1.點P是函數f(X)=COS3X(其中3和)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的

對稱軸的距離最小值是兀，則函數f(X)的最小正周期是()

A.nB.2兀C.3兀D.47t

解析：函數f(x)的對稱中心是13k兀十兀2,0,對稱軸為x=kmo,131<兀+兀2=

n,kGZ,即畫=12,；.T=2兀12=4n,故選D.

答案：D

2.定義：|axb|=|a|?|b|?sine,其中9為向量a與b的夾角，若|a|=2,|b|=5,a-b=-6,

則|axb|等于()

A.8B.-8C.8或一8D.6

解析：a?b=|a|,|b|,cos0=>cos0=a?b|a|?|b|=一35

sin0=45,，|axb|=|a|?|bksin0=2x5x45=8.

答案：A

3.函數y=2simt6-2x,x€|0,兀]的增區間是()

A.0,兀3B.7112,7TC12

C.7t3,5兀6D.5兀6,n

解析：y=2sirnr6_2x=-2sin2x—兀6,Efcl2k7r+7t2<2x—7t6<2k7r+37r2(k￡Z),解得ku

+兀3?xWk兀+5n6(kGZ),故函數y=2simt6-2x,x€[0,樹的增區間是兀3,5兀6,故選

C.

答案：c

4.(2010?全國H)為了得到函數y=sin2x-n3的圖象，只需把函數y=sin2x+n6的圖象

()

A.向左平移兀4個長度單位

B.向右平移兀4個長度單位

C.向左平移兀2個長度單位

D.向右平移兀2個長度單位

解析：y=sin2x+ir6=sin2x+7d2,y=sin2x—7i3=sin2x—兀6,故應向右平移兀12

-----7t6=n4個長度單位.

答案：B

5.(2010?天津)在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c若a2-b2=3bc,

sinC=23sinB,則A=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

解析：sinC=23sinBnc=23b,

a2—b2=3bc=>a2—b2—c2=3bc—c2=>b2+c2—a2=c2—3bc,

cosA=b2+c2—a22bc=c2—3bc2bc=c22bc—32

=c2b-32=232—32=32,

.?.在△ABC中，ZA=30°.

答案：A

6.(2009?浙江理)已知a是實數，則函數f(x)=l+asinax的圖象不可能是()

解析：圖A中函數的最大值小于2,故0<a<l,而其周期大于2無，故A中圖象可以

是函數f(x)的圖象，圖B中，函數的最大值大于2故a應大于1,其周期小于2兀，故

B中圖象可以是函數f(x)的圖象，當a=0時，f(x)=l,此時對應C中圖象，對于D

可以看出其最大值大于2,其周期應小于2兀，而圖象中的周期大于2兀，故D中圖象

不可能為函數f(x)的圖象.

答案：D

二、填空題

7.已知函數f(x)=2sinx,g(x)=2simr2—x,直線x=m與f(x),g(x)的圖象分別交M、N

兩點，則|MN|的最大值為.

解析：構造函數=2sinx—2cosx=22sinx—兀4,故最大值為22.

答案：22

8.曲線y=2sinx+?t4cosx—兀4與直線y=12在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記

為Pl,P2,P3.........則|P2P4|等于()

A.兀B.2冗C.3兀D.4兀

解析：y=2sinx+兀4cosx-7i4=2sinx+兀4?cosx+兀4—兀2=2sin2x+兀4=1—

cos2x+7t2=1+sin2x,|P2P4|恰為一個周期的長度n.

答案：兀

10.有下列命題：

①函數y=4cos2x,x￡—10兀，10兀不是周期函數；

②函數y=4cos2x的圖象可由y=4sin2x的圖象向右平移兀4個單位得到；

③函數y=4cos(2x+0)的圖象關于點兀6,0對稱的一個必要不充分條件是

0=k2兀+兀6(k￡Z)；

④函數y=6+sin2x2-sinx的最小值為210—4.

其中正確命題的序號是.

解析：①中的函數不符合周期函數的定義，所以不是周期函數；因為②中函數y=

4sin2x的圖象向右平移兀4個單位得到y=4sin2x—兀4,即y=-4cos2x的圖象，不

是y=4cos2x的圖象；③把點兀6,0代入函數y=4cos(2x+0),有4cos兀3+。=0,

則兀3+e=kjr+兀2(k@Z),所以0=k7i+it6(k￡Z),又。|0=k2兀+兀6k￡Z3{0|0=k7t+兀6(k

￡Z)},所以③正確；④函數y=6+sin2x2—sinx=2—sinx2—42—sinx+102—sinx

=(2—sinx)+102—sinx—4,如果它的最小值為210—4,那么(2—sinx)2=10,而

(2-sinx)2的最大值為11,故不正確.

答案：①③

三、解答題

11.(2010?天津)已知函數f(x)=23sinxcosx+2cos2x-l(x^R).

⑴求函數f(x)的最小正周期及在區間0,兀2上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)=65,XOWTT4,兀2,求cos2x0的值.

解：(1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x—1,得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x—1)=3

sin2x+cos2x=2sin2x+n6,

所以函數f(x)的最小正周期為兀.

因為f(x)=2sin2x+7t6在區間0,兀6上為增函數，在區間兀6,兀2上為減函數，又f(0)

=1,仇6=2,

加2=—1,所以函數f(x)在區間0,兀2上的最大值為2,最小值為一1.

(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+兀6.

又因為f(x0)=65,所以sin2x0+7r6=35.由X0￡TT4,兀2,得2x0+兀6仁2兀3,7兀6,

從而COS2X0+K6

=-1—sin22x0+7r6=-45.

所以cos2xO=cos2xO+兀6—兀6

=cos2x0+兀6cos兀6+sin2x0+7r6sin7t6=3—4310.

12.(2010?福建)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇

出發時，輪船位于港口O北偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海

里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的

航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇.

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方

向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

解：解法一：(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則

S=90012+400-2?30t?20?cos900-30°

=900t2-600t+400=900t-132+300.

故當t=13時,Smin=103,

此時v=10313=303.

即小艇以303海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

(2)設小艇與輪船在B處相遇，則

v2t2=400+900t2-2?20.30t?cos(90°-30°),故v2=900-600t+400t2.

V0<v<30,/.900-600t+400t2<900,

即2t2—3￡0,解得侖23.

又t=23時，v=30.

故v=30時，t取得最小值，且最小值等于23.

此時，在AOAB中，有OA=OB=AB=20,故可設計航行方案如下：

航行方向為北偏東30。，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

解法二：(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航

行方向為正北方向.設小艇與輪船在C處相遇.

在RSOAC中，OC=20cos30°=103,AC=20sin30°=10.

又AC=30t,OC=vt,

此時，輪船航行時間t=1030=13,

v=10313=303.

即艇以303海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

(2)猜想v=30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時AD=DO=30t.

又/OAD=60。，所以AD=DO=OA=20,解得t=23.

據此可設計航行方案如下：

航行方向為北偏東30。，航行速度的大小為30海里/小時.這樣，小艇能以最短時間

與輪船相遇.

證明如下：

如圖，由(1)得OC=103,AC=10,故OC>AC.且對于線段AC上任意點P,有

OP>OC>AC.

而小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，故小艇與輪船不可能在A、C之間(包

含C)的任意位置相遇.

設/COD=0(O°VO<9O°),則在RSCOD中，CD=103tanG,OD=lO3cos0.

由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t=10+103tan930和t=103vcos。,

所以，10+103tan030=103vcos9.

由此可得，v=153sin葉30。.

又v<30,故sin(0+3O°)>32.

從而，30。5七90。.由于0=30。時，tan0取得最小值，且最小值為33.

于是，當9=30。時，t=lO+lO3tan03O取得最小值，且最小值為23.

解法三：(1)同解法一或解法二.

(2)設小艇與輪船在B處相遇.依據題意得：

v2t2=400+900t2-2?20?30t?cos(90。一30°),

(v2-900)t2+600t-400=0.

①若0<v<30,則由A=360000+1600(v2-900)=1600(v2—675巨0,

得亞153.從而，

t=-300+20v2-675v2—900,

ve[153,30].

(i)當t=-300—20v2—675v2—900時，令x=v2—675,貝鼠6[0,15),

t=-300-20xx2-225=-20x-15>43,當且僅當x=0

即v=153時等號成立.

(ii)當t=-300+20v2-675v2-900時，同理可得23<t<43.

由(i)(ii)得,當V0153,30)時，t>23.

②若v=30,則t=23；

綜合①、②可知，當v=30時，t取最小值，且最小值等于23.

此時，在AOAB中，OA=OB=AB=20,故可設計航行方案如下：

航行方向為北偏東30。，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.

13.向量m=(sin3x+coscox,3coscox)((o>0),n=(cos(ox—sin?x,2sinwx),函數f(x)

=m?n+t,若f(x)圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為3兀2,且當x6[0,兀]時，函數f(x)

的最小值為0.

(1)求函數f(x)的表達式；

(2)在△ABC中，若f(C)=B且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

解：(I)f(x)=m?m+t=cos2(ox-sin2(ox+23cossx?sin(ox+t=cos2(ox+3sin2(ox+

t=2sin(2cox+兀6)+1.

依題意f(x)的周期T=3n,且co>0,；.T=2兀2S=7UD=3兀

；.3=13,/.f(x)=2sin23x+n6+t.Vxe[0,2，

Jt6<2x3+兀W65n6,

12<sin2x3+?t6<l,

??.f(x)的最小值為t+1,即t+l=0,."-I.

f(x)=2sin23x+兀6—1.

(2)Vf(C)=2sin2c3+兀6—1=1,

.'.sin2c3+n6=1.

又6(0,n),AZC=TT2.

在RlAABC中，

：A+B=兀2,2sin2B=cosB+cos(A-C),

2cos2A=sinA+sinA,sin2A+sinA—1=0.

解得sinA=-1+52.

XV0<sinA<1,

sinA=5—12.

1.已知極坐標平面內的點P2,—5兀3,則P關于極點的對稱點的極坐標與直角坐標分

別為()

A.2,兀3,(1,3)B.2,一兀3,(1,-3)

C.2,2兀3,(-1,3)D.2,一2兀3,(—1,-3)

解析：點P2,—5兀3關于極點的對稱點為2,—5n3+幾，

即2,一2兀3,且x=2cos—2TI3=-2COS兀3=—1,

y=2sin—2n3=-2simt3=-3,所以選D.

答案：D

2.(2009?珠海模擬)圓p=4cos0的圓心到直線tan。=1的距離為()

A.22B.2C.2D.22

解析：

圓p=4cos0的圓心C(2,0),如圖，|OC|=2,在RtACOD中，ZODC=7t2,

ZCOD=n4,，|CD|=2.

即圓p=4cos0的圓心到直線tan9=1的距離為2.

答案：B

3.已知直線1的參數方程為x=-l—22ty=2+22t(t為參數)，則直線1的斜率為()

A.1B.-1C.22D.-22

解析：直線1的參數方程可化為x=-1+tcos3714y=2+tsin3兀4,故直線的斜率為tan3兀4=

-1.

答案：B

4.直線3x-4y-9=0與圓：x=2cos0y=2sin0,(。為參數)的位置關系是()

A.相切B.相離

C.直線過圓心D.相交但不過圓心

解析：圓的普通方程為x2+y2=4,.?.圓心坐標為(0,0),半徑r=2,點(0,0)到直線3x

-4y-9=0的距離為d=|-9|32+42=95<2,...直線與圓相交，而(0,0)點不在直線上，

故選D.

答案：D

5.已知極坐標系中，極點為0,09<2兀，M3,兀3,在直線OM上與點M的距離為4

的點的極坐標為.

解析：

如圖所示，|OM|=3,ZxOM=7t3,在直線OM上取點P、Q,使|OP|=7,|OQ|=1,

ZXOP=TT3,/xOQ=4兀3,顯然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=

3+1=4.

答案：7,兀3或1,4兀3

6.已知極坐標系中，極點為O,將點A4,兀6繞極點逆時針旋轉無4得到點B,且10Al=|OB|,

則點B的直角坐標為.

解析：依題意，點B的極坐標為4,57d2,

cos5n12=cosn4+716=cos兀4cosn6—sin?t4sinn6

=22?32-22?12=6-24,

sin5TC12—sin7t4+7t6=sin兀4cos兀6+cos兀4sinn6

=22?32+22T2=6+24,

.".x=pcos0=4x6—24=6—2,y=psin0=6+2.

...點B的直角坐標為(6—2,6+2).

答案：(6—2,6+2)

7.設丫=^。為參數)，則圓x2+y2-4y=0的參數方程是.

解析：把y=tx代入x2+y2—4y=0

得x=4tl+t2,y=4t21+t2,參數方程為x=4tl+t2y=4t21+t2.

答案：x=4tl+t2y=4t21+t2

8.點M(x,y)在橢圓x212+y24=l上，則點M到直線x+y—4=0的距離的最大值為

，此時點M的坐標是.

解析：橢圓的參數方程為x=23cos0y=2sin9(0為參數)，

則點M(23cos0,2sin0)到直線x+y—4=0的距離

d=|23cos0+2sin。一4|2=|4sin0+兀3—4|2.

當0+兀3=32兀時，dmax=42,此時M(—3,-1).

答案：42(-3,-1)

9.(2010?新課標全國高考)已知直線Cl：x=l+tcosa,y=tsina,(t為參數)，圓C2：x=cos0,

y=sin0,

(0為參數).

⑴當a=n3時，求C1與C2的交點坐標；

(2)過坐標原點。作C1的垂線，垂足為A,P為OA的中點.當a變化時，求P點軌

跡的參數方程，并指出它是什么曲線.

解：(1)當a=jr3時，C1的普通方程為y=3(x—l),

C2的普通方程為x2+y2=l.

聯立方程組y=3x—1,x2+y2=1,

解得Cl與C2的交點為(1,0),12,-32.

(2)C1的普通方程為xsina—ycosa—sina=0.

A點坐標為(sin2a,—cosasina),

故當a變化時，P點軌跡的參數方程為

x=12sin2a,y=_12sinacosa,(a為參數).

P點軌跡的普通方程為x-142+y2=116.

故P點軌跡是圓心為14,0,半徑為14的圓.

10.在極坐標系中，已知圓C的圓心C3,兀6,半徑r=3,

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)若Q點在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且|OQ|：|QP|=3：2,求動點P的軌跡方程.

解：(1)設M(p,0)為圓C上任一點，OM的中點為N,

在圓C上，...△OCM為等腰三角形，

由垂徑定理可得|ON|=|OC|cos9—n6,

...|OM|=2X3COS9-TT6,

即p=6cos0-7t6為所求圓C的極坐標方程.

(2)設點P的極坐標為(p,0),因為P在OQ的延長線上，且|OQ|：|QP|=3：2,所

以點Q的坐標為35p,9,由于點Q在圓上，所以35P=6cos0-?t6.

故點P的軌跡方程為p=10cos0-7i6.

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共計60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

1.若a>b>l,P=lgaHgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+b2,則

A.R<P<QB.P<Q<R

C.Q<P<RD.P<R<Q

【解析】取a=100,b=10,

此時P=2,Q=32=lgl000,R=lg55=lg3025,比較可知P<Q<R.

【答案】B

2.(2010?龍巖模擬)設(3x+l)25=a0+alx+a2x2+…+a25x25,Jl!l|a0|-|al|+|a2|-|a3|+...-

|a25|等于

A.225B.-225

C.425D.-425

【解析】(3x+1)25=(1+3x)25展開式中項的系數都為正，^|a0|-|al|+|a2|-|a3|+...-|a25|

=a0—al+a2_a3+...—a25,所以只須令x=-1即可.

【答案】B

3.(2010?泉州模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,l),B(—1,3),若點C滿足

OC—=aOAT+BOB一，其中a,pGR,且a+B=l,則點C的軌跡方程為

A.3x+2y-ll=0B.(x-l)2+(y-2)2=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

【解析】通過向量的坐標運算把OC—=aOAT+BOB—轉化為

消去a得x+2y—5=0.

【答案】D

4.如圖，AOAB是邊長為2的等邊三角形，直線x=t截這個三角形位于此直線左方的圖形面

積(見圖中陰影部分)為y，則函數y=f(t)的大致圖象為

C.D.

【解析】當t=l時，面積為32,故排除A、B,當t>l時，隨t增大，面積增大越來越慢.

【答案】D

5.(2010?蕪湖質檢)4枝牡丹花與5枝月季花的價格之和小于22元，而6枝牡丹花與3枝月季

花的價格之和大于24元，則2枝牡丹花和3枝月季花的價格比較結果是

A.2枝牡丹花貴B.3枝月季花貴

C.相同D.不確定

【解析】由已知設牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，則

作出可行域和目標函數t=2x—3y,可求得2x—3y>0,故選A.

體現了實際問題與數學理論的轉化.

【答案】A

6.(2010?聊城模擬)設xGR,如果a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立，那么

A.a>lB.a>1

C.0<a<lD.a<l

【解析】要使不等式恒成立，只須求lg(|x-3|+|x+7|)的最小值.

：y=lg(|x-3|十|x+7|)為增函數，且|x—3|+|x+7|的最小值為10,

.".ymin=lg10=1,...a小于y的最小值.

【答案】D

7.如果實數x,y滿足x2+y2=l,那么(1-xy)(l+xy)有

A.最小值12和最大值1B.最小值34而無最大值

C.最大值1而無最小值D.最大值1和最小值34

【解析】?.,(I—xy)(l+xy)=l—x2y2,

.??當x=0或y=0時,有最大值1,而x2+y2N2xy,

；.x2y2W14,.,.當x2=y2=12時，l-x2y2取得最小值34.

【答案】D

8.(2010?三明模擬)已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋

物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的坐標為

A.14,-1B.14,1

C.(1,2)D.(1,-2)

【解析】依題意，拋物線的焦點F的坐標為(1,0),

設P到準線的距離為d,則由拋物線的定義知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|.

如圖，當PQ〃x軸時，|PF|十|PQ|最小，此時P14,-1,故選A.

【答案】A

9.不等式x2—logaxVO當xWO,12時恒成立，則a的取值范圍是

A.116<a<lB.116<a<l

C.0<a<116D.0<a<116

【解析】構造函數y=x2與y=logax,x2—logax<0,

當xGO,12時恒成立，

即當xGO,12時，y=x2的圖象在y=logax圖象的下方，

所以首先a<l.

當aVl時,如圖，當x=12時，y=14即14=logal2,

.\a=U6,當y=logax圖象繞點(1,0)順時針旋轉時a增大，

【答案】A

10.(2010?杭州模擬)若2x+5yW2—y+5—x,則有

A.x+y>0B.x+y<0

C.x—y<0D.x-y>0

【解析】把不等式變形為2x―5—xV2-y—5y,構造函數y=2x—5—x,其為R上的增函數,

所以有爛一y,故選B.

【答案】B

11.(2010?信陽模擬)已知函數f(x)=13x,等比數列｛an｝的前n項和為f(n)—c,則an的最小值

為

A.-1B.1

C.23D.-23

【解析】al=f(l)—c=13-c,a2=[f(2)-c]-[f(l)-c]=-29,

a3=[f(3)—c]一[f(2)—c]=-227.又數列｛an｝成等比數列，

所以al=a22a3=481—227=-23=13-c,

所以c=l；

又公比q=a2al=13,

所以an=-2313n—l=-213n,nGN*,

因此，數列｛an)是遞增數列，n=l時，an最小，為一23,選D.

【答案】D

12.(2010?福建質檢)已知函數f(x)=l-l—x2,xG[0,l],對于滿足0Vxl<x2Vl的任意xl,

x2,給出下列結論：

①(x2—xl)[f(x2)—f(xl)]VO；

@f(x2)-f(xl)>x2-xl；

③f(x1)+f(x2)2>fxl+x22.

其中正確結論的序號是

A.①B.②

C.③D.①③

【解析】函數f(x)=l—1—x2,xG[O,l]的圖象如圖所示，

結論①可等價為，

即f(x)在xW[O,l]上是單調遞減函數，

結合圖象可知，結論①錯誤；

結論②可變形為f(x2)-f(xl)x2-xl>L

不等式左端的幾何意義是圖象上任意兩點連線的斜率，由圖象知斜率不都大于1,結論②錯誤;

對于結論③，觀察圖象可知，

滿足f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,

所以結論③正確.

【答案】C

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共計16分.把答案填在題中的橫線上)

13.(2009?山東)若函數f(x)=ax-x-a(a>0且a彳1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是

【解析】設函數y=ax(a>0且a#l)和函數y=x+a,則函數f(x)=ax—x—a(a>0且存1)有兩

個零點，就是函數丫=2*伯>0且a，l)的圖象與函數y=x+a的圖象有兩個交點.由圖象可知，

當OVa<1時,兩函數只有一個交點，不符合;當a>1時，因為函數y=ax(a>1)的圖象過點(0,1),

而直線y=x+a的圖象與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點.所以實數a

的取值范圍是a>l.

【答案】a>l

14.(2010?天水模擬)若關于x的方程22x+2xa+a+l=0有實根，則實數a的取值范圍是

【解析】分離變量a=-22x-12x+l=-(2x+l)-22x+l+2W-22+2.

【答案】aG(—co,2—22]

15.(2010?珠海模擬)已知f(t)=log2t,tW[2,8],對于f(t)值域內的所有實數m,不等式x2+

mx+4>2m+4x恒成立，則x的取值范圍是.

【解析】VtS[2,8],/.f(t)ei2,3,

原題轉化為m(x-2)+(x-2)2>0恒成立，

當x=2時，不等式不成立，

:用.

令g(m)=m(x-2)+(x—2)2,mW12,3,

問題轉化為g(m)在m612,3上恒大于0,則

解得x>2或xC-l.

【答案】(-8,—1)U(2,+oo)

16.直線y=k(x+l)+l(k￡R)與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,且橢圓焦點在x軸上，則m

的取值范圍是.

【解析】由橢圓焦點在x軸上，求出m的一個范圍，由直線與橢圓恒有公共點求出m的另

一范圍.

由焦點在X軸上，故m<5.

又直線過定點B(-l,l),此點應在橢圓內部或邊界上，

所以有(-1)25+ImWl,

又m>0,.,.m>54.

【答案】5415

三、解答題(本大題共6小題，共74分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(12分)已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C：x2+y2=l,動點M到圓C的切線長與|MQ|

的比等于常數M九>0),求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么樣的曲線.

【解析】設M(x,y),M到圓的切線長為|MT|,則|MT|=x2+y2-l,

則|MT|=4MQ|,得x2+y2-1=X(x-2)2+y2

兩邊平方整理得(九2一l)(x2+y2)-4?i2x+(4?c2+l)=0

當a=1時，表示直線x=54.

當￥1時、方程為x-2九2入2—12+y2=l+3;12a2—1)2,

M點的軌跡是以點2入2入2—1,0為圓心，1+3入2n2—1|為半徑的圓.

【答案】(X2-l)(x2+y2)-4X2x+(4X2+l)=0略

18.(12分)(2010?陜西)為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行

分層抽樣調查，測得身高情況的統計圖如下：(1)估計該校男生的人數；

(2)估計該校學生身高在170?185cm之間的概率；

(3)從樣本中身高在165?180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170?180cm之

間的概率.

【解析】(1)樣本中男生人數為40,由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數為400.

(2)由統計圖知，樣本中身高在170?185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35(人)，樣本容

量為70,所以樣本中學生身高在170?185cm之間的頻率f=3570=0.5,故由f估計該校學生

身高在170?185cm之間的概率p=05

(3)樣本中女生身高在165?180cm之間的人數為10,身高在170?180cm之間的人數為4.

設A表示事件“從樣本中身高在165?180cm之間的女生中任取2人，至少有1人身高在170?

180cm之間”,

則P(A)=1-C26c210=23或P(A)=C16?C14+C24c210=23.

【答案】⑴400(2)0.5(3)23

19.(12分)(2010?云南曲靖一中模擬)已知a、b、c均為正整數，且存1,等差數列｛an)的首項為

a,公差為b,等比數列｛bn｝的首項為b,公比為a,且a<b,b2<a3,在數列｛an｝和｛bn｝中各

存在一項am與bn,使得am+l=bn,又cn=an—14310g2b2n+13.

(1)求a、b的值；

(2)求數列｛cn｝中的最小項，并說明理由.

【解析】⑴由b2<a3,得ab<a+2b,

Vl<a<b,.*.ab<3b,則l〈a<3.

又a為正整數，，a=2.

Vam+1=bn,.*.2+(m—l)b+1=b?2n-1>

.".b=32n—1—m+1.

Vb￡N*,.,.2n-l-m+l=L故b=3.

(2)Van=2+(n-l)x3=3n-l,

b2n+l=3x22n,

cn=3n—1531og222n=2n(n-5)=2n2—lOn,

.,.當n=2或n=3時，cn取得最小值一12.

故數列｛cn｝中的最小項為c2或c3.

【答案】(l)a=2b=3⑵最小項為c2或c3理由略

20.(12分)某隧道長a(米)，最高限速為v0(米/秒).已知一個勻速行駛的車隊有10輛車，每輛

車長為1米，相鄰兩車之間距離m(米)與車速v(米/秒)的平方成正比，比例系數為k.設自第1輛

車車頭進隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間為t秒.

(1)求函數t=f(v)的解析式，并寫出其定義域；

(2)求車隊通過隧道的時間t的最小值，并求出t取得最小值時v的大小.

【解析】(1)依題意有：

t=f(v)=a+101+9kv2v(0<v<vO).

(2)t=f(v)=a+101v+9kv>29k(a+101).

當且僅當a+10lv=9kv,

即v=a+1019k時等號成立.

①當a+1019k<v0,v=a+1019k時,tmin=6k(a+101).

②當a+1019k>v0時，

f(vO)—f(v)=a+101v0+9kv0—a+101v+9kv

=9k(v-vO)vvOa+1019k-v0v.

v<vO,v0v<v20<a+1019k.

.,.f(v0)-f(v)<0.

當丫=丫0時，tmin=a