2024貴州中考數學二輪復習專題題型六函數的實際應用專項訓練類型一行程問題(黔西南州2023.24)典例精講例1(2023龍東地區)已知A、B兩地相距240km，一輛貨車從A地前往B地，途中因裝載貨物停留一段時間．一輛轎車沿同一條公路從B地前往A地，到達A地后(在A地停留時間不計)立即原路原速返回．如圖是兩車距B地的距離y(km)與貨車行駛時間x(h)之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：例1題圖(1)圖中m的值是______；轎車的速度是______km/h；【分層分析】由題意知，轎車從B地前往A地的行駛時間與其從A地返回B地的行駛時間相同，結合函數圖象即可求得m的值；通過“速度＝路程÷時間”可求出轎車的速度；(2)求貨車從A地前往B地的過程中，貨車距B地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系式；【分層分析】要求貨車從A地前往B地的y關于x的函數關系式，分三段利用待定系數法求出MN、NG、GH的函數解析式即可；(3)直接寫出轎車從B地到A地行駛過程中，轎車出發多長時間與貨車相距12km?【分層分析】結合圖象求得貨車的速度，根據貨車、轎車距B地的距離y(km)與貨車行駛時間x(h)之間的解析式，由解析式之間的關系建立方程求解即可．針對演練1.(2023蘭州)小軍到某景區游玩，他從景區入口處步行到達小憩屋，休息片刻后繼續前行，此時觀光車也從景區入口處出發，沿相同路線先后到達觀景點．如圖，l1，l2分別表示小軍與觀光車所行的路程y(m)與時間x(min)之間的關系．根據圖象解決下列問題：第1題圖(1)觀光車出發________分鐘追上小軍；(2)求l2所在直線對應的函數表達式；(3)觀光車比小軍早幾分鐘到達觀景點？請說明理由．類型二分段計費問題典例精講例2(萬唯原創)為響應國家深化具有中國特色體教融合發展的要求，某中學積極行動，并決定購買一批體育用品．在購買足球時，由于足球價格稍貴，該校與一運動器械專賣店議價，最終優惠如下：①每個足球的原價為90元，若②一次性購買不超過10個，則按原價銷售；若③一次性購買超過10個，前10個按原價銷售，超過的部分打8折．(1)設該中學購買足球x個，所需費用為y元，請寫出y關于x的函數關系式；【分層分析】由①②可知當0＜x≤10時，y＝________，由①③可知當x＞10時，y＝____________；(2)若該中學計劃購買足球的費用不超過1200元，則最多能購買幾個足球？【分層分析】由①②可知購買10個足球花費為______，以此判斷購買足球的數量是否超過10個，若超過了則把1200代入y＝______________中求解即可；(3)若購買了20個足球，則平均每個足球的售價為多少元？【分層分析】結合③求得購買20個足球的總花費，利用“單價＝總價÷個數”即可求得平均售價．針對演練2.某市為了倡導居民節約用水，生活用自來水按階梯式水價計費．如圖是居民每戶每月的水(自來水)費y(元)與所用的水(自來水)量x(噸)之間的函數圖象．根據圖象提供的信息，解答下列問題：第2題圖(1)當17≤x≤30時，求y與x之間的函數關系式；已知某戶居民上月水費為91元，求這戶居民上月的用水量；(3)當一戶居民在某月用水為15噸時，求這戶居民這個月的水費．類型三方案問題(黔西南州3考，黔東南州2考)典例精講例3為推進生態文明建設，大力發展旅游業，某生態公園計劃在園區內造一片銀杏林，某樹苗培育基地推出A、B兩種不同品種的銀杏樹苗，在銀杏樹苗成活率、價格完全相同的前提下，推出以下優惠方案：A品種：購買樹苗超過一定數量后，超過部分按原價的75%付款；B品種：每棵樹苗均按原價的85%付款．該生態公園計劃在該樹苗培育基地購買A、B兩種銀杏苗中的一種．設該生態公園計劃購買銀杏苗x棵，則購買A種樹苗應付總費用為yA元，購買B種樹苗應付總費用為yB元，其圖象如圖所示：例3題圖(1)求yA，yB與x之間的函數關系式；【分層分析】要求yA，yB與x之間的函數關系式，根據題意可知，當購買A品種樹苗超過200棵后，超過部分按原價的75%付款，當0＜x≤200時，yA＝______，可知購買一棵銀杏樹苗的單價為25元/棵，當x＞200時，超過部分按原價的75%付款，即yA＝______；購買每棵B品種樹苗均按原價的85%付款，即yB＝____________；(2)當購買多少棵樹苗時，兩品種所需付的費用相同，費用是多少元？【分層分析】要求購買多少棵樹苗時，兩品種所付費用相同，即就是令yA＝yB，求解x的值和此時y的值即可；(3)該生態公園應如何選擇A、B兩種銀杏樹苗使得所需費用最少．【分層分析】根據圖象可知，當0＜x≤200時，yA＞yB，故只需要討論當x＞200時，yA與yB的大小關系即可．針對演練3.(萬唯原創)一方有難，八方支援．因受水災影響，A城決定向B、C兩鄉運送救援物資，A城向兩鄉運送救援物資各100噸，由于物資仍舊短缺，后又向兩鄉運送物資共300噸，從A城往B、C兩鄉運救援物資的費用分別為25元/噸和20元/噸．(1)若運往C鄉的兩批救援物資共比B鄉的多100噸，則運往B、C兩鄉的救援物資各多少噸？(2)設第二批從A城運往B鄉救援物資x噸，總運費為y元，求出最少總運費；(3)由于運送第二批物資時更換車型，使A城運往B鄉的運費每噸減少a(0＜a＜6)元，這時怎樣調運才能使運送兩批物資的總運費最少？類型四最值問題(黔西南州2考，黔東南州2考，貴陽2023.22)典例精講例4(2023荊門)某公司電商平臺，在2023年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經市場調查發現，某種商品的周銷售量y(件)是關于售價x(元/件)的一次函數，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W(元)的三組對應值數據．x407090y1809030W360045002100(1)求y關于x的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；【分層分析】要求y關于x的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)，設y＝kx＋b，將點(40，180)和(70，90)代入函數表達式中，求解即可；(2)若該商品進價a(元/件)，售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；【分層分析】利用利潤＝(售價－進價)×數量，列出W關于x的函數關系式，將點(40，3600)代入函數解析式中，得到函數解析式，利用函數性質即可求出周銷售利潤的最大值及此時的售價；(3)因疫情期間，該商品進價提高了m(元/件)(m>0)，公司為回饋消費者，規定該商品售價x不得超過55(元/件)，且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足(1)中的函數關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．【分層分析】利用利潤＝(售價－進價)×數量，列出W關于x的函數關系式，利用函數性質及當周利潤為4050時即可求出m的值．針對演練4.(2023錦州)某公司計劃購進一批原料加工銷售，已知該原料的進價為6.2萬元/噸，加工過程中原料的重量有20%的損耗，加工費m(萬元)與原料的重量x(噸)之間的關系為m＝50＋0.2x.銷售價y(萬元/噸)與原料的重量x(噸)之間的關系如圖所示：(1)求y與x之間的函數關系式；(2)設銷售收入為P(萬元)，求P與x之間的函數關系式；(3)原料的重量x為多少噸時，所獲銷售利潤最大，最大銷售利潤是多少萬元？(銷售利潤＝銷售收入－總支出)第4題圖類型五拋物線型(貴陽2023.24)典例精講例5(萬唯原創)同學們在操場玩跳大繩游戲，跳大繩時，繩甩到最高處時的形狀是拋物線．正在甩繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，到地面的距離AO和BD均為0.9米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為1.8米，距甲同學的水平距離為3米，以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設此拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋0.9.例5題圖(1)求該拋物線的解析式；【分層分析】根據題意可知，AO＝BD＝0.9，點B的坐標為(6，0.9)，點C的坐標為(3，1.8)，利用待定系數法即可求解；(2)如果身高為1.4米的嘉嘉站在OD之間，設嘉嘉站在距點O的水平距離為a米處，求當繩子甩到最高處時，若要使繩子不能碰到嘉嘉的頭，a的取值范圍；【分層分析】當繩子甩到最高處時，要使繩子不能碰到嘉嘉的頭，即y>1.4，要求y>1.4時a的取值范圍，即將y＝1.4代入(1)中的函數解析式中，求出x的值，利用二次函數的性質即可確定a的取值范圍；(3)如果參與跳大繩的同學有12人，兩人負責甩繩子，剩下的同學想要一起跳繩，當繩子甩到最高點且超過他們頭頂時，問剩下的同學是否可以在OD之間一起玩跳大繩．(12個同學身高與嘉嘉相同，且每個同學同方向站立時的腳跟之間距離不小于0.5米就可以一起玩)【分層分析】要判斷剩下的同學是否可以在OD之間一起玩跳大繩，由(2)可知，當y＝1.4時，x的值為1或5，得到可以站立跳繩的距離，由每個同學同方向站立時的腳跟之間距離不小于0.5米就可以一起玩，∴計算出可以站立跳繩的距離之間能夠站立的學生人數，將其與10進行大小比較即可求解．針對演練5.(萬唯原創)在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水管的高度為eq\f(9,4)m．水柱的高度y(單位：m)與水柱落地處離池中心的距離x(單位：m)的圖象如圖所示．(1)求拋物線形水柱的解析式及自變量的取值范圍；(2)求水柱落地處離池中心的最大距離；(3)為了增加噴泉數量，設計人員計劃將水柱落地處離水管的距離縮短0.5m，但拋物線形水柱的最高處的位置不變，則水管高度應該設計為多少？第5題圖參考答案典例精講例1解：(1)5；120；【解法提示】由圖象得，m＝1＋(3－1)×2＝5；轎車的速度為：240÷2＝120(km/h)．(2)①設yMN＝k1x＋b1(k1≠0)(0≤x＜2.5)，∵圖象經過點M(0，240)和點N(2.5，75)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝240,2.5k1＋b1＝75))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－66,b1＝240))，∴yMN＝－66x＋240(0≤x＜2.5)；②由圖象知，yNG＝75(2.5≤x＜3.5)；③設yGH＝k2x＋b2(k2≠0)(3.5≤x≤5)，∵圖象經過點G(3.5，75)和點H(5，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.5k2＋b2＝75,5k2＋b2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k2＝－50,b2＝250)))，∴yGH＝－50x＋250(3.5≤m≤5)，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－66x＋240（0≤x＜2.5）,75（2.5≤x＜3.5）,－50x＋250（3.5≤x≤5）))；(3)設轎車出發a小時與貨車相距12km，貨車從A地前往B地在圖象MN段的速度為：(240－75)÷2.5＝66(km/h)，根據題意，得66(1＋a)＋120a＝240＋12或66(1＋a)＋120a＝240－12，解得a＝1或a＝eq\f(27,31)，答：轎車從B地到A地行駛過程中，轎車出發1小時或eq\f(27,31)小時與貨車相距12km.針對演練1.解：(1)6；(2)設l2的關系式為y＝kx＋b(k≠0)，把(15，0)和(21，1800)代入y＝kx＋b得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝0,21k＋b＝1800))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝300,b＝－4500))，∴l2所在直線對應的函數表達式為y＝300x－4500(15≤x≤25)；【自變量范圍不作要求】(3)8分鐘；理由如下：在直線l2上，當y＝3000時，x＝25.∴33－25＝8(min)，即觀光車比小軍早8min到達觀景點．典例精講例2(1)【分層分析】90x，72x＋180；(2)【分層分析】900，72x＋180.解：(1)由題意知，當一次性購買足球不超過10個時，y＝90x，當一次性購買足球超過10個時，y＝90×10＋90×0.8×(x－10)＝72x＋180，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(90x（0<x≤10）,72x＋180（x>10）))；(2)當x＝10時，y＝90×10＝900，1200－900＝300＞90，∴購買的數量超過10個，∴72x＋180≤1200，解得x≤eq\f(85,6)，∵x為正整數，∴最多能購買14個足球；(3)∵20＞10，∴y＝72×20＋180＝1620，則平均售價為1620÷20＝81元，答：平均每個足球售價為81元．針對演練2.解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(116＝30k＋b,66＝20k＋b))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5,b＝－34))，y與x之間的函數關系式為y＝5x－34(17≤x≤30)；(2)當x＝17時，y＝51，∵y＝91＞51，∴x>17，∴91＝5x－34，x＝25，答：這戶居民上月用水量為25噸；(3)當x＝17噸時，y＝5×17－34＝51(元)，∴當0≤x＜17時，y與x之間的函數關系式為y＝3x，當x＝15時，y＝45，答：這戶居民這個月的水費為45元．典例精講例3(1)【分層分析】25x，eq\f(75,4)x＋1250；eq\f(85,4)x；解：(1)根據題圖可得，5000÷200＝25(元)，∴一棵銀杏樹苗原價為25元，∴yA＝25x(0<x≤200)，當x>200時，yA＝25×200＋(x－200)×25×0.75＝1250＋eq\f(75,4)x，∴yA＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25x（0<x≤200）,1250＋\f(75,4)x（x>200）))，yB＝25×0.85x＝eq\f(85,4)x；(2)令1250＋eq\f(75,4)x＝eq\f(85,4)x，解得x＝500，此時y＝eq\f(85,4)×500＝10625(元)，答：當購買500棵樹苗時，兩品種所需付的費用相同，是10625元；(3)觀察圖象可知，當購買的樹苗數量在0＜x＜500棵時，yA＞yB，∴選擇B品種的樹苗更劃算；當購買500棵樹苗時，選擇A、B兩種銀杏樹苗所需的費用相同；當購買的樹苗數量在x＞500棵時，yA＜yB，∴選擇A品種的樹苗更劃算．針對演練3.解：(1)設第二批運往B鄉救援物資m噸，運往C鄉救援物資n噸，根據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200＋m＋n＝500,n－m＝100))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝100,n＝200))，∴運往B鄉的救援物資共100＋100＝200(噸)，運往C鄉的救援物資共100＋200＝300(噸)，答：運往B、C兩鄉的救援物資分別為200噸和300噸；(2)∵第二批從A城運往B鄉救援物資x噸，則第二批從A城運往C鄉救援物資(300－x)噸，若總運費為y元，根據題意，得y＝25×100＋25x＋20×100＋20×(300－x)＝5x＋10500，∵y＝5x＋10500是一次函數，k＝5＞0，∴y隨x的增大而增大．∵x≥0，∴當x＝0時，運費最少，最少運費是10500元；(3)由題意知y＝25×100＋(25－a)x＋20×100＋20(300－x)＝(5－a)x＋10500，當0＜a＜5時，5－a＞0，∴當x＝0時，總運費最少，為10500元；當a＝5時，總運費恒為10500元；當5＜a＜6時，5－a＜0，∴當x最大時，運費最少．即當x＝300時，運費最少．∴當0＜a＜5時，第二批救援物資全部運往C鄉，運費最少；當a＝5時，不管第二批救援物資運往B鄉多少噸，運費都是10500元．當5＜a＜6時，第二批救援物資全部運往B鄉，運費最少．典例精講例4解：(1)設y＝kx＋b，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180,70k＋b＝90))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝300))，∴y關于x的函數解析式為y＝－3x＋300；(2)由(1)得W＝(－3x＋300)(x－a)，又由表知，當x＝40時，W＝3600，將(40，3600)代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，∴a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，∴售價為60元時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800元；(3)由題意得W＝(－3x＋300)(x－20－m)＝－3x2＋(360＋3m)x－6000－300m(x≤55)，其對稱軸為直線x＝－eq\f(b,2a)＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴0＜x≤55時，W的值隨x增大而增大，∴x＝55時周銷售利潤最大，∴4050＝(－3×55＋300)(55－20－m)，∴m＝5.針對演練4.解：(1)設y與x之間的函數關系式為y＝kx＋b，將(20，15)，(30，12.5)的坐標代入函數關系式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝15,30k＋b＝12.5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4),b＝20))，∴y＝－eq\f(1,4)x＋20；(2)P＝(1－20%)x·(－eq\f(1,4)x＋20)＝－0.2x2＋16x.整理，得P＝－0.2x2＋16x；(3)設利潤為W萬元．則W＝－0.2x2＋16x－(50＋0.2x)－6.2x，整理，得W＝－0.2x2＋9.6x－50，配方，得W＝－0.2(x－24)2＋65.2.∴當x＝24時，W最大＝65.2.答：原料的重量為24噸時，所獲利潤最大，最大利潤是65.2萬元．典例精講例5解：(1)甲、乙兩名同學拿繩的手間距AB為6米，則點B的橫坐標為6，到地面的距離AO和BD均為0.9米，則點B的縱坐標為0.9，∴B(6，0.9)，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為1.8米，距甲同學