江蘇省泰州市姜堰區張甸初級中學2025屆數學九上期末聯考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，則弦BC的長為（）A． B． C． D．2．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，若∠C＝65°，則∠P的度數為()A．65° B．130° C．50° D．100°3．二次函數的圖象如右圖所示，那么一次函數的圖象大致是（）A． B．C． D．4．一元二次方程配方后可化為（）A． B． C． D．5．若將拋物線y=5x2先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（）A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣16．下列各式運算正確的是（）A． B． C． D．7．朗讀者是中央電視臺推出的大型文化情感類節目，節目旨在實現文化感染人、鼓舞人、教育人的引導作用為此，某校舉辦演講比賽，李華根據演講比賽時九位評委所給的分數制作了如下表格：平均數中位數眾數方差對9位評委所給的分數，去掉一個最高分和一個最低分后，表格中數據一定不發生變化的是A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差8．已知點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，則a+b的值為（）A．3 B．-3 C．-1 D．19．下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．10．若式子在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．半徑為R的圓內接正六邊形的面積是（）A．R2 B．R2 C．R2 D．R212．如圖是二次函數的圖象，有下面四個結論：；；；，其中正確的結論是

A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規律繼續下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是_____．14．函數是反比例函數，且圖象位于第二、四象限內，則n=____．15．若關于的方程和的解完全相同，則的值為________．16．若點P（m，-2）與點Q（3，n）關于原點對稱，則=______.17．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的兩個實數根，則α2+αβ﹣3α的值為_____．18．計算：×=______.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，為測量一條河的寬度，某學習小組在河南岸的點A測得河北岸的樹C在點A的北偏東60°方向，然后向東走10米到達B點，測得樹C在點B的北偏東30°方向，試根據學習小組的測量數據計算河寬.20．（8分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC繞點B順時針旋轉90°至△DBE后，再把△ABC沿射線AB平移至△FEG，DE、FG相交于點H．判斷線段DE、FG的位置關系，并說明理由．21．（8分）如圖，點是線段上的任意一點(點不與點重合)，分別以為邊在直線的同側作等邊三角形和等邊三角形，與相交于點，與相交于點．(1)求證:；(2)求證:；(3)若的長為12cm，當點在線段上移動時，是否存在這樣的一點，使線段的長度最長?若存在,請確定點的位置并求出的長；若不存在，請說明理由．22．（10分）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A(6，0)、C(0，3)，直線與BC邊相交于點D．（1）求點D的坐標；（2）若拋物線經過A、D兩點，試確定此拋物線的解析式；（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交于點M，點P為對稱軸上一動點，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，求符合條件的所有點P的坐標.23．（10分）如圖，在中，，且點的坐標為（1）畫出繞點逆時針旋轉后的．（2）求點旋轉到點所經過的路線長（結果保留）（3）畫出關于原點對稱的24．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）．（1）當AE＝8時，求EF的長；（2）設AE＝x，矩形EFPQ的面積為y．①求y與x的函數關系式；②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？（3）當矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運動（當點P到達點B時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．25．（12分）如圖，已知AD?AC＝AB?AE．求證：△ADE∽△ABC．26．關于x的方程有兩個不相等的實數根.（1）求m的取值范圍；（2）是否存在實數m，使方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】首先過點O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數，然后根據等腰三角形的性質，求得∠OBC的度數，利用余弦函數，即可求得答案．【詳解】過點O作OD⊥BC于D，則BC=2BD，∵△ABC內接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，∵⊙O的半徑為5，∴BD=OB?cos∠OBC=，∴BC=5，故選C．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形等，添加輔助線構造直角三角形進行解題是關鍵.2、C【解析】試題分析：∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，則∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故選C．考點：切線的性質．3、D【分析】可先根據二次函數的圖象判斷a、b的符號，再判斷一次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【詳解】解：由二次函數圖象，得出a＞0，，b＜0，

A、由一次函數圖象，得a＜0，b＞0，故A錯誤；

B、由一次函數圖象，得a＞0，b＞0，故B錯誤；

C、由一次函數圖象，得a＜0，b＜0，故C錯誤；

D、由一次函數圖象，得a＞0，b＜0，故D正確．

故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象，應該熟記一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等.4、B【分析】根據一元二次方程配方法即可得到答案.【詳解】解：∵x2+4x=3∴x2+4x+4=3+4∴（x+2）2=7故選B【點睛】此題主要考查了解一元二次方程的配方法，熟練掌握一元二次方程各種解法是解題的關鍵.5、A【解析】試題解析：將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位,得到的拋物線的解析式是故選A.點睛：二次函數圖像的平移規律：左加右減，上加下減.6、D【分析】逐一對選項進行分析即可．【詳解】A.不是同類項，不能合并，故該選項錯誤；B.，故該選項錯誤；C.，故該選項錯誤；D.，故該選項正確；故選：D．【點睛】本題主要考查同底數冪的乘除法，積的乘方，掌握同底數冪的乘除法和積的乘方的運算法則是解題的關鍵．7、B【分析】根據方差、平均數、眾數和中位數的定義進行判斷．【詳解】解：對9位評委所給的分數，去掉一個最高分和一個最低分后，中位數一定不發生變化．故選B．【點睛】本題考查了方差：方差是反映一組數據的波動大小的一個量方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好也考查了平均數、眾數和中位數．8、B【分析】由關于原點對稱的兩個點的坐標之間的關系直接得出a、b的值即可.【詳解】∵點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3.故選B.【點睛】關于原點對稱的兩個點，它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數.9、B【解析】根據中心對稱圖形的定義“是指在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合的圖形”和軸對稱圖形的定義“是指平面內，一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形”逐項判斷即可.【詳解】A、既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，此項不符題意B、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，此項符合題意C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此項不符題意D、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，此項不符題意故選：B.【點睛】本題考查了中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義，這是常考點，熟記定義是解題關鍵.10、C【解析】直接利用二次根式的定義即可得出答案．【詳解】∵式子在實數范圍內有意義，∴x的取值范圍是：x＞1．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解答本題的關鍵．11、C【分析】連接OE、OD，由正六邊形的特點求出判斷出△ODE的形狀，作OH⊥ED，由特殊角的三角函數值求出OH的長，利用三角形的面積公式即可求出△ODE的面積，進而可得出正六邊形ABCDEF的面積．【詳解】解：如圖示，連接OE、OD，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠DEF=120°，

∴∠OED=60°，

∵OE=OD=R，

∴△ODE是等邊三角形，

作OH⊥ED，則∴∴故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，理解正六邊形被半徑分成六個全等的等邊三角形是解答此題的關鍵．12、D【分析】根據拋物線開口方向得到，根據對稱軸得到，根據拋物線與軸的交點在軸下方得到，所以；時，由圖像可知此時，所以；由對稱軸，可得；當時，由圖像可知此時，即，將代入可得.【詳解】①根據拋物線開口方向得到，根據對稱軸得到，根據拋物線與軸的交點在軸下方得到，所以，故①正確.②時，由圖像可知此時，即，故②正確.③由對稱軸，可得，所以錯誤，故③錯誤；④當時，由圖像可知此時，即，將③中變形為，代入可得，故④正確.故答案選D.【點睛】本題考查了二次函數的圖像與系數的關系，注意用數形結合的思想解決問題．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】連接AC、BD，根據菱形的面積公式，得S菱形ABCD=，進而得矩形A1B1C1D1的面積，菱形A2B2C2D2的面積，以此類推，即可得到答案．【詳解】連接AC、BD，則AC⊥BD，∵菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60°，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝1×1×sin60°＝，∵順次連結菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，∴矩形A1B1C1D1的面積＝AC?BD＝AC?BD＝S菱形ABCD＝＝，菱形A2B2C2D2的面積＝×矩形A1B1C1D1的面積＝S菱形ABCD＝＝，……，∴四邊形A2019B2019C2019D2019的面積＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查菱形得性質和矩形的性質，掌握菱形的面積公式，是解題的關鍵．14、-1．【分析】根據反比例函數的定義與性質解答即可.【詳解】根據反比函數的解析式y=（k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n1－5=-1，解得n=±1，然后根據函數的圖像在第二、四三象限，可知n+1<0，解得n<-1,所以可求得n=-1.故答案為：-1【點睛】本題考查反比例函數的定義與性質，熟記定義與性質是解題的關鍵.15、1【分析】先分解因式，根據兩方程的解相同即可得出答案．【詳解】解：，，∵關于x的方程和的解完全相同，∴a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能正確用因式分解法解方程是解此題的關鍵．16、-1【分析】根據坐標的對稱性求出m,n的值，故可求解.【詳解】依題意得m=-3,n=2∴=故填：-1.【點睛】此題主要考查代數式求值，解題的關鍵是熟知直角坐標系的坐標特點.17、1【分析】根據根與系數的關系得到得α+β=3，再把原式變形得到a（α+β）-3α，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝1的兩個實數根，∴α+β=3，αβ=-4，∴α2+αβ﹣3α=α（α+β）-3α=3α-3α=1．故答案為1【點睛】本題主要考查了根與系數的關系，解題的關鍵是利用整體法代值計算，此題難度一般．18、7【分析】利用二次根式的乘法法則計算即可.【詳解】解：原式故答案為：7【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，熟練掌握二次根式的乘法運算法則是解題關鍵.三、解答題（共78分）19、米【分析】如圖（見解析），過點A作于點E，過B作于點F，設河寬為x米，則，在和中分別利用和建立x的等式，求解即可.【詳解】過點A作于點E，過B作于點F設河寬為x米，則依題意得在中，，即解得：則在中，，即解得：（米）答：根據學習小組的測量數據計算出河寬為米.【點睛】本題考查了銳角三角函數中的正切的實際應用，依據題意構造出直角三角形是解題關鍵.20、見解析【分析】根據旋轉和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根據∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，進而得到∠DEB+∠GFE=90°，從而得到DE、FG的位置關系是垂直.【詳解】解：DE⊥FG．理由：由題知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．21、(1)見解析；(2)見解析；(1)存在,請確定C點的位置見解析，MN=1．【分析】（1）根據題意證明△DCB≌△ACE即可得出結論；（2）由題中條件可得△ACE≌△DCB，進而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形，即可得出結論；（1）可先假設其存在，設AC=x，MN=y，進而由平行線分線段成比例即可得出結論．【詳解】解：（1）∵△ACD與△BCE是等邊三角形，∴AC=CD，CE=BC，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE與△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴DB=AE；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠BDC，

在△ACM與△DCN中，，∴△ACM≌△DCN，

∴CM=CN，

又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，

∴△MCN是等邊三角形，

∴∠MNC=∠NCB=60°

即MN∥AB；（1）解：假設符合條件的點C存在，設AC=x，MN=y，

∵MN∥AB，∴，即，，當x=6時，ymax=1cm，即點C在點A右側6cm處，且MN=1．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及平行線分線段成比例的性質和二次函數問題，能夠將所學知識聯系起來，從而熟練求解．22、（3）點D的坐標為（3，3）；（3）拋物線的解析式為；（3）符合條件的點P有兩個，P3（3，0）、P3（3，-4）.【分析】（3）有題目所給信息可以知道，BC線上所有的點的縱坐標都是3，又有D在直線上，代入后求解可以得出答案．（3）A、D，兩點坐標已知，把它們代入二次函數解析式中，得出兩個二元一次方程，聯立求解可以得出答案．（3）由題目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，所以應有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明顯∠AMP不可能等于90°，所以有兩種情況．【詳解】（3）∵四邊形OABC為矩形，C（0，3）∴BC∥OA，點D的縱坐標為3．∵直線與BC邊相交于點D，∴．∴點D的坐標為（3，3）．（3）∵若拋物線經過A（6，0）、D（3，3）兩點，∴解得：，∴拋物線的解析式為（3）∵拋物線的對稱軸為x=3，設對稱軸x=3與x軸交于點P3，∴BA∥MP3，∴∠BAD=∠AMP3．①∵∠AP3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP3．∴P3（3，0）．②當∠MAP3=∠ABD=90°時，△ABD∽△MAP3．∴∠AP3M=∠ADB∵AP3=AB，∠AP3P3=∠ABD=90°∴△AP3P3≌△ABD∴P3P3=BD=4∵點P3在第四象限，∴P3（3，-4）．∴符合條件的點P有兩個，P3（3，0）、P3（3，-4）．23、（1）見解析；（2）；（2）見解析【分析】（1）根據旋轉角度、旋轉中心及旋轉方向確定各點的對稱點，順次連接即可；（2）根據圓的周長的計算即可；（3）根據與原點的對稱點的坐標特征：橫、縱坐標都變為相反數確定各點的對稱點，順次連接即可.【詳解】解：(1)如圖的即為所作圖形，(2)由圖可知是直角三角形，，，所以，點旋轉到的過程中所經過的路徑是一段弧，且它的圓心角為旋轉角，半徑為．.所以點旋轉到的過程中所經過的路徑長為．（3）如圖的即為所作圖形，【點睛】本題考查了旋轉作圖、對稱作圖及弧長的計算，難度不大，注意準確的作出旋轉后的圖形是關鍵.24、（1）1；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6時，y有最大值為9；（3）S=【分析】(1)由EF∥BC,可得,由此即可解決問題;(2)①先根據點E為AB上一點得出自變量x的取值范圍,根據30度的直角三角形的性質求出EF和AF的長,在在Rt△ACB中,根據三角函數求出AC的長,計算FC的長,利用矩形的面積公式可求得S的函數關系式;②把二次函數的關系式配方可以得結論;(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，∴BC=AB=6，AC=BC=6，∵四邊形EFP