代入，根據待定系數法即可求得a、b、c的值，進而即可求得a+b+c的值．【詳解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜邊OA在x軸上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c向下平移4個單位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同時經過O、A、B三點，∴，解得，∴a+b+c2+4，故答案為．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，二次函數的圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式，求得點的坐標是解題的關鍵．9．將二次函數（）的圖象先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象的表達式是，則原函數的表達式是________．【答案】【分析】根據二次函數表達式是易得新拋物線的頂點，然后得到經過平移后的原拋物線的頂點，根據平移不改變二次項的系數可得原拋物線解析式．【詳解】解：∵平移后拋物線的解析式是，∴此拋物線的頂點為(1，4)，∵向左平移3個單位，再向上平移2個單位可得原拋物線頂點，∴原拋物線頂點為(-2，6)，∴原拋物線的解析式是．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，掌握二次函數圖象的平移與坐標的變化規律是解題的關鍵．10．已知函數，下列說法：①方程必有實數根；②若移動函數圖象使其經過原點，則只能將圖象向右移動1個單位；③當時，拋物線頂點在第三象限；④若，則當時，y隨著x的增大而增大．其中正確的序號是__________．【答案】①③【分析】由二次函數與x軸的交點以及二次函數的性質來逐一判斷．【詳解】解：與坐標軸交于，①解得，故正確；②與坐標軸交于，向右移動一個單位，或移動個單位皆可，故錯誤；③時，，所以對稱軸在x軸的左側，此時開口又向上，與x軸有兩個交點，故正確；④時，開口向上，對稱軸為，無法判斷與-1的大小，即無法說明當時，y隨著x的增大而增大，故錯誤，故答案為：①③．【點睛】本題考查了二次函數的性質、拋物線與坐標軸的交點、圖像平移；關鍵在于要熟悉二次函數的性質，并會根據條件求出字母系數的值．11．已知函數是關于的二次函數．（1）求的值．（2）當為何值時，該函數有最小值？最小值是多少？【答案】（1）或；（2）時函數有最小值為【分析】（1）根據二次函數的定義求出m的值即可解決問題．（2）運用當二次項系數大于0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數有最小值；【詳解】解：（1）∵函數是關于x的二次函數，∴，且m＋3≠0，解得：，；（2）∵m＝?4或1，∵當m＋3＞0時，拋物線有最低點，函數有最小值，∴m＞?3，∵m＝?4或1，∴當m＝1時，函數為，該函數有最小值，最小值為-1．【點睛】該題主要考查了二次函數的定義及其性質的應用問題；牢固掌握定義及其性質是解題的關鍵．12．（1）已知是y關于x的二次函數．求m的值；（2）如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象交于點及點①求二次函數的解析式及B的坐標②根據圖象，直按寫出滿足的x的取值范圍【答案】（1）；（2）①二次函數的解析式是，點B的坐標是（4，3）；②【分析】（1）根據二次函數的定義可得，進一步即可求出結果；（2）①把點代入即可求出m，進而可得二次函數的解析式，把點B坐標代入拋物線的解析式可得關于n的方程，解方程即可求出n，進一步可得點B坐標；②所求結果即為直線比拋物線高的部分圖象對應的x的取值范圍，據此解答即可．【詳解】解：（1）由題意得：，解得：；（2）①把點代入，得，解得：，∴二次函數的解析式是，當y=3時，，解得：n=0（舍去）或n=4，∴點B的坐標是（4，3）；②由圖象可得：滿足的x的取值范圍是：．【點睛】本題考查了二次函數的定義、二次函數圖象上點的坐標特征、兩個函數的交點、一元二次方程的解法和二次函數與不等式的關系等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．13．已知二次函數（a是常數，）．（1）若該二次函數圖象經過三點中的一個點，求該函數表達式．（2）當時，y有最小值，若將該二次函數圖象向右平移個單位，平移后的圖象的函數在的范圍內有最小值，求a，k值．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）a=1，k=2【分析】（1）當x=1時，y=0；x=-3時，y=0；所以拋物線過點A；（2）根據題意當x=-1

時，y=-4，代入y=ax2+2ax-3a求得a=1，得到拋物線為y=x2+2x-3經過（0，-3），進而得出將該二次函數圖象向右平移k（k＞1）個單位后也經過（0，-3），根據二次函數的對稱性即可求得平移前的對應點為（-2，3），從而求得k=2．【詳解】解：（1）把點B（-1，4）代入y=ax2+2ax-3a得a=-1；把點A（1，1）代入y=ax2+2ax-3a

得0=1，∴A不在拋物線上；把點C（-3，12）代入y=ax2+2ax-3a

得0=12，∴C不在拋物線上，故函數表達式為：y=-x2-2x+3；（2）由已知得拋物線的對稱軸為直線x=-1，∴當x=-1

時，y=-4，∴a-2a-3a=-4，∴a=1，∴y=x2+2x-3經過點（0，-3）．∵拋物線向右平移k（k＞1）個單位后y′的對稱軸直線x＞0，又∵y′在-3<x≤0的范圍內有最小值-3，∴y′也經過點（0，-3），∴由對稱性可得平移前的對應點為（-2，3），∴k=2．【點睛】本題考查了二次函數圖象性質及二次函數的圖象與幾何變換，待定系數法求二次函數的解析式．數形結合便于理解．14．已知拋物線y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常數．（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝4．①求該拋物線的函數解析式；②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．【答案】（1）見解析；（2）①y＝x2﹣8x+15；②拋物線沿y軸向上平移1個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點【分析】（1）要證明不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點，只要證明b2﹣4ac＞0即可，然后代入數據計算即可；（2）①根據該拋物線的對稱軸為直線x＝4，可以求得m的值，從而可以得到拋物線的函數解析式；②將①的函數解析式，化為頂點式，即可得到把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．【詳解】（1）證明：∵拋物線y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常數，∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）①∵拋物線y＝x2﹣（2