小學奧數容斥原理

之最值問題

"班仁罩學目混

1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；

2.掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.

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一、兩量重疊問題

在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單地

把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個

數，用式子可表示成：AB=A+B-A8（其中符號“”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思：符

號“”讀作“交”，相當于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下:A

表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.圖示如下:

A表示小圓部分，8表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.

1.先包含——A+B

重疊部分/口8計算了2次，多加了1次:

2.再排除——A+B-AQB

把多加了1次的重疊部分/n8減去.

包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合4B的并集A8的元素的個數，可分以下兩步進行：

第一步：分別計算集合A、B的元素個數，然后加起來，即先求A+B（意思是把A、B的一切元素都“包含”

進來，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C=A8（意思是“排除”了重復計算的元素個數）.

二、三量重疊問題

A類、8類與C類元素個數的總和=4類元素的個數+8類元素個數+C類元素個數-既是A類又是8

類的元素個數-既是8類又是C類的元素個數-既是A類又是C類的元素個數+同時是A類、8類、C類

的元素個數.用符號表示為：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.圖示如下：

圖中小圓表示/的元素的個數，中圓表示6的元素的個數，大圓

表示C的元素的個數.

-----------------------------------------------------------\

\重疊部分力08、8nc、cn/重疊了2次，多加了1次.

2.再才非除：A+B+C-AHB-BnC-AnC

重疊部分/n^nc重疊了3次，但是在進行/+8+。-

/n8-8nc-/nc計算時都被減掉了.

3.再包含：A+B+C-AQB-BQC-AClC+AnBQC.J

在解答有關包含排除問題時,我們甯常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.

【例1】“走美”主試委員會為三?八年級準備決賽試題。每個年級12道題，并且至少有8道題與其他各

年級都不同。如果每道題出現在不同年級，最多只能出現3次。本屆活動至少要準備道

決賽試題。

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第9題

【解析】每個年級都有自己8道題目，然后可以三至五年級共用4道題目，六到八年級共用4道題目，總

共有8x6+4x2=56(道)題目。

【答案】56題

【例2】將1?13這13個數字分別填入如圖所示的由四個大小相同的圓分割成的13個區域中，然后把

每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和相加，問：和最大是多少？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】越是中間，被重復計算的越多，最中心的區域被重復計算四次，將數字按從大到小依次填寫

于被重復計算多的區格中，最大和為：

13x4+(12+11+10+9)x3+(8+7+6+5)x2+(4+3+2+1)=240.

【答案】240

【例3】如圖，5條同樣長的線段拼成了一個五角星.如果每條線段上恰有1994個點被染成紅色，那么

在這個五角星上紅色點最少有多少個？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】如下圖，下圖中“一”位置均有兩條線段通過，也就是交點，如果這些交點所對應的線段都在

位置恰有紅色點，那么在五南星上重疊的紅色點最多，所以此時顯現的紅色點最少，有

1994x5-(2-1)x10=9960個.

【答案】9960

[例4]某班共有學生48人，其中27人會游泳，33人會騎自行車，40人會打乒乓球.那么，這個班至

少有多少學生這三項運動都會？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】(法1)首先看至少有多少人會游泳、自行車兩項，由于會游泳的有27人，會騎自行車的有33

人，而總人數為48人，在會游泳人數和會騎自行車人數確定的情況下，兩項都會的學生至少有

27+33-48=12人，再看會游泳、自行車以及乒乓球三項的學生人數，至少有12+40-48=4人.

該情況可以用線段圖來構造和示意：

23]24

M1一-1可1627[284可.

總人數?-----------*..........—1--------------------------?48人

游泳,---------------------27人

自行車----------------------------33人

游泳?-----------?一-----------------40人

(法2)設三項運動都會的人有x人，只會兩項的有y人，只會一項的有z人,

那么根據在統計中會”項運動的學生被統計〃次的規律有以下等式：

3JC+$+z=2-1+3：

<x+y+z448

x,y,z>0

由第一條方程可得到z=100-3x-2y,將其代入第二條式子得到：

10-0x^,y<,即2x+y252①

而第二條式子還能得到式子x+y448,即2x+yW48+x②

聯立①和②得到48+52,即x±4.可行情況構造同上.

【答案】4

【鞏固】某班有50名學生，參加語文競賽的有28人，參加數學競賽的有23人，參加英語競賽的有2()人，

每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有人.

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】根據題意可知，該班參加競賽的共有28+23+20=71人次.由于每人最多參加兩科，也就是說有

參加2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是71人次.要求參加兩科的人數最多，則讓這71

人次盡可能多地重復，而71+2=351,所以至多有35人參加兩科，此時還有1人參加1科.

那么是否存在35人參加兩科的情況呢？由于此時還有1人是只參加一科的，假設這個人只參加

教學一科，那么可知此時參加語文、數學兩科的共有(28+22-20)+2=15人，參加語文、英語兩

科的共有28-15=13人，參加數學、英語兩科的共有20-13=7人.也就是說，此時全班有15人

參加語文、數學兩科，13人參加語文、英語兩科，7人參加數學、英語兩科，1人只參加數學1

科，還有14人不參加.檢驗可知符合題設條件.所以35人是可以達到的，則參加兩科的最多有

35人.(當然本題中也可以假設只參加一科的參加的是語文或英語)

【答案】35

［鞏固)60人中有-的人會打乒乓球，-的人會打羽毛球，士的人會打排球，這三項運動都會的人有22人，

345

問：這三項運動都不會的最多有多少人？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】設只會打乒乓球和羽毛球兩項的人有x人，只會打乒乓球和排球兩項的有y人，只會打羽毛球和

排球兩項的有z人.由于只會三項運動中的一項的不可能小于0,所以x、y、z有如下關系：

44(x+y+癖

<45-(x+z+

4&(y+z+熠

將三條關系式相加，得到x+y+z433,而60人當中會至少一項運動的人數有

40+45+48—(x+y+z)—2x22456人，所以60人當中三項都不會的人數最多4人(當x、y、

z分別取7、11、15時，不等式組成立).

【答案】4

［例5］圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名.已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別

有33,44和55本，其中同時有甲、乙簽名的圖書為29本，同時有甲、丙簽名的圖書為25本，

同時有乙、丙簽名的圖書為36本.問這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人

借閱過？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】設甲借過的書組成集合A,乙借過的書組成集合B,丙借過的書組成集合C.同=33,網=44,|C|

=55,1AB\=29,|AC|=25,\BC\=36.

本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過的書的最大值，再將其與100作差即可.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|A51TAC\-\BC\+\ABC\,

當BC|最大時，BC|有最大值.也就是說當三人都借過的書最多時，甲、乙、丙中

至少有一人借過的書最多.

而BC|最大不超過網、網、|C|、|A卻、\BC\,\AC\6個數中的最小值，所以

|ABC|最大為25.此時BC|=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借過的書

最多為67本，所以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過.

【答案】33

【鞏固】甲、乙、丙都在讀同-一本故事書，書中有100個故事.每個人都從某一個故事開始，按順序往

后讀.已知甲讀了75個故事，乙讀了60個故事，丙讀了52個故事.那么甲、乙、丙3人共同

讀過的故事最少有多少個？

甲40,甲、乙35,乙25,

丙52

【考點】容斥原理之最值問題【難度】4星【題型】填空

【解析】考慮甲乙兩人情況，有甲乙都讀過的最少為：75+60-100=35個，此時甲單獨讀過的為75-35=40

個，乙單獨讀過的為60-35=25個；欲使甲、乙、丙三人都讀過的書最少時，應將丙讀過的書盡

量分散在某端，于是三者都讀過書最少為52-40=12個.

【答案】12

【例6】某數學競賽共160人進入決賽，決賽共四題，做對第一題的有136人，做對第二題的有125人，

做對第三題的有118人，做對第四題的有104人。在這次決賽中至少有一得滿分。

【考點】容斥原理之最值問題【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第10題

【解析】設得滿分的人都做對3道題時得滿分的人最少，有136+125+118+104-160x3=3(人)。

【答案】3人

【例7］某班有46人，其中有4()人會騎自行車，38人會打乒乓球，35人會打羽毛球，27人會游泳，

則該班這四項運動都會的至少有人。

【考點】容斥原理之最值問題【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】不會駒?車的6人，不會打乒乓球的8人，不會羽毛球的11人，不會游泳的19人，那么至少不會

一項的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都會的至少44人

【答案】44人

【例8】在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75

盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請問恰好被3個人澆過的花最少有多少盆？

【考點】容斥原理之最值問題【難度】5星【題型】填空

【解析】為了恰好被3個人澆過的花盆數量最少，那么被四個人澆過的花、兩個人澆過的花和一個人澆過

的花數量都要盡量多，那么應該可以知道被四個人澆過的花數量最多是30盆，那么接下來就變

成乙澆了45盆，丙澆了50盆，丁澆60盆了，這時共有10()-30=70盆花，我們要讓這70盆中

恰好被3個人澆過的花最少，這就是簡