第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式人教A版2019選擇性必修二第四章

數(shù)列目錄CONTENTS教學(xué)過(guò)程教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)1234課堂小結(jié)1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.教學(xué)目標(biāo)1掌握等差數(shù)列的概念、等差中項(xiàng)及其通項(xiàng)公式。教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用通項(xiàng)公式解決問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)重難點(diǎn)2一

、等差數(shù)列的定義二

、等差中項(xiàng)三

、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式教學(xué)過(guò)程3問(wèn)題1

觀察下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，回答下面的問(wèn)題.(1)近5屆冬奧會(huì)舉辦的時(shí)間：2006,2010,2014,2018,2022；(2)我國(guó)確定鞋號(hào)的腳長(zhǎng)值以毫米為單位來(lái)表示，常用的中國(guó)鞋號(hào)按從大到小的順序可排列為：45,44,43,42,41,40，…；(3)為增強(qiáng)體質(zhì)，學(xué)校增加了體育訓(xùn)練的項(xiàng)目，下面記錄了某班內(nèi)5名男生1分鐘內(nèi)引體向上的個(gè)數(shù)：10,10,10,10,10.以上數(shù)列有什么共同特征？一

、等差數(shù)列的定義提示

對(duì)于(1)，我們發(fā)現(xiàn)2010－2006＝4,2014－2010＝4,2018－2014＝4,2022－2018＝4，也就是說(shuō)該數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).對(duì)于(2)有44－45＝－1,43－44＝－1，….對(duì)于(3)，10－10＝0，有同樣的取值規(guī)律.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

都等于

，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，公差通常用字母

表示.2差同一個(gè)常數(shù)公差d例1

(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16√√√由等差數(shù)列的定義得，A項(xiàng)d＝0，故是等差數(shù)列；B項(xiàng)d＝3，故是等差數(shù)列；C項(xiàng)d＝

，故是等差數(shù)列；D項(xiàng)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，故不是等差數(shù)列.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個(gè)量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個(gè)量，那么就可以求出第四個(gè)量，在這四個(gè)量中，a1和d是等差數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解.反思感悟利用定義法判斷等差數(shù)列：從第2項(xiàng)起，檢驗(yàn)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是否都等于同一個(gè)常數(shù)，若是同一個(gè)常數(shù)，則是等差數(shù)列，否則不是等差數(shù)列.問(wèn)題2由等差數(shù)列的定義可知，如果1，x，3這三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，你能求出x的值嗎？提示由定義可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.二

、等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的

，且2A＝

.注意點(diǎn)：(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，且唯一.(2)等差中項(xiàng)的幾何意義是兩個(gè)實(shí)數(shù)的平均數(shù)，即A＝(3)a3是a1和a5的等差中項(xiàng)，特別注意序號(hào)之間的關(guān)系.等差中項(xiàng)a＋b例2

已知m和2n的等差中項(xiàng)是4,2m和n的等差中項(xiàng)是5，則2m－n和2n－m的等差中項(xiàng)是A.8 B.6 C.4.5 D.3√∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴2m－n和2n－m的等差中項(xiàng)是問(wèn)題3

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？提示設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由等差數(shù)列的定義可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…歸納可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).三

、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).問(wèn)題4

觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？提示由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)當(dāng)x＝n時(shí)的函數(shù)值，即an＝f(n)，點(diǎn)(n，an)則是函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)圖象上的均勻分布的孤立的點(diǎn)，而d是直線f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，記為d＝

(n≥2)，實(shí)際上，如果已知直線上任意兩點(diǎn)(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝

，公差d的符號(hào)決定了數(shù)列的單調(diào)性，d>0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，d＝0時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列，d<0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.1.首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝

.2.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)點(diǎn)(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為

，在y軸上的截距為

；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加

.a1＋(n－1)dda1－dd例3

在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意知所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.例4

等差數(shù)列20,17,14,11，…中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是A.第7項(xiàng)

B.第8項(xiàng)C.第9項(xiàng)

D.第10項(xiàng)√∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.∴數(shù)列中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第8項(xiàng).等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個(gè)量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個(gè)量，那么就可以求出第四個(gè)量，在這四個(gè)量中，a1和d是等差數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解.反思感悟等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四