邏輯代數基礎1.1邏輯變量及其基本運算描述事物狀態的邏輯數必因事物狀態變化而變化，叫做邏輯變量。例如開關電路中表示開關和燈的邏輯數都是邏輯變量。

1.11邏輯變量

定義：邏輯變量規定:(1)邏輯變量用字母表示；(2)邏輯變量的取值不是1就是0；(3)邏輯變量的值必須經過“定義”才有意義。

(4)邏輯變量有原變量和反變量，它是描述同一事物的兩種形式的變量。在任何情況下，原變量和反變量的值互為反數。可以說，只要定義了原變量，同時也就定義了反變量。邏輯常數：描述某一事物的邏輯數保持不變，該邏輯數稱為邏輯常數。邏輯常數只能保持為

1

或保持為0。

以開關

S

為例，S

表示原變量，S

表示反變量。1.12邏輯運算

以下是2輸入變量真值表，邏輯變量A、B，邏輯函數F0-F15。以該真值表為例，說明邏輯運算的意義。

基本邏輯運算

F1

與運算：與（AND）又稱為邏輯乘，它的運算規則是僅當A、B皆為1時輸出為1，否則為0。與運算符用“·”表示，邏輯變量和運算符組成算式，稱作邏輯函數表達式。

F1=A·B讀做

A與B

F7

或運算：或（OR）又稱為邏輯加，它的運算規則是A、B皆為0時輸出為0，否則為1。或運算符用“+”表示，表達式為

F7=A+B

讀做

A或B

基本邏輯運算

F12非運算：稱為邏輯非（NOT），非運算的邏輯意義是表示一個變量的反變量。非運算符用“”表示，表達式為

或對任何邏輯變量連續作兩次（偶數次）非運算，則變量的值保持不變。

基本邏輯運算F3恒等運算：恒等（IDE），輸出等于輸入。

F3=A

與運算、或運算、非運算和恒等運算是基本邏輯運算，可以構成各種復雜邏輯運算。

簡單組合邏輯運算

F14

與非運算：與非(NAND）運算規則是先與運算后非運算，表達式

F8

或非運算：或非（NOR）運算規則是先或運算后非運算，表達式

簡單組合邏輯運算

F6

異或運算：異或（XOR）運算規則是僅當

A、B

不同時，F6=1，否則，F6=0。表達式F9同或運算：同或（NXOR）運算規則是僅當A、B的值相同時，F9=1，否則，F9=0。表達式F9=A⊙B

F6=A⊕B幾點說明：

（與運算符可以省略），邏輯意義是僅當四個自變量A、B、C、D

皆為1時，F=0，否則，F=1。邏輯運算不同于算數運算。邏輯運算是一位數的運算，沒有進位和借位；

(1)邏輯表達式中變量的取值只有0或1，比算術運算簡單；

(2)除“非”運算和“恒等”運算是一個自變量外，其它運算也適合于多個自變量，如四變量與非表達式為(3)幾點說明：⑷真值表中沒有列出的表達式，也屬于組合邏輯運算，讀者學習第三章時就清楚了。

⑸以上8種邏輯運算，市場上均有集成電路片出售

基本公式0-1律：A+0=AA+1=1A·1=AA·0=0

重疊律與互補律:

對合律（雙重否定）：

A=A基本公式交換律：

結合律：

（A+B）+C=A+（B+C）（A·B）·C=A·（B·C）分配律：

A·B=B·AA+B=B+AA⊙B=B⊙AA⊕B=B⊕AA+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC小結上述七組基本公式中，A，B和C均為邏輯變量，且每一組公式中的兩個公式互為“對偶”。即將其中一式中的“+”換成“·

”，“·

”換成“+”，1換0，0換1，便得到與其相應的另一公式。

補充公式吸收律：消除多余變量，化簡邏輯函數。摩根定理：常用于邏輯函數化簡。

1.2邏輯函數及其基本形式

1.2.1邏輯函數的定義

設某一邏輯網絡的輸入邏輯變量為A1，A2，……，An，輸出邏輯變量為F，如圖1.1所示。當A1，A2，……，An的取值確定后，F的值就唯一的被確定下來，則稱F是A1，A2，……，An的邏輯函數，記為

A1A2AnF實現F=f（A1，A2，……，An）的邏輯網絡圖1.1F=f（A1，A2，……，An）

F=f（A1，A2，……，An）1.2.2邏輯函數的表示方法

1.邏輯表達式--邏輯函數的代數表示法；邏輯表達式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”三種運算符所構成的式子，這是一種用公式表示邏輯函數的方法。

表示邏輯函數有如下方法：F=f（A，B）=AB+AB2.真值表--邏輯函數的表格表示法；真值表事由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數值所構成的表格，這是一種用表格表示邏輯函數的方法。

3.卡諾圖--邏輯函數的圖形表示法；卡諾圖是由表示邏輯變量的所有可能組合的小方格所構成的圖形。

AB0 101mo

m2m1

m30 101AB二變量卡諾圖1.2.3邏輯函數的標準形式

1.最小項及最小項表達式

設有一個二變量的邏輯函數上述的最后一個表達式，該式是由包含所有變量的若干與（積）項之和組成，其中每個與項具有這樣的

可以轉換為特點：

它包含有該邏輯函數的全部自變量（A，B），且每個自變量在一個與項中以原變量或反變量僅出現一次；①這三個與項稱為該邏輯函數的最小項，若邏輯函數的與項全由最小項組成，稱該函數為最小項之和式，常稱為標準與或式；②④用符號

mI

表示最小項，確定下標i的值：將各最小項變量按一定次序排好后，用1代替其中的原變量，用0代替其中的反變量，這樣每個最小項對應的二進制數的等效十進制數為相應的最小項

mI

下標

i的值。例如三變量最小項有：

③對于n

個自變量的邏輯函數來說，最多有2n

個最小項；對于二個自變量的邏輯函數來說，最多有四個最小項，其中：

同理用符號

mi

表示最小項依此為：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7

由此看出在變量的任意一個確定的狀態，僅有一個最小項取值為1，如

ABC取值為010時，

任意兩個最小項mi

和

mj（I≠j）之積為0，記為

n個變量最小項之和為1，記為其它最小項為0。有使2.最大項及最大項表達式

設有一個三變量的邏輯函數上述表達式是由包含所有變量的若干或（和）項之積組成，其中每個或項具有這樣的特點：

①它包含有該邏輯函數的全部自變量（A，B，C），且每個自變量在一個或項中以原變量或反變量僅出現一次；

②這四個或項稱為該邏輯函數的最大項，若函數的或項全由最大項組成，稱該函數為最大項之積式，常稱為標準或與式；

特點：③對于n

個自變量的邏輯函數來說，最多有2n

個最大項；

④用符號

Mi

表示最大項，下標i的值與最小項相反，確定規則是：將各最大項變量按一定次序排好后，用0代替其中的原變量，用1代替其中的反變量，這樣每個最大項對應的二進制數的等效十進制數為相應的最大項Mi

下標i的值。例如三變量有八個最大項：

其中同理用符號Mi

表示最大項依此為：M0，M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7

由此看出在變量的任意一個確定的狀態，僅有一個最大項取值為0，其余為1。有n

個變量最大項之積為0，記為

任意兩個最大項Mi

和

Mj（I≠j）之和為1，記為

F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+BB)·(A+B+CC)·(A+B+C)例1已知函數求取F的最大項表達式的過程如下：F=(A+C)·(A+B)·(A+B+C)=(A+C+B)·(A+C+B)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=M0M1M2M3=∏(0,1,2,3)最大項表達式是邏輯函數的另一種標準形式，通常也稱為和之積范式，或主合取范式。例2已知函數F=A+ABC由下式可求得F的最大項表達式：F=A+ABC=(A+A)·(A+BC)=1·(A+B)·(A+C)=(A+B+CC)(A+C+BB)=(A+B+C)(A+B+C)(A+C+B)(A+C+B)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=∏(0,1,2)1.2.4邏輯函數三種表示法的關系

1.邏輯表達式與真值表例1：函數F=AB+AC的真值表如右所示：ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0例2寫出下列真值表的邏輯表達式000 0001 1010 0011 1100 1101 0110 0111 0ABC F解：2.邏輯表達式與卡諾圖

例1.一個邏輯函數通過最小項表達式轉換成相對應的卡諾圖。如下例：A01000111ＢＣ

例2.一個邏輯函數通過最大項表達式轉換成相對應的卡諾圖。上例的邏輯函數表達式。

上述邏輯函數的最大項表達式：Ｆ＝∏(0,1,3,5)A01000111ＢＣ1.3邏輯代數的主要定理及常用公式

1.3.1邏輯代數的主要定理

定理1：德·摩根(DeMorgan)定理

(X1+X2+···+Xn)=X1·X2·····Xn（1）（2）(X1·X2·····Xn)=X1+X2+···+Xn該定理可敘述如下：n個邏輯變量的“或”的“非”等于各邏輯變量的“非”的“與”；n個邏輯變量的“與”的“非”等于各邏輯變量的“非”的“或”。定理2：香農(Shannon)定理

f(X1,X2,···,Xn,0,1,+,·)=f(X1,X2,···,Xn,1,0,·,+)該定理可敘述如下：任何函數的反函數，可通過對該函數的所有變量取反，并將常量1換為0，0換為1，“·”運算換為“+”運算，“+”運算換為“·”運算而得到。定理3：對偶定理對偶函數定義：

設有邏輯函數f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·),若把該函數中的“·”運算換為“+”運算，“+”運算換為“·”運算，0換為1，1換為0，而變量保持不便，則所得函數稱為原來函數的對偶函數，記為

f（X1,X2,···Xn,0,1,+,·)顯然，按此定義必有f′(X1,X2,···Xn,0,1,+,·)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)

對偶定理公式：f′(X1,X2,···Xn,1,0,·,+)=f（X1,X2,···Xn,1,0,·,+)1.3.2邏輯代數的常用公式

公式1：

AB+AB=A公式2：A+AB=A公式3：A+AB=A+B公式4：

AB+AC+BC=AB+AC公式5：AB+AB=AB+AB*1.3.3定理及常用公式的應用舉例

例.化簡邏輯函數Z(A,B,C,D,E,F)=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+EDF應用公式2，可消去AB和ACEF項，得Z=A+AC+BD+BE+EDF應用公式3，可消去AC中的A，得Z=A+C+BD+BE+EDF應用公式4，可消去EDF，得Z=A+C+BD+BE1.4邏輯函數的化簡

1.4.1邏輯函數最簡式的定義

一個與給定函數等效的積之和式中，若同時滿足：①該式中的乘積項最少。②該式中的每個乘積項再不能用變量更少的乘積項代替，則此積之和式是給定函數的最簡式。

例如，邏輯函數的下列表達式中，式(1.48)是最簡式：F(A,B,C)=AB+BC+AC=AB+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC(1.48)1.4.2代數化簡法

運用邏輯代數的基本公式和運算規則對函數式進行等效變換，消除多余項和多余變量，以其獲得最簡表達式的方法稱為代數化簡法。代數化簡法沒有一個成熟的模式可以借鑒，只有多多練習，熟能生巧。

一、"與或"式的化簡二、"或與"式的