2.1米勒問題

i.米勒問題和米勒定理

1471年，德國數學家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什

么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數學史上

100個著名的極值問題中第一個極值問題而引人注目，因為德國數學家米勒曾提出這類問題,

因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”，更一般的米勒問題如下：

米勒問題：已知點兒8是角M0N的邊上的兩個定點，點C是邊。舷上的動點，則

當C在何處時，角ACB最大？

對米勒問題有如下重要結論我們不妨稱之為米勒定理。

米勒定理：已知點兒8是角MON的邊0"上的兩個定點，點c是邊5步上的一動點,

則當且僅當三角形ABC的外圓與邊0M相切于點C”寸，角ACB最大。

證明：如圖1,設c*是邊O加■上不同于點C的任意一點，連結「凡03,因為角AC，

B是圓外角，角ACB是圓周角，易證角ACB小于角ACB,故角ACB最大。

圖1

根據切割線定理得，OC2=C)A[DB,即OC=《OAIDB,于是我們有：角ACB最

大等價于三角形ABC的外圓與邊。龍f相切于點C等價干等價于OC=JOAIDB。

2.米勒定理在解題中的應用

最大視角問題在數學競賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾

何和實際應用為背景進行考查。若能從題設中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用

米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從

而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化

力。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應用0

2.1用米勒定理確定最大視角的點的位置

例1（1986年全國高考數學試題理科第五大題）如圖2,在平面直角坐標系中，在，軸

的正半軸上給定兩定點AS,試在X軸的正半軸上求一點C,使拉力以取得最大值。

分析：這是一道較早的“米勒問題”的高考題，該題背景簡單解題思路入口寬解法多樣，

是一道難得的好題。若用米勒定理求解則可一步到位，輕而易舉地拿下此題

簡解:設由米勒定理知，當且僅當0C=J0A70B疝時，

最大,故點C的坐標為C（向,0）

例2如圖3,足球場長100米，寬60米，球門長7.2米,有一位左邊鋒欲射門，應在

邊力8的何處才使射門角度最大？

解：依題意"=30+3.6=33.6/0=30-3.6=264,由米勒定理知當

MA=JAP-AQ=J336x264w29.78（米）時，最大。故邊鋒應在邊距

約29.78米處射門才能使射門角度最大。

圖3圖4

圖5

例3(2004年全國數學競賽試題)在直角坐標系中，給定兩點M(L4)，N(-L2),在X

軸的正半軸上求一點P,使最大，則點戶’的坐標為。

解：如圖4,設直線⑷與X軸相交于點的0,則必=(-X-1.2),W=(2,2),

因為國口NM,所以20D=4所以x=-3,所以*3.0),由兩點間的距離公

式得AN=2也AM=4&,由米勒定理知，當且僅當

AP=4ANUMd?404時，頊以w最大，此時點F的坐標為(1.0)。

2.2用米勒定理探索最大視角的條件

例4(2010年高考江蘇理科第17題)某興趣小組要測量電視塔?￡的高度，(單位:

冽)，如示意圖5,垂直放置的標桿3c的高度以=4掰，仰角BEa,^ADEbo

(1)該小組已測得一組a》的值，算出了t3na=1％,tanb=120,請據此算出力的值；

(2)若該小組分析若干測得的數據后，認為適當調查整標桿到電視塔的中距離”(單位：

加)，使0，6之差較大，可以提高測量精度。若電視塔的實際高度為125W,試問“為多

少時，a-b最大?

解：(2)設x,由米勒定理知，當且僅當,'=ABUAD即d(x+d)=125”①

x_4

時，？Z)砂a-b最大。又由DD8C口DDAE得,x+d125②，①‘②得，

xd=125D4,將其代入①得，d2-125J-125?4125D121,所以d=554㈣，

故當d為55&時，a-b最大。

點評：第(2)問以實際應用和平面幾何為背景考查最大角問題，本解法以米勒定理和

相似三角形等知識為突破口，結合方程思想求解，綜合性強能力立意高有一定難度。

23用米勒定理求最大視角或其三角函數值

工+J1

例5（2001年希望杯數學競賽培訓題）4尸是橢圓42的左右焦點，,是橢圓

的準線，點尸i/,'EPFa,求a的最大值。

解：如圖6,易求得￡（,々.0）.5（0.o）,不妨設/為左準線交x軸于點〃，則其方

程為x=-2&，ME=>/2tMF=入份，由米勒定理知，當且僅當

MP->1MEIMF\I-J273yf2”時，？EPFa最大。當a最大值時，

tanZ.PEM=竺=3tanZ.PFM=—=—

MEMF3,因為NEPF=々EM-4PFM,由

由UEM-即UFM癢亭

tanZ.EPF=

1+tan￡PEMtanZ.PFM[+抬V33

差角的正切公式得,3,所以a

最大值為30"。

yk

MEO

圖6

更一般地我們有如下結論:

/V3

例6設尺尸是橢圓/宜=電小。）

的左右焦點，P是橢圓準線上的動點,

乙取吆=6,橢圓的離心率是G,則6為銳角且sinewk（當且僅當點P到橢圓的長軸的

距離為C時取等號）。

ME=-c,MP=—r+c

證明：設準線交x軸于點M,則cc由米勒定理知，當且

MP=>1MEIMFJ(--e)(—+<r)=--

僅當vccc時，6為銳角且最大。當6最

tanZA/PF=—,tanZAff>￡=—

大值時，-?-MP,又8=jPF-jPE,由差角的正切

公式得，

MFME

tanZMPF—tanAMPE~MPMPMF-ME勿

[+的/MPF-由^MPE=,工期MS=2MP=26rj—J

MPMPc

c2_?

b^/a2―/,

2

sin0=.一==—=

所以網『-h，。故8為銳角且(當且僅當點P到橢

-^77

圓的長軸的距離為C時取等號)。

tana=一

點評：由例6結論知，當。取最大值時有b或sin&=e,易求得a最大值為30\

2.4用米勒定理求視角最大時有關線段之比

W+L1

例7（2006年全國高中數學競賽題）已知橢圓42的左右焦點是&F,點P在

直線x-揚+8+2&=0上，當￡后尸尸最大時，求悶|：眼|

解：如圖7,設直線與X軸相交于點MG8-2J5.0）,

易求得典動,°）/（動，°）,則M?=8,MF=8+4亞由米勒定理知，當且僅當

MP=JMEIMF48?（84我=4（6+1）時，￡EPF最大，此時△尸郎的外拉圓

與直線相切于點戶，由弦切角定理得？QMFP,又，PME口PMF,所以

PR一破一4（省+1）一>1

DMPEODMFP,所以"MF47+8。

點評：本解法不僅用到米勒定理的結論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的

內在聯系，用相似三角形對應邊成比例求線段比，運算量小解法簡單快捷。

2.5用米勒定理求視角最大時的綜合問題

例8設8是橢圓的短軸頂點，總是橢圓焦點戶相應的長軸頂點。證明當且僅當橢圓為

=51

黃金橢圓（離心率2的橢圓）時，BABF最大,且最大角的正弦值為2。

解：如圖8,由米勒定理知，當且僅當08'=Of[IM時，DA8F最大。故以，

所以ac=a-c,所以c+ac-a=0,即。a,

圖8

y/5-1

即e+a-1=0①，解得2,故當且僅當橢圓為黃金橢圓時，