第二章回顧：《計量經濟學》基本數學工具代數知識數理統計基礎主要內容概率論基礎計量經濟學第1頁

求和運算子（SummationOperator）是用以表示多個數求和運算一個縮略符號。假如表示n個數一個序列，那么我們就把這n個數總和寫為：第一節代數知識一、求和運算子與描述統計量1、求和運算子計量經濟學第2頁性質SUM.1:對任意常數c，

求和運算子性質性質SUM.2:對任意常數c，

性質SUM.3:若是n個數對組成一個集合，且a和b是常數，則

計量經濟學第3頁2、平均數給定n個數，我們把它們加起來再除以n，便算出它們平均數（average）或均值：當這些是某特定變量（如受教育年數）一個數據樣本時，我們常稱之為樣本均值，以強調它是從一個特定數據集計算出來。樣本均值是描述統計量（DescriptiveStatistic）一個例子；此時，這個統計量描述了點集集中趨勢。計量經濟學第4頁均值性質假設我們取x每次觀察值并從中減去其均值：（這里“d”表示對均值離差）。那么，這些離差之和必為零：計量經濟學第5頁均值離差主要性質離差平方和等于平方和減去平方n倍:請加以證實。另請證實：給定兩個變量數據集

計量經濟學第6頁集中趨勢另一個表示：中位數均值是我們所關注集中趨勢指標，但有時用中位數（Median）或樣本中位數表示中心值也有價值。為了得到n個數中位數，我們先把值按從小到大次序排列。然后，若n是奇數，則樣本中位數就是按次序居中那個數，比如，給定一組數字，中位數就是2。普通說來，中位數和均值相比，對數列中級（大或小）值改變沒那么敏感。若n是偶數，則居中數字便有兩個，此時定義中位數方法就不是唯一。通常把中位數定義為兩個居中數字均值（仍指從小到大排序數列）。計量經濟學第7頁二、線性函數性質

假如兩個變量x和y關系是：我們便說y是x線性函數（LinearFunction）：而和是描述這一關系兩個參數，為截距（Intercept），為斜率（Slope）。一個線性函數定義特征在于，y改變量總是x改變量倍：其中，表示“改變量”。換句話說，x對y邊際效應（MarginalEffect）是一個等于常數。計量經濟學第8頁例2.1.1線性住房支出函數假定每個月住房支出和每個月收入關系式是Housing=164+0.27income那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出，假如家庭收入增加200元，那么住房支出就增加0.27×200=54元。機械解釋上述方程，即時一個沒有收入家庭也有164元住房支出，這當然是不真實。對低收入水平家庭，這個線性函數不能很好描述housing和income之間關系，這就是為何我們最終還得用其它函數形式來描述這種關系。計量經濟學第9頁圖2.1.1Housing=164+0.27income圖形例2.1.1線性住房支出函數計量經濟學第10頁例2.1.1線性住房支出函數

在上述方程中，把收入用于住房邊際消費傾向（MPC）是0.27。它不一樣于平均消費傾向（APC）：APC并非常數，它總比MPC大，但伴隨收入增加越來越靠近MPC。計量經濟學第11頁線性函數性質多于兩個變量線性函數：假定y與兩個變量和有普通形式關系：因為這個函數圖形是三維，所以相當難以想象，不過依然是截距（即=0和=0時y取值），且和都是特定斜率度量。由方程（A.12）可知，給定和改變量，y改變量是若不改變，即，則有所以是關系式在坐標上斜率：計量經濟學第12頁因為它度量了保持固定時，y怎樣隨而變，所以常把叫做對y偏效應（PartialEffect）。因為偏效應包括保持其它原因不變，所以它與其它條件不變（CeterisParibus）概念有親密聯絡，參數可作類似解釋：即若，則所以，是對y偏效應。線性函數性質計量經濟學第13頁假定大學生每個月對CD需求量與CD價格和每個月零花錢有以下關系：式中，price為每張碟價格，income以元計算。需求曲線表示在保持收入（和其它原因）不變情況下，quantity和price關系。例2.1.2對CD需求計量經濟學第14頁圖2.1.2quantity=120-9.8price+0.03income在income固定為900元時圖形例2.1.2對CD需求計量經濟學第15頁圖2.1.2描繪了在收入水平為900元時二維圖形。需求曲線斜率-9.8是價格對數量偏效應：保持收入固定不變，假如CD碟價格增加1元，那么需求量就下跌9.8。（我們把CD碟只能離散購置事實抽象化。）收入增加只是使需求曲線向上移動（改變了截距），但斜率依然不變。例2.1.2對CD需求計量經濟學第16頁線性函數基本性質：不論x初始值是什么，x每改變一個單位都造成y一樣改變。x對y邊際效應是常數，這對許多經濟關系來說多少有點不真實。比如，邊際酬勞遞減這個主要經濟概念就不符合線性關系。

為了建立各種經濟現象模型，我們需要研究一些非線性函數（nonlinearfunction）。

非線性函數特點是，給定x改變，y改變依賴于x初始值。三、若干特殊函數及其性質計量經濟學第17頁1.二次函數

刻畫酬勞遞減規律一個簡單方法，就是在線性關系中添加一個二次項。考慮方程式式中，，和為參數。當時，y和x之間關系呈拋物線狀，而且能夠證實，函數最大值出現在計量經濟學第18頁1.二次函數比如，若y=6+8x-2x2。（從而=8且=-2），則y最大值出現在x*=8/4=2處，而且這個最大值是6+8×2-2×（2）2=14。圖2.1.3y=6+8x-2x2

圖形計量經濟學第19頁

對方程式意味著x對y邊際效應遞減（diminishingmarginaleffect），這從圖中清楚可見，應用微積分知識，也能夠經過求這個二次函數一階導數得出。斜率=方程右端是此二次函數對x導數（derivative）。一樣，則意味著x對y邊際效應遞增（increasingmarginaleffect），二次函數圖形就呈U行，函數最小值出現在點處。1.二次函數計量經濟學第20頁

在計量經濟分析中起著最主要作用非線性函數是自然對數（naturelogarithm），或簡稱為對數函數（logfunction），記為還有幾個不一樣符號能夠表示自然對數，最慣用是或。當對數使用幾個不一樣底數時，這些不一樣符號是有作用。當前，只有自然對數最主要，所以我們都用表示自然對數。2.自然對數計量經濟學第21頁2.自然對數圖2.1.4y=log（x）圖形計量經濟學第22頁2.自然對數

從圖能看出以下性質：1.當y=log（x）時，y和x關系表現出邊際酬勞遞減。2.當y=log（x）時，x對y永遠沒有負效應：函數斜率伴隨x增大越來越靠近零，然而這個斜率永遠到不了零，所以更不會是負。3.log（x）可正可負：log（x）<0，0<x<1；log（1）=0；log（x）>0，x>14.一些有用性質（切記）：

log（x1·x2）=log（x1）+log（x2），x1，x2>0log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x2>0

log（xc）=c·log（x），x>0，c為任意實數計量經濟學第23頁2.自然對數

對數可用于計量經濟學應用中各種近似計算。1.對于x≈0，有log（1+x）≈x。這個近似計算伴隨x變大而越來越不準確。2.兩對數之差可用作百分比改變近似值。令x0和x1為兩個正數，能夠證實（利用微積分），對x微小改變，有假如我們用100乘以上述方程，并記那么，對x微小改變，便有“微小”含義取決于詳細情況。計量經濟學第24頁2.自然對數近似計算作用：定義y對x彈性（elasticity）為換言之，y對x彈性就是當x增加1%時y百分數改變。若y是x線性函數：，則這個彈性是它顯著取決于x取值（彈性并非沿著需求曲線保持不變）。計量經濟學第25頁2.自然對數不但在需求理論中，在許多應用經濟學領域，彈性都是非常主要。在許多情況下，使用一個常彈性模型都很方便，而對數函數能幫助我們設定這么模型。假如我們對x和y都使用對數近似計算，彈性就近似等于所以，一個常彈性模型（constantelasticitymodel）可近似描述為方程式中，為y對x彈性（假定x，y>0）。這類模型在經驗經濟學中飾演著主要角色。當前，式中只是靠近于彈性這一事實并不主要，能夠忽略。計量經濟學第26頁例2.1.3常彈性需求函數若q代表需求量而p代表價格，而且二者關系為則需求價格彈性是-1.25.初略地說，價格每增加1%，將造成需求量下降1.25%。計量經濟學第27頁2.自然對數在經驗研究工作中還經常出現使用對數函數其它可能性。假定y>0，且則，從而。由此可知，當y和x有上述方程所表示關系時，計量經濟學第28頁例2.1.4對數工資方程假設小時工資與受教育年數有以下關系：依據前面所述方程，有由此可知，多受一年教育將使小時工資增加約9.4%。通常把%△y/△x稱為y對x半彈性（semi-elasticity），半彈性表示當x增加一個單位時y百分數改變。在上述模型中，半彈性是個常數而且等于，在上述例子中，我們能夠方便把工資和教育關系概括為：多受一年教育——不論所受教育起點怎樣——都將使工資提升約9.4%。這說明了這類模型在經濟學中主要作用。計量經濟學第29頁2.自然對數另一個關系式在應用經濟學中也是有意義：其中，x>0。若取y改變，則有，這又能夠寫為。利用近似計算，可得當x增加1%時，y改變個單位。計量經濟學第30頁例2.1.5勞動供給函數假定一個工人勞動供給可描述為式中，wage為小時工資而hours為每七天工作小時數，于是，由方程可得：換言之，工資每增加1%，將使每七天工作小時增加約0.45或略小于半個小時。若工資增加10%，則或約四個半小時。注意：不宜對更大工資百分數改變應用這個近似計算。計量經濟學第31頁考慮方程此處log（y）是x線性函數，不過怎樣寫出y本身作為x一個函數呢？指數函數（exponentialfunction）給出了答案。我們把指數函數寫為y=exp（x），有時也寫為，但在我們課程中這個符號不慣用。指數函數兩個主要數值是exp（0）=1和exp（1）=2.7183（取4位小數）。

3.指數函數計量經濟學第32頁3.指數函數圖2.1.4y=exp（x）圖形計量經濟學第33頁從上圖能夠看出，exp（x）對任何x值都有定義，而且總大于零。指數函數在以下意義上是對數函數反函數：對全部x，都有log﹝exp（x）﹞=x，而對x>0，有exp﹝log（x）﹞=x。換言之，對數“解除了”指數，反之亦然。對數函數和指數函數互為反函數。指數函數兩個有用性質是

exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2）和exp﹝c·log（x）﹞=xc3.指數函數計量經濟學第34頁記憶：經濟學中慣用一些函數及其導數有

4.微分學計量經濟學第35頁當y是多元函數時，偏導數（partialderivative）概念便很主要。假定y=f（x1，x2），此時便有兩個偏導數，一個關于x1，另一個關于x2。y對x1偏導數記為，就是把x2看做常數時方程對x1普通導數。類似，就是固定x1時方程對x2導數。若則這些偏導數可被視為經濟學所定義偏效應。4.微分學計量經濟學第36頁把工資與受教育年數和工作經驗（以年計）相聯絡一個函數是exper對wage偏效應就是上式對exper偏導數：這是增加一年工作經驗所造成工資近似改變。注意這個偏效應與exper和educ初始水平都相關系。比如，一個從educ=12和exper=5開始工人，再增加一年工作經驗，將使工資增加約0.19-0.08×5+0.007×12=0.234元。準確改變經過計算，結果是0.23，和近似計算結果非常靠近。例2.1.6含交互項工資方程計量經濟學第37頁在最小化或最大化單或多變量函數時，微分計算起著主要作用。假如是一個k元可微函數，則

在全部可能xj值中最小化或最大化f必要條件是換言之，f全部偏導數在處都必須取值為零。這些條件被稱為函數最小化或最大化一階條件（firstordercondition）。4.微分學計量經濟學第38頁參看附件習題冊。思索題計量經濟學第39頁一、隨機變量及其概率分布假設我們擲一枚錢幣10次，并計算出現正面次數，這就是一個試驗（experiment）例子。普通地說，一個試驗是指最少在理論上能夠無限重復下去任何一個程序，而且它有一個定義完好結果集。

一個隨機變量（randomvariable）是指一個含有數值特征并由一個試驗來決定其結果變量。

第二節概率論基礎計量經濟學第40頁按照概率和統計學通例，我們一律用大寫字母如常見W，X，Y和Z表示隨機變量，而用對應小寫字母w，x，y和z表示隨機變量特定結果。比如，在擲幣試驗中，令X為一枚錢幣投擲10次出現正面次數。所以X并不是任何詳細數值，但我們知道X將在集合中取一個值。比喻說，一個特殊結果是x=6。我們用下標表示一系列隨機變量。比如，我們統計隨機選擇20個家庭去年收入。能夠用X1，X2，··，X20表示這些隨機變量，并用x1，x2，···，x20表示其特殊結果。一、隨機變量及其概率分布計量經濟學第41頁如定義所言，即使隨機變量描述是一些定性事件，我們也總定義它結果是數值。比如，考慮只擲一枚錢幣，其兩個結果是正面和反面。我們能夠定義一個隨機變量以下：假如出現正面則X=1；假如出現反面則X=0。一個只能取0和1兩個值隨機變量叫做貝努利（或二值）隨機變量〔Bernoulli（orbinary）randomvariable〕。X～Bernoulli（θ）（讀作“X服從一個成功概率為θ貝努利分布）：P（X=1）=θ，P（X=0）=1-θ一、隨機變量及其概率分布計量經濟學第42頁1.離散隨機變量

離散隨機變量（discreterandomvariable）是指一個只取有限個或可數無限個數值隨機變量。“可數無限個”：即使隨機變量可取無限個值，但這些值能夠和正整數一一對應。貝努力隨機變量是離散隨機變量最簡單例子。

一、隨機變量及其概率分布計量經濟學第43頁一個離散隨機變量要由它全部可能值和取每個值對應概率來完整描述。假如X取k個可能值其概率p1，p2，···，pk被定義為

pj=P（X=xj），j=1，2，···，k（讀作：“X取值xj概率等于pj”。）其中，每個pj都在0-1之間，而且

p1+p2+···+pk=11.離散隨機變量計量經濟學第44頁X概率密度函數（probabilitydensityfunction，pdf）概括了X可能結果及其對應概率信息：

而且對某個j，凡是不等于xjx都有f（x）=0。換言之，對任何實數x，f（x）都是隨機變量X取該特定值x概率。當我們設計多于一個隨機變量時，有時需要給所考慮pdf加一個下標：比如fx是Xpdf，fY是Ypdf等等。1.離散隨機變量計量經濟學第45頁給定任一離散隨機變量pdf，就不難計算關于該隨機變量任何事件概率。比如，設X為一名籃球運動員在兩次罰球中命中次數。所以X三個可能值是｛0，1，2｝。假定Xpdf是f（0）=0.20，f（1）=0.44和f（2）=0.36這三個概率之和必定為1.利用這個pdf，我們能算出該運動員最少投中一球概率：P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。Xpdf以下列圖示：1.離散隨機變量計量經濟學第46頁012xf（x）1.離散隨機變量圖2.2.1兩次罰球命中次數pdf計量經濟學第47頁2.連續隨機變量

連續隨機變量（continuousrandomvariable）是指一個取任何實數概率都為零變量。這個定義有點違反直覺，因為在任何應用中，我們最終都會觀察到一個隨機變量取得某種結果。這里思想是，一個連續隨機變量X可能取值如此之多，以致我們無法用正整數去計算，因而，邏輯上一致性就要求X必須以零概率取每一個值。

一、隨機變量及其概率分布計量經濟學第48頁在計算連續隨機變量概率時，討論一個連續隨機變量取某特定值概率是沒有意義，最方便是使用累積分布函數（cumulativedistributionfunction，cdf）。設X為任意隨機變量，它對任何實數xcdf被定義為F（x）≡P（X≤x）對于一個連續隨機變量，F（x）就是概率密度函數f之下、點x以左面積。因為F（x）就是一個概率，所以它總是介于0-1之間。另外，若x1<x2，則P（X≤x1）≤P（X≤x2），即F（x1）≤F（x2）。這意味著cdf是x一個增（最少非減）函數。2.連續隨機變量計量經濟學第49頁cdf有以下兩個對計算概率頗為有用主要性質：

1.對任何數c，P（X>c）=1-F（c）

2.對任何兩個數a<b，P（a<X≤b）=F（b）-F（a）

在我們學習計量經濟課時，用cdf僅計算連續隨機變量概率，所以在概率命題中不等式是否嚴格不等便無所謂。也就是說，對于一個連續隨機變量X，有P（X≥c）=P（X>c）和P（a<X<b）=P（a≤X≤b）=P（a≤X<b）=P（a<X≤b）

對于概率和統計學中全部主要連續分布，其累積分布函數已被制成表格，其中最為人們熟知是正態分布。2.連續隨機變量計量經濟學第50頁1.聯合分布與獨立性令X和Y為離散隨機變量。那么（X，Y）聯合分布（jointdistribution）由它們聯合概率密度函數充分描述：上式右端是X=x和Y=y概率。若我們知道X和Ypdf，就輕易得到它們聯合pdf。詳細而言，我們說X和Y相互獨立充要條件是，對全部x和y，都有式中，fX為Xpdf而fY為Ypdf。二、聯合分布、條件分布與獨立性計量經濟學第51頁在多個隨機變量背景中，fX和fY這兩個pdf常被稱為邊緣概率密度函數（marginalprobabilitydensityfunction），以區分于聯合pdf，即fX，Y。上述獨立性定義適合用于離散和連續隨機變量。假如X和Y都是離散，那么上式就等同于P（X=x，Y=y）=P（X=x）·P（Y=y）因為僅需要知道P（X=x）與P（Y=y），所以計算聯合概率相當輕易。

若兩隨機變量不獨立，則稱它們是相依。1.聯合分布與獨立性計量經濟學第52頁考慮籃球運動員兩次罰球。令X為貝努利隨機變量：假如第一次命中它等于1，不然等于0。再令Y為貝努利隨機變量：假如第二次命中它等于1，不然等于0。假設該運動員每次罰球命中率都是80%，即P（X=1）=P（Y=1）=0.8，問兩罰兩中概率是多少？例2.2.1罰球命中率若X和Y獨立，則很輕易回答這個問題：P（X=1，Y=1）=P（X=1）·P（Y=1）=0.8×0.8=0.64。所以，有64%機會兩罰兩中。若第二次命中機會依賴于第一次是否命中，即X和Y不獨立，這種簡單計算便不再正確。計量經濟學第53頁隨機變量獨立性是一個十分主要概念。若X和Y獨立，則知道X結果并不改變Y出現各種可能結果概率，反之亦然。

關于獨立性一個有用結論是，若X和Y獨立，而我們對任意函數g和h定義兩個新隨機變量g（X）和h（Y），則這些新隨機變量也是獨立。1.聯合分布與獨立性計量經濟學第54頁在計量經濟學中，我們通常也對一個隨機變量（稱之為Y）與另外一個或多個隨機變量聯絡感興趣。暫且假設我們只對一個變量影響感興趣，并稱之為X。關于X怎樣影響Y，我們所能知道，都包含在給定X時Y條件分布（conditionaldistribution）中，由條件概率密度函數概括這一信息被定義為：對全部滿足x值，都有2.條件分布計量經濟學第55頁當X和Y都是離散變量時，上式可解釋為其中，上式右端讀作“給定X=x時Y=y概率”。當Y是連續變量時，因為前述理由，不能直接解釋為概率，但能夠經過計算條件概率密度函數之下面積來求出條件概率。條件分布一個主要性質是，若X和Y是獨立隨機變量，知道X取什么值無助于確定Y取各值概率（反之亦然）。這就是說，且。2.條件分布計量經濟學第56頁再次考慮籃球員兩次投籃例子。假定條件密度是這意味著球員第二次罰球命中概率依賴于第一次罰球是否命中：假如第一次命中，則第二次命中概率是0.85；假如第一次失誤，則第二次命中概率是0.70。這就是說，X和Y不是獨立，而是相關。我們若知道P（X=1），便能夠計算P（X=1，Y=1）。假定第一次命中概率是0.8，即P（X=1）=0.8，那么我們得到兩罰兩中概率為P（X=1，Y=1）=P（Y=1|X=1）·P（X=1）=0.85×0.8=0.68例2.2.2罰球命中率計量經濟學第57頁多數情況下我們只對隨機變量分布少數幾個性質感興趣。這些特征可分成三類：集中趨勢度量、變異或分散程度度量以及兩個隨機變量之間關聯性度量。1.集中趨勢一個度量：期望值期望值是我們在計量經濟學學習中碰到最主要概率性概念之一。設X為一隨機變量。它期望值（expectedvalueorexpectation），記做E（X），就是對X全部可能值一個加權平均。權數由概率密度函數決定。有時期望值又被稱為總體均值，尤其是在我們強調X代表了總體中某個變量時。三、概率分布特征計量經濟學第58頁當X是取有限個值[比喻說]離散隨機變量時，期望值準確定義最為簡單。令f（x）表示X概率密度函數，則X期望值為加權平均：給定pdf在X每個可能結果處取值，這很輕易計算。1.集中趨勢一個度量：期望值計量經濟學第59頁假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8例2.2.3計算一個期望值計量經濟學第60頁假如X是一個連續隨機變量，則E（X）被定義為一個積分：這依然能夠解釋為一個加權平均。和離散情形不一樣，E（X）總是X可能結果之一。本課程中，即使我們需要用到概率論中一些特殊隨機變量期望值相關熟悉結論，但我們并不需要用積分去計算期望值。1.集中趨勢一個度量：期望值計量經濟學第61頁給定隨機變量X和函數g（·），能夠產生一個新隨機變量g（X）。比如，若X是一隨機變量，則X

2和log（X）（X>0）也是隨機變量。g（X）期望值依然是一個加權平均：

或者，對一個連續隨機變量來說，1.集中趨勢一個度量：期望值計量經濟學第62頁例2.2.3：假定X分別以概率1/8、1/2和3/8取值-1、0和2，則：

E（X）=（-1）×1/8+0×（1/2）+2×（3/8）=5/8

對于例2.2.3中隨機變量，令g（X）=X2，便有E（X2）=（-1）2×1/8+（0）2×（1/2）+（2）2×（3/8）=13/8例2.2.4X2期望值計量經濟學第63頁性質1.對任意常數c，E（c）=c。性質2.對任意常數a和b，E（aX+b）=aE（X）+b。性質3.假如是常數而是隨機變量，則或者，利用求和符號，作為一個特例，取每個aj=1，我們有所以，和期望值就是期望值之和。在數理統計推導中經常用到這個性質。2.期望值性質計量經濟學第64頁令X1，X2和X3分別為比薩店在某日出售小、中、大比薩個數。這些隨機變量期望值是E（X1）=25，E（X2）=57和E（X3）=40。小、中、大比薩價格分別是5.50、7.60和9.15美元。所以，該日出售比薩期望收入是E（5.5X1+7.60X2+9.15X3）=5.50E（X1）+7.60E（X2）+9.15E（X3）=5.5×25+7.60×57+9.15×40=936.70即936.70美元。這不過是期望收入，詳細某一天實際收入普通都會有所差異。例2.2.5求期望收入計量經濟學第65頁度量集中趨勢另一個方法是用中位數（median）。若X是連續，則X中位數（比喻說m）就是這么一個數：pdf之下二分之一面積在m之左，另二分之一面積在m之右。當X是離散且取有奇數個值時，中位數就是按大小排序后居中一個數。若X可能取偶數個值，則實際上有兩個中位數；有時取這兩個數平均，便得到唯一一個中位數。普通而言，中位數，有時記為Med（X），和期望值E（X）是不相同。作為集中趨勢度量，不能說哪一個比另一個更加好，二者都是度量X分布中心有效方法。2.集中趨勢另一個度量：中位數計量經濟學第66頁盡管一個隨機變量集中趨勢頗有價值，但它還不能通知我們關于這個隨機變量分布一切。下列圖給出了兩個含有相同均值隨機變量pdf。顯然X分布比Y分布更緊密地集中在其中心周圍。3.變異性度量：方差與標準差圖2.2.2有相同均值但不相同分布隨機變量fXfY計量經濟學第67頁對一個隨機變量X，令μ=E（X）。為了度量X離其期望值多遠，有許各種方法，而最簡單一個代數方法就是用差異平方（X-μ）2。（平方是為了消除距離度量符號，由此得到正值符合我們對距離直觀認識。）因這一距離隨X每一結果而變，故本身就是一個隨機變量。正如我們需要用一個數來總結X集中趨勢那樣，我們也需要用一個數來告訴我們X平均而言離μ有多遠。一個這么數就是方差（variance），它告訴我們X對其均值期望距離：方差有時記為，由方程知方差必定非負。4.方差計量經濟學第68頁

性質1.當且僅當存在常數c使得P（X=c）=1時[此時E（X）=c]，Var（X）=0。也就是說，任何常數方差都是零，而且，若一個隨機變量有零方差，則它本質上就是常量。

性質2.對任意常數a和b，都有Var（aX+b）=a2Var（X）。這意味著，把一個常數加到一個隨機變量上不會改變其方差，但用一個常數去乘一個隨機變量使其方差增大該常數平方倍。比如，若X指攝氏溫度，而Y=32+（9/5）X為華氏溫度，則Var（Y）=（9/5）2Var（X）=（81/25）Var（X）方差兩個主要性質計量經濟學第69頁一個隨機變量標準差，記為sd（X），就是它方差正平方根：sd（X）≡+。標準差有時又記做。標準差有兩個主要性質可從方差兩個性質中直接推出。

性質1.對任意常數c，sd（c）=0性質2.對任意常數a和b，sd（aX+b）=|a|sd（X）尤其是，若a>0，則sd（aX）=a·sd（X）。5.標準差計量經濟學第70頁作為方差和標準差性質一個應用——而且本身也是有實際意義一個問題——假如給定隨機變量X，我們將它減去其均值μ并除以其標準差б，便定義了一個新隨機變量

Z≡這又可寫為Z=aX+b，其中a=（1/б）而b=-（μ/б）。可得：E（Z）=aE（X）+b=（μ/б）-（μ/б）=0Var（Z）=a2Var（X）=б2/б2=1所以，隨機變量Z均值為零，方差（或者標準差）為1。這一過程有時被稱為將隨機變量X標準化，而Z則叫做標準化隨機變量（standardizedrandomvariable）。5.標準化一個隨機變量計量經濟學第71頁1.關聯度：協方差與相關即使兩個隨機變量聯合pdf完整地描述了它們之間關系，但對于它們大致怎樣相互變動，仍需要一個扼要度量伎倆。正準期望值和方差一樣，這類似于用一個數字來概括整個分布某首先，現在要概括便是兩個隨機變量聯合pdf。四、聯合與條件分布特征計量經濟學第72頁兩個隨機變量X和Y之間協方差（covariance）（有時也叫做總體協方差，以強調它考慮是描述一個總體兩個隨機變量之間關系），被定義為乘積（X-μX）（Y-μY）期望值：有時又記為。若，則平均而言，當X超出其均值時，Y也超出其均值；若，則平均而言，當X超出其均值時，Y低于其均值。2.協方差計量經濟學第73頁計算幾個有用表示式以下：協方差度量兩個隨機變量之間線性相依性（lineardependence）。一個正協方差表示兩隨機變量同向移動，而一個負協方差則表示兩隨機變量反向移動。2.協方差計量經濟學第74頁

性質Cov.1：若X和Y相互獨立，則注意：此性質反命題并不成立：X和Y之間協方差為零并不意味著X和Y相互獨立。

性質Cov.2：對任意常數a1，b1，a2和b2，都有此性質主要含義在于，兩個隨機變量之間協方差會因為將二者或者二者之一乘以一個常數倍而改變。這在經濟學中之所以主要，是因為諸如貨幣變量和通貨膨脹率等，都可使用不一樣度量單位進行定義而不改變其實質。協方差性質計量經濟學第75頁最終，知道任何兩隨機變量之協方差絕對值必定不會超出它們標準差之積也有用處，此即著名柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwartzinequality）。

性質COV.3協方差性質計量經濟學第76頁假定我們想知道勞動總體中受教育程度和年薪之間關系，我們就可令X代表教育，Y代表薪水，然后計算它們協方差。然而我們得到答案卻取決于教育和薪水度量單位。協方差性質Cov.2意味著，教育和薪水之間協方差，視薪水是以美元還是以千美元度量或者教育是以月還是以年計算而定。很顯著，變量度量單位選擇對它們有多強關系并沒有影響。不過它們之間協方差卻與度量單位相關。3.相關系數計量經濟學第77頁取決于度量單位是協方差一個缺點。為克服這一缺點，現引進X和Y相關系數（correlationcoefficient）：X和Y相關系數有時記做（而且有時稱總體相關）。3.相關系數計量經濟學第78頁性質Corr.1

-1≤Corr（X，Y）≤1若Corr（X，Y）=0，或等價地Cov（X，Y）=0，則X和Y之間就不存在線性關系，并稱X和Y為不相關隨機變量（uncorrelatedrandomvariables）；不然X和Y就是相關。Corr（X，Y）=1意味著一個完全正線性關系，意思是說，我們對某常數a和某常數b＞0能夠寫Y=a+bX。Corr（X，Y）=-1則意味著一個完全負線性關系，使得對某個b<0有Y=a+bX。+1和-1兩個極端情形極少出現。靠近1或-1值便意味著較強線性關系。3.相關系數計量經濟學第79頁性質Corr.2

對于常數a1，b1，a2和b2，若a1a2>0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=Corr（X，Y）若a1a2<0，則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=-Corr（X，Y）作為一個例子，假定薪水和教育總體相關系數是0.15.這一度量將與用美元、千美元或任何其它單位計算薪水都無關；與用年、季、月或其它單位來衡量受教育時間也無關。3.相關系數計量經濟學第80頁一旦定義了協方差和相關系數，就能夠把方差主要性質完整地列出來。

性質VAR.3對于常數a和b，有由此可知，若X和Y不相關（從而Cov（X，Y）=0）則和在后一情形中，要注意為何差方差是（兩個）方差之和，而不是方差之差。4.隨機變量之和方差計量經濟學第81頁例：令X為星期五夜晚某酒店賺到利潤，而Y為接下來星期六夜晚賺到利潤。所以，Z=X+Y就是這兩個夜晚賺利潤。假定X和Y都有一個300美元期望值和一個15美元標準差（因而方差為225）。兩夜晚期望利潤將是E（Z）=E（X）+E（Y）=2×300=600美元。若X和Y獨立，從而它們也不相關，則總利潤方差便是兩個方差之和：Var（Z）=Var（X）+Var（Y）=2×225=450。于是總利潤標準差是，約為21.21美元。4.隨機變量之和方差計量經濟學第82頁從兩個變量推廣到多于兩個變量情形。若隨機變量中每一個變量與集合中其它任何一個變量都不相關，我們便稱其為兩兩不相關隨機變量（pairwiseuncorrelatedrandomvariables）。也就是說，對全部，都有4.隨機變量之和方差計量經濟學第83頁

性質VAR.4若是兩兩不相關隨機變量且是常數，則用求和符號便可寫為此性質一個特殊情形就是，對全部i都取ai=1.這時，對兩兩不相關隨機變量來說，和方差就是方差之和：4.隨機變量之和方差計量經濟學第84頁協方差和相關系數都是對兩個隨機變量之間線性關系度量，而且對稱地處理二者。在社會科學中更多情況是，我們想用一個變量X去解釋另一個變量Y。而且，若Y和X有非線性形式關系，則我們還希望知道這個形式。把Y叫做被解釋變量，而X叫做解釋變量。比如Y代表小時工資，而X代表受過正式教育年數。能夠經過給定X下Y條件期望（conditionalexpectation）（有時又稱條件均值）來概括Y和X之間關系。即，一旦我們知道X取了某個特定值x，就能依據X這個結果算出Y期望值。記作E（Y|X=x）或簡記E（Y|x）。普通情形是，伴隨x改變，E（Y|x）也會改變。5.條件期望計量經濟學第85頁當Y是取值為離散隨機變量時，則有當Y連續時，E（Y|x）便由對y全部可能值求積分來定義。好比無條件期望那樣，條件期望也是對Y全部可能值一個加權平均，只不過這時權數反應了X已取了某個特殊值情形。所以，E（Y|x）是x某個函數，這個函數告訴我們Y期望值怎樣隨x而改變。5.條件期望計量經濟學第86頁例令（X，Y）代表一個工人總體，其中X為受教育年數，Y為小時工資。那么，E（Y|x=12）便是總體中全部受了教育（相當于讀完高中）工人平均小時工資。E（Y|x=16）則是全部受過教育工人平均小時工資。跟蹤各種教育水平期望值，便為工資和教育之間關系提供了主要信息。5.條件期望計量經濟學第87頁5.條件期望4812EDUCE（WAGE|EDUC）1620圖2.2.3小時工資在給定各種教育水平下期望值計量經濟學第88頁標準上，能夠在每個教育水平上求出小時工資期望值，然后將這些期望值列表。因為教育改變范圍很大——且可度量為一年某個分數——所以用這種方法顯示平均工資和受教育程度之間關系很煩瑣。計量經濟學中經典方法是，設定一些足以刻畫這種關系簡單函數。作為一個例子，假設WAGE在給定EDUC時期望值是以下線性函數：E（WAGE|EDUC）=1.05+0.45EDUC假定這一關系對工人總體成立，則受8年和教育者平均工資分別是多少？EDUC系數怎樣解釋？5.條件期望計量經濟學第89頁條件期望也可能是個非線性函數。比如，令E（Y|x）=10/x，其中X是一個恒大于零隨機變量。這個函數圖形以下列圖。它能夠代表一個需求函數，其中Y為需求量，而X為價格。若Y和X關系確實如此，則諸如相關分析一類線性關聯分析便不適當。5.條件期望E（Y|x）x計量經濟學第90頁條件期望一些基本性質對計量經濟分析中推導頗為有用。

性質CE.1對任意函數c（X），都有E[c（X）|X]=c（X）。這意味著，當我們計算以X為條件期望值時，X函數可視為常數。比如E（X2|X）=X2。直觀上，這無非就是說，若知道了X，也就知道了X2。

6.條件期望性質計量經濟學第91頁性質CE.2對任意函數a（X）和b（X），有

比如，我們能很輕易地計算像XY+2X2這種函數條件期望：6.條件期望性質計量經濟學第92頁性質CE.3若X和Y相互獨立，則E（Y|X）=E（Y）。這個性質意味著，若X和Y相互獨立，則Y在給定X時期望值與X無關，這是E（Y|X）必定等于Y（無條件）期望。在工資與教育一例中，假設工資獨立于教育，則高中畢業生和大學畢業生平均工資便相同。這幾乎無疑是錯誤，所以我們不能假定工資與教育是獨立。6.條件期望性質計量經濟學第93頁性質CE.4E[E（Y|X）]=E（Y）。這個性質意味著，假如我們先把E（Y|X）看做X函數，再求這個函數期望值，那么結果就是E（Y）。

例：令Y=WAGE和X=EDUC，其中WAGE為小時工資，而EDUC為受教育年數。假定給定EDUC下WAGE期望值是E（WAGE|EDUC）=4+0.6EDUC，且E（EDUC）=11.5。則有E（WAGE）=E（4+0.6EDUC）=4+0.6E（EDUC）=10.90美元/小時。6.條件期望性質計量經濟學第94頁性質CE.5若E（Y|X）=E（Y），則Cov（X，Y）=0（因而Corr（X，Y）=0。實際上X每個函數都與Y不相關。該性質含義是，若對X了解不能改變Y期望值，則X和Y必定不相關。注意：此性質逆命題不成立。若X和Y不相關，E（Y|X）依然可能取決于X。6.條件期望性質計量經濟學第95頁

給定隨機變量X和Y，Y以X=x為條件方差，無非就是在給定X=x下與Y條件分布相聯絡方差：公式慣用于計算。

性質CV.1若X和Y相互獨立，則Var（Y|X）=Var（Y）。因為在給定X下Y分布與X無關，而Var（Y|X）無非就是這個分布特征之一，所以這個性質相當顯著。7.條件方差計量經濟學第96頁1.正態分布正態分布和由它衍生出來分布是統計學和計量經濟學中最廣泛使用分布。假定在總體上定義隨機變量是正態分布，將使概率計算得以簡化。五、正態及其相關分布μx一個正態隨機變量fx圖2.2.4正態概率密度函數普通形狀計量經濟學第97頁在數學上，Xpdf可寫為：其中，和。我們說X有一個均值為μ和方差為б2正態分布（normaldistribution），記作X~Normal（μ，б2）。因正態分布對稱于μ，故μ也是X中位數。有時又把正態分布叫做高斯分布，以紀念注明統計學家高斯（C.F.Gauss）。1.正態分布計量經濟學第98頁一些隨機變量粗略地看似乎遵照正態分布。人類身高和體重、考試得分以及某縣失業率，大致上都有類似于正態分布圖形pdf。另一些分布如收入分布，則不像正態密度函數那樣分布。在大多數國家里，收入都不對稱于任何數值而分布；分布是朝上端偏斜。有時一個變量可經過變換而取得正態性。一個常見變換是取自然對數，這對取正值隨機變量來說是有意義。若X是正隨機變量（比如收入），而Y=log（X）含有正態分布，我們便說X服從一個對數正態（lognormal）分布。人們發覺，對數正態分布頗適合許多國家收入分布。諸如商品價格等另一些變量，看來也適合描述為對數正態分布。1.正態分布計量經濟學第99頁正態分布一個特殊情形是它均值為0和方差（因而標準差）為1。若隨機變量Z服從Normal（0，1）分布，我們便說它服從標準正態分布（standardnormaldistribution），一個標準正態隨機變量pdf被記為φ（z）；依據μ=0和б2=1式，它由下式給出：2.標準正態分布計量經濟學第100頁-303z010.5圖2.2.5標準正態累積分布函數標準正態累積分布函數被記為φ（z），即位于φ之下、z以左面積；φ（z）=P（Z≤z）；因Z是連續，故也能夠寫成φ（z）=P（Z<z）。2.標準正態分布計量經濟學第101頁沒有可用來求φ（z）值簡單公式[因為φ（z）是函數積分，而這個積分沒有一個封閉形式]。然而φ（z）值很輕易制成表格。對于z≤-3.1，

φ（z）小于0.001，而對于z≥-3.1，φ（z）大于0.999.大多數統計學和計量經濟學軟件包都含有計算標準正態cdf值簡單命令，所以我們完全能防止使用印刷表格而取得對應于任意z值概率。2.標準正態分布計量經濟學第102頁借助于概率論中基本結論——尤其是相關cdf性質——我們能夠利用標準正態cdf計算包括一個標準正態隨機變量任何事件概率。最主要公式是P（Z>z）=1-φ（z）P（Z<-z）=P（Z>z）和P（a≤Z≤b）=φ（b）-φ（a）因為Z是連續隨機變量，所以不論不等式是否嚴格，這三個公式全都成立。2.標準正態分布計量經濟學第103頁在大多數應用中，我們首先碰到是一個正態分布隨機變量X~Normal（μ，б2），其中μ不等于0且б2≠1。利用以下性質，可將任何一個正態隨機變量轉換成一個標準正態分布。

性質NORMAL.1：若X~Normal（μ，б2），則（X-μ）/б~Normal（0，1）。這說明了怎樣把任意一個正態隨機變量轉換成標準正態。比如，X~Normal（3，4），而我們要計算P（X≤1）。我們總是把X規范化為一個標準正態變量：

P（X≤1）=P（X-3≤1-3）=P[（X-3）/2≤-1]=P（Z≤-1）=φ（-1）=0.1592.標準正態分布計量經濟學第104頁首先我們計算當X~Normal（4，9）時P（2<X≤6）（因為X是連續隨機變量，所以用或都無關緊要）。現在下面我們來計算P（|X|>2）：例2.2.6正態隨機變量概率計量經濟學第105頁性質NORMAL.2：若X~Normal（μ，б2），則aX+b~Normal（aμ+b，a2б2）。性質NORMAL.3：若X和Y聯合正態分布，則它們獨立充要條件是Cov（X，Y）=0性質NORMAL.4：獨立同分布正態隨機變量任意線性組合都是正態分布。這說明了，獨立正態分布隨機變量平均是一個正態分布變量。若Y1，Y2，···，Yn為獨立隨機變量，且每一遍了都服從Y~Normal（μ，б2）分布，則這個結論在對正態總體均值統計推斷中起關鍵作用。3.正態分布其它性質計量經濟學第106頁卡方分布（分布）是一個連續型隨機變量概率分布。這個分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、19所發覺，它是由正態分布派生出來，主要用于列聯表檢驗。1.卡方分布數學形式設隨機變量X1，X2，…Xk，相互獨立，且都服從同一正態分布N(μ，σ2)。那么，我們能夠先把它們變為標準正態變量Z1，Z2，…Zk，k個獨立標準正態變量平方和被定義為卡方分布（分布）隨機變量（讀作卡方）六、卡方分布計量經濟學第107頁X即所謂含有n個自由度（degreesoffreedom，df）

分布。自由度概念在我們計量經濟學中飾演著主要角色。1.卡方分布數學形式計量經濟學第108頁下列圖為含有不一樣自由度pdf圖形。2.卡方分布性質圖2.2.6有各種自由度分布計量經濟學第109頁

t分布在經典統計學和多元回歸分析中廣為應用：它能夠從一個標準正態和一個分布得到。設Z服從標準正態分布，而X服從自由度為n分布。于是，隨機變量便服從自由度為nt分布（tdistribution），記為T~tn。t分布自由度得子分母中隨機變量。

t分布pdf有一個類似于標準正態分布形狀，只是它更散開一些，因而尾端有較大面積。伴隨自由度不停變大，t分布越來越靠近于標準正態分布。七、t分布計量經濟學第110頁圖2.2.7有各種自由度t分布七、t分布計量經濟學第111頁統計學和計量經濟學中另一主要分布是F分布。尤其是在多元回歸分析中，要用F分布去檢驗假設。為了定義F隨機變量，令

和，并假定X1和X2獨立，則隨機變量服從一個自由度為（k1，k2）F分布（Fdistribution）。記為。八、F分布計量經濟學第112頁圖2.2.8各種自由度k1和k2分布八、F分布計量經濟學第113頁參看附件習題冊。思索題計量經濟學第114頁一、總體、參數與隨機抽樣統計推斷指利用來自總體一個樣本而獲知該總體一些情況。所謂總體（population），指任何定義完好一組對象，這些對象能夠是個人、企業、城市或其它很多可能性。所謂“獲知”，能夠有很多含義，但大致歸類為預計（estimation）和假設檢驗（hypothesistesting）兩個范圍。

第三節數理統計基礎計量經濟學第115頁例1：勞動經濟學家想了解中國全體就業成人教育回報，問再多受一年教育，工作平均增加百分數是多少？要取得中國全體就業人口工資和教育信息既不現實又不經濟，但我們能夠取得總體中一個子集數據。利用搜集到這些數據，一位勞動經濟學家可能能匯報他對再受一年教育回報最好預計為7.5%。這就是點預計（pointestimate）一個例子。或者，他想匯報一個范圍，比喻說“教育回報在5.6%~9.4%之間”。這是區間預計（intervalestimate）一個例子。一、總體、參數與隨機抽樣計量經濟學第116頁例2：城市經濟學家想知道鄰里犯罪計劃是否與低犯罪率相關。經過在取自總體一個樣本中比較了安排和不安排監控計劃鄰里犯罪率，他能夠得到兩結論之一：鄰里犯罪監控計劃對犯罪率確實有影響，或者沒有影響。這個例子就屬于假設檢驗范圍。一、總體、參數與隨機抽樣計量經濟學第117頁統計推斷第一步就是要明確所關注總體，而且一定要使之非常詳細。一旦明確了總體是什么，就可對所關注總體關系建立或設定一個模型。這個模型將包括一些概率分布或概率分布特征，而這又取決于一些未知參數。所謂參數，就是決定變量關系之方向和強度一些常數。如勞動經濟學例子中，所關注參數是總體中教育回報（率）。一、總體、參數與隨機抽樣計量經濟學第118頁令Y為一個隨機變量，代表著概率密度函數為f（y;θ）一個總體，其中f（y;θ）依賴于單個參數θ

。假定除了θ值未知外，Y概率密度函數pdf是已知。不一樣θ值將意味著不一樣概率分布，所以我們對θ值感興趣。假如我們能得到該總體某種樣本，就能了解θ一些情況。最輕易處理抽樣方案是隨機抽樣。抽樣計量經濟學第119頁若Y1，Y2，···Yn是含有同一概率密度函數f（y;θ）獨立隨機變量，我們稱為來自f（y;θ）隨機樣本（randomsample）[或者說來自由所代表總體一個隨機樣本]。

當是來自密度f（y;θ）一個隨機樣本時，我們又稱Yi是取自f（y;θ）獨立同分布（independent，identicallydistributed，i.i.d）樣本。抽樣計量經濟學第120頁在隨機抽樣定義中，Y1，Y2，···Yn隨機性質反應了這么事實：在抽樣實際完成之前，許多不一樣結果都有可能。比如，我們獲取了n=100個中國家庭家庭收入，那么對于由100個家庭組成每個不一樣本，我們觀察到收入都將有所不一樣。一旦得到了一個樣本，我們就得到一個數集，比喻說，這就是我們要加以研究數據。假定這個樣原來自一個隨機抽樣模式是否適當，還要求我們對實際抽樣過程有所了解。抽樣計量經濟學第121頁“有限樣本”一詞來自以下事實：不論樣本容量怎樣，所討論性質對任何樣本容量都成立。有時把這些性質叫做小樣本性質。1.預計量與預計值給定一個隨機樣本，它來自一個取決于某未知參數θ總體分布，θ一個預計量（estimator）就是賦予樣本每個可能結果一個θ值法則。這個法則在進行抽樣之前就已經確立，詳細而言，不論實際得到什么樣數據，這個法則都不會改變。二、預計量有限樣本性質計量經濟學第122頁作為預計量一個例子，令為取自均值為μ總體一個隨機樣本。μ一個預計量，就是這個隨機樣本均值我們把叫做樣本均值（sampleaverage），不過它不一樣于我們在代數知識中作為一個描述統計量而定義一個數集樣本均值。這里是一個預計量。給定隨機變量Y1，Y2，···Yn任何一個結果，我們都用一樣法則去預計μ：取其平均。對于實際結果，預計值（estimate）就是該樣本均值：1.預計量與預計值計量經濟學第123頁假設我們得到美國10個城市以下失業率樣本：例2.3.1：城市失業率城市失業率123456789105.16.49.24.17.58.32.63.55.87.5我們對美國平均城市失業率預計值是。普通地說，每個樣本都有一個不一樣預計值，不過求預計值法則是一樣，不論在樣本中出現是哪些城市，也不論樣本中有多少個城市。計量經濟學第124頁更普通地說，參數θ一個預計量W可表示為一個抽象數學公式：其中，h代表隨機變量Y1，Y2，···Yn某個已知函數。如一樣本均值特殊情形那樣，W也因取決于隨機樣本而成為一個隨機變量：W伴隨我們從總體中抽到不一樣隨機樣本而可能改變。當我們把一個特定數集[比如]帶入函數h中時，我們便得到θ一個預計值，記為：。有時把W叫做點預計量，而把w叫做點預計值，以區分區間預計量和區間預計值。1.預計量與預計值計量經濟學第125頁為了評價不一樣預計方法，我們研究隨機變量W之概率分布各種性質。一個預計量分布常被稱為抽樣分布（samplingdistribution），因為這個分布描述了W在不一樣隨機樣本上取各種結果可能性。因為有沒有限種組合數據以預計參數法則，我們需要一些有意義準則來挑選預計量，或者最少淘汰一些預計量。所以，我們必須告別描述統計量范圍，不再僅為總結一組數據而計算諸如樣本均值之類東西。在數理統計學中，我們研究是預計量抽樣分布。1.預計量與預計值計量經濟學第126頁標準上，給定Yi概率分布和函數h，我們就能求出W整個抽樣分布。通常在評價W作為θ一個預計量時，集中考慮W分布少數幾個特征比較簡單。一個預計量第一個主要性質就是關于它期望值。

無偏預計量：若θ預計量W對一切可能θ值，都有E（W）=θ則W