說題第四屆初中數學教師基本功說題比賽（備用圖）原題再現

中考題如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．一、審題分析

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．涉及知識點1.正方形的性質、折疊問題；2.全等三角形、相似三角形的判定與性質；3.二次函數的最值。一、審題分析

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．條件分析1.本題通過折疊將全等，相似，函數等知識，融進正方形。2.此圖是正方形，里面有相等的邊和角；折疊前后的圖形全等，這些都是題中的隱含條件。一、審題分析

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．難點、關鍵點1.難點是學生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決。2.利用全等三角形的判定得出相等關系是關鍵．

一、審題分析

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．學情分析

在解題中，學生會出現以下問題：1.推理能力不到位；2.數學思維缺乏嚴謹性；3.缺乏良好的學習習慣。二、解題過程

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；分析：本題由已知可得，四邊形ABCD為正方形AD∥BC∠APB

=∠PBC由折疊可得，∠BPH=∠PBC∠APB=∠BPH證明：∵四邊形ABCD為正方形∴AD∥BC∴∠APB=∠PBC由折疊得，∠BPH=∠PBC∴∠APB=∠BPH二、解題過程

（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；分析（方法1）：由折疊圖形可知∠EPH=90°在正方形中∠A=∠D=90°∠1+∠2=90°∠3+∠2=90°∠1=∠3∠A=∠D=90°△APE∽△DHP然后利用相似三角形的性質求周長。二、解題過程

（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；證明：a4-a答：△PDH的周長不變，為定值8．設BE=a,則AE=4-a，由折疊可知PE=BE=a，∵∠EPH=90°∴∠1+∠2=90°∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∵∠A=∠D=90°∴△APE∽△DHP=評析這種解法用的是設而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。二、解題過程

（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；分析（方法2）：

在第（1）題中已證出∠APB=∠BPH，讓這兩個角存在于兩個三角形來解決，因此構造輔助線，作BQ⊥PH，利用三角形全等將分散的條件集中到正方形的邊上解決。二、解題過程

（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的論；答：△PDH的周長不變，為定值8．證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵

AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°BH=BH，∴△

BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PDH的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

評析這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進行了轉化，利用三角形全等的知識，得出相等線段把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為已知，使問題迎刃而解。二、解題過程

（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．由折疊可知，折疊前后的圖形全等，因此本題可求直角梯形BCFE的面積。分析：

在直角梯形BCFE中，高BC=4，求面積就需要知道上下底的長。因此通過作輔助線來求上下底。二、解題過程（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．M證明：過F作FM⊥AB，垂足為M，則MF=BC=AB.又∵EF為折痕，∴EF⊥BP.∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x在Rt△APE中，解得∴∴當x=2時，S有最小值6．xx三、總結提升

本題以正方形為載體，將折疊融入圖形，出現了很多相等的角和邊，這為證明三角形全等提供了依據，熟練利用全等三角形的判定是解題重要環節。2.數學思想：數形結合思想，方程思想，函數思想，轉化思想。勾股定理的運用求四邊形的面積求三角形的周長和四邊形的面積1.解題規律：三、總結提升3.題目變式：在原題的條件下，還可得以下結論：⑴求證：∠PBH=45°；⑵求證：S△PBH

=S△ABP

+S△BCH

；⑶當PH=m

時，則S△DHP=16-4m逆向探究：在原題的條件下，已知△DHP的周長為8.求△BPH面積的最小值。

評析拓展提升題有助于學生鞏固所學知識，提高思維能力，培養學生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發學生學習興趣，從而使學生學習積極性和主動性都得到提高.

評析加強逆向思維的訓練，可改變思維結構，培養思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學中應注重逆向思維的培養與塑造，以充分發揮學生的思考能力，訓練其思維的敏捷性，從而激發學生探索數學奧秘的興趣。三、總結提升4.解后反思：（1）加強書寫的要求；（2）重視邏輯推理能力的培養；（3）重視思維訓練，突出數學思想方法的教學；（4）運用變式訓練，改變問題的呈現方式。圖亂，書寫亂！圖形是全等，不是相等！沒有這樣的已知條件，推理不著邊際！憑直觀做題，找不到解決問題的途徑！作輔助線要用虛線，做到規范做題！此題要有推理過程，不能根據測量得出！自己造概念！做題要冷靜！證明這兩條線段相等與上面的方法不一樣，因此不能用“同理”！思路很清晰，可能解題存在畏懼感，沒有把題解完！

在我們的教學過程中，我想拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起到以一當十、以少勝多的效果，增大課堂的容量，培養學生各方面的技能，定能收到做一題得一法，會一類通一片的效果。結束語：謝謝各位評委老師！活動后的感受一、緊張、充實、有效尋找問題聽取意見修改完善認真聆聽揣摩分析活動后的感受二、解決了幾個誤區1.業務考試數學是研究

的科學，這一觀點是由

首先提出的。數量關系和空間形式

恩格斯從數學史上看，有理數的概念傳入我國存在著翻譯上的錯誤，其原意是

數包括________小數和

小數，________的發現，引發了第一次數學危