第1頁（共1頁）上海市民辦尚德實驗學校2023-2024學年高二下學期期末考試數學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），則A∩B＝．2．（4分）函數f（x）＝的定義域是．3．（4分）若f（x）＝x2+x，則＝．4．（4分）關于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集為．5．（4分）設lg2＝a，lg3＝b，則log512＝．（用a，b表示）6．（4分）已知，且且x1≠x2，則x1?x2＝．7．（5分）設，則滿足y＜0的x的取值范圍為．8．（5分）已知曲線上一點，則點P處的切線方程是．9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若實數a，b∈（0，+∞）且，則的最小值是．10．（5分）采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為．11．（5分）已知函數與g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若對任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），則實數a的取值范圍是．12．（5分）已知函數有三個不同的零點x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，則的值為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13．（4分）設a，b∈R，則“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．（4分）下列求導計算正確的是（）A．（xex）′＝ex B． C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2 D．（x+cosx）′＝1+sinx15．（5分）已知函數f（x），其導函數f′（x）的圖象如圖所示，則（）A．f（x）有2個極值點 B．f（x）在x＝1處取得極小值 C．f（x）有極大值，沒有極小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減16．（5分）設非空集合S＝{x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x2∈S．給出以下三個命題：①若m＝1，則S＝{1}；②若，則；③若，則．其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．0三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟．17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：（1）函數y＝f（x）的單調區間及極值；（2）函數y＝f（x）在區間上的最大值與最小值．18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）當a＝1時，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]時有零點，求a的取值范圍．19．（15分）隨著環保意識的增強，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車經高速路段（汽車行駛速度不低于60km/h）測試發現：①汽車每小時耗電量P（單位：KWh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程內變速行駛比勻速行駛耗電量更大．現有一輛同型號電動汽車從A地經高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）駛到距離為500km的B地，出發前汽車電池存量為75KWh，汽車到達B地后至少要保留5KWh的保障電量．（假設該電動汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計）．（1）判斷該車是否可以在不充電的情況下到達B地，并說明理由；（2）若途徑服務區充電樁功率為15kw（充電量＝充電功率×時間），求到達B地的最少用時（行駛時間與充電時間總和）．20．（15分）已知函數．（b＞0且b≠1）（1）若a＝b＝2，求函數的值域；（2）若a＝0，是否存在正數b，使得函數是偶函數，請說明理由．（3）若a＞0，b＝4，且函數在[﹣1，+∞）上是嚴格增函數，求實數a的取值范圍．21．（18分）對于在某個區間[a，+∞）上有意義的函數f（x），如果存在一次函數g（x）＝kx+b使得對于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，則稱函數g（x）是函數f（x）在區間[a，+∞）上的弱漸近函數．（1）判斷g（x）＝x是否是函數在區間[1，+∞）上的弱漸近函數，并說明理由．（2）若函數g（x）＝3x+1是函數在區間[4，+∞）上的弱漸近函數，求實數m的取值范圍；（3）是否存在函數g（x）＝kx，使得g（x）是函數在區間[1，+∞）上的弱漸近函數？若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，說明理由．參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），則A∩B＝（0，2）．【解答】解：A＝（﹣1，2），B＝（0，3），則A∩B＝（0，2）．故答案為：（0，2）．2．（4分）函數f（x）＝的定義域是[﹣2，1]．【解答】解：要使原函數有意義，則3﹣|2x+1|≥0，即|2x+1|≤3，∴﹣3≤2x+1≤3，解得﹣2≤x≤1．∴函數f（x）＝的定義域是[﹣2，1]．故答案為：[﹣2，1]．3．（4分）若f（x）＝x2+x，則＝3．【解答】解：f（x）＝x2+x，則f'（x）＝2x+1，故＝f'（1）＝2+1＝3．故答案為：3．4．（4分）關于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集為．【解答】解：易知方程中三個絕對值對應的零點分別為：1，，2，則：①x≤1時，原方程可化為3﹣2x+2﹣x＝1﹣x，解得x＝2，不符合題意，舍去；②時，原方程可化為3﹣2x+2﹣x＝x﹣1，解得x＝，符合題意；③時，原方程可化為2x﹣3+2﹣x＝x﹣1，即0＝0恒成立，故符合題意；④x＞2時，原方程可化為2x﹣3+x﹣2＝x﹣1，解得x＝2，此時不符合題意，綜上可知，原方程的解集為{x|}．故答案為：[]．5．（4分）設lg2＝a，lg3＝b，則log512＝．（用a，b表示）【解答】解：log512＝＝．故答案為：．6．（4分）已知，且且x1≠x2，則x1?x2＝1．【解答】解：依題意n2﹣4＞0，故x1，x2是x2+nx+1＝0的兩根，故x1?x2＝1．故答案為：1．7．（5分）設，則滿足y＜0的x的取值范圍為{x|x＞1}．【解答】解：由題意可得y＝﹣x3＜0，可得，解得x＞1，故答案為：{x|x＞1}．8．（5分）已知曲線上一點，則點P處的切線方程是．【解答】解：由曲線求得y′＝x2，把x＝2代入y′中求得切線的斜率k＝4，又切點為P（2，）則切線方程為y﹣＝4（x﹣2），化簡得y＝4x﹣故答案為：y＝4x﹣9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若實數a，b∈（0，+∞）且，則的最小值是．【解答】解：易知f（﹣x）＝﹣x3﹣2023x，且f（x）+f（﹣x）＝0，f（x）＝﹣f（﹣x），故f（x）是奇函數，因為f（x）在R上單調遞增，若，則，化簡得3a+b＝1，則，當且僅當，即時取等，則的最小值是．故答案為：．10．（5分）采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為．【解答】解：∵r2+h2＝R2，又圓錐漏斗形狀的爆破體積V＝，∴V2＝≤＝，當且僅當r2＝2h2，又r2+h2＝R2，即3h2＝R2，即時，等號成立，∴爆破體積最大時，炸藥包埋的深度為．故答案為：．11．（5分）已知函數與g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若對任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），則實數a的取值范圍是[，+∞）．【解答】解：因為當x∈（0，1）時，∈（，1）．令A＝（，1），B為y＝g（x）在[0，2]上的值域，由題意可得A?B，因為g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），開口向上，對稱軸為x＝a＞0，當0＜a＜2時，g（x）min＝g（a）＝4﹣a2，由4﹣a2≤，解得：≤a＜2，此時g（x）max＝g（0）＝4＞1；當a≥2時，函數y＝g（x）在[0，2]上單調遞減，所以g（x）max＝g（0）＝4＞1，g（x）min＝g（2）＝8﹣4a，由8﹣4a≤，解得a≥，所以a≥2；綜上，a的取值范圍為：[，+∞）．故答案為：[，+∞）．12．（5分）已知函數有三個不同的零點x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，則的值為1．【解答】解：函數，設f（x）＝0，t＝，可得3t2+（a2﹣1）t+1﹣a2＝0，又t′＝，可得x＜1時，t′＞0，函數t遞增，x＞1時，t′＜0，函數t遞減，即有x＝1時，函數t取得最大值，且為，且x＞0時，t＞0，x＜0時，t＜0，則方程3t2+（a2﹣1）t+1﹣a2＝0有兩個不等的實根，一個正的，一個負的，可得t1+t2＝，t1t2＝，t1＜0，t2＞0，t1＝，t2＝＝，則＝（1﹣t1）2（1﹣t2）2＝[1+t1t2﹣（t1+t2）]2＝（1+﹣）2＝1．故答案為：1．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13．（4分）設a，b∈R，則“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：∵a＞1且b＞1，∴ab＞1，若已知ab＞1，可取a＝，b＝8，也滿足已知，但不滿足a＞1且b＞1．∴“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要條件，故選：A．14．（4分）下列求導計算正確的是（）A．（xex）′＝ex B． C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2 D．（x+cosx）′＝1+sinx【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，（xex）′＝（x）′ex+x（ex）′＝ex+xex，A錯誤；對于B，（）′＝＝，B正確；對于C，[（2x+1）﹣1]′＝（）′＝＝﹣2（2x+1）﹣2，C錯誤；對于D，（x+cosx）′＝1﹣sinx，D錯誤．故選：B．15．（5分）已知函數f（x），其導函數f′（x）的圖象如圖所示，則（）A．f（x）有2個極值點 B．f（x）在x＝1處取得極小值 C．f（x）有極大值，沒有極小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上單調遞減【解答】解：由題意及圖得，f（x）在（﹣∞，3）上單調遞增，在（3，+∞）上單調遞減，∴f（x）有一個極大值，沒有極小值，∴A，B，D錯誤，C正確，故選：C．16．（5分）設非空集合S＝{x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x2∈S．給出以下三個命題：①若m＝1，則S＝{1}；②若，則；③若，則．其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：非空集合S＝{x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時，有x2∈S．對于①若m＝1，可得x＝1，則S＝{1}；12∈S，∴①對；對于②若，滿足x∈S時，有x2∈S，則．，∴②對；對于③若，x2∈，可得≤x≤，要使x∈S，則．∴③對．故選：C．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟．17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：（1）函數y＝f（x）的單調區間及極值；（2）函數y＝f（x）在區間上的最大值與最小值．【解答】解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），，令f′（x）＞0，得或x＞1，令f′（x）＜0，得，∴函數f（x）的單調增區間為和（1，+∞），函數f（x）的單調減區間為，當時，函數取得極大值，當x＝1時，函數取到極小值，∴函數f（x）極大值為＝，極小值為f（1）＝﹣2．（2）由（1）可知f（x）在[，）上單調遞增，在（，1）上單調遞減，在（1，4]上單調遞增，＝，f（1）＝﹣2．又f（）＝﹣2ln2﹣≈﹣2×0.693﹣＝﹣2.0735＜﹣2，f（4）＝2ln2+4，∴函數y＝f（x）在區間上的最大值為2ln2+4，最小值為﹣2ln2﹣．18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）當a＝1時，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]時有零點，求a的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．當a＝1時，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）轉換為：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函數f（x）＝ax+在x∈[1，2]時，f（x）有零點，即函數在該區間上有解，即：，即求函數g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上單調遞減，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：19．（15分）隨著環保意識的增強，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車經高速路段（汽車行駛速度不低于60km/h）測試發現：①汽車每小時耗電量P（單位：KWh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程內變速行駛比勻速行駛耗電量更大．現有一輛同型號電動汽車從A地經高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）駛到距離為500km的B地，出發前汽車電池存量為75KWh，汽車到達B地后至少要保留5KWh的保障電量．（假設該電動汽車從靜止加速到速度為v的過程中消耗的電量與路程都忽略不計）．（1）判斷該車是否可以在不充電的情況下到達B地，并說明理由；（2）若途徑服務區充電樁功率為15kw（充電量＝充電功率×時間），求到達B地的最少用時（行駛時間與充電時間總和）．【解答】解：（1）設勻速行駛速度為v，耗電量為f（v），則，由對勾函數性質可知函數f（v）在區間[60，120]單調遞增，∴，即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車不能在不充電的情況下到達B地；（2）設勻速行駛速度為v，總時間為t，行駛時間與充電時間分別為t1，t2，若能到達B地，則初始電量+充電電量﹣消耗電量≥保障電量，即75+15t2﹣f（v）≥5，解得，∴，當且僅當，即v＝100時取到等號，所以該汽車到達B地的最少用時為h．20．（15分）已知函數．（b＞0且b≠1）（1）若a＝b＝2，求函數的值域；（2）若a＝0，是否存在正數b，使得函數是偶函數，請說明理由．（3）若a＞0，b＝4，且函數在[﹣1，+∞）上是嚴格增函數，求實數a的取值范圍．【解答】解：（1）若a＝b＝2可得函數，由指數函數值域易知2x+2∈（2，+∞），所以，因此可得，即該函數的值域為．（2）若a＝0，則函數，顯然定義域為R，假設存在正數b，使得函數是偶函數，即滿足，又易知，即可得，即bx＝4x，解得b＝4，此時為偶函數，符合題意，所以存在正數b＝4，使得函數是偶函數．（3）若a＞0，b＝4，則，取?x1，x2∈[﹣1，+∞），且x1＜x2則，若函數在[﹣1，+∞）上是嚴格增函數，則可知y1﹣y2＜0，由于a＞0，所以，又易知，所以在[﹣1，+∞）上恒成立即可，即，因此求得即可，因此可不予考慮，只需考慮時成立即可；當，易知，顯然為減函數，所以；當且僅當x1＝x2＝﹣1時，等號才成立，顯然取不到等號，因此．即實數a的取值范圍為．21．（18分）對于在某個區間[a，+∞）上有意義的函數f（x），如果存在一次函數g（x）＝kx+b使得對于任