初中數學《13.2命題與證明》單元作業設計

一、單元信息

學科年級學期教材版本單元名稱

基本信息

數學八年級第一學期滬科版《命題與證明》

單元組織方式自然單元

序號課時名稱對應教材內容

1命題第13.2(P75-77)

課時信息2演繹推理和幾何證明第13.2(P78-80)

3三角形的內角和定理證明第13.2(P80-82)

4外角的性質第13.2(P82-83)

二、單元分析

（-）課標要求

通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義；結合具體實例，會區分命題的

條件和結論；了解原命題及其逆命題的概念；會區別兩個互逆的命題，知道原命題成立其

逆命題不一定成立。知道證明的意義和證明的必要性，知道數學思維要合乎邏輯，知道可

以用不同的形式表述證明的過程，會用綜合法的證明格式。了解反例的作用，知道如何利

用反例判斷一個命題是錯誤的。探索并證明三角形的內角和定理；掌握三角形的內角和定

理的推論。

課標指出：在義務教育階段，要培養學生抽象能力（包括數感、量感、符號意識）、

幾何直觀、空間觀念與創新意識。本單元要求學生能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地

推出結論，構建數學的邏輯體系；經歷探索圖形特征的過程，建立基本的幾何概念；通過

尺規作圖（尺規作圖是指用無刻度直尺和圓規進行作圖）等直觀操作的方法，理解平面圖

形的性質與關系；掌握基本的幾何證明方法；在對圖形性質的研究過程中，核心素養的感

悟由感性上升為理性，要求在建立空間觀念、幾何直觀的基礎上，逐步形成推理能力。

1

（-）教材分析

1、知識網絡

概念對某一事件作出正確或不正確判斷的語句（或式子）

一分類:

命題

結構由條4牛與結論兩部分構成（如果…那么…）

互逆命題

命15與證明目

依據定義、定理、公理

步驟

證明

推論1：直角三角形兩銳角互余

推論2:有兩個角互余的三角形是直角三角形

三角形的內角和定理證明

推論3:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和

推論4:三角形的外角大于與它不相鄰的任何1一個內角

2、內容分析

《命題與證明》是滬科版八年級上冊第13章第2節的內容。它涉及平面幾何所要研究

的基本內容之一，是以后圖形研究的重要基礎，在知識學習的同時，逐步滲透了推理論證

的格式，并介紹了命題的結構和證明的步驟，所以命題與證明也是推理論證的入門階段，

在整個教材中起著承上啟下的作用，為后面學生學習三角形、四邊形、多邊形、圓等相關

定理證明提供了理論依據與具體做法，是中考考查的熱點之一。

本章在中考中常見的考點有：三角形中兩邊之和大于第三邊，三角形內角和定理應

用，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，三角形的高、中線、角平分線應

用，命題的概念及一些幾何問題的證明等。

（三）學情分析

從學生的認知規律來看：在七年級（上）已經學習了線段與角等簡單的圖形和相關的

幾何知識，在七年級（下）又學習了“相交線、平行線”一些內容，在上一節（13、1）中

較為系統的學習了三角形及三角形中的邊角關系，這些知識的學習與儲備都為學習《13、2

命題與證明》打下了一定的基礎。

其次是從學生的學習習慣、思維規律來看：八年級（上）的學生已經初步具備了自主

學習能力和獨立思考能力，也積累了一定的數學學習的活動經驗，大部分同學具有強烈的

學習新知的欲望，在老師的引導下孩子們在內心里也非常渴望自己是一個知識的發現者和

探究者。但是八年級（上）的學生的思維方式與思維習慣還不夠成熟與完善，特別是邏輯

思維能力、推理、論證能力尚且不足，因此應加強學生的幾何語言訓練和幾何推理論證方

面的練習，讓學生掌握證明的格式及書寫過程，提升學生的幾何推理與論證能力。

本節課是幾何論證真正的開始，它把學生帶入一個全新的幾何世界，以前的幾何知識

學習都是從觀摩、欣賞、體會的角度去感知和認識的，并沒有真正去論證過，因此對一個

幾何命題如何證明、證明的過程如何正確的書寫，是本節課學習的重點和難點。

2

三、單元學習目標

知識技能：

1、掌握命題，真命題，假命題，原命題，逆命題，反例，定理的的概念；

2、會判斷命題的真假，假命題會寫出反例；會區分命題的條件與結論，會將命題改寫

成“如果P,那么q”的形式，并能寫出它的逆命題。

3、掌握三角形內角和定理及其三個推論，三角形的外角性質，并靈活去運用其解決實

際問題.

數學思考：

1、經歷現實情境，探究命題的內涵，培養自主嚴謹的推理和理論意識，以及對所涉及

概念的理解，感受概念的應用方法。

2、會根據命題的證明需要，畫出圖形，寫出已知、求證，將命題轉化為數學語言的能力；

體會數學的嚴謹性和推理的用途。

3、經歷觀察、思考、猜想、歸納、推理的活動過程；通過分析問題、解決問題、證明

結論，從而通曉數學知識的發生與形成過程。

問題解決：

1.初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問

題，增強應用意識，提高實踐能力。

2.經歷推理證明的過程，體驗證明的必要性和數學推理的嚴密性，獲得分析問題和解決

問題的一些方法，體驗方法的多樣性，發展創新意識。

3、通過合作探究提高學生的合作意識和溝通、表達能力；在體驗一題多變、一題多解

的過程中發散思維，提高空間想象能力。

情感態度：

1、通過積極參與數學活動,對數學定理、命題的由來產生好奇心和求知欲，認識到數

學與人類生活的密切聯系,提高學習數學的積極性.

2、通過積極思考、踴躍發言，養成良好的學習習慣。

3、培養演繹推理的思維方法，感受幾何知識的實際應用價值。形成嚴謹求實的科學態

度。

四、單元作業目標

A組：結合具體實例，會判斷哪些是命題，會判斷命題的真假，若是假命題會舉反例；

會將命題改寫成“如果P,那么q”的形式，并區分條件與結論；會寫出一個命題的逆命題；

會區分定義、定理和基本事實，知道證明的基本步驟和書寫格式，能運用學過的幾何知識證

明一些簡單的幾何問題.熟記三角形內角和定理及其推論并應用其解決簡單的問題；熟記外

角的性質并會用其解決簡單實際問題。

3

B組：熟練掌握基礎知識，訓練學生綜合運用的能力，發展空間觀念、推理能力和表達

能力，進一步讓學生感到數學與現實世界的聯系，鼓勵他們有條理的表達和思考，培養其

學習興趣。

C組：在B組目標的基礎上，學會用幾何的思維方法解決實際問題。力求變換思維角

度，多方位思考，對于每個知識點挖掘其深邃的內涵，拓展其廣闊的外延，從而有利于培

養學生創造性的思維能力。

五、單元作業設計思路

作業設計以教學目標為導向，圍繞著本校學生學情，設置題型形式活潑多樣，并采用

了分層作業，讓不同層次的學生得到發展。選題注重了貼近社會與生活，體現了數學教學

的價值，發展學生的核心素養。對作業進行了精選精煉，最大限度的拓展學生的減負空間，

讓學生愿意完成作業，在作業中體驗成功。

具體設計體系如下：常規作業

揄出性作業整合運用

思維拓展

作業設計體系

探究性作業

實踐性作業

發展性作業

個性化作業

跨學科作業

六、單元作業評價設計

1、每題作業的評價標準

等級

評價指標評價標準

ABC

A等：答案正確、過程正確

B等：答案正確、過程有問題

答題的準確性

C等：答案不正確、有過程不完整；答案不準確，過

程錯誤、或無過程

A等：過程規范，答案正確

答題的規范性B等：過程不規范、完整，答案正確

C等：過程不規范或無過程，答案錯誤

A等：解法有新意和獨到之處，答案正確

解法的創新性B等：解法思路有創新，答案不完整或錯誤

C等：常規解法，思路不清楚，過程復雜或無過程

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合評價

綜合評價等級

為B等；其余情況綜合評價為C等。

4

2、每課時作業總評標準附每課時作業內容后

3、優秀作業獎勵辦法

累計10次綜合評價為“A”者兌現一次獎勵：抽取“刮刮樂”卡一張?Luckydrew*

獎勵內容：①筆記本一本②與老師合影留念一張③免寫數學作業一次

④奶茶一杯⑤布置數學作業權利一次⑥任意卡（自選一項獎勵）

七、課時作業

第一課時

第一部分基礎性作業（必做題）（15分鐘內）

作業內容作業分析與設計意圖

1、下列語句是命題的是（）

①鈍角大于90°；本題考查學生對命題概

②兩點之間，線段最短；念的理解，從概念出發判斷

③希望明天下雨；哪些是判斷性的語句，明確

④作ADJ_BC；祈使句和感嘆句不是命題。

A.①②③B.①③④

C.①②D.①④

考查學生對命題真假的

2、下列命題中真命題是（）判斷，解題的關鍵是了解對

A.若a2=b2,貝lja=b頂角的性質、平方根的性質、

B.4的平方根是±2銳角和鈍角的定義.

C.兩個銳角之和一定是鈍角

D.相等的兩個角是對頂角3,4兩題考查學生對命

題結構的掌握，找出命題的

3、把命題“等角的補角相等”改寫成“如果……那條件與結論是本節課的難

么……”的形式是點。一般命題在敘述時要求

通順和簡練，因此把命題中

4、判斷下列各命題的條件和結論,并寫出它們的逆命題。的關聯詞省略了，在改寫時

①兩直線平行，內錯角相等注意要把省略的詞或句子添

②平行于同一條直線的兩條直線平行加上去。

反例是本課的難點，也

5、判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，舉是學生必須掌握的知識點之

一個反例。-O若命題是假命題則需舉

①如果m|=|n|,那么m=n;反例。舉反例時，只要找出滿

②同位角相等。足條件，不滿足結論的例子

即可。

通過思維導圖設計，有

6利于幫助學生提高學習效

本課知識■率、整理思路、加強記憶、

思維導圖鞏固知識點，培養學生及時

總結的習慣。

5

A等：8A,7A1B,

綜合評價

B等：6A2B,7A1C

（A組）

C等：其余

第二部分能力提升（B組）（5分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

7、下列命題正確的是（）本題涉及到平行線的性

A.一對同旁內角的平分線互相垂直質，角平分線的定義，垂線

B.垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直的性質，鄰補角等知識。考

c.鄰補角的平分線互相垂直查學生對所學定理、概念的

D.過一點至少有一條直線與已知直線垂直理解，加深學生對命題的認

識。

8、命題：若a>b,則,<[

通過舉反例，正確掌握

ah證明命題真假的說理方法，

（1）請判斷這個命題的真假，若是真命題，請說明；若是培養邏輯思維能力，為下節

假命題，請舉一個反例；課的證明打好基礎。第2小

（2）請你適當修改命題的條件使其成為一個真命題。題則考查學生思維的嚴密性

及靈活解題能力。

A等：10A,9A1B,8A2B,9A1C

綜合評價B凄：8A1B1C,8A2C,7A3B,7A2B1C

（B組）

C等：其余

第三部分拓展應用（C組）（5分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

9、（1）如圖所示，請在①AB〃CD,②NA=30°,③NCDA=30°本題是命題到證明之

三項中選擇兩個作為條件，一個作為結論，寫一個命題：如間的過渡，通過不同的組

果________且________那么_______.（填序號）合形成不同的命題，判斷

命題的真假需要一定的推

（2）請說明你寫的命題是真命題.理，有一定的難度，為下一

2節學習證明做好鋪墊。有

利于拓展學生的思維，提

高分析問題解決問題的能

力。

A等：11A,10A1B,9A2B,9A1B1C,10A1C

綜合評價BJ：9A2C,8A3B,8A2B1C

（C組）

C等：其余

6

第二課時

第一部分基礎過關(必做題)(15分鐘內)

作業內容作業分析與設計意圖

1、在證明過程中可以作為推理根據的是()本題考查命題與定理

A.命題、定義、公理、基本事實等概念的差異性；深化對定

B.定理、定義、公理、題設義的理解，明確：定義、基

C.命題本事實、定理、題設(已知

D.真命題條件)都可以作為邏輯推理

的依據。

2、下列命題可以作為定理的有()考查定理是經過證明

①2與6的平均值是8;②能被3整除的數也能被6整除；的正確的真命題；要求能對

③5是方程3x+7=-2(x-1)的根;④三角形的內角和是180°;簡單的代數幾何命題判斷

⑤等式兩邊加上同一個數仍是等式.真假，確定是否定理，積累

A.2個B.3個C.4個D.5個對定理的結構的領會，了解

定理的豐富性和常見性。

3、如圖，下面推理正確的是()AC

A.VZ1=Z2,Z.AB//CDE—&aF此題引導學生建立從

B.VZ1+Z2=180°,/.AB//CD條件到結論之間的邏輯橋

C.VZ3=Z4,AAB//CD/j梁。

D.VZ1+Z4=180°,.*.AB//CDR學會證明必備的思辨

性、把握從未知到目標進行

的探討、篩選、抉擇。

4、在下列推理過程中的括號里填上推理的依據。

如圖，ZE=Z1,Z3+ZABC=180°,BE是NABC的角平分線.

求證:DF/AB本題指導學生邏輯有

證明：因為BE是NABC的角平分線穴C序地思考和探索；逐漸整理

所以N1=N2()/\/證明的邏輯成因，教師提供

又因為NE=N1(已知).卜、二/嚴格清晰的證明示例，有利

D

所以NE=/2()!于深化學生的思維，建立證

所以AE〃BC()L_________%明問題的思維雛形，提高分

B

所以NA+NABC=180°()/析問題解決問題的能力

又因為N3+NABC=180°

所以N3=NA()

所以DF〃AB()

本題考查學生對證明

5、如圖，直線CD,EF被直線0A,OB所截,4+2=180°.求的理解，明確是一種推理過

證：N3=N4.c程，是借助一定條件施行邏

輯演算的數學方法。證明有

章法，表達數學化。

F

7

通過思維導圖設計，有

6利于幫助學生提高學習效

*率、整理思路、加強記憶、

本課知識7?

思維導圖鞏固知識點。同時培養學生

及時總結的習慣。

A等：6A,5A1B,

綜合評價

B等：5A1C,4A2B

（A組）

C等：其余

第二部分能力提升（B組）（5分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

7、有三位同學對校隊與市隊足球賽進行估計，A說：校隊至此題考查證明的基本

少進3個球，B說：校隊進球數不到5個，C說：校隊至少邏輯推理思路；可以先假設

進1個球.比賽后，知道3個人中，只有1個人的估計是對其中的一個人的估計是正

的，你能知道校隊踢進球的個數是（）確的，然后根據3個人中，

A.4個B.3個C.1個D.0個只有1個人的估計是對的，

進行分析.

g4p八A等：7A,6A1B,

一示口叩1B4：6A1C,5A2B

小組）C等：其余

第三部分拓展應用（C組）（8分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

8、如圖，從下列三個條件①N1=N2②NC=ND③NA=NF本題是命題到證明

中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論所組成的命題。之間的過渡，通過不同的

（1）寫出組成的所有命題，并判斷真假；組合形成不同的命題，判

（2）選擇其中的一個真命題，說明理由。Vy—/斷命題的真假需要一定

K的推理，有一定的難度，

為下一節學習證明做好

鋪墊。有利于拓展學生的

思維，提高分析問題解決

問題的能力。

A等：8A,7A1B,

綜合評價

B等：7A1C,6A2B,6A1B1C

（C組）

C等：其余

8

第三課時

第一部分基礎過關（必做題）（15分鐘內）

作業內容作業分析與設計意圖

1.一付三角板，如圖疊放，則圖中的Na（）.本題考查三角板

的知識，以及三角形

內角和為180。.關鍵

在于對幾何圖形的識

別能力。

本題考查的是三

2.一個三角形三個內角的度數之比是3:4:5,則這個三角形一定角形的內角和定理，

是（）.三角形的分類，掌握

A.銳角三角形B.直角三角形以上知識是解題的關

C.鈍角三角形D.不能確定鍵.

本題考查的是平

3.如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上,行線的性質，三角形

Z130。,N250°,則/的度數等于（的外角的性質，掌握

兩直線平行，內錯角

A.20°B.30°相等是解題關鍵.

C.50°D.80°

4.如圖，將紙片口45。沿DE折疊，點A落在點尸處，已知本題考查的是翻

Z1Z2100。，則4的度數等于（折的性質及三角形內

角和定理，熟知三角

A.40°B.50°C.60°D.70°形內角和是180°是

解答此題的關鍵.

5、如圖，在AABC中,AD是BC邊上的高線,CE是一條角平分線,它本題考查三角形

們交于點P,NBAD=50°已知NBCE=24°求NBAC的度數.內角和定理及其推

論，這是本節課的重

點，通過做題，深刻理

解其內涵.

通過思維導圖設

計，有利于幫助學生

6

提高學習效率、整理

本課知識

思路、加強記憶、鞏

思維導圖

固知識點。培養學生

及時總結的習慣。

9

A等：6A,5A1B,

綜合評價

B等：5A1C,4A2B

（A組）

C等：其余

第二部分能力提升（B組）（5分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

7.如圖，在△ABC中，ZA=30°,ZB=62°,CE平分NA(3B.

（1）求/ACE；本題考查了三

（2）若CD」_AB于點D,NCDF=74°,證明：ACFD是直角3三角角形內角和與垂線

形.C的性質，直角三角形

L的性質及判定。有助

于提高學生的解題

能力.

八ED

A等：7A,6A1B,

綜合評價B喜：6A1C,5A2B

（B組）

c等：其余

第三部分拓展應用（C組）（10分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

8、已知AABC中，ZBAC=100°.

（1）若NABC和NACB的角平分線交于點0,如圖1所示，試求/本題考查了三

B0C的大小；角形的內角和定理、

（2）若NABC和NACB的三等分線（即將一個角平均分成三等分的和角平分線的定義

射線）相交于0,0?如圖2所示，試求NB0C的大小；的綜合應用，發散學

（3）如此類推，若NABC和NACB的n等分線自下而上依次相交于生思維，滲透了整體

0,0?02-,如圖3所示，試探求NB0C的大小與n的關系，并判思想，培養學生解題

斷當NB0C=170。時，是幾等分線的交線所成的角.能力

A.A

圖1CB圖2CB圖3C

A等：10A,9A1B,9A1C,8A2B

綜合評價

B等：8A1B1C,8A2C,7A3B7A2B1C

（C組）

C等：其余

10

第四課時

第一部分基礎過關（必做題）（15分鐘內）

作業內容作業分析與設計意圖

1、如圖，下列各角是AABC的外角的是（進一步讓學生理解三

A.Z1B.Z2C.Z3D.N4角形外角概念

2、如圖，NBEC是哪個三角形的外角？NAEC是哪個三角形清楚哪個角是哪個三

外角？NEFD是哪個三角形外角？角形的外角，有利于三角

形證明過程中外角的應

用。

讓學生大膽猜想，自

3、如圖，點D,E分別在AC,AB上,且NB=NC,BD與CE相主探索三角形內角與外角

交于點0o的關系，再通過測量、驗證

求證：⑴ZAEC=ZADB;等方式確定三角形外角等

（2）ZBEOZB于它不相鄰的兩個內角

和。既培養學生的觀察能

力和歸納概括能力，也培

養了學生探索能力與創新

精神。

4、已知，如圖NB=30°,ZA=80°,

NC=27°,求/BDC的度數。本題需要添加輔助線，構

建三角形，本題有多種方

法可證，考察學生學習知

識，應用知識的能力。

5、如圖，在AABC中，NB=NC,D為BC邊上一點，點E在三角形外角與三角形

AC邊上，ZADE=ZAED,若/BAD=24°,求/CDE的度數。內角和知識點的結合應

用。考察學生知識的靈活

應用。感知外角在證明中

的應用，培養學生發散思

維，進一步激發學生學習

數學的熱情。

通過思維導圖設計，

有利于幫助學生提高學習

本課知識效率、整理思路、加強記

思維導圖憶、鞏固知識點。培養學生

及時總結的習慣。

11

A等6A,5A1B,

綜合評價B等5A1C,4A2B

（A組）

C等其余

第二部分能力提升（（B組））（5分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

7、如圖，CA平分NDCE,且與BE的延長線交于點A.本題考查了三角形外

（1）若NA=35。，NB=30。，則NBEC=_角與角平分線知識的相結

（2）同學們經過改變/A,ZB的度數進行多次探究，得到合，前面學習的知識往往

ZA,ZB,NBEC三角之間的數量關系，請你用一個等式表是后面進一步學習的基

示出這個關系，并進行證明。/礎，要培養學生學會對知

識的遷移，對學生思維進

行訓練。

CD

A等：7A,6A1B,

綜合評價B等：6A1C,5A2B

（B組）

C等：其余

第三部分拓展應用（C組）（10分鐘內）

作業內容設計意圖和說明

8、已知在AABC,ZA=a,本題考查三角形內角

（1）如圖①，若P點是NABC和NACB的角平分線的交點，求角平分線與外角角平分線

NP的大小綜合性應用，考查學生靈

（2）如圖②，若P點是NABC和外角NACE的角平分線的交活應用知識的能力。本題

點，ZP的大小采用由簡入繁的形式，層

（3）如圖③，若P點是外角NCBF和NBCE的角平分線的交層推進，真正培養學生的

點，求NP的大小A綜合應用能力。學生在可

見的情境中，運用所學的

知識解決問題，進而達到

知識的理解與掌握，使學

生真正參與到知識開展形

P成的過程中來。

①②③

A等：10A.9A1B,9A1C,8A2B

綜合評價B凄：8A1B1C,8A2C,7A3B7A2B1C

（C組）

C等：其余

12

單元質量檢測作業

（-）單元質量檢測作業內容

一、選