第05講三角形全等的判定（12類題型）課程標準學習目標1.三角形全等的4個判斷方法；2.了解倍長中線模型、旋轉模型；1、掌握三角形全等的判定條件——SSS，SAS，ASA，AAS；2、會運用三角形全等的判定方法、線段的中垂線性質，解決兩條線段相等、兩個角相等的問題.知識點01：全等三角形的判定1、全等三角形的判定條件SSS——三邊對應相等的兩個三角形全等；SAS——一個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等；ASA——兩個角和這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形全等；AAS——兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.問題：為什么SSA不可以判定？HL——直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.用符號≌表示兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應的位置上.【即學即練1】（2022秋·浙江紹興·八年級校考期中）1．如圖，要測量河兩岸相對的兩點、的距離，先在的垂線上取兩點、，使，再定出的垂線，可以證明，得，因此，測得的長就是的長．判定的理由是（

）

A． B． C． D．知識點02：靈活運用全等判定定理2、靈活運用全等判定定理（1）判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性.（2）要善于發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等.（3）要善于靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等.已知條件中有兩角對應相等，可找：①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對邊相等（AAS）已知條件中有兩邊對應相等，可找①夾角相等（SAS）②第三組邊也相等（SSS）已知條件中有一邊一角對應相等，可找①任一組角相等（AAS或ASA）②夾等角的另一組邊相等（SAS）【即學即練2】（2022秋·浙江杭州·八年級校聯考期中）2．根據下列已知條件，能唯一畫出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，知識點03：垂直平分線3、線段的垂直平分線（中垂線）：垂直并平分一條線段的直線.中垂線性質：線段的中垂線上的點到線段兩端點的距離相等.逆定理：到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.【即學即練3】（2022秋·浙江紹興·八年級校聯考期中）3．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點，，邊的垂直平分線分別交，于點，，的周長為9.若，，則的面積為（

）A． B． C．5 D．知識點04：角平分線4、角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.逆定理：角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.【即學即練4】（2022秋·浙江·八年級專題練習）4．如圖，的三邊，，長分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個三角形，則等于（

）．

A． B． C． D．題型01用SSS證明三角形全等（2023春·七年級課時練習）5．如圖，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上兩點，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，則∠BCF的度數為（

）A．30° B．60° C．70° D．80°（2023秋·全國·八年級專題練習）6．已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么圖中共有對全等三角形．（2023春·全國·七年級專題練習）7．如圖，點A，E，F，C在同一條直線上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．求證：．題型02全等的性質與SSS結合（2023春·四川成都·七年級統考期末）8．如圖，在和中，點B，C，E，F在同一條直線上，，則的度數為（

）A． B． C． D．（2023秋·山東菏澤·八年級校聯考期末）9．如圖，在和中，，，，則的度數為．

（2023春·山東濟南·七年級統考期中）10．如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，．

(1)求證：；(2)求證：．題型03用SAS證明三角形全等（2023秋·全國·八年級專題練習）11．如圖，在正方形中，點分別在邊上，且，連接，平分交于點G．若，則的度數為（

）A． B． C． D．（2023秋·全國·八年級專題練習）12．如圖，是外一點，是上一點，，，，，則的度數為．（2023春·河南許昌·七年級統考期末）13．如圖，，，，與全等嗎？請你說出理由．

題型04全等的性質與SAS結合（2023秋·河南南陽·八年級統考期末）14．如圖所示，，，，B、D、E三點在一條直線上，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．（2023春·江蘇淮安·七年級校考階段練習）15．如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．（2023秋·陜西西安·八年級校考開學考試）16．如圖，在四邊形中，，連接，點E在上，連接，若，．

(1)求證：．(2)若，求的度數．題型05用ASA（AAS）證明三角形全等（2023秋·全國·八年級專題練習）17．王強同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（，），點C在上，點A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離是（

）

A． B． C． D．（2023春·重慶江北·七年級校考期中）18．如圖，點，，，在同一條直線上，，，．若，，則的度數為．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）19．已知：如圖，在中，H是高和的交點，且．求證：．

題型06全等的性質與ASA（AAS）結合（2023春·福建三明·七年級統考期中）20．如圖所示，點在線段上，，，則以下三個結論“①；②；③”中正確的個數是（

）

A．0 B．1 C．2 D．3（2023·陜西榆林·統考模擬預測）21．如圖，在中，，過點作的垂線，連接．若，，，，則的長為．

（2023春·四川成都·七年級成都市樹德實驗中學校考期中）22．如圖，在四邊形中，點E為對角線上一點，，，且．

(1)證明：；(2)若，，求的長度．題型07添加添加使三角形全等（2023秋·河南漯河·八年級校考期末）23．如圖，，．添加下列的一個選項后．仍然不能證明的是（

）

A． B． C． D．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）24．如圖，已知，要使，只需增加的一個條件是或．

（2023·云南昭通·校考三模）25．如圖，與相交于點，，請你再添加一個條件，使得，并給出證明．（不得添加輔助線）

題型08角平分線的性質定理（2023秋·湖南長沙·八年級長沙市開福區青竹湖湘一外國語學校校考開學考試）26．如圖，在中，，的平分線交于點D，，則點D到的距離是（

）

A．6 B．2 C．3 D．4（2023春·湖南郴州·八年級統考開學考試）27．如圖，在中，是角平分線，于點E，的面積為7，，，則．

（2023秋·浙江·八年級專題練習）28．如圖，在四邊形中，，點E是的中點，平分．求證：是的平分線．

題型09垂直平分線的性質定理（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級校考期末）29．如圖，中邊的垂直平分線分別交，于點，，，的周長為，則的周長是

A． B． C． D．（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）30．如圖，是的邊的垂直平分線，分別交，于點D，E，平分．若，則________．

（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中校考開學考試）31．如圖，在中，平分的垂直平分線交于點E．若，求的度數和的長度．題型10倍長中線模型（2023春·七年級課時練習）32．在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·江蘇·八年級假期作業）33．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是．（2023春·全國·七年級專題練習）34．（1）如圖，在中，，，點G是的中點，求中線的取值范圍；（2）如圖，在四邊形中，，點E是的中點．若是的平分線．試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．題型11旋轉模型（2023·全國·八年級假期作業）35．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到，點C的對應點為點，的延長線交BC于點D，連接AD．則下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．AD平分（2023·全國·八年級假期作業）36．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點A逆時針旋轉到△AEF，延長BC交EF于點D，若BD＝5，BC＝4，則DE＝．（2023·江蘇·八年級假期作業）37．如圖，中，，中，，且，當把兩個三角形如圖①放置時，有．（不需證明）（1）當把繞點旋轉到圖②③④的情況，其他條件不變，和還相等嗎？請在圖②③中選擇一種情況進行證明；（2）若圖④中和交于點，連接，求證：平分．題型12全等三角形的綜合問題（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統考期末）38．如圖，，，，點、、三點在一條直線上，，，則度數為（

）．A． B． C． D．（2023春·廣東深圳·七年級校考期中）39．如圖，中，，，，點從點出發沿路徑運動，終點為點；點從點出發沿路徑運動，終點為點．點和點分別以和的速度同時開始運動，兩點到達相應的終點時分別停止運動．若分別過點和作于，于．當與全等時，點的運動時間為．

（2023春·江西景德鎮·八年級統考期中）40．如圖在中，為銳角，點D在射線上，以為一邊在右側作正方形．

(1)如果，，①當點D在線段(不含端點)上時，如圖1，則線段與的位置關系是_____②當點D在線段的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立?并說明理由．(2)如果，是銳角，點D在線段(不含端點)上，如圖3．當滿足什么條件時，？并說明理由．A夯實基礎（2023春·陜西寶雞·八年級統考期中）41．使兩個直角三角形全等的條件是（

）A．兩個銳角對應相等 B．面積相等C．一條邊對應相等 D．斜邊及一條直角邊對應相等（2023秋·河南開封·八年級校考期末）42．如圖是小華作業的部分片段，則被污染的部分可能是（

）題干：……，求證：．證明：在和中，，∴．

A． B． C． D．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習）43．如圖，A，B，C為三個居民小區，在三個小區之間建有一個超市，如果超市恰好在，兩邊垂直平分線的交點處，那么超市（

）

A．距離A較近 B．距離B較近C．距離C較近 D．與A，B，C三點的距離相同（2023秋·江蘇·八年級專題練習）44．如圖，有一池塘，要測量池塘兩端A，B的距離時，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C．連接并延長到D，使．連接并延長到E，使．可證明，從而得到，則測得的長就是兩點A，B的距離．判定的依據是（）

A．“邊邊邊” B．“角邊角” C．“角角邊” D．“邊角邊”（2023秋·吉林松原·八年級統考期末）45．如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點、間的距離，作線段與相交于點，使，，只要測得、之間的距離，就可知道、間的距離，此方案依據的數學定理或基本事實是．

（2023春·山西晉中·七年級校考階段練習）46．已知：如圖，，、分別是、邊上的中線．證明：．

證明的途徑可以用框圖表示，請填寫其中的空格．

①___________

②___________

③___________

④___________（2023秋·八年級課時練習）47．如圖，在中，，平分交于點，過點作，垂足為點．若，，則的長度為．

（2023春·江蘇淮安·七年級校考階段練習）48．如圖，點D，E分別在線段上，且，若要用“”判定，則還需要添加的條件是（只需要添加一個條件）；

（2023春·山東棗莊·七年級校聯考階段練習）49．如圖，已知：與交于點O，，.求證：（規范證明過程）

證明：在和中，，∴（），∴（）．（2023春·陜西漢中·七年級校考階段練習）50．如圖，工人趙師傅用塊高度都是的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點P在上，已知，．求的長．

B能力提升（2023春·江蘇鹽城·八年級校考階段練習）51．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數是（

）

A． B． C． D．（2023春·甘肅張掖·七年級校考期末）52．如圖，在與中，已知，還添加一個條件才能使，下列不能添加的條件是（

）．

A． B． C． D．（2023秋·全國·八年級專題練習）53．王強同學用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（，），點C在上，點A和B分別與木墻的頂端重合．則兩堵木墻之間的距離是（

）

A． B． C． D．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）54．如圖，是的平分線，于P，連接，若的面積為16，則的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12（2023秋·全國·八年級專題練習）55．如圖，是的角平分線，，，且，則的面積是．

（2023春·遼寧丹東·八年級統考期中）56．如圖，過點作于點，于點，若，，則的度數是．

（2023春·山東青島·七年級統考期末）57．如圖，點E，F在上，，，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使得≌，你添加的條件是．

（2023秋·全國·八年級專題練習）58．如圖，要測量小金河兩岸相對的A、B兩點之間的距離，可以在與垂直的河岸上取C、D兩點，且使．從點D出發沿與河岸垂直的方向移動到點E，使點A、C、E在一條直線上．若測量的長為28米，則A、B兩點之間的距離為米．

（2023春·寧夏銀川·七年級校考期末）59．如圖，在中，，為的中點，，，垂足分別是，，試說明：．

（2023春·甘肅張掖·八年級校考期末）60．如圖，在中，點E是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為F，交于點D．連接．

(1)若的周長為19，的周長為7，求的長．(2)若，，求∠CDE的度數．C綜合素養（2023春·山東青島·七年級統考期末）61．如圖，王華站在河邊的處，在河對面(王華的正北方向)的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了步到達電線桿處，接著再向前走了步到達處，然后轉向正南方向直行，當他看到電線塔、電線桿與所處位置在一條直線上時，他共計走了步．若王華步長約為米，則處與電線塔的距離約為(

)

A．米 B．米 C．米 D．米（2023秋·全國·八年級專題練習）62．如圖，在中，，D為的中點，則下列結論中：①；②；③平分；④，其中正確的個數為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（2023春·陜西西安·七年級校考期末）63．如圖，已知的周長是18，，分別平分和，于D，且，則的面積是（）

A．6 B．9 C．18 D．36（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學校考期中）64．如如圖，中，，的角平分線，相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H，則下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結論的個數是（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個（2023春·四川成都·七年級成都市樹德實驗中學校考期中）65．如圖，四邊形中，，于，，，則的面積是．

（2023春·遼寧沈陽·七年級統考階段練習）66．如圖，是的角平分線，于點F，和互補，若，，則的面積為．

（2023秋·全國·八年級專題練習）67．如圖，，于A，于B，且，點P從B向A運動，每秒鐘走，Q點從B向D運動，每秒鐘走，點P，Q同時出發，運動秒后，與全等．

（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中校考開學考試）68．如圖，中，，，的平分線交于點，，交的延長線于點，若，則的值為．（2023春·山東青島·七年級統考期末）69．已知：如圖①，，，點C是上一點，且，．

(1)試判斷與的位置關系，并說明理由；(2)如圖②，若把沿直線向左移動，使的頂點C與B重合，與交于點F，此時與的位置關系怎樣？請說明理由；(3)圖②中，若，，求四邊形的面積．（2023·重慶·九年級統考學業考試）70．如圖，是等腰直角三角形，其中，點是內部任意一點，連接，并將繞點逆時針旋轉得到，連接，延長交于點．

(1)求證：；(2)如圖，連接，求證：；(3)如圖，若于點，且，點是線段上一個動點，連接，將沿所在的直線翻折得到，連接，當取得取小值時，直接寫出的值．參考答案：1．B【分析】由已知可以得到，又，，由此根據角邊角即可判定．【詳解】解：，,,又，,（）故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．2．B【分析】根據三角形的三邊關系以及確定三角形的條件、、、、，即可判斷．【詳解】解：A．因為，所以不能構成三角形，則此項不符合題意；B．滿足定理，所以能唯一畫出，則此項符合題意；C．不是和的夾角，所以不能唯一畫出，則此項不符合題意；D．因為兩個銳角的大小不確定，所以不能唯一畫出，則此項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定、三角形的三邊關系，正確把握全等三角形的判定方法是解題關鍵．3．A【分析】根據三角形的內角和定理得到，再根據完全平方公式，勾股定理和三角形面積公式計算即可得解；【詳解】解：邊的垂直平分線分別交，于點，，邊的垂直平分線分別交，于點，，,,，又，,的周長為9，，，，，，,，故選擇：A【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解題的關鍵．4．C【分析】過點分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．【詳解】解：如圖，過點分別作，，的垂線，垂足分別為點，，，

由角平分線的性質定理得：，的三邊，，長分別是20，30，40，．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理，掌握定理是解題的關鍵．5．C【分析】由SSS證明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性質得∠DAE＝∠AEB?∠ADB＝70°．【詳解】解：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF=DE又∵AD＝BC，AE＝CF．∴△AED≌△CFB（SSS），∴∠BCF＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEB?∠ADB＝100°-30°=70°∴∠BCF＝70°．故選C．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和等知識．6．3【分析】由已知條件，結合圖形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3對．找尋時要由易到難，逐個驗證．【詳解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB；∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．∴圖中共有3對全等三角形．故答案為3．7．見解析【分析】要證明，把兩角置于三角形中，證兩三角形全等，由已知觀察由AE=CF可得AF=CE，利用三邊對應相等的判定即可．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查三角形全等的證明問題，關鍵是會從條件AE=CF中，證出AF=CE，掌握全等的證明方法，會按要求書寫證明過程．8．B【分析】證明得到，則可由三角形內角和定理求出．【詳解】解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，證明是解題的關鍵．9．【分析】根據全等三角形的判定定理，可證得，再根據全等三角形的性質和三角形內角和定理，推出，，計算即可求得的度數．【詳解】如下圖，連接，

在和中，，，，，，即，，故答案為：【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，結合三角形內角和定理，熟練掌握和運用全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．10．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證明，然后利用證明即可；（2）根據全等三角形的性質得到，由此可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，又∵，∴；（2）證明：∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的判定，熟知全等三角形的性質與判定定理是解題的關鍵．11．B【分析】可以先證明，則，利用角平分線可得，再利用直角三角形的兩銳角互余解題即可．【詳解】解：∵正方形∴在和中，，∴∴∵平分∴∴故選B．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的性質和判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．12．##35度【分析】連接，則垂直平分，可得，再證明，即可得到．【詳解】連接，，，是的垂直平分線，，在和中，，故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，由條件得到是的垂直平分線再想到證明是解題的關鍵．13．與全等，理由見解析．【分析】由證明，然后利用證明即可．【詳解】解：與全等．理由：因為，所以，即．在與中，所以．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關鍵．14．A【分析】由可得，從而證得，再由，得到，由全等的性質可以得到．【詳解】解：，，，在和中，，，，，，，，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形的外角性質，解決本題的關鍵是利用題干信息證得．15．##度【分析】先根據垂線平分線的定義得到，進而證明得到，則由三角形外角的性質可得．【詳解】解：∵的垂直平分線交于E，D，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，全等三角形的性質與判斷，線段垂直平分線的定義，正確推出是解題的關鍵．16．(1)見解析(2)【分析】（1）由題意，由證明即可；（2）由得，由三角形的外角性質即可求得結果．【詳解】（1）證明：，，在和中：，∴，．（2）解：∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，證明兩個三角形全等是解題的關鍵．17．C【分析】由題意易得，則有，進而可證，然后根據全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故選C．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關鍵．18．110【分析】根據，可得，再利用求證和全等即可．【詳解】解：，，在和中，，，．故答案為：110．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．19．見解析【分析】先證出，再由證明即可．【詳解】證明：∵和是的高，∴，又∵，，∴，在和中，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．20．D【分析】證明，即可得出結論．【詳解】解：∵，∴，故②正確；∵，∴，∴，；故①③正確；故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等．21．【分析】根據題意可證，由此可得，，根據，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握以上知識是解題的關鍵．22．(1)見解析(2)5【分析】（1）由平行得，由求證三角形全等；（2）由全等三角形得，，進而求得．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴的長度為．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質；由全等三角形得到線段相等是解題的關鍵．23．A【分析】結合題目條件，依據三角形全等的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：∵，，

∴，，A、添加，由不能判定三角形全等，本選項符合題意；B、添加，根據，可以推出，本選項不符合題意；C、添加，根據，可以推出，本選項不符合題意．D、添加，即，根據，可以推出，本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．24．【分析】兩個三角形已經具備與公共邊，故只需要添加兩條邊的夾角或第三條邊相等即可．【詳解】解：在和中，因為，，所以若添加，則可根據邊角邊證明；若添加，則可根據邊邊邊證明；故答案為：，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知一般三角形常見的幾種判定方法（）是關鍵．25．，證明見解析【分析】根據題意可以知道證明兩三角形全等已經具備了一個條件，然后再找到一個條件即可；選擇任意的一個條件利用三角形的判定定理證明兩個三角形全等即可．【詳解】解：條件：，證明：在和中，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是牢記三角形全等的判定定理．26．C【分析】如圖，過作于，根據角平分線的性質“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得即可．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，的平分線交于點D，，∴，∴點D到的距離是3；故選C．【點睛】本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到D到的距離即為長是解決的關鍵．27．3【分析】過點D作于點F，根據角平分線的性質得出，求出，得出，根據三角形面積公式得出，求出結果即可．【詳解】解：過點D作于點F，如圖所示：

∵是角平分線，，∴，∵，∴，∵的面積為7，∴，∴，即，解得：．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等．28．見解析【分析】過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，證明，可得，根據角平分線的性質定理可得，從而得到，再由角平分線的性質的逆定理，即可求解．【詳解】證明：過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，

∵，∴，，∵點E是的中點，∴，在與中，，∴，∴，∵平分，，∴，∴，又，∴是的平分線．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．29．C【分析】由中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，根據線段垂直平分線的性質，即可求得，，又由的周長為，即可求得的值，繼而求得的周長．【詳解】解：中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，，，的周長為，，的周長為：．故選：C．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的周長等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．30．【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算，得到答案．【詳解】解：∵是的邊的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．31．【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到，得到，根據角平分線的定義、三角形內角和定理即可得出的度數，再由直角三角形的性質即可得出的長．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得，∵，∴．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．32．B【分析】延長至點，使得，可證，可得，，在中，根據三角形三邊關系即可求得的取值范圍，即可解題．【詳解】解：延長至點，使得，在和中，，，，中，，，．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證是解題的關鍵．33．【分析】延長至，使，連接，證明，進而根據三角形三邊關系即可求解．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，，，，的取值范圍是：．故答案為：．【點睛】本題考查了倍長中線，全等三角形的性質與判定，三角形三邊關系，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．34．（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，證明見解析【分析】（1）延長DG至M，使GM=DG，連接MF，利用SAS可證得，利用全等三角形的對應邊相等可得到DE=MF，再利用三角形的三邊關系定理，可求出DG的取值范圍；（2）延長AE，DC相交于點F，利用平行線的性質可知∠BAE=∠F，利用AAS可證得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性質可證得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分線的定義去證明∠F=∠DAF，利用等角對等邊可證得AD=DF，然后根據DF=DC+CF，代入可證得結論．【詳解】（1）解：延長DG至M，使GM=DG，連接MF，在和中，∴(SAS)，∴DE=MF=3，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∵，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；（2）AD=CD+AB，理由如下：解：延長AE，DC相交于點F，∵，∴∠BAE=∠F，∵點E是BC的中點，∴BE=CE，在和中，∴（AAS），∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，∵FD=CD+CF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握這些知識點并添加輔助線．35．B【分析】A、根據旋轉的性質即可判斷；B、由旋轉角的任意性可以判斷；C、由三角形內角和為且兩個角相等即可判斷；D、利用角平分線的判定定理即可證明．【詳解】解：A、由旋轉的性質可知：，故A正確，不符合題意；B、由繞旋轉任意角度得到，只是特殊情況，故B錯誤，符合題意；C、，，，，，故C正確，不符合題意；D、過分別作的垂線，垂直分別是，，，；，，，平分，故D正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了，旋轉的性質、平行線的判定定理、三角形內角和、角平分線，解題的關鍵是：掌握相關定理依次進行判斷．36．3【分析】如圖，連接AD．證明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得結論．【詳解】解：如圖，連接AD．在Rt△ADF和Rt△ADC中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），∴DF＝DC，∵BD＝5，BC＝4，∴CD＝DF＝5﹣4＝1，∵EF＝BC＝4，∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．37．（1）相等，證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）利用SAS證出△DCA≌△ECB，即可證出結論；（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，利用SAS證出△DCA≌△ECB，從而得出CM=CN，然后利用角平分線的判定定理即可證出結論．【詳解】解：（1）相等，證明圖②如下∵∴∴在△DCA和△ECB中∴△DCA≌△ECB∴；（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N∵∴∴在△DCA和△ECB中∴△DCA≌△ECB∴CM=CN∵CM⊥AD，CN⊥BE∴平分【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質和角平分線的判定，掌握全等三角形的判定及性質和角平分線的判定是解題關鍵．38．B【詳解】∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，三角形的外角．39．或或【分析】根據點的運動規律，設點運動秒時，以為頂點的三角形和以為頂點的三角形全等，分類討論，①如圖1，在上，在上，則，；②如圖2，在上，在上，則，；③如圖3所示，當都在上時；④當到點停止，在上時，；⑤和都在上的情況；圖形結合，根據三角形全等的判定方法即可求解．【詳解】解：設點運動秒時，以為頂點的三角形和以為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，在上，在上，則，，

∵，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，即，∴；②如圖2，在上，在上，則，，

由①知：，∴，∴；∵此時，∴此種情況不符合題意；③當都在上時，如圖3，

，∴；④當到點停止，在上時，，∴時，解得；⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒，∴，，∵，∴和都在上的情況不存在；綜上所述，點運動或或秒時，與全等．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查動點與幾何圖形的變換，理解動點運動的規律，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．40．(1)①；②、①中的結論仍然成立，詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）①根據正方形的性質得出，再證明，得出，進而可得出結論；②先證明，再證明，得出，進而可得出結論；（2）當時，，作，先證明，再得出，證明，得出，進而可得出結論．【詳解】（1）①正方形中，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即．故答案為：；②、①中的結論仍然成立，證明如下：∵，∴，.即，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）當時，，作，

∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定兩個三角形全等的一般方法是解答本題的關鍵．41．D【分析】通過可證兩個直角三角形全等．【詳解】解：A：兩個銳角對應相等的直角三角形不一定全等，故A錯誤；B：面積相等的直角三角形不一定全等，故B錯誤；C：一條邊對應相等的直角三角形不一定全等，故C錯誤；D：由判定定理可知，斜邊及一條直角邊對應相等的直角三角形一定全等，故D正確．【點睛】本題考查了直角三角形的全等判定．掌握定理內容是解題關鍵．42．D【分析】根據全等三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：∵，即運用的是“角邊角”的證明方法，且，，∴當時，即可運用“角邊角”證明，故選：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解題的關鍵．43．D【分析】根據垂直平分線的性質進行解答即可．【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，又∵超市恰好在，兩邊垂直平分線的交點處，∴超市與A，B，C三點的距離相同，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質定理，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．44．D【分析】利用證明即可求解．【詳解】解：由題意知，且（對頂角相等），∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．45．【分析】根據證明即可得到．【詳解】解：∵，，∴，又∵∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．46．，，，．【分析】根據三角形全等的性質可知：，，，再根據中線的性質，可求得，最后根據三角形全等判定定理，可求得，進而得出．【詳解】解：，，，．，分別是，邊上的中線，，．．在和中，．．故答案為：，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質和判定定理之一（兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等），熟練掌握全等三角形的性質和判定定理是解題的關鍵．47．9【分析】利用角平分線的性質求解，即可得到答案．【詳解】解：平分，，，，，，，故答案為：9．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理，解題關鍵是掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．48．（答案不唯一）【分析】“”即為邊角邊，根據題意已經有，，因此只需要令即可．【詳解】解：由題意得，，，要用“”判定，則只需要條件即可，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵．49．，（公共邊），，全等三角形對應角相等【分析】利用判定及性質證明即可．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，故答案為：，（公共邊），，全等三角形對應角相等．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握其判定定理是解題的關鍵．50．【分析】用證明，則，，即可得到的長．【詳解】解：∵，，∴，∴．在與中，∵，，，∴，∴，，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，證明是解題的關鍵．51．C【分析】先連接，根據線段垂直平分線的性質得，再根據菱形的性質證明≌，進而得出，可知，然后根據等腰三角形的性質得，進而得出答案．【詳解】連接．∵是的垂直平分線，∴．∵，且菱形具有軸對稱性，∴．∵四邊形是菱形，∴，，∴．∵，∴≌，∴，∴，∴，∴．

故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的性質和判定等，構造全等三角形是解題的關鍵．52．B【分析】根據全等三角形的判定定理依次分析可得答案．【詳解】解：∵在和中，，，A、添加，則可依據證明，故該選項不符合題意；B、添加，依據不能證明，故該選項不符合題意；C、添加，則可依據證明，故該選項符合題意；D、添加，則可依據證明，故該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，熟記全等三角形的判定定理：，，，，，并熟練應用解決問題是解題的關鍵．53．C【分析】由題意易得，則有，進而可證，然后根據全等三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故選C．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握三角形全等的判定條件是解題的關鍵．54．B【分析】延長交于點，證明可得，再利用三角形的中線可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長交于點，

是的平分線，∴∵，∴∵，∴，，，（等底同高），，又的面積為，，即，解得，即的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形的面積，證明是解題的關鍵．55．12【分析】過點D作于E，于F，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然根據的面積列式求出的長，再根據三角形的面積公式列式進行計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點D作于E，于F，

∵是的一條角平分線，∴，∵，，∴，解得，∴．故答案為：12．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，三角形的面積，作輔助線是利用角平分線的性質的關鍵，也是本題難點．56．##度【分析】根據，，，可得為的角平分線．【詳解】∵，，，∴為的角平分線．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查角平分線的性質，牢記角平分線的性質（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上）是解題的關鍵．57．或或【分析】本題要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一個條件即可．添邊可以是或添角可以是或．【詳解】解：所添加條件為：或或，∵，∴，即，添加：，在和中，，∴≌；添加：，在和中，，∴≌添加：，在和中，，∴≌．故答案為：或或．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，解題的關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．58．28【分析】由垂直的定義得，根據ASA證明，得出米即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴米．故答案為：28．【點睛】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．59．見解析【分析】由等腰三角形的性質得出，由垂線的性質可證得，由證明，得出對應邊相等即可．【詳解】證明：，，，，為的中點，在與中，，【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質；熟練掌握等腰三角形的性質，靈活運用證明三角形全等的方法是解決問題的關鍵．60．(1)；(2)．【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據三角形內角和定理求出，證明，根據全等三角形的性質得到，根據三角形的外角性質計算即可．【詳解】（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵的周長為19，的周長為7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、三角形全等的判定和性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．61．A【分析】設王華走了步時到達點處，則、、三點在同一條直線上，連接，則點在上，，證明，根據全等三角形的性質，即可求解．【詳解】解：如圖，設王華走了步時到達點處，則、、三點在同一條直線上，連接，則點在上，，

由題意得：步，步，，，解得，米，米，在和中，，，，米，處與電線塔的距離約為米，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理與性質定理的應用，根據題意構造出相應的全等三角形是解題的關鍵．62．D【分析】由D為中點可得，利用即可證明，根據全等三角形的性質逐一判斷即可.【詳解】解：∵D為的中點，∴，又∵為公共邊∴，故①正確，∴，∵，∴，即，故②③④正確.綜上所述：正確的結論有①②③④共4個