滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（綜合能力拔高卷）（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷題型精選核心重難易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2022·天津·八年級期末）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2021·山東沂南·八年級期中）若n邊形每個(gè)內(nèi)角都為156°，那么n等于（

）A．8 B．12 C．15 D．163．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，把長方形沿EF對折，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東茂南·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④5．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（

）A．14 B．16 C．18 D．126．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（

）A．10 B．8 C．6 D．47．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在等腰梯形中，，，，交于點(diǎn)．下列判斷正確的是（）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量與向量的和向量是零向量8．（2022·上海浦東新·八年級期中）已知向量和都是單位向量，則下列等式成立的是（

）A．； B．； C．； D．．9．（2021·重慶·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋410．（2021·山東萊州·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，．將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)與重合．有下列語句：①四邊形是菱形；②；③；④．其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。11．（2021·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級期中）已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為36°，則該多邊形的邊數(shù)為______邊．12．（2022·上海市文來中學(xué)八年級期中）已知梯形ABCD中，，，，，則此梯形的面積是_______．13．（2021·全國·八年級單元測試）如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是___________．14．（2022·上海寶山·八年級期中）在平行四邊形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）15．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的對角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，則__________．16．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為______.17．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．18．（2022·湖南常德·八年級期末）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接．將對折，點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，對折，點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，則圖中與互余的角是________（只需填寫三個(gè)角）．三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·廣東海珠·八年級期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．20．（2021·上海·八年級期末）已知在與中，，點(diǎn)在同一直線上，射線分別平分．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，當(dāng)交于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．21．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明；(2)若，，求四邊形的面積．22．（2021·全國·八年級期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．（1）圖1中，觀察猜想線段M、NP的數(shù)量關(guān)系是，∠MNP的大小為；（2）把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MMP的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．23．（2022·山東桓臺·八年級期末）已知在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)．(1)如圖1，若，，，．求的長；(2)如圖2，若．求證：．24．（2022·上海靜安·八年級期末）如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在邊BC上,DE∥AB,設(shè).(1)用向量表示下列向量:;(2)求作:(保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法)25．（2021·湖南岳陽·八年級期末）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)，，點(diǎn)是射線上一動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，①試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接、，若，，求四邊形的面積．滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（綜合能力拔高卷）（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷題型精選核心重難易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2022·天津·八年級期末）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°∴多邊形的邊數(shù)為故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和．解題的關(guān)鍵在于明確多邊形的外角和為360°．2．（2021·山東沂南·八年級期中）若n邊形每個(gè)內(nèi)角都為156°，那么n等于（

）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】首先求得外角的度數(shù)，然后利用多邊形的外角和是360度，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題意可知：n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是：180°-156°=24°，則n=360°÷24°=15．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角，熟記多邊形的外角和定理是關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，把長方形沿EF對折，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及∠1＝50°可求出∠BFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得到∠AEF的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)折疊以及∠1＝50°，得∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及圖形翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．4．（2022·廣東茂南·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：①添加AC⊥BD，根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形；②添加AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形；③添加∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=B∠AC=45°，∴AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形；④∵矩形ABCD中，∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形；綜上，①②③符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．5．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（

）A．14 B．16 C．18 D．12【答案】B【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得：，結(jié)合圖形得出的周長為，再由中位線的性質(zhì)得出，在中，利用勾股定理確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在正方形ABCD中，，，，∵F為DE的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，∴OF為的中位線且CF為斜邊上的中線，∴，∴的周長為，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，，∴，∴的周長為，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以得到是的中位線，則，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，又∵EF=2，∴OB=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的判定定理及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在等腰梯形中，，，，交于點(diǎn)．下列判斷正確的是（）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量與向量的和向量是零向量【答案】C【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和共線平面向量的定義作答．【詳解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它們不是相等向量，故本選項(xiàng)不符合題意．B、由于||≠|(zhì)|，所以向量和向量不是相反向量，故本選項(xiàng)不符合題意．C、因?yàn)锳D∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本選項(xiàng)符合題意．D、+＝2≠，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小．8．（2022·上海浦東新·八年級期中）已知向量和都是單位向量，則下列等式成立的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】模長為1的向量稱為單位向量，它的方向是不確定的，所以只有D選項(xiàng)符合題意.【詳解】解：∵向量和都是單位向量，但它們的方向不確定，∴A、B、C不正確，D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的意義，同時(shí)也考查了向量的相等與和差計(jì)算，掌握單位向量的意義是解答本題的關(guān)鍵.9．（2021·重慶·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4【答案】D【分析】點(diǎn)F作FG⊥BC交于G點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為x，則ACx，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即為正方形的邊長為22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．【詳解】解：過點(diǎn)F作FG⊥BC交于G點(diǎn)，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，設(shè)正方形的邊長為x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東萊州·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，．將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)與重合．有下列語句：①四邊形是菱形；②；③；④．其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可得BH=DH=GD=BG，即可判定①正確；若設(shè)AG=x，則BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的長，因此可判定②；連接BD，利用菱形的面積相等，可求得GH的長，從而可判定③；根據(jù)對②的判定可確定∠ABG是否為30°即可判定④．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°∴∠DGH=∠BHG∴∠DGH=∠DHG∴GD=DH∴BH=DH=GD=BG∴四邊形是菱形即①正確設(shè)AG=x，則BG=GD=8-x在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得：解得：即AG的長故②正確如圖，連接BD在Rt△ABD中，由勾股定理得：∵，GD=AD-AG=∴∴GH=7.5故③正確∵BG=GD=∴∵∠A=90°∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60°∵∠BGH=∠DGH∴∠BGH+∠DGH≠120°從而∠BGH≠60°即④不正確故正確的有3個(gè)故選：C．【點(diǎn)睛】本題是矩形的折疊問題，有一定的綜合性質(zhì)，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解一元一次方程等知識，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識是解決本題的前提．二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。11．（2021·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級期中）已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為36°，則該多邊形的邊數(shù)為______邊．【答案】十##10【分析】因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛褪?60°，正多邊形的每個(gè)外角都是36°，把外角和除以正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)就等于多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：360°÷36°=10，所以這個(gè)正多邊形是正十邊形．故填：十【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理．解題的關(guān)鍵是知道多邊形外角和等于360°．12．（2022·上海市文來中學(xué)八年級期中）已知梯形ABCD中，，，，，則此梯形的面積是_______．【答案】3【分析】易證梯形ABCD是等腰梯形，分別求出梯形的高，上底DC的長，利用梯形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作，過點(diǎn)C作，垂足分別為E、F．∴四邊形CDEF為矩形，∴，∵∠B=∠C，∠AED=∠BFC=90°，∴（AAS），∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的面積公式運(yùn)用，能夠證明四邊形ABCD是等腰梯形得到AE=BF是解題的關(guān)鍵．13．（2021·全國·八年級單元測試）如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是___________．【答案】12【分析】首先根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計(jì)算出外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可．【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為∴它的外角為，，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角．14．（2022·上海寶山·八年級期中）在平行四邊形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）【答案】

【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的問題，掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的對角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，則__________．【答案】2.5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直，利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)OE＝BC，即可求出OE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC＝3cm，OB＝BD＝3cm，在Rt△BOC中，BC＝＝5cm，∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴OE＝BC＝2.5cm，故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，得出OE＝BC是解題關(guān)鍵．16．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【分析】連接AC，交MN于P，連接DP，此時(shí)的最小，然后根據(jù)題意可知，梯形為等腰梯形，從而判斷出直線MN即為梯形的對稱軸，由此可知此時(shí)，即的最小值為AC的長，根據(jù)已知條件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AC.【詳解】解：連接AC，交MN于P，連接DP，此時(shí)的最小，理由如下∵梯形中，，∴梯形為等腰梯形，∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD∵、分別是、的中點(diǎn)，∴直線MN即為梯形的對稱軸由對稱可知：DP=AP∴此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得：此時(shí)的最小且最小值為AC的長，∵，∠B＋∠BAD=180°∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°∵∴∠DAC=∠DCA=∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°在Rt△CAB中，BC=2AB=2，根據(jù)勾股定理可得：AC=故答案為【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和最短路徑問題,掌握最短路徑的畫法及原理是解決此題的關(guān)鍵.17．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．【答案】【詳解】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案為2+．18．（2022·湖南常德·八年級期末）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接．將對折，點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，對折，點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，則圖中與互余的角是________（只需填寫三個(gè)角）．【答案】∠B′EM，∠MEB，∠A′NE【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，再由平角的定義得到NE與ME垂直，根據(jù)同角（等角）的余角相等，即可在圖中找出與∠B′ME互余的角．【詳解】解：由折疊及長方形ABCD可得：∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，∵∠MEB+∠MEB′+∠AEN+∠A′EN=180°，∴∠MEB+∠AEN=∠MEB′+∠A′EN=90°，則圖中與∠B′ME互余的角是∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．故答案為：∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，以及翻折變換，熟練掌握圖形折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·廣東海珠·八年級期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】見詳解．【分析】根據(jù)PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．【詳解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．20．（2021·上海·八年級期末）已知在與中，，點(diǎn)在同一直線上，射線分別平分．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，當(dāng)交于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1），，可知，進(jìn)而可說明；（2）如圖1所示，連接并延長至點(diǎn)K，分別平分，則設(shè)，為的外角，，同理，，得；又由（1）中證明可知，，進(jìn)而可得到結(jié)果；（3）如圖2所示，過點(diǎn)C作，則，，可得，由（1）中證明可得，在中，，即，進(jìn)而可得到結(jié)果．【詳解】解：(1)證明：又在和中．(2)解：．理由如下：如圖1所示，連接并延長至點(diǎn)K分別平分則設(shè)為的外角同理可得即．又由（1）中證明可知由三角形內(nèi)角和公式可得即．(3)解：當(dāng)時(shí)，如圖2所示，過點(diǎn)C作，則，即由（1）中證明可得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有即即即，解得：故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，連接并延長，利用三角形外角性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵．21．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)矩形，見解析(2)120【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可知，根據(jù)題意可推出，即易證，得出．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可推出，，即，，從而即可推出四邊形ADCF為矩形；（2）由點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，可求出．在中，利用勾股定理可求出AD的長，最后利用矩形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】(1)解：∵，∴．∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴．∵為等腰三角形，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，∴，，∴，．∵，即，∴四邊形ADCF為矩形．(2)∵，，∴．∵，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·全國·八年級期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)．（1）圖1中，觀察猜想線段M、NP的數(shù)量關(guān)系是，∠MNP的大小為；（2）把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MMP的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．【答案】（1）相等，；（2）等邊三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）先證明由，，得，再由三角形的中位線定理得與的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得的大小；（2）先證明得，再由三角形的中位線定理得，由平行線性質(zhì)得，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；（3）由，得，再由等邊三角形的面積公式得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)性質(zhì)求得最大值便可．【詳解】解：（1），，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，故答案為：；；（2）是等邊三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，，又，，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．，，，，，，，，，，是等邊三角形；（3）根據(jù)題意得，，即，，的面積，的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形的一個(gè)綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等和運(yùn)用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來．23．（2022·山東桓臺·八年級期末）已知在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)．(1)如圖1，若，，，．求的長；(2)如圖2，若．求證：．【答案】(1)5(2)證明見解析【分析】（1）如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理可求的長．（2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理得，將，代入即可證明．【詳解】(1)解：如圖1，取的中點(diǎn)，連接，∵，，∴分別是的中位線∴，，，∴，，，∴∴在中，由勾股定理得∴的長為5．(2)證明：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，∵，，∴分別是的中位線∴，，，∴，∵∴在中，由勾股定理得∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用中位線的性質(zhì)求解．24．（2022·上海靜安·八年級期末）如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在邊BC上,DE∥AB,設(shè).(1)用向量表示下列向量:;(2)求作:(保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法)【答案】（1），（2）見解析.【分析】（1）AD∥BC，