4.2.2對數運算法則基礎過關練題組一對數的運算法則1.若a>0且a≠1,x>0,n∈N+,給出下列各式:①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga1x;④⑤log其中正確的有()A.2個B.3個C.4個D.5個2.(2024廣東深圳期中)已知m>0,n>0,ln22m+ln2n=ln2,則2m+n的值是()A.2B.1C.ln2D.-13.(2024重慶市實驗中學期中)若lga,lgb是方程2x2+4x+1=0的兩個根,則lgaA.4B.2C.14.(2023天津耀華中學月考)計算:lg52+23lg8+lg5×lg20+(lg2)2=題組二換底公式5.(2022山東菏澤期末)1614年納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發明對數;1637年笛卡兒開始使用指數運算;1770年,歐拉發現了指數與對數間的互逆關系,指出:對數源于指數,對數的發明先于指數.若2x=52,lg2≈A.1.322B.1.410C.1.507D.1.6696.(2022山東威海期末)若2a=5b=10,則2aA.2B.4C.5D.107.(2024天津南開中學期末)計算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59=.

8.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,loga2=logb3=π,則log3a·log2b=.

題組三對數運算的簡單應用9.已知a,b,c是△ABC的三邊,且關于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有兩個相等的實數根,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形10.(2024江西贛州期中)某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備,使產生的廢氣經過過濾后排放,以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位:mg/L)與過濾時間t(單位:h)的關系為P(t)=P0e-kt(P0,k是正實數).若經過10h過濾后消除了20%的污染物,則污染物減少50%大約需要(參考數據:log25≈2.322)()A.30hB.31hC.32hD.33h11.(2024江蘇泰州期中)1859年,德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某給定值的素數的個數》的論文并提出了一個命題,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名數學家歐拉也曾研究過這個問題,并得到小于數字x的素數個數可以表示為π(x)≈xlnx的結論.根據歐拉得出的結論,估計104以內的素數的個數為(素數即質數,lgeA.1085B.2085C.2869D.8686能力提升練題組一對數運算法則的應用1.若x,y,z都是大于1的正數,m>0,logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,則logzm的值為()A.12.(2024江蘇徐州期中)設a=lg6,b=lg20,則log43=()A.a3.若x,y,z是正實數,且2x=3y=5z,則()A.3x>4y>6zB.3x>6z>4yC.4y>6z>3xD.6z>4y>3x4.(2024福建廈門期中)912lo5.(2024重慶一中期末)設p>0,q>0,滿足log2p=log4q=log8(2p+q),則pq=6.(2023江蘇常州十校調研)若b>a>1且3logab+6logba=11,則a3+2b-1的最小值為7.設方程log(3x)3+log27(3x)=-43的兩個根分別為a和b,則a+b的值為8.(2024江蘇南通期中)(1)計算lg3lg4(2)已知x,y,z為正數,若3x=4y=6z,求yz題組二對數運算的綜合應用9.(2024遼寧丹東期中)血氧飽和度是指血液中被氧氣結合的血紅蛋白占總血紅蛋白的百分比,即血液中血氧的濃度,它是呼吸循環的重要生理參數.正常人體的血氧飽和度一般不低于95%,95%以下為供氧不足.在環境模擬實驗室的某段時間內,可以用指數模型:S(t)=S0eKt描述血氧飽和度S(t)(單位:%)隨給氧時間t(單位:h)的變化規律,其中S0為初始血氧飽和度,K為參數.已知S0=60,給氧1h后,血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達到正常值,則給氧時間至少還需要約(取ln2=0.69,ln3=1.10,ln19=2.94)()A.0.54hB.0.64hC.0.74hD.0.84h10.(1)甲、乙兩人同時解關于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲寫錯了常數b,得兩根為3,19,乙寫錯了常數c,得兩根為1(2)因為210=1024∈(103,104),所以210的位數為4(一個自然數數位的個數,稱為位數).請你運用所學過的對數運算的知識,判斷20192020的位數.(參考數據:lg2019≈3.305)

答案與分層梯度式解析4.2.2對數運算法則基礎過關練1.A2.B3.B5.A6.C9.B10.B11.A1.A根據對數的運算法則logaMα=αlogaM(M>0,a>0且a≠1)知③與⑤正確.2.B由ln22m+ln2n=ln(22m×2n)=ln22m+n=ln2(m>0,n>0),得2m+n=1.3.B由題意可知,lga+lgb=-2,lga·lgb=12所以lgab2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·4.答案3解析原式=2lg5+23×3lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg5×lg2+(lg2)2=2+1-lg2+lg2×(1-lg2)+(lg2)25.A∵2x=52,6.C∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510.∴ab7.答案-8解析原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532=loga1-8log25×log32×log53=-8×ln5ln28.答案1解析由題意得log3a·log2b=lga9.B由題意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lga+1]=0,化簡得2lga-lg(c2-b2)=0,所以lga2c2-b2=0,所以a2c210.B由題意,知經過10h過濾后還剩余80%的污染物,則0.8P0=P0e-10k,解得e10k=54設污染物減少50%大約需要th,則0.5P0=P0e-kt,即ekt=2,則(e10k)t=210,即54t=2兩邊取對數得tlog254=10,因此t=10lo11.A由題可知104以內的素數的個數為π(104)≈10000ln10000=10000故選A.能力提升練1.B2.C3.B9.B1.B依題意得logmx=124logm(xyz)=112?logmx+logmy+logmz=1∴logmz=112∴logzm=60,故選B.2.C由a=lg6,b=lg20,可得a=lg6=lg2+lg3,b=lg20=lg10+lg2=1+lg2,聯立lg2+lg3=a,1+lg2=b,3.B令2x=3y=5z=t,t>1,則x=log2t=lgt∴3x-6z=3lgt即3x>6z;6z-4y=23lgt即6z>4y.∴3x>6z>4y.故選B.4.答案8解析原式=9log910+5.答案1解析由log2p=log4q可知log2p=log2q由log2p=log8(2p+q)可知log2p=log2(2消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),當p=2時,q=4,所以pq6.答案22+1解析∵3logab+6logba=11,即3logab+6lo∴3(logab)2-11logab+6=0,即(3logab-2)(logab-3)=0,∴logab=23或loga又b>a>1,∴logab>1,∴logab=3,∴a3=b,∴a3+2b-1=b?1+2b-1+1≥2∴a3+2b-1的最小值為27.答案10解析利用對數的換底公式把方程log(3x)3+log27(3x)=-43化為1∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,∴1+log3x=-1或1+log3x=-3,∴log3x=-2或log3x=-4,∴x=19或x=18.解析(1)原式=lg32lg2(2)令3x=4y=6z=a,則a>0,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,所以yz9.B當t=1時,S(1)=60eK=80,得K=ln8060令S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化簡得Kt≥ln9560所以t≥ln19?ln12ln8?ln6=因為已經給氧1h,所以給氧時間至少還需要約0.64h.10.解析(1)由題意可得(log3x)2+clog3x-b=0,所以log33+log319log381×log3127所以原方程為(log3x)2+log3x-12=0,所以log3x=-4或log3x=3,所以x=181或x=27,故這個方程的根為27或1(2)解法一:設10k<20192020<10k+1,k∈N+,兩邊取常用對數,得k<lg20192020<k+1,因此k<2020lg2019<k+1,又lg2019≈3.305,所以k<2020×3.305<k+1,