6.1平面向量的概念（精練）

【題組一向量與數量的區別】

1.（2021?江蘇?泰興市第三高級中學高一月考）給出下列量：①角度；②溫度；③海拔；④彈力；⑤風速；⑥

加速度.

其中是向量的有（）

A.2個B.2個C.4個D.5個

【答案】B

【解析】根據題意，在①角度、②溫度、③海拔、④彈力、⑤風速、⑥加速度中，

是向量的有④彈力、⑤風速、⑥加速度，有3個，

故選：B.

2.（2021?浙江?高一課時練習）下列各量中是向量的是（）

A.時間B.速度C.面積D.長度

【答案】B

【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；

時間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故選：B.

3.（2021.全國?高一課時練習）給出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④質量；⑤功；⑥位移.下列說法

正確的是

A.①②③是數量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是數量，①③⑤是向量

C.①④是數量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是數量，③⑥是向量

【答案】D

【解析】由物理知識可知，密度，路程，質量，功只有大小，沒有方向，因此是數量而速度，位移既有大

小又有方向，因此是向量.

故選：D

4.（2021.上海.高一課時練習）下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數量（即標量）？

⑴密度（2）體積（3）電阻（4）推進力（5）長度（6）加速度

向量：;數量：.（填寫相應編號）.

【答案】（4）（6）⑴⑵（3）（5）

【解析】密度、體積、電阻、長度都是只有大小沒有方向的量，是數量；推進力、加速度是既有大小又有

方向的量，是向量.

故答案為：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).

【題組二向量的幾何表示】

1.(2021.全國?高一課時練習)一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向行進1米，逆時針方向轉變a度，繼

續按直線向前行進1米，再逆時針方向轉變a度，按直線向前行進1米，按此方法繼續操作下去.

⑴按1：100比例作圖說明當a=45。時，操作幾次時賽車的位移為零;

(2)按此法操作使賽車能回到出發點，a應滿足什么條件？

【答案】見解析.

【解析】(I)如圖所示，操作8次后，賽車的位移為零；

(2)要使賽車能回到出發點，只需賽車的位移為零.

按(1)的方式作圖，則所作圖形是內角為180。-。的正多邊形,

由多邊形的內角和定理可得

n(180°-a)=(n-2)180°,

解得a=空360°，且幾23,鹿eN*.

n

故a應滿足的條件為。=3出60°，且〃之3,"cN*.

n

2.（2021.全國?高一課時練習）如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定

點A,氏點C為小正方形的頂點，且|不4=6.

⑴畫出所有的向量而；

（2）求阮的最大值與最小值.

【答案】（1）見解析；（2）最大值為"T，最小值為逐.

【解析】（1）畫出所有的向量云￡，如圖所示:

（2）由（1）所畫的圖知,

①當點C位于點C|或C2時，|肥I取得最小值+22=逐；

②當點C位于點C5或C6時，|阮|取得最大值“2+52=a：

所以IBCI的最大值為"7,最小值為百.

3（2021?全國?高一課時練習）在如圖的方格紙（每個小方格的邊長為1）上，已知向量入

（1）試以8為起點畫一個向量使B=￡；

（2）畫一個以C為起點的向量"，使|"|=2,并說出"的終點的軌跡是什么.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】（1）根據相等向量的定義，所作向量6應與。同向，且長度相等，如下圖所示.

（2）由平面幾何知識可作滿足條件的向量c,所有這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心,2為半徑的圓,

如下圖所示.

4.（2021?江蘇?高一課時練習）在如圖的方格紙上，己知向量每個小正方形的邊長為1.

（1）試以B為起點畫一個向量使5=￡；

（2）在圖中畫一個以A為起點的向量入使F卜石，并說出向量2的終點的軌跡是什么？

【答案】（D作圖見解析；（2）向量2的終點的軌跡是以A為圓心，石為半徑的圓，作圖見解析.

【解析】（D由題意，B為起點畫一個向量B，使各=3,如圖所示.

（2）因為=石，則向量c的終點表不以A為圓心，半徑為右的圓，如圖所不:

【題組三向量相關概念的辨析】

1.（2021?湖南?武廣實驗高級中學高一期末）下列四個命題正確的是（）

A.兩個單位向量一定相等B.若Z與B不共線，則公與B都是非零向量

C.共線的單位向量必相等D.兩個相等的向量起點、方向、長度必須都相同

【答案】B

【解析】兩個單位向量一定相等錯誤，可能方向不同；

若鼠與各不共線，則￡與否都是非零向量正確，原因是零向量與任意向量共線：

共線的單位向量必相等錯誤，可能是相反向量；

兩個相等的向量的起點、方向、長度必須相同錯誤，原因是向量可以平移.

故選:B.

2.（2021.全國?高一課時練習）下列關于向量的描述正確的是

A.若向量^都是單位向量，則2=萬

B.若向量公，各都是單位向量，則=1

C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量

D.平面內起點相同的所有單位向量的終點共圓

【答案】D

【解析】對于選項A：向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為1,方向不定，故向量￡和各不一定

相同，故選項A錯誤；

對于選項B：因為7B=W-W-cose=cose,由cos6?e[-l,l]知，=1不一定成立，故選項B錯誤；

對于選項C：任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；

對于選項D：因為所有單位向量的模為1,且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為1的圓周上，故選

項D正確；

故選：D.

3.（2021.廣西?田東中學）下列命題中，正確的個數是（）

①單位向量都相等；

②模相等的兩個平行向量是相等向量；

③若/W滿足』且，與Z同向，則反＞：；

④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

⑤若力避〃。則

A.0個B.1個

C.2個D.3個

【答案】A

【解析】對于①，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故①錯誤；

對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤：

對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤：

對于④，向量是可以自由平移的矢量，

當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；

對于⑤，時，若之〃z）〃〉則：與展不一定平行.

綜上，以上正確的命題個數是o.

故選：A.

4.（2021?全國?高一課時練習）下列說法中，正確的個數是（）

①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數；③相等向量一定是平行向量；④向量：與辦不

共線，則：與了都是非零向量（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①時間沒有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①錯誤；

②零向量的模為零，故②錯；

③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正確；

④零向量與任意向量都共線，因此若向量：與］不共線，則：9%都是非零向量，即④正確.

故選：B.

5.（2021?全國?高一課時練習）下列命題中正確的個數是

①向量就是有向線段②零向量是沒有方向的向量

③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正實數

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故①錯；

零向量有方向，其方向是任意的，故②錯，③正確；

零向量的模等于0,故④錯.

故選：B.

6.（2021?江蘇?高一）下列各說法:①有向線段就是向量，向量就是有向線段;②向量的大小與方向有關;③任意兩

個零向量方向相同;④模相等的兩個平行向量是相等向量.其中正確的有

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【解析】有向線段是向量的幾何表不，二者并不相同，故①錯誤;②向量不能比較大小，故②錯誤;③由零向量方

向的任意性知③錯誤;④向量相等是向量模相等”且方向相同，故④錯誤.

故選：A.

7.（2021.全國?高一課時練習）下列說法中，正確的是（）

①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③單位向量都是同方向；④任意向量與零向量都共線.

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】D

【解析】①長度為0的向量都是零向量，正確；

②零向量的方向任意，故錯誤；

③單位向量只是模長都為1的向量，方向不一定相同，故錯誤；

④任意向量與零向量都共線，正確；

故選：D

8.（2021.全國?高一課時練習）下列命題中正確的個數有（）

①向量而與麗是共線向量，則A、B、C、。四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的

相反向量不相等；④共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】對于①，若向向量而與麗是共線向量，則AB//CD,或A.B,C,。在同條直線上，故①錯誤：

對于②，因為單位向量的模相等，但是它們的方向不一定相同，所以單位向量不一定相等，故②錯誤；

對于③，相等向量的定義是方向相同模相等的向量為相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因為零向

量的方向是不確定的，可以是任意方向，所以相等，故③錯誤：

對于④，比如共線的向量衣與此（A,B,C在一條直線上）起點不同，則終點相同，故④錯誤.

故選：A.

【題組四相等向量與平行向量】

1.（2021?全國?高一課時練習）下圖中與向量G相等的向量是（)

D.c

【答案】D

【解析】由相等向量的定義可知：

兩個向量的長度要相等，方向要相同,

結合圖形可知C滿足條件，

2.（2021?全國?高一課時練習）如圖，點。是正六邊形ABCQEF的中心，圖中與鼻共線的向量有（）

B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【解析】由圖可知，根據正六邊形的性質,

與之共線的有衣，DF，麗，共3個,

故選：C.

3.（2021?全國?高一課時練習）如圖，四邊形ABCC和ABZ圮都是邊長為1的菱形，已知下列說法:

A,--------------

二C

EDL

①AE,AB,AD,CD,CB,DE都是單位向量；

②通〃DE^DE〃DC

③與血相等的向量有3個；

④與不§共線的向量有3個；

⑤與向量反大小相等、方向相反的向量為詼，而，麗.

其中正確的是—.（填序號）

【答案】①②④⑤

【解析】①由兩菱形的邊長都為1,故①正確;②正確;③與而相等的向量是麗，反，故③錯誤;④與女共

線的向量是麗麗麗，故④正確;⑤正確.

故答案為：①②④⑤

4.(2021.上海.高一課時練習)如圖，在長方體A8CD-4蜴GA中，43=3,A￡>=2,AAt=\,以長方體的

八個頂點中兩點為起點和終點的向量中.

(1)單位向量共有個；

(2)模為石的向量有；

(3)與而相等的向量有；

(4)麗的相反向量有.

【答案】8通;、取、地、、西、印、8仁、邀麗、成、束;福、踮、斤、

而

【解析】(1)由圖可知，AA,=BBi=Cq=DR=l,所以單位向量有4x2=8個；

(2)由圖可知，AD=AA=BC=8C1=石，所以模為后的向量有：硒、酩、卒、明、國'、印、

___mill

B?、CBy；

(3)由圖可知，AB=DC=AB|=RG，所以與而相等的向量有：4瓦、反、鬲;

(4)由圖可知，M=BB,=CC,=DD,=1,所以羽的相反向量有：不、耶、或、“萬；

故答案為：8；AD,\不、即、萬印、西、印、配、邀；福'、DC>函'；不、耶、束、

麗.

5.(2021?全國?高一課時練習)。是正方形ABC。對角線的交點，四邊形。4匹，OCFB都是正方形，在如圖

所示的向量中：

DC

(1)分別找出與而，的相等的向量；

(2)找出與正共線的向量；

(3)找出與荷模相等的向量；

(4)向量正與由是否相等？

【答案】(1)而=阱，BO=AE\(2)/，CO,DE-.(3)C0，DO<麗,BF，CF.CO,DE；(4)

不相等.

【解析】因為。是正方形A88對角線的交點，四邊形。4EO,OCE8都是正方形，

所以6W=A￡=OD=O