平面機構的靜力分析

第二節平面機構中約束類型及約束反力

第三節平面機構中約束反力的求解

第四節運動副的摩擦與自鎖

第五節回轉件平衡的動態靜力分析第一節靜力分析的基本概念機械運轉過程中受到的力有：主動力（也稱載荷）——使物體運動或使物體有運動趨勢的力。

驅動力、生產阻力、重力、風力、水壓力、彈簧力、電磁力；

包括：運動構件受到的介質阻力；構件在變速運動時產生的慣性力。約束反力——由主動力在運動副中所引起的力。力是影響機械運動和動力性能的重要參數；也是決定構件尺寸和結構形狀等的重要依據。靜力分析——不計慣性力的條件下，對機械進行的力分析。對機構作力分析的原因：返回

一、力及其性質第一節靜力分析的基本概念

二、力矩及其性質

三、力偶及其性質

四、力的平移定理一、力及其性質1．力的概念力——物體間的相互機械作用力的運動效應——使物體的運動狀態發生改變。力的變形效應——使物體產生變形。小車的運動吊車梁的變形力的三要素：大小、方向、作用點。力的大小：反映物體間機械作用的強弱程度。力的常用單位：牛頓（N）或千牛頓（kN）。力的方向：包含方位和指向。如：鉛直向下，水平向右等。集中力與分布力力的作用點：指的是力在物體上的作用位置力是定位矢量。力系——作用在物體上的一組力。等效力系——使同一物體產生相同效應的力系合力——與一個力系等效的力。

平衡——物體相對于地球處于靜止或作勻速直線運動的狀態。

平衡力系——作用于物體并使其保持平衡狀態的力系。任何物體受力后都將或多或少地發生變形。剛體——忽略受力后微小變形的力學模型。

微小變形對零件或構件的平衡問題影響甚微，作靜力分析時將其視為剛體。F′FF′F變形體——不能忽略受力后微小變形的力學模型。

在分析零件或構件的承載能力時，其變形成為主要因素，即使極其微小的變形，也不能將其視作剛體。F′F2．力的性質——力所遵循的規律。（靜力學公理）性質1二力平衡公理

——不計自重的構件在二力作用下平衡的必要和充分條件：二力等值、反向、共線。矢量表達式為：

F1=－F2二力構件（二力桿）——作用有二力而處于平衡的構件

二力桿上的兩個力必沿兩力作用點的連線（與構件形狀無關），且等值、反向。性質2加減平衡力系公理

——在作用于構件的力系中，加上或減去任意個平衡力系，不改變原力系對構件的作用效應。推論1力的可傳性作用于構件上的力可沿其作用線移至構件內任意點而不改變力對構件的效應。即：力F2與原力F等效。推論表明：對于剛性構件，力的三要素為：力的大小、方向和作用線。實例推車或拉車效果不變注意：當研究力對構件的變形效應時，構件不能被視作剛體，力的可傳性不成立。性質3力的平行四邊形法則

——作用在構件上同一點的兩個力可以合成為一個力，合力的作用點仍作用在這一點，合力的大小和方向由這兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線確定。

矢量表達式為：

FR=F1+F2

在求共點力的合力時，為作圖方便，可采取三角形法則。

三角形法則——只畫出力的平行四邊形一半的作圖法。注意：

力三角形只表明力的大小和方向，而不表示力的作用點或作用線。

平面匯交力系——作用線共面且匯交于同一點的力系。如：構件上F1、F2、…、Fn共n個力所構成的力系。平面匯交力系可通過兩兩合成的方法，最后合成為一個合力FR。合力FR矢量表達式為：

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

即：平面匯交力系的合力矢量等于力系中各分力的矢量和。

工程實際中，為方便分析與計算，常需要將一個力正交分解。

正交分解——將一個力分解為方向已知且相互垂直的兩個分力。方法：

利用平行四邊形法則將力F沿直角坐標軸x、y方向分解為Fx和Fy；

作力F在兩坐標軸上的投影Fx、Fy；

可見，分力Fx和Fy的大小分別等于力F在兩坐標軸上投影Fx、Fy的絕對值，即：式中：α——力F與x軸所夾的銳角。注意：分力Fx和Fy是矢量；投影Fx、Fy是代數量。推論2三力平衡匯交定理

——作用于構件上不平行的三個力，若構成平衡力系，且其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三個力的作用線在同一平面內且必匯交于一點。例如：作用于構件上的三個力F1、F2、F3。性質4作用與反作用定律

——作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、作用線相同，并分別作用在這兩個構件上。作用力與反作用力——兩構件間相互作用的力。性質5合力投影定理

——力系的合力在某一直角坐標軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數和。

對于平面匯交力系，其表達式為式中：FRx、FRy——合力FR在x、y軸上的投影；

——各分力在x軸上的投影；

——各分力在y軸上的投影。

由合力的投影FRx、FRy可確定合力FR的大小和方向，即：

式中：α——合力FR與x軸所夾的銳角；FR的指向由∑Fx、∑Fy的正負來確定。

投影的正負號規定為：由力的始端投影至終端投影的指向與投影軸正向一致時，取正號；反之取負號。

【例3-1】

固定圓環作用有四根繩索，其拉力分別為F1＝0.2kN，F2＝0.3kN，F3=0.5kN，F4=0.4kN，它們與軸的夾角分別為α1＝30o，α2＝45o，α3＝0，α4＝60o。求它們的合力大小和方向。解：建立直角坐標系xOy。根據合力投影定理，有FR＝

ΣFx＝F1x+F2x+F3x+F4x＝F1cosα1＋F2cosα2＋F3cosα3＋F4cosα4＝0.2cos30o＋0.3cos45o＋0.5cos0＋0.4cos60o

＝

1.085kNFRy＝

ΣFy＝F1y+F2y+F3y+F4y＝F1sinα1＋F2sinα2＋F3sinα3－F4sinα4＝

－

0.2sin30o＋0.3sin45o＋0.5sin0－0.4sin60o＝

－0.234kN合力的大小：合力的方向：α＝12o12′

力對構件作用的運動效應體現在使構件移動和轉動。力對構件的移動效應：取決于力的大小和方向。力對構件的轉動效應：用力矩來度量。二、力矩及其性質1．力矩的概念

常見的工具（扳手、杠桿等）和簡單機械（手動剪切機等）的工作原理中都包含著力矩的概念。實例：扳手擰動螺母

力F使螺母繞點O轉動。由經驗可知，加在扳手上的力F越大或離點O越遠，擰動螺母越容易。

表明：力F使螺母繞某一固定點O轉動的效應，不僅與力F的大小有關，還與該點到力F作用線的垂直距離d有關。

用F與d的乘積作為力F使螺母繞點O轉動效應的量度——力F對點O之矩。力矩——力F對點O之矩的簡稱，記為MO(F)。即：MO(F)＝±Fd

式中：“±”——表示力F使物體繞矩心O轉動的方向，通常規定：逆時針方向轉動時，力矩為正；順時針方向轉動時，力矩為負。+_

力矩的常用單位：牛頓·米（N·m）或千牛頓·米（kN·m）。2．力矩的性質

（1）力對點之矩，不僅取決于力的大小和方向，還與矩心的位置有關。

（2）力對任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變。

（3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時，力矩等于零。

（4）互相平衡的兩個力對于同一點之矩的代數和等于零。3．合力矩定理

——合力對其作用平面內任一點的矩等于該面內各分力對同一點之矩的代數和。

數學表達式：MO(FR)＝MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F)其中：FR為F1、F2、…、Fn的合力。【例3-2】

在駕駛員的腳踏力F的作用下,腳踏板A左移,搖臂ABC繞點B轉動,通過連桿推動活塞右移,實現液壓油控制剎車。已知:

腳踏力F=300

N，與水平方向所夾的銳角α=30°，a=0.25

m，b=0.05

m，求：力F

對點B的矩MB(F)。

汽車剎車的操縱機構解：

分析：此題如果直接由力矩定義式MB(F)=±Fd求解，力臂d不容易確定，但題目已給出力F作用點A與矩心B的鉛直距離a＝0.25

m，水平距離b＝0.05

m，因此，應用合力矩定理可方便地計算力矩。

（1）將力F分解為水平和鉛直方向兩分力Fx、Fy，這兩分力的力臂就是a和b，則：Fx=Fcosα=300×cos30°=260

NFy=Fsinα=300×sin30°=150

N（2）由合力矩定理可得：MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=Fx

a－Fyb=260×0.25－150×0.05=57.5

N·m【例3-3】

齒輪齒廓間沿公法線方向相互作用的力（嚙合力）為Fn，并設作用點在節圓（嚙合圓）上。已知力Fn=1400N，節圓半徑r2=60mm，壓力角α=20°（力Fn與節圓切線所夾的銳角）。試計算主動輪1對從動輪2的力矩。一對圓柱直齒輪嚙合傳動解：本題有兩種解法。（1）由力矩的定義計算力Fn對O2點之矩，即：

MO2(Fn)=－Fnd=－Fnr2cosα

=

－1400×60×cos20°

=－78.93N·m（2）根據合力矩定理計算力Fn對O2點之矩。Fy=Fsinα=300×sin30°=150

N

將力Fn正交分解為切向分力Ft和徑向分力Fr，其中徑向分力Fr對O2點之矩為零，即MO2

(Fn)=MO2

(Ft)+MO2

(Fr)=－Ft·r2+0=－(Fncosα)r2

=－(1400×cos20°)×60=－78.93N·m

兩種解法的計算結果一致。其中負號表示主動輪1對從動輪2的力矩是順時針方向。三、力偶及其性質1．力偶的概念在生活和生產實踐中，經常遇見用一對等值、反向但不共線的平行力對物體產生轉動效應的情況。實例：司機駕駛汽車時兩手作用在方向盤上的力工人用絲錐攻螺紋時兩手加在扳手上的力用手擰動水龍頭所加的力

力偶——由大小相等、方向相反、作用線平行但不共線的兩個力組成的力系。用符號(F，F′)表示。力偶臂——兩力作用線之間的垂直距離d。

力偶的作用面——兩力作用線所決定的平面。

力偶對物體的轉動效應可用其中的一個力F的大小和力偶臂d的乘積來量度——力偶矩。記為m(F,F′)或M。

m(F，F′)＝M＝±Fd

式中：乘積Fd——力偶矩的大小；

符號“±”——表示力偶使物體轉動的方向，通常規定：逆時針方向轉動時，力偶矩為正+_順時針方向轉動時，力偶矩為負可見，在平面問題中，力偶矩與力矩一樣為代數量。力偶矩的常用單位：牛頓·米（N·m）或千牛頓·米（kN·m）。2．力偶的性質（1）力偶不能與一個力等效，也不能與一個力平衡。分析：

力偶在其作用面內任一軸上的投影恒等于零；由合力投影定理可知，力偶沒有合力。故有上述性質。可見，力偶與力一樣是構成力系的基本元素。（2）力偶對其作用平面內任一點的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關。分析：

設一力偶(F,F′)的力偶矩M＝F·d；

在力偶(F，F′)作用面內任取一點O，則力偶(F，F′)使物體繞點O轉動的效應可用兩個力F、F′對點O矩的代數和來量度。即：Mo=Mo(F)+Mo(F′)=F(x+d)－F′x=F·d=M其中：x——點O到力F′的垂直距離；可見，無論點O選在何處，力偶(F，F′)對其作用面內任一點的矩總等于力偶矩。結論：力偶對物體的轉動效應取決于力偶矩（包括大小和轉向），而與矩心位置無關。這是力偶矩與力矩的主要區別。（3）在同一平面內的兩個力偶，只要兩者的力偶矩大小和轉向相同（即代數值相等），則這兩個力偶等效。——力偶的等效性力偶的等效性表明：

只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內任意移動和轉動，或同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，都不會改變它對物體的轉動效應。力偶有另兩種表示法。箭頭——表示力偶的轉向；M——表示力偶矩的大小。（4）平面力偶系可以合成為一合力偶。

合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩代數和。即：M＝M1＋M

2＋…＋Mn＝ΣMi

【例3-4】

用多軸鉆床在水平放置的工件上同時鉆四個相同的圓孔，鉆孔時每個鉆頭的主切削力組成一力偶，對工件的切削力偶矩均為15N·m。為了在設計夾具時考慮對工件的夾緊措施，試計算工件受到的總切削力偶矩。用多軸鉆床在工件上鉆孔解：

分析：鉆頭作用在工件上的每一個力偶大小相等、轉向相同，且在同一平面內。則工件受到的總切削力偶矩為負號表示總切削力偶為順時針方向。四、力的平移定理

用絲錐攻螺紋時，要求雙手一推一拉，均勻用力（構成力偶）。

若只用單手給絲錐的一端加力F，將會影響攻絲精度，甚至使絲錐折斷。分析力F對絲錐的作用效應：①根據加減平衡力系公理，在絲錐中心O點加上一對等值、反向、共線的平衡力F′和F"，并使它們與力F平行且大小相等；力F、F′和F"組成的力系與原力F等效。②力F與力F"等值、反向且作用線平行，構成附加力偶M。作用在O點的力F′和附加力偶M與原力F等效。③力F′則使絲錐彎曲，是影響攻絲精度、導致絲錐折斷的原因。

可見，上述分析中的力F′相當于將力F平移至O點所得。

力的平移定理——作用在構件上某點的力，可以平移至構件上任一指定點，但必須同時增加一個附加力偶，該附加力偶矩等于原力對該點之矩。力的平移定理常用來解決工程實際問題。實例：立柱受偏心載荷F作用的分析。力F平移至立柱軸線上O點的結果：力F′使立柱受壓；力偶M＝F?e使立柱彎曲。實例：齒輪上的切向力F對齒輪軸作用的分析。力F平移至軸線上O點的結果：

齒輪軸受到的力F′和附加力偶M的聯合作用。

力的平移定理表明，可以將一個力分解為一個力和一個力偶；反過來，也可以將同一平面內的一個力和一個力偶合成為一個力。返回

一、柔性約束第二節平面機構中約束類型及約束反力

二、運動副約束

三、固定端約束

四、構件的受力分析與受力圖

靜力分析的重要任務之一就是確定未知的約束反力。

約束反力(簡稱約束力或反力)——約束施加于被約束結構或構件上的力，通常是由主動力所引起的。實例：分析輪軸的主動力和約束反力

主動力：齒輪嚙合力Fn；皮帶拉力FT1、FT2；自身重量。

輪軸僅在主動力作用下將不可能正常工作。若把它安裝在支座A、B上，輪軸便可定軸轉動。

輪軸在支座和輪軸的接觸處，受到支座的約束反力的限制作用。約束反力：FA、FB和FN。主動力一般是已知的，而約束反力則是未知的。

約束反力的作用位置：約束與被約束構件的接觸處；

約束反力的作用方向：與約束所能阻止的構件運動方向相反。據此可確定約束反力的作用點、方位或方向。工程上常見的約束類型有：柔性約束、運動副約束、固定端約束。一、柔性約束

——由不計自重的柔索，如繩索、皮帶、鏈條等構成。特點：

柔性約束只能限制物體沿柔索伸長方向的移動，故所產生的約束反力是沿著柔索中心線而背離被約束物體的拉力，用FT表示。作用在柔索和物體的連接點。實例：繩索對鋼梁的約束約束反力方向：沿著柔索中心線而背離鋼梁。約束反力作用點：繩索與鋼梁的連接點。實例：皮帶對帶輪的約束約束反力方向：沿著皮帶中心線而背離帶輪。約束反力作用點：皮帶與帶輪的相切點。二、運動副約束——由運動副中的兩構件構成。特點：

高副約束（不計摩擦）只能限制構件沿接觸點處公法線的運動。故所產生的約束反力是沿公法線指向被約束構件的壓力，用FN表示。1．高副約束作用在兩構件接觸點處。實例：凸輪對頂桿的約束約束反力的方向：沿著接觸點K處公法線壓向頂桿；約束反力作用點：作用在凸輪與頂桿接觸點K處。實例：一對齒輪嚙合傳動分析：從動輪2對主動輪1的約束反力。實例：夾緊裝置分析：壓板和工件所受的約束反力。2．轉動副約束①鉸鏈支座結構構成轉動副

鉸鏈約束——銷釘和被連接構件（不計摩擦）構成的轉動副約束。特點：

銷釘限制了構件在垂直于銷釘軸線平面內沿x、y兩正交方向的運動。

銷釘所產生的約束反力FR由x、y方向的約束分力Fx、Fy合成，其作用線沿銷釘和構件接觸處的公法線方向（通過轉動副中心）。

固定鉸鏈支座——用鉸鏈連接的兩構件之一固定的結構。

中間鉸鏈——用鉸鏈連接的兩構件均不固定的結構。

活動鉸鏈支座——用滾子支承在光滑的支承面上構成的可移動的鉸鏈支座。活動鉸鏈支座特點：

只能限制構件沿法線方向的移動，故約束反力FN必垂直于支承平面，并通過鉸鏈中心，指向待定。

在機械裝置中對軸進行靜力分析時，常將一端視為固定鉸鏈支座，而另一端視為活動支座。②軸承裝置構成的轉動副

滑動軸承中的軸與軸承也構成轉動副約束，其中，軸為被約束體。特點：

其產生的約束反力在垂直于軸線平面內限制了軸的徑向移動。3．移動副約束例如：曲柄滑塊機構

滑塊2在導槽1中移動，構成移動副約束特點：

不計摩擦，導槽1限制了滑塊2沿接觸面公法線壓入導槽內部的運動和在機構運動平面內的轉動。導槽對滑塊的約束作用：①產生沿接觸面公法線且指向滑塊的壓力FN；②產生限制滑塊轉動的約束反力偶M。視滑塊無轉動趨勢，則約束反力偶M=0。實例：機床導軌對工作臺的約束。三、固定端約束固定端是一種常見的約束形式。實例：固定在車床卡盤上的工件實例：安裝在刀架上的車刀均可用簡圖表示。

固定端A限制了被約束構件沿任何方向的移動和轉動。

固定端產生的約束反力為任意方向的分布力系，可向固定端A點簡化為：

一個約束反力FA和一個約束反力偶MA。

可用兩個垂直正交的分力Fx、Fy和一個約束反力偶MA表示。四、構件的受力分析與受力圖

在確定構件的約束反力時，需通過畫構件的受力圖，分析構件上所有主動力和約束反力。

構件的受力圖——將構件從機構中分離出來，并畫出其承受的所有主動力和約束反力。注意：

對于整個機構，各個構件之間的作用力為內力，要對其中某個構件作受力分析時，其它構件對該構件的作用力均為該構件所受的外力。解除約束分析力的方法：1．確定受力分析對象（即構件等）；2．將該構件單獨分離出來；3．畫出該構件上的主動力；4．根據該構件所受到的約束類型逐個畫出約束反力。【例3-5】

某橫梁AB兩端分別為固定鉸鏈支座和活動鉸鏈支座，在C處承受一傾斜的集中力P，若不計梁的自重，畫出梁AB的受力圖。解：

分析：以梁AB為分析對象，解除支座約束，取為分離體單獨畫出。梁上的主動力：載荷P，其方向和位置均已給定。梁上的約束反力：

固定鉸鏈支座A處約束反力——水平分力FAx和垂直分力FAy，方向假設；

活動鉸鏈支座B處約束反力——垂直于支承平面力FNB，方向假設。梁的受力圖可有另一表示方法。

固定鉸鏈支座A處的約束反力用合力FRA表示，其作用線和方向未知。

梁在載荷P、約束反力FRA和FNB三力作用下而平衡。根據三力平衡匯交定理，P、FRA和FNB作用線必定匯交于一點。作圖確定約束反力FRA的作用線：P和FNB的作用線交點為D；則FRA的作用線必交于D點；

因此，約束反力FRA的作用線沿AD連線，但方向假設。【例3-6】

當擰緊螺母時，壓板便在工件1和工件2上施加壓力，使之壓緊。若不計螺母與壓板、壓板與工件及工件與夾具座之間的摩擦，畫出螺栓、壓板與工件1的受力圖（不計自重）。

解：分別以螺栓、壓板和工件1為分離體，解除其約束，畫出各自的受力圖。（1）畫螺栓的受力圖

壓板通過螺母對螺栓施力，故將螺栓和螺母一起作為分離體；

螺母擰緊后受到壓板產生的反作用力是垂直于兩者接觸面向上的壓力，并可簡化為沿螺栓中心線的集中力Q′；

螺栓下部受到夾具座產生的約束反力Q〞限制螺栓上移。

此時螺栓為二力構件。Q〞與Q′是一對等值、反向、共線的平衡力；作用在螺栓桿上的Q〞與Q′是一對拉力。（2）畫壓板的受力圖

螺母施加在壓板上的力Q可視為外載荷，Q與Q′是一對作用力和反作用力；

壓板與工件形成高副約束，所以工件1（工件2）對壓板的約束反力FN1（FN2）是作用在工件與壓板接觸點并垂直壓板表面的壓力。（3）畫工件1的受力圖

壓板對工件的壓力FN1′與工件對壓板的約束反力FN1是一對作用力和反作用力；

工件與夾具座在A、B兩點處形成高副約束，所以夾具座對工件的約束反力FNA和FNB分別是通過A、B兩點并垂直于夾具座接觸表面的壓力。【例3-7】

設曲柄沖壓機構的帶輪重量為W，并不計沖頭及連桿的自重，沖頭受工件阻力Q作用。畫出連桿、帶輪、沖頭和機構系統的受力圖。解：

分析：分別以連桿、帶輪、沖頭和機構系統為分離體，解除其約束，畫出各自的受力圖。（1）分析連桿連桿為二力桿；

根據二力平衡條件B、C兩處約束反力FB、FC，并假設為壓力。（2）分析沖頭工件阻力Q為主動力；C處約束反力FC′與力FC是一對作用力與反作用力；

機座上滑槽與沖頭形成移動副約束，滑槽對沖頭產生的約束反力FN是垂直于兩者接觸面的壓力；

按三力平衡匯交定理，力FN必過力Q與力FC′的匯交點C。（3）分析帶輪重力W是主動力；

帶的拉力FT1、FT2分別沿帶的中心線而背離帶輪；

連桿對帶輪的約束反力FB′與FB是一對作用力與反作用力；

輪心A處固定鉸鏈支座對帶輪產生的約束反力為通過鉸鏈中心A的正交分力FAx和FAy，方向假設。（4）分析整個機構系統系統受到的主動力有Q、W；解除滑槽，其約束反力FN；

解除固定鉸鏈支座，其約束反力FAx和FAy；帶的拉力FT1、FT2；B、C兩處轉動副約束為內部約束，所產生的約束反力為系統內力，在系統內部自相平衡，故內力不應畫出。歸納上面各例，注意：①應根據約束類型及其性質，確定約束反力的作用位置、作用方向。②利用二力或三力平衡條件，有利于確定某些未知約束反力的作用方向。③正確利用作用與反作用定律，有助于由一個分析對象上的受力確定與之接觸的其它分析對象上的受力。返回

一、平面力系的簡化與平衡第三節平面機構中約束反力的求解

二、應用平衡方程求解約束反力一、平面力系的簡化與平衡1．平面力系的簡化

機械中某些結構，其所受的力（包括載荷和約束反力）都可簡化到某一結構平面內——平面力系。例如：帶輪所受的力

設構件受到平面力系F1、F2、…、Fn的作用，用力的平移定理可使該力系得到簡化。方法：

在力系所在的平面內任取一點O；（O為簡化中心）

將力系的各力平移至O點，該平面力系便簡化為兩個基本力系：①匯交于O點的平面匯交力系F1′

、F2′、…、Fn′；②力偶矩分別為M1、M2、…、Mn的附加力偶系。

原力系的主矢FR′——平面匯交力系F1′、

F2′、…、Fn′的合力；

原力系對簡化中心O的主矩MO——附加力偶系M1、M2、…、Mn的合力偶。

由于F1′＝F1

，

F2′＝F2

，…，Fn′＝Fn，故主矢FR′

等于原力系各力的矢量和，即：FR′＝F1

+F2

+…+Fn＝ΣF

與簡化中心的位置無關。

由于M1＝Mo(F1)，M2＝MO(F2)，…，Mn＝Mo(Fn)，

故主矩MO等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數和，即：MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=ΣMO(F)

一般隨簡化中心位置的變化而變化。

根據合力投影定理，可確定主矢F′R的大小及方向，即其中：

α——主矢FR′

與x軸所夾的銳角；

FR′

的指向由∑Fx、∑Fy的正負來確定。

平面力系向作用面內任一點簡化，可得到一個力和一個力偶。力的作用線過簡化中心，力的大小和方向取決于力系的主矢；力偶的力偶矩取決于該力系對簡化中心的主矩。2．平面力系的平衡平面力系平衡的充分與必要條件是，力系的主矢和主矩同時為零，即：FR′＝0，MO=0則有：平面力系平衡方程的基本形式：利用該式可求解三個未知量。平面力系平衡方程的二力矩式：其中：矩心A、B兩點的連線不能與x軸（或y軸）垂直。平面力系平衡方程的三力矩式：其中：矩心A、B、C三點不能共線。二、應用平衡方程求解約束反力1．平面匯交力系中的應用實例在平面匯交力系中，各力的作用線匯交于一點，若以匯交點為矩心O，則無論是否平衡，∑MO(F)≡0所以，平面匯交力系的平衡方程為：利用該式可求解兩個未知量。【例3-8】

起重機吊起一減速器箱蓋，箱蓋重W=200N，已知鋼絲繩與鉛垂線的夾角α=60°，β=30°，求鋼絲繩AB和AC的拉力。解：（1）取分離體，畫受力圖取箱蓋為分離體。畫出箱蓋上各力：重力W；兩鋼絲繩拉力TB、TC。方向均確定。（2）選取投影軸，列平衡方程以三力匯交點A為坐標原點，取x軸、y軸，則有：（3）求解平衡方程解得：TB=100N，TC=173N（4）討論

以A點為坐標原點，若取TB方向為x軸，TC方向為y軸，則有：解得：

TB=100N，TC=173N

由此可見，直角坐標系的方位可任意選取，而恰當地選取坐標系的方位能使計算簡化。【例3-9】

在壓緊裝置的鉸鏈B處作用一鉛垂方向的外載荷，其值為F=1000N。且α=8°。不計桿的自重和各處摩擦，求構件AB和BC的受力以及工件所受的壓緊力。解：分析：

構件AB和BC均為二力桿，若取鉸鏈B為分析對象，可求得兩構件的受力；當構件BC的受力確定后，若以壓頭為分析對象，即可求得工件所受的壓緊力。

假設構件AB和BC均受壓力，可畫出鉸鏈B的受力圖；建立x軸和y軸，列平衡方程：解得：即為構件AB和BC所受的壓力（與假設相同）。（2）以壓頭為分析對象

構件BC以及工件和底面給壓頭的力均為壓力。畫出壓頭的受力圖；建立x軸和y軸，列平衡方程：解得：工件所受的壓緊力與此力大小相等、方向相反。若使機構中α角減小，對工件的壓緊力將會增大。

計算結果表明，該壓緊裝置是一增力機構，其增力作用隨α角的減小而增大。2．平面力偶系中的應用實例

對于平面力偶系，無論是否平衡，

因力偶對其作用平面內任一點的矩恒等于力偶矩，則有：∑MO（F）≡∑Mi故平面力偶系的平衡方程為：∑Mi=0

即：力偶系中各力偶矩的代數和等于零。只能解一個未知量。∑Fx≡0，∑Fy≡0【例3-10】

減速器在A、B兩處用螺栓固定在底座上，A、B間的距離l=800mm。工作時，Ⅰ軸上受力偶矩為M1=120N·m的主動力偶作用；Ⅱ軸上受力偶矩為M2=240N·m的阻力偶作用。不計減速器自重，求在兩個外力偶作用下A、B處螺栓或底座臺面所受的力。解：（1）取減速器為分析對象，畫受力圖。減速器上的力有：主動力偶、阻力偶及A、B兩處的約束反力FA、FB；FA是螺栓作用于減速器的力；FB是底座臺面作用于減速器的力。FA和FB必形成一個力偶，才能與兩個外力偶平衡，

所以FA與FB大小相同、方向相反。（2）由平面力偶系的平衡條件，有－M1－M2＋FAl=0解得

計算結果為正值，說明FA和FB的實際方向與假設方向相同。

根據作用與反作用定律，A處螺栓受拉力F′A（＝－FA）作用；B處底座臺面受壓力F′B（＝－FB）作用。

另一方面，兩螺栓間的距離l越大，約束反力FA、FB將越小，亦即螺栓所受的拉力和底座臺面所受的壓力將越小，因此對螺栓和底座越有利。【例3-11】

電動機軸通過聯軸器與工作機軸連接，聯軸器由兩個法蘭盤和連接二者的螺栓所組成。四個相同的螺栓A、B、C、D均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d=AC=BD=150mm。電動機通過聯軸器傳遞力偶，其力偶矩M=2.5kN·m。試求每個螺栓所受的力。聯軸器法蘭盤解：（1）取半聯軸器為分析對象

半聯軸器上作用有主動力偶M，以及四個螺栓的約束反力。

設每個螺栓所受力均為F，則

F1和

F3、F2和F4組成約束反力偶，其力偶矩均為Fd。（2）由平面力偶系的平衡條件，有

M－2×FD=0解得：

由上計算可知，螺栓所分布的圓周直徑d越大，螺栓所受的力越小，因此對螺栓越有利。3．平面平行力系中的應用實例

在平面平行力系中，各力作用線在同一平面內且相互平行，若選x軸與力作用線垂直，y軸與之平行，則無論是否平衡，，ΣFx≡0。平面平行力系的平衡方程為：可解兩個未知量。【例3-12】

蒸汽壓力p=400kN/m2，氣閥直徑d=60mm，氣閥重W1=50N，OA=120mm；桿OC長l=800mm，其重量W2=100N；重錘重W3=200N。若使氣閥剛好不漏氣，重錘到點O的距離應該是多少？鍋爐安全裝置解：

（1）以桿OC為分析對象，畫受力圖。

因外力作用后桿無水平移動趨勢，故固定鉸鏈支座O處的水平方向約束反力為零，所以桿所受各力構成平面平行力系。（2）計算蒸汽對氣閥的壓力P（3）設重錘到點O的距離為x，由列平衡方程得：解得

蒸汽壓力p=400kN/m2，氣閥直徑d=60mm，氣閥重W1=50N，OA=120mm；桿OC長l=800mm，其重量W2=100N；重錘重W3=200N。若使氣閥剛好不漏氣，重錘到點O的距離應該是多少？4．一般平面力系中的應用實例【例3-13】簡易起重機解：（1）以橫梁AB為分析對象，畫受力圖。作用在橫梁上的主動力：

橫梁中點處自重W1、提升重量W2；作用在橫梁上的約束反力：

拉桿BC的拉力FT（假設拉力）、鉸鏈A點的約束反力FAx、FAy（指向假設）。

（2）建立直角坐標系，并列出平衡方程：（3）由聯立平衡方程求解，即：由式(a)得將FT代入式(b)得將FT代入式(c)得FT、FAx、FAy都為正值，表示力的實際方向與假設方向相同。（4）討論。

若寫出對A、B兩點的力矩方程和對x軸的投影方程，即：解得FT=34kN，FAx=29.44kN，FAy=7kN若寫出對A、B、C三點的力矩方程，即：求解上述各方程，則也可得出同樣結果。

在某些情況下應用二力矩式或三力矩式求解，可方便運算，但必須滿足其限制條件，否則所列三個平衡方程將不都是獨立的。【例3-14】

氣體壓力p=4×105N/m2，氣缸內徑D=0.035m，杠桿比l1/l2=5/3，夾緊工件時連桿AB與鉛垂線的夾角α=10°。若不計各構件自重及各處摩擦，求作用于工件上的夾緊力及支座O處的反力。氣動連桿夾緊機構解：機構夾緊原理為：

氣缸內壓力P推動活塞帶動滾輪A向右移動，連桿AB在B端推動杠桿BOC，使杠桿在C點壓緊工件，連桿AB及活塞桿均為二力桿。

選擇滾輪A為分析對象，畫受力圖；

選擇杠桿BOC為分析對象，畫受力圖；

并以水平向右為x軸，豎直向上為y軸。（可不畫出）

因已知力作用于滾輪，故從滾輪A入手列平衡方程式并求解。

（1）滾輪A受平面匯交力系的作用。列平衡方程為：其中活塞桿傳來的壓力P的大小為解得

（2）杠桿BOC受一般平面力系的作用。列平衡方程為；解得FNC=3635.76NFOx=－384.65N

FOy=－5817.22N

其中，FOx、FOy均為負值，即二者的實際方向與圖示假設方向相反。

由上面例題可知，應用平面力系平衡方程求解的一般步驟為：①取分離體，畫受力圖

根據題目的已知條件和待求量，選擇合適的分析對象，畫出全部主動力和約束反力。②選取投影軸和矩心，列平衡方程

為了簡化計算，盡量使力系中多數未知力的作用線平行或垂直于投影軸，盡量取未知力的交點為矩心。③解平衡方程，說明結果的正負號將已知量代入方程求出未知量。

若所得結果為正值，說明所求力的實際方向與假設方向相同；

若所得結果為負值，說明所求力的實際方向與假設方向相反。5．輪軸類部件空間力系的平面解法

輪軸類部件是指輪子、軸、軸承構成的部件，作用在其上的力通常構成空間一般力系。常將空間一般力系投影到坐標面上，從而簡化成三個平面力系，即把空間問題轉化為平面的問題來處理。【例3-15】

傳動軸上齒輪1和齒輪2的節圓直徑分為d1=100mm和d2=200mm；作用在齒輪1上的合力F1=5321N；兩輪的壓力角α=20°。試求軸承A、B的約束力。傳動軸解：取傳動軸為研究對象。載荷：齒輪的作用力F1、F2；約束反力：軸承A、B處各力FAx、FAz、FBx、FBz。屬空間一般力系。

由齒輪1上作用的合力F1和壓力角，可求得圓周力Ft1和徑向力Fr1兩分力，即Ft1=F1cosα=5321cos20°=5000NFr1=F1sinα=5321sin20°=1820N

將力系向三個坐標平面投影；畫出傳動軸在三個坐標平面上受力的投影圖。

xz平面——平面一般力系；

yz平面——平面平行力系；xy平面——平面平行力系。可分別列方程求解。（1）xz平面[圖3-50(b)]解得則（2）yz平面[圖3-50(c)]解得（3）xy平面[圖3-49(c)]解得

計算結果中負號表示：力的實際方向與圖示假設方向相反。返回

一、滑動摩擦第四節運動副的摩擦與自鎖

二、滾動摩擦

三、運動副中的自鎖現象

四、機構中摩擦問題實例分析

摩擦存在于一切作相對運動（或有相對運動趨勢）的兩構件運動副之間。摩擦有害的一面：

由于摩擦的存在，機器中的零件受到摩損而縮短使用壽命，并且由于有一部分功率消耗在摩擦損失上，使機械效率降低。摩擦可利用的一面：

由于存在摩擦，人和許多交通工具才可能在地面上行走；

工程中，許多機械裝置是利用摩擦來實現其功能的，如帶傳動、摩擦輪傳動及摩擦式離合器、制動器、螺紋連接等。一、滑動摩擦按照接觸構件之間的相對運動形式，摩擦可分為：滑動摩擦和滾動摩擦。

摩擦力——當兩物體接觸面間有相對滑動或有相對滑動趨勢時，沿接觸處公切面上彼此作用著阻礙相對滑動的力

靜滑動摩擦——當物體之間僅出現相對滑動趨勢而尚未發生運動時的摩擦。

動滑動摩擦——已發生相對滑動的物體間的摩擦。1．靜滑動摩擦

一重為W的物體放在粗糙的水平支承面上，受水平拉力FT的作用；

當拉力FT由零逐漸增大而不超過某一定值時，物體僅有相對滑動趨勢而仍保持靜止狀態。

物體在接觸處除了有法向約束反力FN外，還有一個阻礙物體沿水平方向滑動的摩擦力——靜摩擦力Ff。由平衡方程ΣFx＝0，FT－Ff＝0，解得Ff=FT。即：靜摩擦力Ff隨主動力FT的變化而變化。

靜摩擦力Ff并不會隨主動力的增大而無限制地增大，當水平拉力FT達到一定限度時，物體處于即將滑動而未滑動的臨界平衡狀態。

在臨界平衡狀態下，靜摩擦力達到最大值，用Ffmax表示。

靜摩擦力的大小介于零和最大靜摩擦力Ffmax之間，即：0≤Ff≤Ffmax庫倫摩擦定律：Ffmax＝fsFN

式中：靜摩擦因數fs——無量綱的比例系數。fs大小與接觸物體的材料和接觸面狀況（如粗糙度、濕度、溫度等）有關，由實驗測定。常用材料的靜摩擦因數fs可由機械工程手冊中查得。2．動滑動摩擦

若水平拉力FT超過最大靜摩擦力Ffmax，物體開始滑動。

接觸物體之間仍有阻礙其相對滑動的摩擦力——動摩擦力F′f。

動摩擦力的大小與兩接觸物體間的正壓力成正比，即動摩擦定律F′f＝fFN

一般情況下fs

略大于f。實驗數據表明：

這就說明了為什么使物體從靜止開始滑動較費力，一旦滑動起來，維持物體滑動就比較省力。工程上，常近似地取f=fs。二、滾動摩擦

實踐經驗表明，滾動比滑動省力，可明顯地提高效率。工程中常常以滾動代替滑動，例如：搬運沉重的物體，可在重物下安放一些小滾子；

軸在軸承中轉動，用滾動軸承要比滑動軸承更輕快、省力等。物體滾動時在接觸處也要受到阻力。考察置于粗糙地面上的車輪：設車輪的半徑為r，重為W，輪心O處施加拉力FT。

當FT達到一定數值時，車輪才開始滾動，即車輪滾動受到阻礙。

車輪與地面在重力W作用下，一般會產生微小的接觸變形，導致約束反力的分布發生改變而構成平面一般力系。將平面一般力系向A點簡化。由平衡條件可得：FN=W，Ff=FT，Mf=FT·r

滾動力偶（FT，Ff）——將使車輪滾動。

滾阻力偶Mf——阻止車輪滾動。

滾阻力偶隨滾動力偶而變化。當FT增大到某一值時，車輪處于將滾而未滾的臨界平衡狀態。

最大滾阻力偶矩——滾阻力偶矩Mf達到的最大值Mfmax。

0≤Mf≤Mfmax

滾動摩擦定律：

Mfmax=δFN

即：最大滾阻力偶矩與支承面正壓力成正比。（實驗結果）

滾阻因數——比例常數δ，具有長度量綱，常用單位：mm。

滾阻因數δ的值主要與材料硬度有關。材料硬，接觸面的變形就小，δ值也小些。

實例：火車軌道采用鋼軌、輪胎要充足氣、滾動軸承采用高硬度的鉻錳鋼制造等，都是用增加硬度的方法來減小滾動摩擦的。三、運動副中的自鎖現象

若滑塊在驅動力和自重的作用下處于靜止時，導路對滑塊產生法向約束反力（正壓力）和切向約束反力（摩擦力）。

全約束反力或全反力FR——正壓力和摩擦力的合力。

φ——全反力FR與接觸面公法線的夾角。夾角φ隨摩擦力的變化而變化。當滑塊處于臨界平衡狀態時：

靜摩擦力達到最大值Ffmax；全反力達到最大值FRm；即：摩擦角的正切等于靜摩擦因數。夾角φ也達到最大值。

摩擦角φm——臨界平衡狀態時的夾角φ（即夾角φ的最大值）。可見：摩擦角φm與靜摩擦因數fs一樣，只與運動副中兩構件的材料和接觸面狀況有關。

摩擦角φm確定了滑塊平衡時全反力作用線的范圍，即夾角φ變化范圍：0≤φ≤φm設作用于滑塊的所有主動力的合力為FQ。（1）只要FQ作用線在摩擦角φm以內，即：α≤φm。自鎖現象：

則不論FQ多大，導路支承面總能產生與FQ等值、反向、共線的全反力FR與之平衡，滑塊保持靜止。自鎖條件：

α≤φm

螺旋千斤頂、壓榨機、螺紋聯接等的工作就利用了自鎖原理。（2）如果FQ作用線在摩擦角φm以外，即：α＞φm。

則不論FQ多小，導路支承面都沒有能與FQ共線的全反力FR與之平衡，滑塊必將滑動。不自鎖條件：α＞φm

對于傳動機構，應避免自鎖，使機構不致卡死。四、機構中摩擦問題實例分析

實例一分析搖臂鉆床中搖臂在自重作用下不發生自鎖的條件。搖臂鉆床的搖臂工作要求：不自鎖條件的影響因素：

搖臂的重量為W，其重心與立軸軸線的距離為h；

滑套的有效長度為l，滑套與立軸之間的摩擦因數為f。

為便于調節鉆頭的高度，一般搖臂鉆床要求搖臂能在自重作用下下滑，即不發生自鎖。

當搖臂的重心位置確定之后，能否在其自重作用下不自鎖，將取決于滑套長度l。分析方法：不自鎖條件分析：

通過對搖臂的靜力分析可得到滑套長度l所滿足的不自鎖條件。該搖臂在自重W的作用下，將產生翻轉力矩，使滑套與立柱在A、B兩處接觸，產生正壓力NA、NB；由于滑套有向下運動的趨勢，在A、B兩處將產生向上的摩擦力FfA、FfB。根據搖臂的靜力平衡條件，有：

考慮平衡的臨界情況，由靜摩擦定律有：FfA=f·NA

FfB=f·NB

聯立以上各式，解得：即：Nl=Wh并有：NA=NB=N；FfA=

FfB=Ff

搖臂在自重W作用下能自動下滑的條件為：則有：所以：即為搖臂在自重W作用下不自鎖的幾何條件。實例二分析凸輪機構的壓力角與不自鎖條件。

凸輪機構在工作行程中任一位置，且不計滾子與凸輪接觸處摩擦。受力情況：

從動件的載荷為Q（包括生產阻力、自重等）；

凸輪施加于從動件的推力為F，其作用線過接觸點并通過滾子中心；

導槽對從動件的法向反力為NA、NB；

導槽對從動件的摩擦力為fNA、fNB。實例二分析凸輪機構的壓力角與不自鎖條件。

凸輪機構在工作行程中任一位置，且不計滾子與凸輪接觸處摩擦。受力情況：

從動件的載荷為Q（包括生產阻力、自重等）；

凸輪施加于從動件的推力為F，其作用線過接觸點并通過滾子中心；導槽對從動件的法向反力為NA、NB；導槽對從動件的摩擦力為fNA、fNB。F——導槽與從動件間的摩擦因數。不自鎖條件分析：

壓力角α——不計摩擦時推力的作用線與從動件受力點的運動方向所夾的銳角。

一般壓力角α的大小將隨機構位置的變化而不同。圖示位置推力F可分解為：沿導槽中心線的分力Fcosα；垂直于導槽中心線的分力Fsinα。根據從動件的靜力平衡條件，有：∑Fx=NB－NA－Fsinα=0ΣFy=Fcosα－Q－f(NA+NB)=0式中：

l1——從動件上滾子中心伸出導槽的長度；l2——導槽的長度；

d——從動件的直徑。從上述各式中消去NA和NB，得：

由于式中f2d同其它項相比很小，可略去不計，所以有若上式中其它條件不變，討論：

當壓力角α=0時，F/Q=1，即F=Q；

當α>0時，

F/Q>1，即克服同樣的Q所需的推力F增大；

當α增大到αc并使式中分母等于零，F/Q＝∞，則凸輪將不可能驅動從動件，即：機構自鎖。則：可得不產生自鎖時的極限壓力角αc為：為避免自鎖，應使凸輪機構的壓力角滿足：

——凸輪機構不自鎖的條件。以上分析表明：

從減小推力和避免自鎖的觀點來看，壓力角α越小越好；

對于相同的α值，當f、l1越小，l2越大時，F/Q越小，即機構的受力情況和工作性能越好。實例三分析螺旋副的效率與自鎖條件1．螺旋副的受力分析

螺桿與螺母組成螺旋副，并構成機械中的螺紋聯接或螺旋傳動。

工作時均受到軸向載荷的阻力作用，例如：

螺紋聯接在擰緊螺母時材料變形的反彈力作用；

螺旋千斤頂舉重時重力的作用等。

在傳力的過程中，組成螺旋副的兩螺旋面之間有相對滑動（或相對滑動趨勢），產生摩擦力。受力分析：

將螺桿視為由一斜面卷繞在圓柱體上而成；而螺母視為沿斜面滑動的滑塊。斜面的斜角為螺紋中徑d2處的螺紋升角λ。（1）矩形螺紋（牙型角α=0）設矩形螺紋構成的螺旋副承受一軸向載荷Q。①當擰緊螺母時，可視為水平力F推動一重量為Q的重物沿斜面勻速上升。N21——斜面對重物的法向反力，f為摩擦因數；Ff——斜面對重物的摩擦力，方向與υ12反向；R21——斜面對重物的的全支反力；φ——摩擦角，tanφ=f。1－重物2－斜面

重物在Q、F、R21三力作用下平衡，則有：Q+R21+F=0由力的封閉三角形，可得：

旋動螺母克服螺旋副間的摩擦阻力上升所需的力矩M為：②對于非自鎖螺旋副，當推動螺母上升的水平力F減小到F′時，螺母可能在軸向載荷Q的作用下自動松退。

即視重物沿斜面勻速下滑，只是摩擦力Ff與勻速上升時相反。同理可得最小防松力為：最小防松力矩M為：（2）非矩形螺紋（牙型角α≠0）以三角形螺紋為例。

通過將三角形螺紋與矩形螺紋比較，分析非矩形螺紋的受力情況。三角形螺紋與矩形螺紋的區別：僅在于螺紋間接觸面的幾何形狀不同。

把螺母和螺桿的相對運動看作一楔形滑塊沿斜槽面的運動，則：斜槽面的夾角為2θ

（θ=90?－β，β——牙側角；三角形螺紋的牙型角α=2β）

由對斜槽面上摩擦力Ff′的分析，得Ff′與Q、f和β的關系式，即：式中：fv——為斜槽面的當量摩擦因數，其對應的摩擦角為：

φv——當量摩擦角。

引入當量摩擦因數的概念后，可將非矩形螺紋的摩擦問題看作矩形螺紋的摩擦問題。非矩形螺紋的受力關系式為：2．螺旋副的自鎖螺旋副的自鎖：

螺旋副被擰緊后，如不加外力矩，不論軸向載荷Q有多大，也不會自動松退。

若λ＜φv，則F′＜0，即要使重物沿斜面等速下滑，必須反向加一個水平力F′，

否則不論力Q有多大，滑塊都不會自行下滑，即出現自鎖現象。螺旋副的自鎖條件為：λ≤φv

3．螺旋副的效率

在軸向載荷Q的作用下，螺旋副相對運動一周時，驅動功W1和有效功W2分別為：W1=2πM=Qπd2tan（λ+φv）

W2=Qs=Qπd2tanλ螺旋副的效率為：

以上螺旋副的自鎖條件和效率計算亦適合矩形螺紋。綜上分析：①當相同時，φv＞φ。則：牙型角α不等于零的螺旋副更容易自鎖；φv隨牙型角的增大而增大。故聯接螺紋多用牙型角為60?或55?三角螺紋。②為提高螺紋副的傳動效率，應適當提高λ值，盡量降低φv值。傳動螺紋常采用小牙型角的矩形、梯形多線螺。聯接用螺紋多用大牙型角的三角單線螺紋。返回

一、回轉件平衡的目的第五節回