Page1專題08平行四邊形及其性質【考點一】多邊求形的內角和及多邊形的對角線例題：（河北石家莊·八年級期末）若凸n邊形的內角和為1260°，則n＝_____；該多邊形的對角線條數是_____．【答案】

9

27【解析】【分析】依據凸n邊形的內角和為1260°，求出凸n邊形的邊數，然后依據對角線的條數的公式進行計算即可求解即可．【詳解】解：∵凸n邊形的內角和為1260°，∴（n?2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴這個多邊形的對角線的條數是×9×（9?3）＝27．故答案為：9，27．【點睛】本題考查了多邊形的內角和定理及多邊形的對角線，熟記多邊形的內角和計算公式是正確解答本題的基礎．【變式訓練】1．（四川省鄰水中學九年級期中）若一個多邊形的內角和是1260°，則這個多邊形的邊數是_______【答案】9【解析】【分析】依據多邊形的內角和公式：n邊形內角和等于（n-2）?180°；解答即可；【詳解】解：設多邊形邊數為n，則（n-2）?180°=1260°，解得：n=9，故答案為：9．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與邊數關系：多邊形的內角和公式，都是利用轉化思想而得，把多邊形分成若干個三角形（如n邊形內一點與n條邊構成n個三角形，則n邊形內角和等于n?180-360°），從而將多邊形問題轉化為三角形問題來解決，這種思想對于學好數學是極為重要的．2．（陜西·武功縣教化局教化教學探討室一模）若一個正多邊形的內角和是其外角和的3倍，則該多邊形每個外角的度數為______°．【答案】45【解析】【分析】先由多邊形的內角和和外角和的關系推斷出多邊形的邊數，即可得到結論．【詳解】解：設多邊形的邊數為n，因為正多邊形內角和為（n-2）?180°，正多邊形外角和為360°，依據題意得：（n-2）?180°=360°×3，解得：n=8．∴這個正多邊形的每個外角==45°．故答案為：45．【點睛】本題考查了正多邊形的內角與外角，正多邊形的性質；嫻熟駕馭正多邊形的性質，求出正多邊形的邊數是解決問題的關鍵．3．（山東濟南·七年級期末）從n邊形的一個頂點動身，分別連接這個點與同它不相鄰的各個頂點，得到7個三角形，那么這個多邊形為______邊形．【答案】九【解析】【分析】依據從n邊形的一個頂點動身，分別連接這個點與同它不相鄰的各個頂點，得到(n-2)個三角形得出結果．【詳解】解：依據題意，得n-2=7，解得n=9，故答案為九．【點睛】本題考查多邊形與三角形的關系，依據從n邊形的一個頂點動身可以得到（n-3）條對角線，（n-2）個三角形．4．（江蘇鹽城·七年級期中）如圖，大建從A點動身沿直線前進8米到達B點后向左旋轉的角度為，再沿直線前進8米，到達點C后，又向左旋轉角度，照這樣走下去，第一次回到動身地點時，他共走了72米，則每次旋轉的角度為______°．【答案】【解析】【分析】依據共走了72米，每次前進8米且左轉的角度相同，則可計算出該正多邊形的邊數，再依據外角和計算左轉的角度．【詳解】連續左轉后形成的正多邊形邊數為：，則左轉的角度．故答案是：40．【點睛】本題考查了多邊形的外角計算，正確理解多邊形的外角和是360°是關鍵．【考點二】利用平行四邊形的性質求角及線段的長例題：（山東棗莊·三模）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE＝DF，連接EF交BD于O．(1)求證：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG＝1時，求AD的長．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】【分析】（1）通過證明與全等即可證明；（2）由是等腰直角三角形得出.由得，所以與都是等腰直角三角形，從而求得、的長，然后由（1）中與全等得出，進而求得的長，的長即可求得．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，在與中∴，∴．(2)解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1），∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形得判定和性質及平行線的性質，嫻熟運用各定理是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（四川南充·一模）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD與BC交于E．若∠D＝50°，則∠AEC的大小為________度．【答案】【解析】【分析】利用平行四邊形的性質，結合∠D＝50°，求得∠BAD的度數，然后利用角平分線的定義求得∠DAE的度數，最終利用平行線的性質即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵∠D＝50°，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∵，∴，∴，故答案為：115【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和角平分線的定義，熟記性質和定義是解題的關鍵．2．（山東菏澤·一模）如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于點O，則BD的長為_____．【答案】【解析】【分析】勾股定理求得的長，依據平行四邊形的性質，對角線相互平分，可得，然后勾股定理求得的長，依據即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，AD＝6，∴，AB＝10，AC⊥BC，在中，故答案為：【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，駕馭平行四邊形的性質是解題的關鍵．3．（北京市廣渠門中學八年級階段練習）如圖，在中，對角線相交于點O，過點O作交于E，假如，則長為_________．【答案】【解析】【分析】連接CE，依據平行四邊形的性質可得AO=CO，CD=AB=，然后推斷出OE垂直平分AC，再依據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，依據勾股定理即可求得結論．【詳解】解：連接，如圖四邊形是平行四邊形，，，是線段的垂直平分線，，在中，，，，，（舍負）．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理及逆定理，正確作出幫助線證得∠CED=90°是解決問題的關鍵．4．（江蘇揚州·八年級期中）在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），則頂點D的坐標是_____．【答案】（5，2）【解析】【分析】依據字母依次將點表示在坐標系中，依據平行四邊形的性質即可求得的坐標．【詳解】解：如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），∴頂點D的坐標為（5，2）．故答案為：（5，2）．【點睛】本題考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質，數形結合是解題的關鍵．5．（四川·廣元市利州區萬達試驗學校一模）如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，．(1)求證：AF＝CE；(2)若AC＝10，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析；(2)30，詳見解析．【解析】【分析】（1）利用，以及平行四邊形的性質，即可判定，可證得AF＝CE；（2）過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，依據30°角的直角三角形的性質求得AG，進而利用平行四邊形的面積解答即可．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴≌（AAS），∴AF＝CE．(2)過A點作AG⊥BC，交CB的延長線于G，在Rt中，AC=10，∠ACB＝30°，∴AG=5，∴平行四邊形ABCD的面積為：．故平行四邊形ABCD的面積為30．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是通過題中所給的條件得到全等三角形．6．（湖北十堰·八年級階段練習）在中，．(1)若，，求；(2)若，，求的周長．【答案】(1)等于120；(2)的周長為24+24【解析】【分析】（1）依據平行四邊形的對角線相互平分的性質和勾股定理的逆定理可得是直角三角形．∠ADO=90°，所以=ADBD，代入計算即可．（2）如圖，過點D作AC的垂線，交AC與點E，由平行四邊形的性質和有關角的度數得是等腰直角三角形，所以DE=AD，是含30°的直角三角形，所以DC=2DE，所以的周長=2(AD+DC)．(1)解：∵中，BD=10，AC=26，∴OD=5，OA=13，∵AD=12∴AD2+OD2=OA2，∴是直角三角形，即∠ADO=90°，∴=ADBD=120．答：等于120．(2)如圖，過點D作AC的垂線，交AC與點E，在中，ABDC，ADBC∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC∵，，∴∠BCD=75°，∴，∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，∴是等腰直角三角形，∴DE=AD=12=6，∵在Rt中，，∴DC=2DE=26=12，∴的周長=2(AD+DC)=2(12+12)=24+24．答：的周長為24+24．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的性質等學問點，解題的關鍵是知道等腰直角三角形直角邊和斜邊的比為1：，含30°角的直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．7．（江蘇淮安·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點O任作直線分別交AB、CD于點E、F．(1)求證：OE＝OF；(2)若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四邊形AEFD的周長．【答案】(1)見解析(2)15【解析】【分析】（1）依據平行四邊形的性質得出AB//CD，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，依據ASA推出△AEO≌△CFO，即可得出答案；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，繼而求得答案．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；(2)∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝6，又∵EF＝2OE＝4，∴四邊形AEFD的周長＝AD+DF+AE+EF＝5+6+4＝15．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．留意駕馭數形結合思想的應用．8．（江蘇南通·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，且∠B＝∠AEB．(1)求證：AE＝CD；(2)試推斷AC與ED的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC＝ED，見解析【解析】【分析】（1）首先依據平行四邊形的性質，可得AB＝CD，再依據∠B＝∠AEB，可證得AE＝AB，據此即可證得結論；（2）依據平行四邊形的性質，可得AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC，可證得△ADC≌△DAE（SAS），即可證得AC＝ED．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∴AE＝CD；(2)解：AC＝ED；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC，∴AE＝CD，且∠DAE＝∠ADC，AD＝AD，∴△ADC≌△DAE（SAS），∴AC＝ED．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，嫻熟駕馭和運用平行四邊形的性質是解決本題的關鍵．9．（四川瀘州·八年級期中）已知，如圖，在中，，垂足為，，點為的中點，點為上的一點，連接、、，．(1)求證：(2)若，，求的長；(3)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）結合題意，由AAS即可證明兩個三角形全等；（2）依據線段中點的性質，得；依據平行四邊形的性質，得；再依據勾股定理的性質計算，即可得到答案；（3）依據和平行四邊形的性質，得點G為CD的中點；分別延長AG、BC并相交于點M，通過證明，得，再依據直角三角形斜邊中線、等腰三角形、三角形外角的性質計算，即可得到答案．(1)在和中∴；(2)∵，點為的中點∴∴∵∴∵，∴；(3)∵∴∵，∴，即點G為CD的中點如圖，分別延長AG、BC并相交于點M∵∴∴在和中∴∴∵，即∴∴∴，即．【點睛】本題考查了勾股定理、全等三角形、平行四邊形、平行線、三角形外角、等腰三角形直角三角形斜邊中線的學問；解題的關鍵是嫻熟駕馭全等三角形、直角三角形斜邊中線、平行四邊形的性質，從而完成求解．【考點三】利用平行四邊形的性質求動點問題例題：（浙江·八年級期末）如圖，在四邊形中，，，，．點從點動身．以每秒的速度沿折線方向運動，點從點動身，以每秒的速度沿線段方向向點運動．已知動點、同時動身，當點運動到點時，、運動停止，設運動時間為．（1）求的長；（2）當四邊形為平行四邊形時，求四邊形的周長；（3）在點、點的運動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積為？若存在，請求出全部滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）16；（2）；（3）存在，t1＝，t2＝7.8【解析】【分析】（1）過A點作AM⊥CD于M，依據勾股定理可求得DM=6，進而求得DC=16；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，依據題意可得BP=10-3t，DQ=2t，列出方程10-3t=2t，解得t=2，此時BP=DQ=4，CQ=12，在RT△CBQ中，依據勾股定理求出BQ即可；（3）分三種狀況探討：①當點P在線段AB上，②當點P在線段BC上，③當點P在線段CD上，依據三種狀況點的位置，即可求得t的值．【詳解】解：（1）過點A作AM⊥CD于M，如圖1，依據勾股定理，AD＝10cm，AM＝BC＝8cm，∴DM==6（cm），∴CD＝16cm；（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，如圖2，由題知：BP＝10-3t，DQ＝2t，∴10﹣3t＝2t，解得t＝2，此時，BP＝DQ＝4，CQ＝12，∴BQ==，∴四邊形PBQD的周長＝2（BP+BQ）=；（3）①當點P在線段AB上時，即0≤t≤時，如圖3，S△BPQ＝BP?BC＝(10?3t)×8＝20，∴t=．②當點P在線段BC上時，即＜t≤6時，如圖4，BP＝3t-10，CQ＝16-2t，∴S△BPQ＝BP?CQ＝(3t-10)×(16-2t)＝20，化簡得：3t2-34t+100＝0，△＝-44＜0，所以方程無實數解．③當點P在線段CD上時，如圖5，若點P在Q的右側，即6＜t＜，則有PQ＝34-5t，S△BPQ=（34-5t）×8＝20，t＝＜6，舍去，若點P在Q的左側，即＜t≤8，則有PQ＝5t-34，S△BPQ＝(5t?34)×8＝20，t＝7.8．綜上得，滿足條件的t存在，其值分別為t1＝，t2＝7.8．【點睛】本題是四邊形中的動點問題，考查了平行四邊形的性質，勾股定理的應用以及三角形的面積等，分類探討的思想是本題的關鍵．【變式訓練】1．（福建福州·八年級期中）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB=6，BC＝8，點P、E分別為AD、BC上兩動點，且滿足PB平分∠APE,當CE取得最大值時，BE的值為___．【答案】【解析】【分析】設CE=x，則BE=8-x，運用角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的性質得到BE=PE=8-x，說明當CE最大時BE最小，即PE最?。贿^點A作AE1⊥BC，運用勾股定理求得AE1的長即可解答．【詳解】解：設CE=x，則BE=8-x，∵PB平分∠APE，∴∠APB=∠BPE，∵在平行四邊形ACBD中，∴AD//BC，∴∠APB=∠PBE，∴∠BPE=∠PBE∴BE=PE=8-x∴當CE取最大值時，BE為最小值，即PE取最小值當PE⊥BC時，PE最小，如圖：過點A作AE1⊥BC∵∠ABC=60°，∴∠BAE1=30°，∵AB=6，∴BE1=3，∴AE1=,即PE=，∴當CE取得最大值時，BE的值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的性質、垂線段最短等學問點，依據題意正確作出幫助線、構造直角三角形、運用勾股定理是解答本題的關鍵．2．（重慶八中八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E為AB的中點，F分別為AD邊上的動點，將∠A沿EF折疊，點A落在平面內的點處，且點在∠BAD外部，當折疊后重疊部分為等腰三角形時，則線段DF的長為__．【答案】【解析】【分析】過E作EH⊥AD，依據∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，設∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的長，從而得出答案．【詳解】解：過E作EH⊥AD于H，∵AB＝4，E為AB的中點，∴AE＝EB＝2，∵∠A＝45°，EH⊥AH，∴△AHE為等腰直角三角形，∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，∴AH＝，∵點A′在∠BAD外部，則由題意知△FQE為等腰三角形，∴∠FEB＝∠FQE，設∠AFE＝a，∵△EFA'為△EFA依據EF對折，∴∠AFE＝∠A'FE＝a，∴∠BEF＝，又∵∠BEF為△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，∴＝45°+a，∴a＝30°，在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，∴EF＝，∴，又∵BC＝AD＝2，∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四邊形的性質，翻折變換（折疊問題），含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵在于能夠嫻熟駕馭相關學問進行求解.3．（廣東·深圳亞迪學校八年級階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點E為射線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT=TK．證明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，依據垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解決問題．【詳解】解：如圖，以AB為邊向下作等邊△ABK，連接EK，在EK上取一點T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，依據垂線段最短可知，當KE⊥AD時，KE的值最小，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，設AE＝a，則AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值為：．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短，勾股定理等學問，解題的關鍵是學會添加常用幫助線，構造全等的三角形解決問題，學會用轉化的思想思索問題．4．（吉林·長春市解放大路學校九年級開學考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D為邊AB的中點．動點P從點A動身，沿折線AB一BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，同時動點Q從點C動身，以每秒1個單位長度的速度沿CA向終點A運動．以DP、DQ為鄰邊作?PDQE，設點P運動的時間為t秒．（1）C、D兩點之間的距離為_______；（2）求PB的長（用含t的代數式表示）；（3）當點E落在△ABC內部時，求t的取值范圍．（4）連接CD，當CD平分?PDQE的面積時，干脆寫出t的值．【答案】（1）；（2），；，；（3）；（4）【解析】【分析】（1）依據勾股定理計算即可；（2）依據題意求出AD，計算即可；（3）當點P在BD上運動時和當點P在BC上運動兩種狀況探討即可；（4）依據題意結合圖象進行求解即可．【詳解】解：（1）∵，AC=4，BC=3，∴，∵D為邊AB的中點．∴，∴；故答案是：；（2）當P在AB邊上時，即，由題意可知，∴；當P在BC邊上運動時，即，由題可知，∴；（3）當P與D重合時，無法構成平行四邊形，∴當P在BD邊上運動時點E必落在△ABC內，此時，即，∴；當P在BC邊上運動時，且時，點E恰落在AC上，∴保證點E必落在△ABC內，設BC的中點為M，則點P在BM上運動，∴，當時，∵D為AB的中點，∴M為BC的中點，∴，∴，∴t的取值范圍是；（4）當點P與點C重合時，CD平分?PDQE的面積，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是精確進行計算．5．（湖北省直轄縣級單位·八年級期末）如圖所示，在直角坐標系中，直線l與x軸y軸交于A、B兩點，已知點A的坐標是（4，0），B的坐標是（0，3）．（1）求直線l的解析式；（2）若點C（3，0）是線段OA上確定點，點P（x，y）是第一象限內直線l上一動點，試求出點P在運動過程中△POC的面積S與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）在（2）問的條件下，若S＝，此時在坐標平面內是否存在點Q，使以A，C，P，Q為頂點，以AC為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，干脆寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，Q的坐標為或【解析】【分析】（1）利用已知點的坐標，待定系數法求一次函數的解析式即可；（2）依據S△POC＝×OC×，在直線上，依據（1）的結論表示出點的坐標，即可求得S與x之間的函數關系式；（3）依據條件以AC為邊的四邊形，則,即求得點的坐標即可【詳解】解：（1）設直線l函數解析式為y＝kx+b（k≠0），由題意可得：，解得：，∴直線l函數解析式為，（2）點在直線上點的坐標為∵S△POC＝，∴S△POC＝×3×（－x+3）＝－x+（0＜x＜4）；（3）存在，理由如下：當S＝時，則＝﹣x+，∴x＝2，∴點P（2，），∵以A、C、P、Q為頂點，以AC為邊的四邊形是平行四邊形，∴ACPQ，AC=PQ∵A（4，0），C（3，0），∴PQ=AC=4－3=1，∵P（2，）∴點Q（3，）或（1，）【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，平行四邊形的性質與判定，嫻熟以上學問點是解題的關鍵．【考點四】利用平行四邊形的性質作圖例題：（江西贛州·八年級期末）在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留作圖痕跡）．（1）如圖1，在BC上找一點F，使AE＝CF．（2）如圖2，若AB＝AE，作∠D的平分線DG．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接BD、AC，連接點E和BD、AC的交點，并延長交BC于F，點F即為所求；（2）連接BD、AC，連接點E和BD、AC的交點，并延長交BC于G，射線DG即為所求．【詳解】.解：（1）如圖1，連接BD、AC，連接點E和BD、AC的交點，并延長交BC于F，點F即為所求．（2）如圖2，連接BD、AC，連接點E和BD、AC的交點，并延長交BC于G，射線DG即為所求．【點睛】本題考查困難作圖，平行四邊形的性質等學問．解題的關鍵是靈敏運用所學學問解決問題．【變式訓練】1．（吉林·長春外國語學校八年級階段練習）如圖，在邊長為1的5×5正方形網格中，小正方的頂點稱之為格點，點A、點B均在格點上，依據題目要求作圖．(1)以線段AB為對角線作面積為6的平行四邊形ACBD（頂點字母按逆時針標注）；(2)AD的長是．【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）作底為3高為2的平行四邊形即可．（2）利用勾股定理即可計算．(1)如圖，平行四邊形ACBD即為所求作．(2)故答案為【點睛】本題考查了作圖實力、勾股定理、平行四邊形的面積等學問點，正確理解題意，靈敏運用上述學問點是解答本題的關鍵．2．（重慶市鳳鳴山中學九年級階段練習）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB＝90°．(1)請用直尺和圓規作出∠DAB的角平分線AE，交DC于點E，交BD于點F，并標出交點E，F（請用2B鉛筆作圖并保留作圖痕跡）；(2)在（1）的前提下，若∠DBA＝30°，DE＝4，求平行四邊形ABCD的周長．【答案】(1)見解析；(2)平行四邊形ABCD的周長【解析】【分析】（1）利用基本作圖，作∠BAD的平分線即可；（2）證明∠DEA＝∠DAE得到DA＝DE＝4，再利用含30度的直角三角形三邊的關系求出AB，然后計算平行四邊形ABCD的周長．(1)解：如圖，點E、F為所作；(2)解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DA＝DE＝4，在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8，∴平行四邊形ABCD的周長＝2（4+8）＝24．【點睛】本題考查了尺規作圖——作已知角的平分線，平行四邊形的性質，嫻熟駕馭作已知角的平分線的作法，平行四邊形的性質是解題的關鍵．3．（江蘇·泰興市濟川初級中學九年級階段練習）如圖，中，點E在BC上