2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現有

一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略

不計)，在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()

JT3

2.在直角AABC中，NC=E，AB=4,AC=2,若=則函.函=()

A.-18B.-673C.18D.60

3.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數字為莖，個位

數字為葉).若甲隊得分的中位數是86,乙隊得分的平均數是88,則%+丁=()

用C

$B?

82工fl2y9

769I37

A.170B.10C.172D.12

4.設。,瓦尸分別為AA8C的三邊BCCA,AB的中點，則麗+%=()

uua

A.-ADB?ADC.BCD.-BC

22

24-loJg.1x,—Q<x<\

5.已知函數/(x)=<2"，若/(a)=/S)(a<。)，則曲的最小值為()

2\l<x<2

參考數據：In2?0.69,In22?0.48

1R垃D,包

A.-B.----C.log2V3

242

6.把函數/（%）=45?》-奈卜"0）的圖象向右平移:個單位長度，得到函數g（x）的圖象，若函數

g（x-，〃）（〃，>（））是偶函數，則實數〃?的最小值是（）

571g54八兀.冗

A.—B.—C.-D.—

126612

7.若（l+ax）（l+x）5的展開式中產,》3的系數之和為一]0,則實數。的值為（）

A.—3

22

8.己知雙曲線C:「-A=l（a>0/>0）的右焦點為尸，若雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為且點尸到該漸近線

arb~3

的距離為G，則雙曲線C的實軸的長為

8行

9.過圓Y+y2=4外一點M（4,-1）引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x—y+4=0

10.數列｛a“｝滿足a“+a“+2=2a“+|（〃eN*）,且4+4+/=9,4=8,貝!|為=（）

11.已知直線4：x=my（加。（））與拋物線C：y2=4x交于o（坐標原點），A兩點，直線心％=/取+加與拋

物線。交于3,。兩點.若|8。|=3|。4],則實數加的值為（）

1111

A.—B?—C?一D.一

4538

12.五行學說是華夏民族創造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分.古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素，則2

類元素相生的概率為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.平面向量方=(1,2),5=(4,2),c=ma+b(〃?eR)，且^與方的夾角等于乙與石的夾角，貝！1a=—.

14.經過橢圓與+>2=1中心的直線與橢圓相交于加、N兩點(點M在第一象限)，過點M作x軸的垂線，垂足為

點E.設直線NE與橢圓的另一個交點為P.則cosZNMP的值是.

15.在平面五邊形A3CZJE中，ZA=60°,AB=AE=6y/3,BC1CD,且BC=￡>E=6.將五邊形A8CDE沿對

角線仍折起，使平面4m與平面BCDE所成的二面角為120。，則沿對角線仍折起后所得幾何體的外接球的表面積

是.

16.如圖，為測量出高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得用點的仰角NMAN=6()°,C

點的仰角NC48=45°以及月C=75°;從C點測得N"C4=60°.已知山高3c=1()0/九，則山高

MN=m.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓r:J+/=13>6>0)過點(加,乎)，設橢圓r的上頂點為B,右頂點和右焦點分別為A,產，

571

J@LZAFB=—.

6

(1)求橢圓「的標準方程;

(2)設直線/：)，=丘+交橢圓「于P,。兩點，設直線8P與直線8。的斜率分別為原.，kBQ,若

%"+即°=T,試判斷直線/是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

/、fx=Jicos。

18.(12分)過點P(—1,0)作傾斜角為a的直線與曲線廣(。為參數)相交于〃、N兩點.

y=V2sin0

(1)寫出曲線C的一般方程；

(2)求|加上仍川的最小值.

19.(12分)已知a>0,b>。,函數/(x)=k+a|+|2x-Z?|的最小值為1.

(1)證明：2a+h=2.

(2)若。+2/?之口"恒成立，求實數f的最大值.

20.(12分)《山東省高考改革試點方案》規定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年開始，高

考總成績由語數外3門統考科目和物理、化學等六門選考科目構成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、

16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依

照等比例轉換法則，分別轉換到［91,100］、［81,90］、［71,80］,［61,70］,［51,60］,［41,50］,［31,40］、［21,30］八個

分數區間，得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測

試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布N(60,169).

(1)求物理原始成績在區間(47,86)的人數；

(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區間［61,80］的人數，求X的

分布列和數學期望.

(附：若隨機變量4?N(〃,b2),則P(〃—b<q<〃+b)=0.682,P(〃—2b<《<〃+2b)=0.954,

P(R-3b<〃+3cr)=0.997)

21.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形ABC。中，E是AO的中點，尸是CO的中點，現將三角形。瓦'沿瓦翻

折成如圖2所示的五棱錐P-ABCFE.

(1)求證：AC〃平面尸￡尸；

(2)若平面PEb,平面ABCFE,求直線PB與平面Q4E所成角的正弦值.

22.(10分)設數列｛4｝,其前〃項和S,=—3〃2,又也｝單調遞增的等比數列，結2^=512,q+4=%+4.

(1)求數列｛為｝,｛，｝的通項公式；

h2

(11)若。“=e_2沁-1)'求數列｛%｝的前11項和并求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質即可確定

此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.

【詳解】

當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.

此時橢圓長軸長為）12?+6?=&、萬，短軸長為6,

'2^5

所以ee0,---.

I5.

故選：C

【點睛】

本題考查了楣圓的定義及其性質的簡單應用，屬于基礎題.

2.C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得=—上=一,再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結合向量數量

AB2

積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值.

JT

在直角AABC中，NC=—,A8=4,AC=2,,

2

AC1

cos/CAB-——9

AB2

___3___

若4方與，則①?而=（而一女）（通一近）=而?而一而京一蔗?福+而2

3—23—————2351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故選C.

【點睛】

本題考查向量的加減運算和數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

中位數指一串數據按從小（大）到大（小）排列后，處在最中間的那個數，平均數指一串數據的算術平均數.

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數為80+x=86,故尤=6；

78+82+80+y+89+91+93+97

乙的平均數為=88

7

解得y=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點睛】

本題考查莖葉圖的應用，涉及到中位數、平均數的知識，是一道容易題.

4.B

【解析】

根據題意,畫出幾何圖形，根據向量加法的線性運算即可求解.

【詳解】

根據題意,可得幾何關系如下圖所示：

1——1——

=—AB+—4C=AD

22

故選:B

【點睛】

本題考查了向量加法的線性運算，屬于基礎題.

5.A

【解析】

首先/(x)的單調性，由此判斷出由/⑷=/S)求得a,。的關系式.利用導數求得log?必的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【詳解】

2+log,x,-<x<\,、r1A

由于函數/(x)=J58,所以/(x)在g,l上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/S)(a<0),

2\l<x<2L,

/R］=2+log，=5,〃2)=22=4,令2+log］尤=4,解得》=1,所以.且2+log〃=2",化簡

2

⑻/241</,<2

bh

得log2a=2-2,所以log?ab=log2a+log2b=2-2+log2b,構造函數g(x)=2-2"+log2x(l<x<2),

11—r2'11?2

g(x)=—2'ln2+.構造函數〃(x)=l-x?2*-ln22(l<xK2),

xln2xln2

/z(x)=-(l+xln2)-2A-ln22<0,所以〃(x)在區間(1,2］上遞減，而〃⑴=l-21n22al-2x0.48=0.04〉。，

/i(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在尤o?l,2),使〃(%)=0.所以g(x)在(1,飛)上大于零，在

(知2)上小于零.所以g(x)在區間(1,%)上遞增，在區間(如2)上遞減.而g⑴=0,g(2)=2-22+log22=-l,所

以g(x)在區間0,2］上的最小值為—1,也即log?她的最小值為-1,所以時的最小值為2T=上

乙

故選：A

本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.

6.A

【解析】

先求出g（x）的解析式，再求出（加>0）的解析式，根據三角函數圖象的對稱性可求實數加滿足的等式，從

而可求其最小值.

【詳解】

/'(X)-Asin12x-^（A豐0）的圖象向右平移四個單位長度,

4

（冗冗、Asinf2x-—Y

所得圖象對應的函數解析式為g（x）=Asin2x----

\267I3)

(2萬、

故=Asin2x-2m----.

\37

令2x—26----=kjrH—%￡Z,解得x=ITL-\-----1---9keZ.

329122

因為y=g（X-m）為偶函數，故直線X=o為其圖象的對稱軸,

令團+導券=0,SZ,故,“=W,1,

5萬

因為m>0,故％<—2,當人=一2時，〃%1in=—

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數的圖象變換以及三角函數的圖象性質，注意平移變換是對自變量X做加減，比如把y=/(2x)的圖

象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為y=/[2(x-l)]=/(2x-2),另外，如果X=m為正弦型函數

〃x)=Asin3x+e)圖象的對稱軸，則有八m)=±A,本題屬于中檔題.

【解析】

由(1+^)(1+%)5=(1+%)5+公(1+x)5,進而分別求出展開式中A-2的系數及展開式中x3的系數，令二者之和等于

-10,可求出實數〃的值.

【詳解】

由(1+0x)(1+x)5=(1+x)5+0x(1+x)5,

23

則展開式中x的系數為c；+?C5'=10+5a,展開式中X的系數為c；+aC^=10+10a,

二者的系數之和為(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=一2.

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

8.B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為丫=±2%,由題可知2=tan工=6.

aa3

|辰|

設點F(C,0),則點f到直線y=?的距離為=6解得。=2,

J(后+(-1)2

所以02=〃+加=4+3/=442=4,解得4=1,所以雙曲線C的實軸的長為2。=2,故選B.

9.A

【解析】

過圓x2+y2=r2外一點(m,n),

引圓的兩條切線，貝!J經過兩切點的直線方程為加1+期-尸=0,故選A.

10.A

【解析】

先由題意可得數列伍“｝為等差數列，再根據4+g+/=9,%=8,可求出公差，即可求出生.

【詳解】

數列｛an]滿足4+*=2%(〃￡”),則數列｛an]為等差數列，

???4+/+/=9,%=8,

/.3q+3d=9,q+3d=8,

d=—,

2

,521

4=勾+d=o8+—=——,

22

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了等差數列的性質和通項公式的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.

11.D

【解析】

設8(%,必)，聯立直線與拋物線方程，消去X、列出韋達定理，再由直線％=陽與拋物線的交點求出A

點坐標，最后根據得到方程，即可求出參數的值；

【詳解】

解：設3(M，y),。仇,%)，由＜2/，得y-4/2-4m=0,

[y=4x

2

VA=16m+16m＞0，解得加＜一1或加＞0,%=4m，y,y2=-4m.

[x=my_/x

又由，2—4，Wy-4my=0,...〉=()或y=4根，9,

'：\BD\=3\OA\,

22

二(l+m)(^1-y2)"=9(16m4+16機),

又：(x—%)2=(y+%y_4yly2=16m2+16加，

???代入解得/〃=).

8

故選：D

【點睛】

本題考查直線與拋物線的綜合應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.

12.A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種，其中2類元素相生的結果有5種，再根據古典概型概率公式

可得結果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果，

所以2類元素相生的概率為2=,，故選A.

102

【點睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的

關鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較

為復雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先（A，g）,（4,鳥）….（4,紇），

再（人,即,（4也）.....（4,耳）依次（4,⑷⑷,紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

試題分析：c=mJ+^=m（l,2）+（4,2）=（m+4,2m+2）,不與。的夾角等于^與5的夾角，所以

a-cb-c7/z+4+4m+44m+16+4m+4

nr=I_i?./=2

同同W向小V20

考點：向量的坐標運算與向量夾角

14.0

【解析】

作出圖形，設點/由,%）,則N（—x。，—%）、石（％,0），設點P（%,y），利用點差法得出利用斜

率公式得出進而可得出女MMMP=T，可得出MN，MP,由此可求得cosNWP的值.

【詳解】

設點>0,%>0）,則、E（/,0）,設點P（玉，x）,

y2.

,十X）一

則:,兩式相減得五二三+（才—%）=0,即華為=一1，

X,22"'%一片2

—+V.=

即%%=0??=44=4，

%,-x0%+/0xx-x02

由斜率公式得％=&￡=*=3?=5L，?..4=L%NP=L,K%N]=9MNL，?.?爆v%=T，故

乙"o乙"0乙，IZ，，

MN1MP,

因此，cosZ.NMP=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點差法與斜率公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.

15.252〃

【解析】

設AABE的中心為。-矩形BCDE的中心為。2,過。作垂直于平面ABE的直線4,過。?作垂直于平面BCDE的

直線4,得到直線4與/?的交點。為幾何體43CDE外接球的球心，結合三角形的性質，求得球的半徑，利用表面積公

式，即可求解.

【詳解】

設AA5E的中心為。?,矩形BCDE的中心為02,

過0｝作垂直于平面ABE的直線4,過。2作垂直于平面BCDE的直線/,,

則由球的性質可知，直線《與4的交點。為幾何體A6CDE外接球的球心,

取BE的中點E,連接。|P，02F,

由條件得。尸=。2/=3,ZO,FO2=120°,連接。尸，

因為△OFQ三\OFO2,從而00、=373,

連接。4,則Q4為所得幾何體外接球的半徑，

12

在直角AAOQ中，由QA=6,OO[=373,0A=00;+0}A=27+36=63,

即外接球的半徑為R=OA=底,

故所得幾何體外接球的表面積為S=4兀R2=252萬.

故答案為：252〃.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結構特

征，求得外接球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.

16.1

【解析】

試題分析：在A/WC中，?.?/84。=45。,/48。=90。,8。=100,;.4。=-^-=100底，在AAMC中，

sin45°

vZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=100^,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=100百，在放44M/V中，MN=AM-sinZMAN=100>/3xsin60°

=150(m).

故答案為L

考點：正弦定理的應用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2

17.(1)—+/=1(2)直線/過定點，該定點的坐標為(2,-1).

4

【解析】

621

(1)因為橢圓「過點(0,拳)，所以/+壽=1①，

設。為坐標原點，因為乙4用=學，所以=又|8尸|=^/?壽=〃，所以人=』。②,

662

a=2Y2

將①②聯立解得，,(負值舍去)，所以橢圓「的標準方程為L+V=1.

b=\4'

⑵由⑴可知8(0,1),設P(X1,yJ,。(馬,/2).

V,

將〉=京+〃代入一+y2=1,消去)，可得(l+4-)f+8切X+4/_4=0,

4

則/=(8%)2-4(1+必2)(4〃2-4)=16(必2-〃2+1)>0,西+%=一-"X電=4〃二,

1+4K\+4k2

y-1?y-1x，kxi+〃)一/+x(kx+n)-x2kxix2-1)(石+x)

所以卜祝+kpQ--1----+2--------------------------x-----2------------x—112

中2

~~8kn

+(〃-1)?

1+4-1+4公8%(〃-1)

4〃2-44(〃+1)(〃-1)n+1

1+4〃

所以〃=—2A—1,此時4=16[4公-(-2%-1)2+1]=-64左>0,所以k<0,

此時直線/的方程為y=kx-2k-l,即y=%(x-2)-l,

令x=2,可得.丫=一1,所以直線/過定點，該定點的坐標為(2,-1).

224

18.(1)一r+2-=1；(2)

323

【解析】

(1)將曲線的參數方程消參得到普通方程；

22

(2)寫出直線MN的參數方程，將參數方程代入曲線方程工+二=1,并將其化為一個關于，的一元二次方程，根

32

據伊河卜|產川=,「修，結合韋達定理和余弦函數的性質，即可求出|PMHPN|的最小值.

【詳解】

x=\J3cos0

(1)由曲線C的參數方程「(。是參數)，

y=y/2sin0

2222

可得工+匕=cos2e+sin2e=l,即曲線C的一般方程為工+二=1.

3232

x=-1+/?cosa

(2)直線MN的參數方程為^。為參數)，

y=t-sma

22

將直線MN的參數方程代入曲線土+匕=1,

32

得2(-l+fcosa)~+3(/sina『=6,整理得(3-cos%)?r-4cosai-4=0,

設M,N對應的對數分別為4，t2,則1PMM=a4.,

當cosc=0時，歸例卜|「'|取得最小值為g.

【點睛】

該題考查的是有關參數方程的問題，涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化，直線的參數方程的應用，屬于簡

單題目.

9

19.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：(1)將/(%)=|%+。|+|2%-。|轉化為分段函數，求函數的最小值

(2)分離參數，利用基本不等式證明即可.

詳解：(I)證明：2

2

-3%—Q+〃,X<—Q

b

~x+a+4—a<x<］，顯然f(x)在上單調遞減，在上單調遞增,

2

..h

3x+a一仇犬〉一

2

b=。+"1=1,即2a+b=2.

所以/(x)的最小值為了

.1

(n)因為。+力2sb恒成立，所以幺丁之，恒成立,

ab

a+2〃121

----2—I———

abba2

7n+?hQ

當且僅當a=b=；時，幺f取得最小值;，

3ab2

99

所以即實數，的最大值為7.

22

點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數的最值和不等式的應用，第二問恒成立問題分離參數，利用基本不等式求解

很關鍵，屬于中檔題.

20.（I）1636人；（II）見解析.

【解析】

（I）根據正態曲線的對稱性，可將區間（47,86）分為（47,60）和（60,86）兩種情況，然后根據特殊區間上的概率求出

成績在區間（47,86）內的概率，進而可求出相應的人數；（H）由題意得成績在區間［61,80］的概率為w，且

X~8（3,|1,由此可得X的分布列和數學期望.

【詳解】

（I）因為物理原始成績J?N（6O,132）,

所以P（47<專<86）=P（47<J<60）+P（60V。<86）

=1P（60-13<^<60+13）+1P（60-2X13<^<60+2x13）

0.6820.954

=-------+--------

22

=0.818.

所以物理原始成績在（47,86）的人數為2000x0.818=1636（人）.

2

（H）由題意得，隨機抽取1人，其成績在區間［61,80］內的概率為二.

所以隨機抽取三人，則X的所有可能取值為0,1,2,3,且X~,

所以P（X=0）=

P（X=2）=C；.

5125

（2丫8

尸(X=3)=

$125

所以X的分布列為

X0123

2754368

P

Y25125125125

所以數學期望E（X）=3x|=1.

【點睛】

（D解答第一問的關鍵是利用正態分布的三個特殊區間表示所求概率的區間，再根據特殊區間上的概率求解，解題時

注意結合正態曲線的對稱性.

（2）解答第二問的關鍵是判斷出隨機變量服從二項分布，然后可得分布列及其數學期望.當被抽取的總體的容量較大

時，抽樣可認為是等可能的，進而可得隨機變量服從二項分布.

21.（