七年級

第一章有理數

1、有理數：整數和分數統稱為有理數。有理數包括有限小數或無限循環小數。

整數：正整數、0、負整數；分數：正分數、負分數。

2、數軸：(1)四要素：直線、原點、正方向、單位長度。(2)正數在原點的右邊，負數在原點的左

邊，數軸上右邊的數總大于左邊的數。

3、相反數：只有符號相同的兩個數叫做互為相反數。(1)如果a.b互為相反數，那么*b=0。(2)

互為相反數的兩數位于數軸上原點的兩側，且到原點的距離相等。

4、絕對值：表示數a的點與原點的距離叫數a的絕對值。(1)正數的絕對值是它本身；負數的絕對值

是它的相反數；0的絕對值是0o(2)兩個負數，絕對值大的反而小。

5、有理數的加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互

為相反數的兩個數相加和為0o③一個數與0相加，仍得這個數。

@運算律：交換律升b=b+&結合律(*b)+c=*(b+c)。

6、有理數的減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

7、化簡規則：①同號結合；②同分母的結合；③互為相反數的結合；④湊整結合。

8、乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

②任何數同0相乘，都得0o③乘積是1的兩個數互為倒數。

④幾個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數。⑤運

算律：交換律ab=ba;結合律(ab)c=a(bc);分配律a(b+c)=ab+aco

9、除法法則：①除以一個不等于。的數，等于乘這個數的倒數。②兩數相除，同號得正，異號

得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。

10、有理數的乘方：屋中，a叫底數，n叫指數，整個結果叫鬲。

①負數的奇次塞是負數，負數的偶次幕是正數。

②正數的任何次鬲都是正數，。的任何正整數次鬲都是0.

11、運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減。②同級運算，從左到右進行。

③有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號依次進行。

14科學計數法：axlOn,1<?<10,n是整數。如果大于10,n比整數位小一；如果是小于1的小數,

從左數第一個不為零的數前面有幾個零，n就是負幾次方。

13、有效數字：從一個數的左邊第一個不為零的數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效

數字。

第二章整式加減

1、整式：⑴單項式：只含有數或字母的積的式子叫單項式。（單獨一個字母或數字也是單項式）；系

數：單項式中的數字因數；次數：單項式中，所有字母的指數和。

⑵多項式：①項：每一個單項式（注意帶符號）。②次數：多項式里次數最高的項的次數。

2、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項。

3、合并同類項：系數相加，字母和字母的指數不變。

第三章一元一次方程

1、等式的性質一：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。

等式的性質二：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為。的數，結果仍相等。

2、一元一次方程的解法：去分母-去括號-移項-合并同類項-系數化為一。

注意：①去分母：兩邊同乘分母的最小公倍時，每一項都不能漏乘。

②去括號："去正不變，去負全變"。

③移項：是從等號一端移到另一端，移項要變號。

④合并同類項：系數相加減做系數，字母和字母的指數不變。

⑤系數化為一

h

3、一元一次方程的解的討論：ax=b①當步0時，方程有唯一解為x=-

a

②當40而b=0時，方程有無數個解。③當a=0而故0時，方程沒有解。

第四章圖形的認識

1、直線、射線、線段：

①兩點確定一條直線。②兩點之間線段最短。③線段的比較：度量法和疊合法。

④兩點間的距離：連接兩點間線段的長度。⑤線段中點：將線段平均分成兩部分

2、2、角：①有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角。

②角的換算：1周角=360°；1平角=90°；1°=60'；1'=60"。③角的比較：度量法和疊合法。

④角的運算：加減乘除；度與度相運算，分與分相運算，秒與秒相運算。

⑤余角和補角：A、B互余-A+B=90°；A、B互補-A+B=180。。等角的補角相等，等角的余角相

等。⑥角平分線：將角平均分成兩份，畫法：尺規作圖或量角器。

第五章相交線與平行線

1、三線八角：對頂角（相等），鄰補角（互補），同位角，內錯角，同旁內角。

2、垂直的性質：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3、垂線段最短。

4、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度。

5、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行。

6、平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行。②內錯角相等，兩直線平行。③同旁內角互補，兩直線平行。

推論：垂直于同一直線的兩直線互相平行。

7、平行線的性質：

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補。

8、平移：①平移前后的兩個圖形形狀大小不變，位置改變。②對應點的線段平行且相等。

9、命題分為題設和結論兩部分；題設是如果后面的，結論是那么后面的。

命題分為真命題和假命題兩種；定理是經過推理證實的真命題。

第六章平面直角坐標系

1、對應關系：平面直角坐標系內的點與有序實數對一一對應。

2、平面內兩條互相垂直、原點重合組成的數軸組成平面直角坐標系。

水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；

豎直的數軸為V軸或縱軸,取向上為正方向；

兩個坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

3、各象限點的坐標符號：(注意：坐標軸上的點不屬于任何一個象限)

4、特征坐標：

x軸上縱坐標為0;y軸上f橫坐標為0;

一三象限夾角平分線上-橫縱坐標相等；

二四象限夾角平分線上-橫縱坐標互為相反數。

5、對稱規律：

關于x軸對稱-橫坐標不變，縱坐標互為相反數;

第三象限第四象限關于y軸對稱-橫坐標互為相反數，縱坐標不變;

關于原點對稱-橫縱坐標都互為相反數。

6、平移規律：左右平移-縱坐標不變，橫坐標左減右加；上下平移f橫坐標不變，縱坐標上加下減。

第七章三角形

1、三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2、三條重要的線段：

高：過頂點作對應邊的垂線段

中線：連接頂點與對應底邊中點的線段

角平分線：角的平分線與對應邊相交所得的線段

3、三角形的內角和等于180。，外角和等于360。.

4、三角形的外角：三角形的一個外角等于與他不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

5、多邊形的內角和等于(“-2)x180。，多邊形的外角和是360。。

n(n-3)

6、多邊形的對角線：過一個頂點可作(n-3)條，共有條。

7、平面鑲嵌：在一個頂點處的各角和為360度。

單獨可鑲：正三角形，正方形，正六邊形。

兩種組合鑲嵌：邊數成倍數關系

第八章二元一次方程組

1、二元一次方程：兩個未知數，所含未知數的項的次數都是1

2、二元一次方程組：兩個未知數相同的二元一次方程組合在一起

3、二元一次方程組的解法：

①代入消元法：由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，

再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。

②加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或

相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，再求解。

③消常數法：當兩個方程的常數項相同或相反時，把這兩個方程相減或相加，消去常數，得出兩個未

知數間的關系，再代入其中一個方程求解。

4、二元一次方程組的解：同時滿足這兩個方程的一組未知數的值。

5、實際應用：審題-設未知數-列方程組-解方程組-檢驗-作答。

第九章不等式與不等式組

1、不等式：含有">"、"<"、""、"W"、"。"的式子

2、一元一次不等式：一個未知數，未知數的次數是1的不等式

3、不等式的性質：

①不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向改變。

②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

③不等式兩邊乘（或除以）同一負數，不等號的方向改變。

4、不等式的解法：同一元一次方程一樣，注意符號和不等號方向。

5、不等式組的解："大大取大"，"小小取小"，"大小小大取中間"，"大大小小是無解"。

第十章數據的收集、整理與描述

1、數據處理一般包括收集數據、整理數據、描述數據和分析數據等過程。

（1）通過調查收集數據的一般步驟：

①明確調查問題②確定調查對象③選擇調查方法④展開調查⑤記錄結果⑥得出結論

（2）收集數據常用的方法：①民意調查：如投票選舉②實地調查：如現場進行觀察、收集、統計數

據③媒體調查：報紙、電視、電話、網絡等調查都是媒體調查。

2、數據的表示方法：

（1）統計表：直觀地反映數據的分布規律（2）折線圖：反映數據的變化趨勢

(3)條形圖：反映每個項目的具體數據(4)扇形圖：反映各部分在總體中所占的百分比

(5)頻數分布直方圖：直觀形象地反映頻數分布情況6)頻數分布折線圖：在頻數分布直方圖的基

礎上，取每一個長方形上邊的中點，和左右頻數為零與直方圖相距半個組距的兩個點

3、調查方式：(1)全面調查，優點是可靠八真實；(2)抽樣調查，優點是省時、省力，減少破壞性；

隨機抽樣調查具有廣泛性和代表性。。

4、總體和樣本：(1)總體：要考察的所有對象(2)個體：組成總體的每一個考察對象

(3)樣本：從總體中抽出的所有實際被調查的對象組成一個樣本。

(4)樣本容量：樣本中給個體的數目

5、組距：每個小組兩個端點之間的距離

6、畫直方圖的一般步驟：

(1)計算最大值與最小值的差；

(2)決定組距與組數，先根據數據個數確定組距，再計算組數，

注意無論整除與否，組數總是比商的整數位數多1；

(3)確定分點，并分組；

(4)列頻數分布表；(5)繪制頻數分布直方圖

八年級

第十一章全等三角形

1.全等三角形的性質：全等三角形對應邊相等、對應角相等。

2.全等三角形的判定：三邊相等(SSS)、兩邊和它們的夾角相等(SAS)兩角和它們的夾邊(ASA1兩

角和其中一角的對邊對應相等(AAS1斜邊和直角邊相等的兩直角三角形(HL1

3.角平分線的性質：角平分線平分這個角，角平分線上的點到角兩邊的距離相等

4.角平分線推論：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在叫的平分線上。

5.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：①、確定已知條件(包括隱含條

件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系)，②、回

顧三角形判定，搞清我們還需要什么，③、正確地書寫證明格式(順序和對應關系從已知推導出要證明的

問題）.

第十二章軸對稱

1.如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；

這條直線叫做對稱軸。

2.軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

3.角平分線上的點到角兩邊距離相等。

4.線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。

5.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

6.軸對稱圖形上對應線段相等、對應角相等。

7.畫一圖形關于某條直線的軸對稱圖形的步驟：找到關鍵點，畫出關鍵點的對應點，按照原圖順序依

次連接各點。

8.點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為（x,-y）

點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為（-xy）

點（x,y）關于原點軸對稱的點的坐標為

9.等腰三角形的性質：等腰三角形的兩個底角相等，（等邊對等角）

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡稱為"三線合一”。

10.等腰三角形的判定：等角對等邊。

11.等邊三角形的三個內角相等，等于60°,

12.等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等腰三角形。

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。

13.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

14.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

第十三章實數

派算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么正數x叫做a的算術平方根，記

作。的算術平方根為0；從定義可知，只有當azO時,a才有算術平方根。

米平方根：一般地，如果一個數x的平方根等于a,即x2=a,那么數x就叫做a的平方根。

派正數有兩個平方根（一正一負）它們互為相反數；。只有一個平方根，就是它本身；負數沒有平方根。

派正數的立方根是正數；0的立方根是0;負數的立方根是負數。

‘自然數(0,1,2,3…)

、負整數(一1,-2,-3…)

有理數正分數（工，2...）（整數、有限小數、無限循環小數）

分數（小數）＜

實數12

負分數（—-,——

正有理數

無理數（無限不循環小數

負有理數

數a的相反數是-a,一個正實數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0

-y/ax-fb=4ab[a>Q,b>0)-(a>0,6>0)

第十四章一次函數

1.畫函數圖象的一般步驟：一、列表（一次函數只用列出兩個點即可，其他函數一般需要列出5個以

上的點，所列點是自變量與其對應的函數值），二、描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，

相應函數的值為縱坐標，描出表格中的個點，一般畫一次函數只用兩點），三、連線（依次用平滑曲線

連接各點X

2.根據題意寫出函數解析式：關鍵找到函數與自變量之間的等量關系，列出等式，既函數解析式。

3.若兩個變量x,y間的關系式可以表示成度kx+b（k。0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量,y為因

變量）。特別地當b=0時，稱y是x的正比例函數。⑴A

1)

b.>0⑴

b.>0⑴/2)

b=0⑵

b=0(2)

b<0(3)

b<0(3)

4.正比列函數一般式：戶kx（原0）,其圖象是經過原點（0,0）的一條直線。

5.正比列函數戶kx（kw0）的圖象是一條經過原點的直線，當k>0時，直線y-kx經過第一、三象限,y

隨x的增大而增大，當k<0時，直線度kx經過第二、四象限,y隨x的增大而減小，在一次函數度kx+b

中：當k>0時,y隨x的增大而增大；當k<0時,y隨x的增大而減小。

6.已知兩點坐標求函數解析式（待定系數法求函數解析式）:

把兩點帶入函數一般式列出方程組

求出待定系數

把待定系數值再帶入函數一般式，得到函數解析式

7.會從函數圖象上找到一元一次方程的解（既與x軸的交點坐標橫坐標值），一元一次不等式的解集，

二元一次方程組的解（既兩函數直線交點坐標值）

第十五章整式的乘除與因式分解

1.同底數幕的乘法

米同底數鬲的乘法法則：=a"'（mn都是正數）是鬲的運算中最基本的法則，在應用法則運算時，要

注意以下幾點：

①法則使用的前提條件是：鬲的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數字式字母，也可以

是一個單項或多項式；

②指數是1時，不要誤以為沒有指數；

③不要將同底數鬲的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加；而對于加法，

不僅底數相同，還要求指數相同才能相加；

④當三個或三個以上同底數塞相乘時，法則可推廣為（其中nn、p均為正數）;

m+nmn

⑤公式還可以逆用：a=a-a（n均為正整數）

2.寨的乘方與積的乘方

派1.鬲的乘方法則：（。加）"（mn都是正數）是鬲的乘法法則為基礎推導出來的，但兩者不能混淆.

米2（a?=（優T都為正數）.

派3.底數有負號時，運算時要注意,底數是a與（-a）時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底,

如將（-a”化成國

優（當〃為偶數時）,

一般地，（一"=<

-（當〃為奇數時）.

派4.底數有時形式不同，但可以化成相同。

派5.要注意區別（ab）n與（a+b）噫義是不同的，不要誤以為（*b）三打^（ab均不為零）。

派6.積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘，即（濡）"（n

為正整數）。

派7.鬲的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

3.整式的乘法

X（1）.單項式乘法法則:單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有

的字母，連同它的指數作為積的一個因式。

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

①積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將系數相乘與

指數相加混淆；

②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；

③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

米（2）.單項式與多項式相乘

單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相

乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；

③在混合運算時，要注意運算順序。

米（3）.多項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多

項式項數的積；

②多項式相乘的結果應注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘（x+a）（x+份=/+（a+"）x+M,其二次

項系數為1,一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對于一次項系

數不為1的兩個一次二項式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得（町+a）（依+勿=機〃仍+機a）x+"

4.平方差公式

口1.平方差公式：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，

X即（a+，）（Q_0）=，—Z?2

口其結構特征是：

①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；

②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

5.完全平方公式

01.完全平方公式：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，

口gp（a+b）2=a~+2ab+b~.

口口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；

口2.結構特征：

①公式左邊是二項式的完全平方；

②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

口3.在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現（。士人產=/±/這樣的錯

誤。

添括號法則：添正不變號，添負各項變號，去括號法則同樣

6.同底數塞的除法

※入同底數塞的除法法則:同底數塞相除，底數不變，指數相減，即鵬("0,n\n都是正數，且

m>n).

派2.在應用時需要注意以下幾點：

①法則使用的前提條件是“同底數鬲相除"而且0不能做除數,所以法則中*0.

②任何不等于0的數的。次累等于1,即=1("°),如10°=1,(25°=1),則0°無意義.

P1

〃-〃=--

③任何不等于0的數的-P次鬲(p是正整數),等于這個數的p的次鬲的倒數，即療(*O，P是正整數)，而

0",。3都是無意義的;當>0時,a-p的值一定是正的；當*0時,a-P的值可能是正也可能是負的，如

,131

(-2/(-2)-3=--

48

④運算要注意運算順序.

7.整式的除法

。1.單項式除法單項式

單項式相除，把系數、同底數得分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的

指數作為商的一個因式；

口2.多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以

單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。

8.分解因式

米1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.

派2.因式分解與整式乘法是互逆關系.

因式分解與整式乘法的區別和聯系:

(1)整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；

⑵因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.

分解因式的一般方法：

1.提公共因式法

派1.如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘

積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.

如：ab+ac=a(b+c)

米2.概念內涵：

⑴因式分解的最后結果應當是"積"；

⑵公因式可能是單項式，也可能是多項式；

⑶提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律，即：ma+mb-mc=m(a+b-c)

派3.易錯點點評：

⑴注意項的符號與寨指數是否搞錯；

⑵公因式是否提"干凈"；

⑶多項式中某一項恰為公因式,提出后，括號中這一項為+1,不漏掉.

2.運用公式法

派1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.

派2.主要公式：

⑴平方差公式：a1-b~=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：。2+2。》+/=(。+份2

a2-2ab+b~-(a-b)2

口3.易錯點點評：

因式分解要分解到底.如x4-/=(x2+y2)(x2-/)就沒有分解到底.

運用公式法：

⑴平方差公式:

①應是二項式或視作二項式的多項式；

②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方；

③二項是異號.

⑵完全平方公式：

①應是三項式；

②其中兩項同號，且各為一整式的平方；

③還有一項可正負，且它是前兩項鬲的底數乘積的2倍.

3.因式分解的思路與解題步驟：

⑴先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

⑵再看能否使用公式法；

⑶用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的；

(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解；

⑸因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.

4.分組分解法：

派1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.

如：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)

X2.概念內涵：

分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續分解，分組后是否可利用

公式法繼續分解因式.

派3.注意：分組時要注意符號的變化.

5.十字相乘法：

.對于二次三項式依2+bx+c，將a和c分別分解成兩個因數的乘積且滿足

ai\/5

人=。凸+。2%往往寫成皿/°2的形式，將二次三項式進行分解.

2

如：ax+bx+c={axx+q)(^2x+c2)

X2.二次三項式必+px+q的分解：

p=a+bq=ab1\/ax2+px+q=(x+a)(x+b)

1/^-b

派3.規律內涵：

⑴理解:把尤2+px+q分解因式時，如果常數項q是正數，那么把它分解成兩個同號因數，它們的符號與一次

項系數p的符號相同.

⑵如果常數項q是負數，那么把它分解成兩個異號因數，其中絕對值較大的因數與一次項系數p的符號相

同,對于分解的兩個因數，還要看它們的和是不是等于一次項系數p.

派4.易錯點點評：

⑴十字相乘法在對系數分解時易出錯；

⑵分解的結果與原式不等,這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確.

AAC

第十六章分式后F

A

1.分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子?叫做分式。

B

分式有意義的條件是分母不為零，分式值為零的條件分子為零且分母不為零-=—

BB-C

2.分式的基本性質：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。

ac_acac_adad

(CoO)bdbd'bdbebe

3.分式的通分和約分：關鍵先是分解因式

4.分式的運算：

分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。

分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。0±2=且=士￡=幽±處=性為b

cccbabababa

分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變

為同分母分式，然后再加減

混合運算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。

5.任何一個不等于零的數的零次鬲等于1,即/=1(。。0);當n為正整數時，。一'=[(。。0)

a

6.正整數指數事運算性質也可以推廣到整數指數鬲.（mn是整數）

（1）同底數的鬲的乘法：。m.屋=屋，+"；

（2）鬲的乘方?）"=*;

（3）積的乘方：（"）"=/〃；

（4）同底數的鬲的除法:a+a"=尸（內0）；

（5）商的乘方：（少=*（）；（故0）

7.分式方程：含分式，并且分母中含未知數的方程——分式方程。

解分式方程的過程，實質上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母），把分式方程轉化為整式方程。

解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為0,這樣就產生了增根，因此分式

方程一定要驗根。

解分式方程的步驟：

⑴能化簡的先化簡⑵方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；⑶解整式方程；（4）驗根.

增根應滿足兩個條件：一是其值應使最簡公分母為0,二是其值應是去分母后所的整式方程的根。

分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是

原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。

列方程應用題的步驟是什么？⑴審；⑵設；⑶列；（4）解；⑸答.

應用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有五種：⑴行程問題：基本公式：路程=速度x時間而行

程問題中又分相遇問題、追及問題.⑵數字問題在數字問題中要掌握十進制數的表示法.⑶工程問

題基本公式：工作量=工時X工效.（4）順水逆水問題V順水=v靜水+v水.V逆水=v靜水-v水.

8.科學記數法：把一個數表示成。X10"的形式（其中lMa<10,n是整數）的記數方法叫做科學記數法.

用科學記數法表示絕對值大于10的n位整數時，其中10的指數是1

用科學記數法表示絕對值小于1的正小數時，其中10的指數是第一個非。數字前面。的個阜（包括小臀點

前面的一個°）個二工7

第十七章反比例函數/

1.定義：形如y=&（k為常數，原0）的函數稱為反比例函數。其他形式斫ky=kx~ly=k-

XX

2.圖像：反比例函數的圖像屬于雙曲線。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條

對稱軸：直線廣x和y^-Xo對稱中心是：原點

3.性質:當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大吵#爾;

當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而燧疝一

4.|k|的幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸3流黑形的面積。

5.反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面在意點，走形面積都

不變，對稱軸是角分線x、y的順序可交換。

1、反比例函數的概念

一般地，函數y=A（k是常數，k/0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成y=的形

式。自變量x的取值范圍是XA0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。

2、反比例函數的圖像

反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它

們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量xoO,函數yoO,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，

即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

3、反比例函數的性質

反比例k

、=勺（左。0）

函數工

k的符

k>0k<0

號

①x的取值范圍是xoO,①X的取值范圍是XHO,

y的取值范圍是y/0;y的取值范圍是"0;

性質②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內，y在第二、四象限。在每個象限內，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數解析式的確定

確定及讀是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數y=&中，只有一個待定系數，因此只需要一對

對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數中反比例系數的幾何意義

如下圖，過反比例函數y=々左。0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN，則所得的矩形PMON

的面積S二PM?PN=H?\x\=\xy\o

y=xy=k,S=|劉。

第十七章反比例函數

1.定義：形如y=A（k為常數，kA0）的函數稱為反比例函數。其他形式斫ky=kx^y=k-

XX

2.圖像：反比例函數的圖像屬于雙曲線。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條

對稱軸：直線廣x和y^-Xo對稱中心是：原點

3.性質:當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；

當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。

4.|k|的幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。

二次根式知識點歸納

定義：一般的，式子〃(a20)叫做二次根式。其中“，”叫做二次根號，

二次根號下的a叫做被開方數。

性質：1、|G(a2O)是一個非負數.即

2、|行=|a|艮—20,等于a;av0,等于?a

3

(y/a)2=a(a^O)

4、|=.(a20,b20)|

反過來：|?y/i(a20,b20)|

5、索=聆(a＞0,b＞0)

第十八章勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么3+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長ab,c滿足#+b2=c2。,那么這個三角形是直角三角形。

3.經過證明被確認正確的命題叫做定理。

我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它

的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)AB〃CD.AD〃BC

AB^CD,AD=BC

AOCOBO4X3

4.直角三角形的性質

(1＞直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下：△C=90。n乙A+LB=90。

(2＞在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°]

可表示如下：JnBC=^AB

△C=90°

(3＞直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

△ACB=90°

nCD」AB=BD=AD

可表示如下：

2

D為AB的中點

ADB

5s攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的

攝影和斜邊的比例中項

Z_ACB=90°]]CD2=AD?BD

ay

nAC2=AD?ABjI

CD±ABBC?=BD?AB

&常用關系式

由三角形面積公式可得：AB?CD=AC?BC

7、直角三角形的判定

1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關系=°2,那么這個三角形是直角

三角形。

&命題、定理、證明

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個完整的句子；

（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）

真命題（正確的命題）

命題Y

假命題（錯誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

(1)根據題意，畫出圖形。

(2)根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。

(3)經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

9、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。

(2)要會區別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關系：可以證明兩條直線平行。

數量關系：可以證明線段的倍分關系。

常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

10數學口訣.

平方差公式:平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首士尾括號帶

平方，尾項符號隨中央。

第十九章四邊形

平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

2.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；A

3.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

矩形的性質：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線平分且相等。AC=BDA/r-

矩形判定定理：1.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.對角線相等的平行四邊形是矩形。

3.有三個角是直角的四邊形是矩形。

菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

菱形的性質：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

菱形的判定定理：1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形人

3.四條邊相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2xab（認b為兩條對角線）

正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。R

正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

正方形判定定理：1.鄰邊相等的矩形是正方形。2.有一個角是直角的菱形是正方形。

梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形

等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。

等腰梯形的性質：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。

解梯形問題常用的輔助線：如圖

線段的重心就是線段的中點。平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點。三角形的三條中線交于疑點，這一點就

是三角形的重心。寬和長的比是舟土（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形。

2

第二十章數據的分析

1.加權平均數：加權平均數的計算公式。權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。

學會權沒有直接給出數量，而是以比的或百分比的形式出現及頻數分布表求加權平均數的方法。

2.中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這

組數據的中位數(median);如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。

3.眾數：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數(modeX

4.極差：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差(range)。

5.方差：方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，就越穩定。

6.平均數：平均數受極端值的影響眾數