第2講函數與方程思想在解析幾何中（解答）的應用函數的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數。運用函數的圖像性質去分析問題，轉化問題，測試問題，獲得解決。函數思想是對函數概念本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識。或函數觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構造方程來分析數學變量問的等量關系，通過解方程（組），或運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數學問題是高中階段重要的數學能力之一，也是歷年高考的重點。函數與方程思想，簡單的說，就是學會用函數和變量來思考，學會轉化已知與未知的關系。對函數和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數和方程思想指導解題？一般情況下，凡是涉及到未知數，未知數問題都可以都可能用到函數與方程的思想。函數與方程思想方法的考察一直是高考的重點內容之一。也是圓錐曲線中體現最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題【應用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應用一、橢圓的標準方程和幾何性質標準方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經常考查求圓錐曲線的面積、方程以及與此有關的含參問題。解決此類問題就是建立根據題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數。【變式1.1】（2023·云南紅河·統考一模）已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．【變式1.2】（2023·湖南岳陽·統考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【變式1.3】【2020年新課標2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．【應用二】函數與方程思想在解析幾何中定點的應用解析幾何中的定點、定值問題一直是高考的熱點問題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點。這種題型引起重視。【例2.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【思維提升】求解直線過定點問題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b來證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)設為雙曲線的左頂點，直線過坐標原點且斜率不為，與雙曲線交于，兩點，直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，與直線，分別交于（不在坐標軸上）兩點，若直線，的斜率之積為定值，求點的坐標．【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知橢圓過點，且該橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經過點且與橢圓相交于，兩點.若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點.【應用三】函數與方程思想在解析幾何中研究最值的應用解析幾何中的最值問題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長等最值問題，解決問題的關鍵是建立關于它們的目標函數，然后運用基本不等式或者函數有關的問題，運用基本不等式或者函數求解。【例3.1】（2023年高考真題全國甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【思維提升】圓錐曲線中的最值問題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統考模擬預測）已知橢圓E：的焦距為，且經過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統考三模）已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.(1)求的軌跡的方程；(2)若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【應用四】函數與方程思想在解析幾何中研究探索性問題的應用解析幾何中的探索性問題是圓錐曲線中常見題型，是近幾年高考與模擬的熱點問題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現,常用假設存在法求解,其解題要點如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交直線于兩點，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.【思維提升】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．解題時可先假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素(點、直線、曲線或參數)存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數)不存在；（2）由于解析幾何問題的解答中一般要涉及到大量的計算，因此在解題時要注意運算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點.當取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點，且恒有，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【變式4.2】（2023·安徽黃山·統考三模）如圖，動雙曲線的一個焦點為，另一個焦點為，若該動雙曲線的兩支分別經過點.(1)求動點的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點，交（1）中點的軌跡于兩點，直線與軸交于點，是直線上異于的一點，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【變式4.3】（2023·山西運城·統考三模）已知拋物線的焦點為，分別為上兩個不同的動點，為坐標原點，當為等邊三角形時，.(1)求的標準方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點，使得點滿足，且點到直線的距離為2？若存在，求出點的坐標及直線的方程；若不存在，請說明理由.鞏固練習1、【2020年新課標2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.2、【2020年新課標3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.4、（2023·吉林·統考三模）已知點，動點M在直線上，過點M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點P，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知圓的一條直徑為，延長分別交曲線C于兩點，求四邊形面積的最小值．5、（2023·安徽蚌埠·統考三模）已知，是雙曲線的左?右頂點，為雙曲線上與，不重合的點.(1)設直線，的斜率分別為，，求證：是定值；(2)設直線與直線交于點，與軸交于點，點滿足，直線與雙曲線交于點（與，，不重合）.判斷直線是否過定點，若直線過定點，求出該定點坐標；若直線不過定點，請說明理由.6、（2023·重慶·統考三模）已知橢圓的上、下頂點分別為，左頂點為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于兩點，已知點與點關于軸對稱，點與點關于軸對稱，直線與交于點，若是鈍角，求的取值范圍．7、（2023·湖南永州·統考三模）已知橢圓：，其右焦點為，過點的直線與橢圓交于，兩點，與軸交于點，，.(1)求證：為定值.(2)若點不在橢圓的內部，點是點關于原點的對稱點，試求面積的最小值.8、（2023·河北石家莊·統考三模）已知為拋物線上不同兩點，為坐標原點，，過作于，且點.(1)求直線的方程及拋物線的方程；(2)若直線與直線關于原點對稱，為拋物線上一動點，求到直線的距離最短時，點的坐標.第2講函數與方程思想在解析幾何中（解答）的應用函數的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數。運用函數的圖像性質去分析問題，轉化問題，測試問題，獲得解決。函數思想是對函數概念本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識。或函數觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構造方程來分析數學變量問的等量關系，通過解方程（組），或運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數學問題是高中階段重要的數學能力之一，也是歷年高考的重點。函數與方程思想，簡單的說，就是學會用函數和變量來思考，學會轉化已知與未知的關系。對函數和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數和方程思想指導解題？一般情況下，凡是涉及到未知數，未知數問題都可以都可能用到函數與方程的思想。函數與方程思想方法的考察一直是高考的重點內容之一。也是圓錐曲線中體現最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題【應用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應用一、橢圓的標準方程和幾何性質標準方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【答案】(1)?1；(2)162【解析】【分析】（1）由點A(2,1)在雙曲線上可求出a，易知直線l的斜率存在，設l:y=kx+m，Px1,y1（2）根據直線AP,AQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補，再根據tan∠PAQ=22即可求出直線AP,AQ的斜率，再分別聯立直線AP,AQ與雙曲線方程求出點P,Q的坐標，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ的距離，即可得出(1)因為點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設l:y=kx+m，Px聯立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當m=1?2k時，直線l:y=kx+m=kx?2+1過點故k=?1．(2)不妨設直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因為kAP+因為tan∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯立y=2x?2+1因為方程有一個根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經常考查求圓錐曲線的面積、方程以及與此有關的含參問題。解決此類問題就是建立根據題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數。【變式1.1】（2023·云南紅河·統考一模）已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據拋物線的性質得出，即，根據當且僅當點C，P，F三點共線時，取得最小值，根據得出，即可解出答案；（2）聯立，根據韋達定理得出，，即可得出中點，即可得出直線MN的方程為：，由為等邊三角形，則，代入化簡即可求出答案.【詳解】（1）拋物線E：的焦點，準線方程為，所以，故，又因為的最小值為9，所的最小值為，當且僅當點C，P，F三點共線時，取得最小值，此時，解得，故拋物線E的方程為；（2）聯立，消去x得，直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，，得，設，，則有，，所以，設線段AB的中點，則，，即，直線MN的斜率，直線MN的方程為：，令，得，即，所以，，又因為為等邊三角形，所以，所以，解得，且滿足，故所求m的值為【變式1.2】（2023·湖南岳陽·統考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【答案】(1)6(2)4【詳解】（1）如圖，雙曲線的漸近線方程為，代入點的，又點在雙曲線上，即，聯立解得，故雙曲線的方程為．設點，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，所以設直線AB的方程為，即，代入雙曲線的方程得，所以，則，所以由直線AB與AC斜率之和為0，可設AC的方程為：同理可得所以，所以直線l的斜率為6．（2）設M點坐標為，過M作漸近線的平行線分別為，由（1）知，雙曲線E的漸近線方程為，故可設的方程分別為，．聯立解得所以同理可得又由，得，所以，又點M在雙曲線E上，則，所以，即故△MPQ的面積為4．【變式1.3】【2020年新課標2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．【答案】（1）；（2）：，：.【解析】【分析】（1）根據題意求出的方程，結合橢圓和拋物線的對稱性不妨設在第一象限，運用代入法求出點的縱坐標，根據，結合橢圓離心率的公式進行求解即可；（2）由（1）可以得到橢圓的標準方程，確定橢圓的四個頂點坐標，再確定拋物線的準線方程，最后結合已知進行求解即可；【詳解】解：（1）因為橢圓的右焦點坐標為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設在第一象限，因為橢圓的方程為：，所以當時，有，因此的縱坐標分別為，；又因為拋物線的方程為，所以當時，有，所以的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.由已知得，即.所以的標準方程為，的標準方程為.【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標準方程，考查了橢圓的四個頂點的坐標以及拋物線的準線方程，考查了數學運算能力.【應用二】函數與方程思想在解析幾何中定點的應用解析幾何中的定點、定值問題一直是高考的熱點問題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點。這種題型引起重視。【例2.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設出點，的坐標，在斜率存在時設方程為,聯立直線方程與橢圓方程，根據已知條件，已得到的關系，進而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質即可確定滿足題意的點的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據,代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.［方法二］【最優解】：平移坐標系將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．設，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A點處的切線方程為，即．設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數）．即．對比項、x項及y項系數得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．取線段的中點為，則．所以存在定點Q，使得為定值．【整體點評】（2）方法一：設出直線方程，然后與橢圓方程聯立，通過題目條件可知直線過定點，再根據平面幾何知識可知定點即為的中點，該法也是本題的通性通法；方法二：通過坐標系平移，將原來的O點平移至點A處，設直線的方程為，再通過與橢圓方程聯立，構建齊次式，由韋達定理求出的關系，從而可知直線過定點，從而可知定點即為的中點，該法是本題的最優解；方法三：設直線，再利用過點的曲線系，根據比較對應項系數可求出的關系，從而求出直線過定點，故可知定點即為的中點；方法四：同方法一，只不過中間運算時采用了一元二次方程的零點式賦值，簡化了求解以及的計算．【思維提升】求解直線過定點問題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y＝kx＋b來證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據題意，可得，，進而求解；（2）設方程為，，聯立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經過定點；方法二：設方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經過定點.【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)設為雙曲線的左頂點，直線過坐標原點且斜率不為，與雙曲線交于，兩點，直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，與直線，分別交于（不在坐標軸上）兩點，若直線，的斜率之積為定值，求點的坐標．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程求出的值即可求解；（2），設，，，，直線，的斜率分別為，根據，，可得利用和所表示的點的坐標，同理可得利用和所表示的點的坐標，將整理為關于的方程，由對于任意的恒成立列出等價條件即可求解.(1)由可得漸近線方程為：，因為兩條漸近線互相垂直，所以，可得，又因為，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設，，，，由（1）知：，設直線，的斜率分別為，因為三點共線，所以，即，因為直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，所以，即，所以，由可得，所以，同理可得，因為直線，的斜率之積為定值，設定值為，則，整理可得：，其中，因為上式對任意的都成立，所以，可得，，所以點的坐標為.【點睛】思路點睛：破解此類解析幾何題的關鍵：一是“圖形”引路，一般需畫出草圖，把已知條件翻譯到圖形中；二是“轉化”搭橋，即利用斜率，聯立方程等，將問題代數化，一般運算量較大.【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知橢圓過點，且該橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經過點且與橢圓相交于，兩點.若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據已知條件寫出的等量關系式進行求解即可.（2）討論當直線的斜率不存在時不滿足題意，當斜率存在時，設，，，將直線方程與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，用，坐標表示，將韋達定理代入整理即可得到直線過的定點.【詳解】（1）由橢圓過點得，橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點，可得，又即，解得，，∴橢圓方程為.（2）證明：①當直線斜率不存在時，設直線，，，，即，解得或，直線不過點,故(舍)，，舍去，故不滿足.②當直線斜率存在時，設，，，聯立，整理得.，，①則，∴，將①代入上式可得，∴，若，，,直線經過點與已知矛盾，若，，存在使得成立.∴直線的方程為，故直線過定點.【應用三】函數與方程思想在解析幾何中研究最值的應用解析幾何中的最值問題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長等最值問題，解決問題的關鍵是建立關于它們的目標函數，然后運用基本不等式或者函數有關的問題，運用基本不等式或者函數求解。【例3.1】（2023年高考真題全國甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【命題意圖】（1）利用直線與拋物線的位置關系，聯立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設直線：，利用，找到的關系，以及的面積表達式，再結合函數的性質即可求出其最小值．難度：偏難【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．【思維提升】圓錐曲線中的最值問題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設，則，所以，由在拋物線上可得，即，據此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優解】軌跡方程+數形結合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數+基本不等式法由題可設．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點評】方法一根據向量關系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關于的表達式，然后利用分類討論，結合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數形結合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關于的表達式，利用換元方法轉化為二次函數求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數法，由題可設，求得x,y關于的參數表達式，得到直線的斜率關于的表達式，結合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統考模擬預測）已知橢圓E：的焦距為，且經過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）由待定系數法求解析式；（2）設出直線方程，由韋達定理法及導數法求得兩切線方程，即可聯立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出，進而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設直線l：，由，得．，，.不妨設在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設，則，則，當且僅當，即時，的最大值是2．另解：當直線l的斜率存在時，設l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當時，即時，取得最大值，為2．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統考三模）已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.(1)求的軌跡的方程；(2)若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為線段的垂直平分線交半徑與點，所以，所以是定值，，所以點軌跡為橢圓，其長軸為4，焦距為2，所以的軌跡的方程.（2）解法一設.由已知得：直線的方程為；設，.由已知得：直線的方程為又因為AC、BD斜率之積為，所以，由得，即，所以，.故同理聯立BD與橢圓方程，可得，所以，故設分別為點到直線的距離，則.又在直線在異側，則所以，令易知，所以，所以解法二設，所以，設圓心為，因為直線的斜率之積為，所以，設直線方程，點到的距離為，所以，同理，設四邊形面積為，則，令，則，所以，所以，設四邊形面積為S，因為，所以【應用四】函數與方程思想在解析幾何中研究探索性問題的應用解析幾何中的探索性問題是圓錐曲線中常見題型，是近幾年高考與模擬的熱點問題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現,常用假設存在法求解,其解題要點如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交直線于兩點，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）當時，，直線與橢圓相切，當時，，由消去y并整理得，所以，有所以直線與橢圓相切.（2）設，則由（1）得：，而二切線過點，則有，因此是方程的兩個解，即直線的方程為：，設點，由解得，同理：，，，又，解得，，即，整理得，取點的軌跡方程為，此時點的軌跡是焦點為，實軸長為8的雙曲線，所以在軸上存在點，使得||成立.【思維提升】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．解題時可先假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素(點、直線、曲線或參數)存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數)不存在；（2）由于解析幾何問題的解答中一般要涉及到大量的計算，因此在解題時要注意運算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點.當取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點，且恒有，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根據余弦定理和基本不等式確定點P為橢圓短軸端點時，取最大值，再根據三角形面積及，求得，，，即可得到答案；（2）對直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設直線的方程為，，，利用向量數量積的坐標運算及韋達定理可得，即可得到答案；【詳解】（1）依題意可得，設，由余弦定理可知：，所以，當且僅當（即P為橢圓短軸端點）時等號成立，且取最大值；此時的面積是，同時，聯立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）當直線l斜率不存在時，直線l的方程為，所以，，此時，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，原點O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當時，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.【變式4.2】（2023·安徽黃山·統考三模）如圖，動雙曲線的一個焦點為，另一個焦點為，若該動雙曲線的兩支分別經過點.(1)求動點的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點，交（1）中點的軌跡于兩點，直線與軸交于點，是直線上異于的一點，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意以及雙曲線定義可得：，

由橢圓的定義可知，點的軌跡是以為焦點，的橢圓（不含短軸端點），其方程為.（2）設直線的方程為：，，則由，知，所以，令，得

因點在直線上，所以，變形得，代入式化簡得，若直線恒過線段的中點，則有，整理得

由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直線，使得直線恒過線段的中點.【變式4.3】（2023·山西運城·統考三模）已知拋物線的焦點為，分別為上兩個不同的動點，為坐標原點，當為等邊三角形時，.(1)求的標準方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點，使得點滿足，且點到直線的距離為2？若存在，求出點的坐標及直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點，直線的方程為.【詳解】（1）由對稱性可知當為等邊三角形時，兩點關于軸對稱，當為等邊三角形時，的高為，由題意知點在上，代入，得，解得，所以的標準方程為.（2）由（1）知，根據題意可知直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，，聯立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又點在上，所以，即，①所以，解得，又點在第一象限，所以，所以.又點到直線的距離，化簡得，②聯立①②解得，或（舍去），或（舍去）.此時點，直線的方程為.鞏固練習1、【2020年新課標2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯立曲線與的方程，求出點的坐標，利用拋物線的定義結合可求得的值，進而可得出與的標準方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯立，解得，則，拋物線的方程為，聯立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓的第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標準方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統一的極坐標公式以為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統一的極坐標公式，得，由，得，兩式聯立解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法三]：參數方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數方程為x=2c?cosθ,y=3將它代入拋物線的方程并化簡得，解得或（舍去），所以，即點M的坐標為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法四]【最優解】：利用韋達定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標準方程為，曲線的標準方程為.【整體點評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯系準線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時候會使得問題簡單明了.方法二：圓錐曲線統一的極坐標公式充分體現了圓錐曲線的統一特征，同時它也是解決圓錐曲線問題的一個不錯的思考方向.方法三：參數方程是一種重要的數學工具，它將圓錐曲線的問題轉化為三角函數的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.方法四：韋達定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關系的方法，聯立方程之后充分利用韋達定理可以達到設而不求的效果.2、【2020年新課標3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，，根據離心率公式，結合已知，即可求得答案；（2）方法一：過點作軸垂線，垂足為，設與軸交點為，可得，可求得點坐標，從而求出直線的直線方程，根據點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據離心率，解得或(舍)，的方程為：，即．（2）［方法一］：通性通法不妨設,在x軸上方，過點作軸垂線，垂足為，設直線與軸交點為根據題意畫出圖形，如圖

，，，又，，，根據三角形全等條件“”，可得：，，，，設點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據點到直線距離公式可得到直線的距離為，根據兩點間距離公式可得：，面積為：；②當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據點到直線距離公式可得到直線的距離為，根據兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.［方法二］【最優解】：由對稱性，不妨設P，Q在x軸上方，過P作軸，垂足為E．設，由題知，．故，①因為，如圖，所以，．

②因為，如圖，所以．

綜上有［方法三］：由已知可得，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，由對稱性可設，聯立方程消去y得，由韋達定理得，所以，將其代入直線的方程得，所以，則．因為，則直線的方程為，則．因為，所，，即，故或，即或．當時，點P，Q的坐標分別為，直線的方程為，點A到直線的距離為，故的面積為．當時，點P，Q的坐標分別為，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為．綜上所述，的面積為．［方法四］：由（1）知橢圓的方程為，．不妨設在x軸上方，如圖．

設直線．因為，所以．由點P在橢圓上得，所以．由點P在直線上得，所以．所以，化簡得．所以，即．所以，點Q到直線的距離．又．故．即的面積為．［方法五］：由對稱性，不妨設P，Q在x軸上方，過P作軸，垂足為C，設，由題知，所以．（1）．則．（其中）．（2）．同理，．（其中）綜上，的面積為．【整體點評】（2）方法一：根據平面幾何知識可求得點的坐標，從而得出點的坐標以及直線的方程，再根據距離公式即可求出三角形的面積，是通性通法；方法二：同方法一，最后通過面積分割法求的面積，計算上有簡化，是本題的最優解；方法三：通過設直線的方程與橢圓的方程聯立，求出點的坐標，再根據題目等量關系求出的值，從而得出點的坐標以及直線的方程，最后根據距離公式即可求出三角形的面積，思想簡單，但運算較繁瑣；方法四：與法三相似，設直線的方程，通過平面知識求出點的坐標，表示出點，再根據距離公式即可求出三角形的面積；方法五：同法一，只是在三角形面積公式的選擇上，利用三角形面積的正弦形式結合平面向量的數量積算出．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）法一：根據實軸長，求得a