必修1第一章

§1-1集合及其運算

【自主學習】

1.元素與集合的關系:用—或—表示；

2.集合中元素具有、、

3.集合的分類：

①按元素個數可分：—限集、—限集；②按元素特征分：數集，點集等

4.集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規律的無限集，如N={(),1,2,3,???)；

②描述法

③字母表示法:常用數集的符號：自然數集N；正整數集N*或M；整數集Z；有理數集Q、實數集R;

5.集合與集合的關系:

6.熟記：①任何一個集合是它本身的子集;②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；

③如果AqB,同時3qA,那么4=8；如果Au&BqC,那么.④〃個元素的子集有2"個；〃個

元素的真子集有2"—1個；"個元素的非空真子集有2"-2個.

7.集合的運算(用數學符號表示)

交集AnB=；

并集AUB=：

補集C,A=，集合U表示全集.

8.集合運算中常用結論：

AcAB=B=B

【典例講解】邊聽邊練邊落實

例1.集合A={x|3?x<7},8={x[2<x<10},求AB,AB,(QA)B

例2.已知集合M={y|y=f+1},N={x|y-yJx-\,xGR},求MDN

例3.集A={-1,3,2m—1},集B={3,m2}.若BQA,則實數m=

【及時練習】

1.下列關系式中正確的是（）

A.060B.0G{0}C.0C{0}D.{0}<=0

2.設A/=k/+%+2=0,%€A},a=lg（lgl0）,則{a}與M的關系是（）

A.{a}=MB.MU{a}C.{a}史MD.Mo{a}

x+y=3

3.方程《■解集為

2x—3y=1

4.全集/={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3}B={2,5,6,7},則AB=,AB

—>(C,A)B—

【課后作業】

1.已知全集〃=凡且4={幻為一1>2},

2

B={x|x-6x+8<0},KO(C6,A)B等于=OA.[-1,4)B.(2,3)C.(2,3]D.(3,4)

2.設集合人=卜,一2M2,xeR},3={y|y=—x2,},則CR(AB)等于()

A.(-oo,01B.1x|xeOjC.(0,+oo)D.0

3.已知全集。=2,A={-l,0,l,2},6={x|f=x}則4q,B為

4.A={X|X2+X-6=0),3={劃如+1=0},且AB=A,滿足條件的機集合是

5.己知全集U={2,4,1—a},A={2,^-a+2],如果6A={—1},那么a的值為一

必修1第一章

§1-2函數的概念及定義域

【自主學習】

1.定義：設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系￡使對于集合A中的一個數x,

在集合B中確定的數f(x)和它對應，那么就稱/:Af8為集合A到集合的一個,記

作：___________________

2.函數的三要素、、

3.函數的表示法：解析法(函數的主要表示法)，列表法，圖象法；

4.同一函數：相同，值域,對應法則.

5.求函數定義域的依據：

①分式分母有意義，即分母不能為0;

②偶式分根的被開方數非負，人有意義集合是{x|x20}

③0°無意義

④指數式、對數式的底a滿足：{a[a>o,a￥l},對數的真數N滿足：{N|N>0}

【典例講解】邊聽邊練邊落實

例1.判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為()

小(x+3Xx-5).

⑴M=-------;----，%=%—5；

%+3

(2)%=Jx+1Jx-l,y2=y/(x+l)(x-l)；

⑶/(x)=x，g(x)=yfx^;

⑷/(x)=Nx，-X3，F(x)=Xyjx-l；

⑸/@)=(j2%-5)2,f2(x)=2x-5.

A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(4)D.(3)、

x+2(x<-1)

例2.設/(幻=</(-1<%<2),若/(x)=3,貝！]x=

2x(x>2)

例3已知f(x)是一次函數,且滿足3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,求/(x)

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.函數/0)=^^+館(3%+1)的定義域是()

J1—x

A.(-g,-K>o)B.(一；』)C.(一g，g)

D.y,一二

(X—2,(x210)…,

2,設/(無)=4則/(5)的值為()

A.10B.11C.12D.13

3.求函數y=X耳的定義域

【課后作業】

1.設函數/(x)=2x+3,g(x+2)=/(x),則g(x)的表達式是()

A.2x4-1B.2x—1

C.2x—3D.2x+7

x—2

2.函數y二十二3的定義域

3.設/(x)-3X+2,求/(x+1)

4.已知/'(X—2)=2——9x+13,求/(x).

§1-3函數的表示與值域

【自主學習】

1.函數的表示法：,,

2.函數的值域：｛f（x）|xeA｝為值域。

3.求值域的常用的方法：

①配方法（二次或四次）；②判別式法；③反解法；④換元法（代數換元法）；⑤不等式法；⑥單調函數

法.

4.常用函數的值域，這是求其他復雜函數值域的基礎。

①函數y=履+N**O,xeR）的值域為R;

②二次函數y=a,+bx+c（"O,xeR）

當a>0時值域是產c-J+8）,

4a

當a<0時值域是（-^o.4ac-b21，

4a

③反比例函數y=工。,*H0）的值域為｛）""。｝；

④指數函數y=/（a>0,且加LxeR）的值域為R+;

⑤對數函數y=logrtx（〃>0,且〃工1,%>0）的值域為R；

⑥函數丁=$皿羽丁=85忒￥￡2的值域為［-1,1］；

⑦函數戶taiu,xwk〃+m,y=cotx（xwbrMcZ）的值域為R；

【課后作業】

1.如圖示：u是全集，M、P、S是U的三個子集，則陰影部分所表示的集合是:

A.(MP)S

B.(MP)S

C.(MP)屯5

D.(M尸)^5

2.求y=x?+2x+3的值域

7.求y=—》2+2》+3(n€[2,3])的值域

必修1第一章

§1-4函數的單調性

【自主學習】L設函數y=/(x)的定義域為A,區間/三4

如果對于區間/內的任意兩個值七，/，當的<々時，都有/(f)</。2)，那么就說y=/(x)在

區間!上是,/稱為y=/(X)的

如果對于區間/內的任意兩個值匹，/，當的</時，都有/(司)>/(當)，那么就說丁=/(x)在

區間/上是，/稱為y=/(x)的

2.對函數單調性的理解

(1)函數的單調性只能在函數的定義域內來討

論,所以求函數的單調區間，必須先求函數的定義域；

(2)函數單調性定義中的七，有三個特征：一是任意性；二是大小，即玉</；三是同屬于一個

單調區間，三者缺一不可；

(3)關于函數的單調性的證明，如果用定義證明y=/(x)在某區間/上的單調性，那么就要用嚴格的四

個步驟，即①取值；②作差；③判號；④下結論。但是要注意，不能用區間/上的兩個特殊值來代替。

而要證明丁=/(x)在某區間/上不是單調遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區間/上兩個

特殊的修，X2,若為<%2，有/a)2/(々)即可。

(4)函數的單調性是對某個區間而言的，所以受到區間的限制，如函數y分別在(—8,0)和(0,+8)內

X

都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即(-8,0)U(0,+8)內是單調遞減的，只能說函數y=，的

X

單調遞減區間為(—8,0)和((),+00)

(5)一些單調性的判斷規則：①若/(x)與g(x)在定義域內都是增函數(減函數)，那么/(x)+g(x)在

其公共定義域內是增函數(減函數)。②復合函數的單調性規則是“異減同增”

【典例講解】

例1.若偶函數/(X)在(—8,-1］上是增函數，則下列

關系式中成立的是

A./(-|)</(-1)</(2)B./(-1)</(-1)</(2)

C.7(2)</(-1)</(-|)D./(2)</(-|)</(-1)

例2.函數/(x)=/一J.的單調遞減區間是

例3.求函數y=log2，一2x—3)單調遞增區間

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.若函數/'(》)=4%2—日—8在[5,8]上是單調函

數，則&的取值范圍是

A.(F,40]B.[40,64]C.(ro,4()][64,^o)D.[64,-H?)

2.設y=/(x)圖象如下，完成下面的填空

增區間有：_______________________________

減區間有：_______________________________

【課后作業】

1.下列函數中,在區間(0,1)上是增函數的是

A.>=|乂B.y=3-x

1

C.y=—D.y=-x9+4

x

2.已知y+2(a-2)x+5在區間(4,+8)上是增函數，則。的范圍是()

K.a<-2B.a>-2

C.a2—6D.a<-6

必修1第一章

§1-5函數的奇偶性

【自主學習】

1.函數的奇偶性的定義：

①對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有/(一幻=一/(幻(或/(一%)+/。)=0),則稱/(x)

為.奇函數的圖象關于對稱。

②對于函數/(x)的定義域內任意一個工,都有/(—x)=/(x)(或)?(_%)_/(%)=0),則稱/(幻

為.偶函數的圖象關于對稱。

③通常采用圖像或定義判斷函數的奇偶性.具有奇偶性的函數，其定義域原點關于對稱(也就是說,

函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱)

2..函數的奇偶性的判斷：

可以利用奇偶函數的定義判斷或者利用定義的等價形式

f(-x)=±f(x)?/(-x)+/(x)=O?比辿=±l(/(x)/0),也可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性.

/(x)

注意:

①若y(x)=o,則y(x)既是奇函數又是偶函數，若/(1)=加(加工0),則是偶函數;

②若/(X)是奇函數且在x=0處有定義，則/(0)=0

③若在函數/(X)的定義域內有/(一加)片/(小)，則可以斷定/(X)不是偶函數，同樣，若在函數/(X)

的定義域內有/(一加)二一/(相)，則可以斷定/(x)不是奇函數。

3.奇偶函數圖象的對稱性

(1)若y=/(a+x)是偶函數，則/(a+x)=/(a-x)o/(2a-x)=/(x)o/(x)的圖象關于直線

x=a對稱；

(2)若丁=/9+幻是偶函數，則/S-x)=—/S+x)o/(?-x)=—/(x)o/(x)的圖象關于點

(&,0)中心對稱；

【典例講解】

例1.奇函數/(無)在區間［3,7上是增函數，在區間［3,6］上的最大值為8,最小值為-1,則則

2/(-6)+/(-3)=。

例2.設函數/(x)與g(x)的定義域是xeR且xw±l,/(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且

/(x)+g(x)=—L,求/.(X)和g(x)的解析式.

x-\

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.設/(x)是奇函數，且在(0,+8)內是增函數，又/(-3)=0,則x"(x)<0的解集是()

A.{x|-3<x<0曲>3}

B.{x|x<—3或0<x<3}

C.{x|x<—3或x>3}

D.{x[—3<x<0或0cx<3}

x+a

2.若函數/(x)=在上是奇函數,則/(x)的解析式為

x2+bx+\

【課后作業】

1.函數y=lg|x]()

A.是偶函數，在區間(-8,0)上單調遞增

B.是偶函數，在區間(-8,0)上單調遞減

C.是奇函數，在區間(0,+8)上單調遞增

D.是奇函數，在區間(0,+oo)上單調遞減

2.函數/(x)=logjx-在(0,1)上遞減，那么/(x)在(1,+8)上()

A.遞增且無最大值B.遞減且無最小值C.遞增且有最大值D.遞減且有最小值

3.設/(x)是R上的奇函數，且當xw[0,+8)時，/(x)=x(l+W),則當XG(-OO,0)時/(x)

必修1第一章

§1-6指數式及運算性質

【自主學習】

1.⑴一般地，如果，那么X叫做。的〃次方根。其中

⑵—叫做根式，這里〃叫做,。叫做。

2.當〃為奇數時，后7=；

當〃為偶數時，"=.

3.我們規定：

n

(Da-"=；其中()

⑵。一"其中()

⑶0的正分數指數事—，0的負分數指數哥.

4.運算性質：

⑴優。'=()；

⑵(〃)'=();

⑶(a))'=()o

【典例講解】邊聽邊練邊落實

例L化簡(言)3的結果是().

35

A.-B,-C.3D.5

53

【及時練習】課前完成下列練習,課前5分鐘回答下列問題

1.計算(-V2)22的結果是()

A.夜B.-V2C.與D.一日

3ni-n

2.若10"'=2,10"=3,則10==.

必修1第一章

§1-7對數式及運算性質

【自主學習】閱讀教材P62-68完成下面填空

I.a'=No；

2.alog-N=；

3.log.1=，log?a=.

4.當a>0,aHl,A/>0,N>0時：

(Dlogo(MN)=；

⑶log“M"=.

5.換底公式：logub=.

(a>0,aK1,c>0,cH1,b>0).

1

6.log“力=

log〃a

【典例講解】邊聽邊練邊落實

例1.已知。>0">0,且a）=夕/=9a,則a的值為（）

A.甄B.</3C.9D."

例2.已知則％的值應在區間()

,1.1

?°gi鼻logi1

2353

A.(—2,—1)B.(1,2)C(—3,—2)D.(2,3)

例3.已知Iga,Igb是方程2x2—4x+l=0的兩個根，則(Igf)?的值是().

h

A.4B.3C.2D.1

7

例4.計算：Igl4-21g-+lg7-lgl8

3

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.用lgx,lgy,Igz表示下列各式：

2

(l)lg(xyz);(2)lg^-;

2.計算(1)logQ+⑹(2-百)=?

(2)(lg2)2+1g2.1g50+1g25=o

3.利用對數的換底公式化簡下列各式：

0)log23?log34?log45?log52;

(2)(log43+log83)(log32+log92)

【課后作業】自主落實，未懂則問

1.log1-log-之值為()

-ah

A.0B.1C.21ogf/bD.-21ogf/b

2.若log7[log3(log2x)]=0,貝|Jxa為().

A.—B.--f=C.-尸D.—

2行3V3V24

3.計算：

(1)2log525+3log264

⑵log^logjS-lo^Vs

必修1第一章

§1-8指數函數及性質與簡單基函數

【自主學習】

1.函數叫做指數函數。

2.指數函數的圖象和性質

y=ax0<a<1a>1

圖象

定義

域

值域

性

定點

質

單調

性

對稱

y=a'和y=a-*關于______對稱

性

3.幾種募函數的圖象:

y『=X

【典例講解】邊聽邊練邊落實

例1.如圖，設a,b,c,d>0,且不等于1,y=a',y=bx,y=c',y=d'在同一坐標系中的圖象如圖，則

a,b,c,d的大小順序（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b〈a〈d<cD.b<a<c<d

例2.求下列函數的定義域、值域：

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.基函數/a）的圖象過點（3,防），則/（x）的解析式是。

2.若指數函數y=（a+l）,在（TO,+8）上是減函數，那么（）

A.0<a<1B.—1<?<OC.a=—ID.a<—\

3.若函數y="+S—1）（a〉0且。片1）的圖象不經過第二象限，則有（）

A.。>1且〃<1B.0<。<1且641

C.0<a<l且〃>0I）.且

【課后作業】自主落實，未懂則問

A.奇函數B.偶函數C.既奇又偶函數D.非奇非偶函數

2.若指數函數y=/在上的最大值與最小值的差是1,則底數a等于（）

1+V5D-1+V5rl±V5nV5+1

-----------D-------------------C.---------D.--------

3.當時，函數y=ax+A和y=ZT的圖象只可能是()

2-v-l,x<0

4.函數/(x)=,j,，滿足/(x)>1的無的取值范圍)

x2,x>Q

A.(-1,1)B.(-l,+oo)C.{x|x><—2}D.{x|x><—1}

必修1第一章

§1-9對數函數及性質

【自主學習】

1.一般地，函數叫做對數函數;

2.對數函數的圖象和性質

尸|。自/0<<3<1a>1

圖

象

定義域

值域

過定點_______

在"上是—函數在力上是一函數

性

同正異負：

質

當___________或________時，log,x>0當___________或________時，log,X<

Oo

【典例講解】邊聽邊練邊落實

2Y

例1.函數/（X）=———的定義域是_________

log2（x-2）

2-*1

例2.設函數/"）=，,求滿足f(x)=上的X的值.

log4xx>\4

例3.求函數y=log2（》2—4x+6）的定義域、值域、單調區間

【及時練習】課前完成下列練習，課前5分鐘回答下列問題

1.已知f(x)=(a2—l)”在區間(-8,+8)內是減函數,則實數a的取值范圍是()

A.|a|<lB.|a|>lC.|a|<V2D.l<|a|<V2

2.若丁=1。8“(2—。幻在[0,1]上是減函數,則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+oo)

3.函數y=log3x(g4x481)的反函數的定義域為()

A.(0,^o)B.(1,81)C.(1,4)D.(-1,4)

4.在區間(0,+8)上不是增函數的是()

x2

A.y=2B.y=[og__vC.y=—D.y=2.x~+x+1

【課后作業】自主落實，未懂則問

1.函數y=k)g(2xT),3x-2的定義域是()

A?停1)(L+00)(3/)。,+8)C.停+刃)D-[p+o°

2.函數y=log]，-6x+17)的值域是()

2

A.RB.[8,4-oo)C.(—oo,—3)D.[3,4-00)

3.若函數log2(涼+4M3)的定義域為R,則幺的取值范圍是(B)

A。B，0,-|jC.o,(D.(_8,0]U(？,+8)

4.求函數產log|(——3x+2)的遞增區間。

1+x

5.己知f(x)=log=(a>0,且后1)、

(1)求/Xx)的定義域;

(2)判斷/