第=page11頁，共=sectionpages11頁2021-2022學年遼寧省大連市高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=1+2i(i為虛數單位)，則它的共軛復數z?=(

)A.2?i B.2+i C.2i D.1?2i2.若cosx=1213，且x為第四象限的角，則tanx的值等于(

)A.125 B.?125 C.53.若a、b是空間中兩條不同的直線，則a/?/b的充分條件是(

)A.直線a、b都垂直于直線l B.直線a、b都垂直于平面α

C.直線a、b都與直線l成30°角 D.直線a、b都與平面α成60°角4.民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺的立體結構圖．已知底面圓的直徑AB=16cm，圓柱體的高BC=8cm，圓錐體的高CD=6cm，則這個陀螺的表面積是(

)

A.192πcm2 B.208πcm2 C.5.如圖，小明同學為測量某建筑物CD的高度，在它的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在地面上的點M(B,M,D三點共線)測得樓頂A、建筑物頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得建筑物頂部C的仰角為30°，則小明測得建筑物CD的高度為(????)(精確到1m)參考數據：2A.42m B.45m C.51m D.57m6.設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是(

)A.若AC與BD共面，則AD與BC共面

B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線

C.若AB=AC，DB=DC，則AD=BC

D.若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC7.將函數y=sin2x的圖象向右平移φ個單位長度后，得到函數y=cos(2x+π6)的圖象，則A.π12 B.2π3 C.π38.已知圓臺上下底面半徑分別為3、4，圓臺的母線與底面所成的角為45°.且該圓臺上下底面圓周都在某球面上，則該球的體積為(

)A.100π B.500π3 C.200π D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設非零復數z1、z2所對應的向量分別為OZ1,OA.z1=iz2 B.z1=210.一個正方體內接于一個球，過球心作一截面如圖所示，則截面的可能圖形是(

)A. B. C. D.11.下列各式正確的是(

)A.(1+tan1°)(1+tan44°)=2 B.1sin10°?312.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在區間(7π12,5πA.f(2π3)=0

B.若f(5π6?x)=f(x)，則函數f(x)的最小正周期為π

C.關于x的方程f(x)=1在區間[0,2π)上最多有4個不相等的實數解

D.若函數f(x)在區間[三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數f(x)=tanx2的最小正周期為

14.如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=3AA1，E是棱15.已知函數f(x)不是常數函數，且函數f(x)滿足：定義域為R，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，f(x)的圖象也關于點(1,0)對稱．寫出一個滿足條件的函數f(x)

.(寫出滿足條件的一個即可)16.如圖，四邊形ABCD為正方形，AG⊥平面ABCD，AG//DF//CE，若AG=AB=3，DF=2，CE=1，則VB?EGD：VG?BEF=

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知向量a=(1,2)，b=(x,3)．

(1)若(3a?b)⊥b，求x的值；

(2)若向量18.(本小題12分)

如圖1，菱形ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，垂足為點E，將△AED沿DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如圖2．

(1)求證：A′E⊥平面EBD；

(2)在線段A′D上是否存在一點F，使EF/?/平面A′BC？若存在，求DFFA′的值；若不存在，說明理由．19.(本小題12分)

已知O為坐標原點，對于函數f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數f(x)的相伴特征向量，同時稱函數f(x)為向量OM的相伴函數．

(1)若向量m=(2,2)為?(x)=λsin(x+π4)的相伴特征向量，求實數λ的值；

(2)記向量m=(5,12)的相伴函數是f(x)，求20.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=3，BC=6，AA1=2AB，D是棱BB1的中點，E是棱CC1上的點，滿足21.(本小題12分)

已知平面四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，AC=3，BC=1．

(1)若∠ACB=5π6，求四邊形ABCD的面積；

(2)若記∠ACB=θ(0<θ<π)，CD=f(θ)．

①求f(θ)的解析式；

②求CD的最小值及此時角22.(本小題12分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，∠SAB=∠SAD≤π2，底面ABCD為正方形．記直線SA與平面ABCD所成的角為θ．

(1)求證：平面SAC⊥平面SBD；

(2)若二面角B?SA?D的大小為2π3，求cosθ的值；

(3)當θ=π2時，SB、BC中點為M，N，點P為線段CD上的動點(包括端點)，SA=2AB，二面角M?NP?A的大小記為

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查共軛復數，是基礎題．

由已知直接利用共軛復數的概念得答案．【解答】

解：∵z=1+2i，

∴z?=1?2i．

2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了同角三角函數關系式的應用，考查了計算能力，屬于基礎題．

根據x的范圍，利用同角三角函數關系式求出sinx，從而求出tanx的值．【解答】

解：∵x為第四象限的角，cosx=1213，

∴sinx=?1?cos2x=?53.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間兩直線的位置關系，考查充分條件的判斷，屬于較易題．

根據線線平行、線線角等知識對選項進行分析，從而確定正確選項．【解答】

解：A選項，a，b都與l垂直，可能a⊥b，A選項錯誤．

B選項，a，b都垂直于平面α，則a/?/b，B選項正確．

C選項，a，b都與l成30°角，a，b可能相交，C選項錯誤．

D選項，a，b都與平面α成60°角，a，b可能異面，D選項錯誤．

故選：B．4.【答案】C

【解析】解：因為底面圓的直徑AB=16cm，

所以圓柱、圓錐的底面半徑為8cm，

圓錐的母線長為62+82=10cm，

所以陀螺的表面積是π×82+2π×8×8+π×8×10=272πc5.【答案】D

【解析】解：如圖所示：在Rt△ABM中，AB=12，sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=6?24，

可得AM=ABsin15°=126?24=12(6+2)，

由圖知∠CAM=30°+15°=45°，∠CMA=180?∠CMD?∠AMB=180°?60°?15°=105°，

可得∠ACM=180°?∠CMA?∠CAM=180°?105°?45°=30°，

由正弦定理可得CMsin∠CAM=AMsin6.【答案】C

【解析】解：A顯然正確；B也正確，因為若AD與BC共面，則必有AC與BD共面與條件矛盾

C不正確，如圖所示：

D正確，用平面幾何與立體幾何的知識都可證明．

故選C．

逐一檢驗答案，A、B的正確性一致，C、D結合圖形進行判斷．

結合圖形，通過仔細分析及舉出反例，判斷各答案是否正確7.【答案】B

【解析】解：函數y=sin2x的圖象沿x軸向右平移φ(φ>0)個單位長度，函數y=sin(2x?2φ)的圖象，

即得到函數y=cos(2x+π6)=sin(2x+2π3)的圖象，

故?2φ=2kπ+2π3，整理得2φ=?2kπ?2π3，(k∈Z)，即φ=?kπ?π8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了圓臺外接球體積的計算，屬于基礎題．

根據圓臺軸截面及已知求圓臺的高，再根據球半徑與圓臺上下底面半徑的幾何關系列方程求出球半徑，進而求球的體積．【解答】

解：由題意，作出圓臺的軸截面如圖，

過點A作AE⊥CD，垂足為E，易得AE=DE=1，

過點O作OF⊥AB，垂足為F，交DC于點G，

所以AF=3，DG=4，

設球半徑為R，球心為O，連接DO，AO，

則R2?9=(1+R2?16)2，可得R=5，

9.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查了復數的運算和復數的幾何意義，是中檔題．

由題意設z1=a+bi，z2=c+di，即有OZ1=(a,b)【解答】

解：設z1=a+bi，z2=c+di，即有OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)，由OZ1⊥OZ2，可得ac+bd=0，

對于A，z1=iz2，即a+bi=i(c+di)=?d+ci，可得a=?d且b=c，此時ac+bd=?db+bd=0成立，所以A正確；

對于B，z1=2z2，即a+bi=2(c+di)=2c+2di，可得a=2c且b=2d，此時ac+bd=2c2+2d2≠0，所以B錯誤；10.【答案】ABC

【解析】【分析】本題主要考查了球內接多面體、棱柱的結構特征，空間幾何體的截面問題，是基礎題．

當截面的角度和方向不同時，球的截面不相同，應分情況考慮即可．【解答】

解：過球心作截面，

當截面平行于正方體的一個面時得C；

當截面為正方體的對角面時得B；

當截面過正方體上下底面中心且不過體對角線、不平行于正方體的側面時能得A;

但無論如何都不能截出D，

故選：ABC．11.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數公式的應用，二倍角公式，輔助角公式，屬于中檔題．

A：利用正切的和角公式化簡即可判斷；B：利用正弦的倍角公式以及輔助角公式化簡即可判斷；C：利用誘導公式以及余弦的倍角公式化簡即可判斷；D：利用誘導公式以及正弦的倍角公式和輔助角公式化簡即可判斷求解．【解答】

解：選項A，(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°，

∵tan45°=tan1°+tan44°1?tan1°tan44°=1，即tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1，

∴(1+tan1°)(1+tan44°)=2，故選項A正確；

選項B：因為1sin10°?3cos10°=cos10°?3sin10°sin10°cos10°12.【答案】ABD

【解析】解：A，∵(7π12,3π4)?(7π12,5π6)，∴f(x)在(7π12,3π4)上單調，

又f(7π12)=?f(3π4),7π12+3π42=2π3，∴f(2π3)=0，故A正確；

B，區間(7π12,5π6)右端點x=5π6關于x=2π3的對稱點為x=π2，

∵f(2π3)=0,f(x)在(7π12,5π6)上單調，根據正弦函數圖像特征可知f(x)在(π2,5π6)上單調，

∴5π6?π2=π3?T2=12?2π|ω|(T為f(x)的最小正周期，即|ω|?3，

又ω>0，∴0<ω?3.若f(5π6?x)=f(x)，

則f(x)的圖象關于直線x=5π12對稱，結合f(2π3)=0，

得2π3?5π12=π4=2k+14T=2k+12?π(0(k∈Z),

即ω=4k+2(k∈Z)，故k=0，ω=2，T=π，故B正確．

C，由0<ω?3，得T?2π3，∴f(x)在區間[0,2π)上最多有3個完整的周期，

而f(x)=1在1個完整周期內只有1個解，故關于x的方程f(x)=1在區間[0,2π)上最多有3個不相等的實數解，故C錯誤．

D，由f(13.【答案】2π

【解析】【分析】本題主要考查了正切函數的周期性，屬于基礎題．

根據函數y=tanx的最小正周期為π，進而可求得函數f(x)=tan【解答】

解：T=π12=2π，14.【答案】7【解析】【分析】本題主要考查了異面直線所成的角，屬于基礎題．

由AB1/?/C1D可知異面直線AB1與C1E所成的角為∠DC【解答】

解：連接C1D，DE，

由正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的性質可知，AB1/?/C1D，

∴異面直線AB1與C1E所成角為∠DC1E或其補角，

設AA115.【答案】f(x)=sin【解析】【分析】本題考查由正弦型函數的對稱性求參數，屬于基礎題．

根據對稱性確定正確答案．【解答】

解：依題意，f(x)不是常數函數，定義域為R，

圖象關于直線x=2對稱，也關于點(1,0)對稱，

所以可取函數為f(x)=sin(π2x?π2)，

由于，所以函數f(x)關于直線x=2對稱；

由于，所以函數f(x)關于點(1,0)對稱．16.【答案】2：1

【解析】【分析】本題考查了三棱錐的體積，屬于中檔題．

將幾何體補全為正方體，采用割補法求出體積，即可得結果．【解答】

解：將幾何體補全為正方體，如下圖示，

VG?BEF=VABCD?GJHI?VG?HEBJ?VG?HIFE?VB?CDFE?VB?DFGA

=27?13×3×12×5×3?1317.【答案】解：(1)根據題意，向量a=(1,2)，b=(x,3)，

若(3a?b)⊥b，則(3a?b)?b=3a?b?b2=?x2+3x+9=0，

解可得：x=3+352或x=【解析】本題考查向量數量積的性質以及應用，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題．

(1)由數量積的計算公式可得(3a?b)?b=3a?b?b18.【答案】證明：(1)在菱形ABCD中，

DE⊥AB，即DE⊥AE，∴A′E⊥DE，

∵A′E⊥BE，DE∩BE=E，DE，BE?平面EBD，

∴A′E⊥平面EBD；

解：(2)在線段A′D上存在一點F，使EF/?/平面A′BC，

理由如下：

分別取A′D，A′C的中點F，M，連接EF，FM，BM，

∵FM為△A′DC的中位線，∴FM//DC，且FM=12DC，

在菱形ABCD中，EB/?/DC，且EB=12DC，

∴FM//EB，且FM=EB，∴四邊形EBMF是平行四邊形，∴EF/?/BM，

∵EF?平面A′BC，BM?平面A′BC，

∴EF/?/平面A′BC，

∵F為A′D【解析】本題考查了線面垂直的證明和線面平行的應用，屬于中檔題．

(1)推導出DE⊥AE，A′E⊥DE，結合A′E⊥BE，利用線面垂直的判定定理能證明A′E⊥平面BCDE；

(2)分別取A′D，A′C的中點F，M，連接EF，FM，BM，推導出四邊形EBMF是平行四邊形，EF/?/BM，從而在線段A′D上存在一點F，使EF/?/平面A′BC，且DFFA′19.【答案】解：(1)根據題意，?(x)=λsin(x+π4)=λsinxcosπ4+λcosxsinπ4=22λ(sinx+cosx)，

又由m=(2,2)為?(x)的相伴特征向量，即?(x)=2sinx+2cosx，

則有22λ=2，解可得λ=22，

故λ=22；

(2)由題意知f(x)=5sinx+12cosx=13sin(x+θ)，且tanθ=125(0<θ<π2)，

又由tanθ=125>3，則θ∈(π3,π2)，

【解析】本題考查向量的應用，涉及三角函數的恒等變形，正弦型函數的值域，屬于中檔題．

(1)根據題意，利用兩角和的正弦公式可得?(x)=22λ(sinx+cosx)，結合相伴特征向量的定義可得22λ=2，解可得答案．

(2)20.【答案】證明：(1)∵AC⊥BC,AC=3,BC=6，∴AB=AC2+BC2=3，

∴AA1=2AB=6，BD=3，

∴AD=AB2+BD2=32，同理A1D=32，

∵AD2+A1D2=AA12，∴AD⊥A1D，

∵CE=5,AC=3，∴AE=AC2+CE2=28，

DE=BC2+(CE?BD)2=10，

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

又A1D∩DE=D，A1D【解析】本題考查線面角，線面垂直的判定，屬于中檔題．

(1)根據勾股定理及勾股定理的逆定理判斷垂直，再利用線面垂直的判定定理即可證明；

(2)利用空間向量求解線面角．21.【答案】解：(1)在△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=5π6，由余弦定理可得

AB=AC2+BC2?2AC?BCcos∠ACB=3+1?2×3×1×(?32)=7，

由正弦定理可得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即1sin∠BAC=712，

所以sin∠BAC=127，所以cos∠BAC=3327，

因為AB=AD，AB⊥AD，所以sin∠DAC=cos∠BAC=3327，

所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

=12AC?BC?sin∠ACB+12AD?AC?sin∠DAC

=12×3×1×12+1【解析】本題考查正余弦定理的應用及三角函數最值的求法，屬于較難題．

(1)△ABC中，由余弦定理可得AB的值，再由正弦定理可得sin∠BAC的值，進而求出cos∠BAC，由AB=AD，AB⊥AD可得AD的值及sin∠DAC的值，代入三角形的面積公式可得兩個三角形的面積，即可得四邊形的面積；

(2)①由余弦定理可得BA的表達式，再由正弦定理可得sin∠BAC的值，由題意