河北省石家莊市行唐啟明中學2025屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．2．已知，，是三條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，，，則D．若，，，則3．設直線系．下列四個命題中不正確的是（）A．存在一個圓與所有直線相交B．存在一個圓與所有直線不相交C．存在一個圓與所有直線相切D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等4．把十進制數化為二進制數為A． B．C． D．5．要完成下列兩項調查：①從某社區125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調查社會購買力的某項指標；②從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況，宜采用的抽樣方法依次為()A．①隨機抽樣法，②系統抽樣法B．①分層抽樣法，②隨機抽樣法C．①系統抽樣法，②分層抽樣法D．①②都用分層抽樣法6．已知函數的最小正周期是，其圖象向右平移個單位后得到的函數為奇函數.有下列結論：①函數的圖象關于點對稱；②函數的圖象關于直線對稱；③函數在上是減函數；④函數在上的值域為.其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．47．，，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A．， B．，C．，，共面 D．，，共點，，共面8．用數學歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數式是（）A． B．C． D．9．已知向量，若，則（）A． B． C． D．10．已知兩條直線，，兩個平面，，下面說法正確的是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在梯形中,，,設,,則__________(用向量表示).12．已知向量，，則與的夾角等于_______.13．已知等差數列的公差為2，若成等比數列，則________．14．已知函數的定義域為，則實數的取值范圍為_____．15．把二進制數化為十進制數是：______．16．某工廠生產三種不同型號的產品,產品數量之比依次為，現用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本,樣本中種型號產品有16件,那么此樣本的容量=三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.18．若不等式的解集為.（1）求證：；（2）求不等式的解集.19．已知數列和中，數列的前n項和為,若點在函數的圖象上，點在函數的圖象上．設數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）求數列的最大值.20．如圖，制圖工程師要用兩個同中心的邊長均為4的正方形合成一個八角形圖形，由對稱性，圖中8個三角形都是全等的三角形，設.(1)試用表示的面積；(2)求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時的大小.21．在△ABC中，已知BC=7，AB=3，∠A=60°．（1）求cos∠C的值；（2）求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由，，，得解.【詳解】解：因為，，，所以，故選：D.【點睛】本題考查了指數冪，對數值的大小關系，屬基礎題.2、D【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.根據條件可知，若，不能推出；B.若，就不能推出；C.條件中沒有，所以不能推出；D.因為，，所以，因為，所以．【點睛】本題考查了面面平行的判斷，屬于基礎題型，需要具有空間想象能力，以及邏輯推理能力.3、D【解析】

對于含變量的直線問題可采用賦特殊值法進行求解【詳解】因為所以點到中每條直線的距離即為圓的全體切線組成的集合，所以存在圓心在，半徑大于1的圓與中所有直線相交,A正確也存在圓心在，半徑小于1的圓與中所有直線均不相交，B正確也存在圓心在半徑等于1的圓與中所有直線相切，C正確故正確因為中的直線與以為圓心，半徑為1的圓相切,所以中的直線所能圍成的正三角形面積不都相等，如圖

與

均為等邊三角形而面積不等,故錯誤，答案選D.【點睛】本題從點到直線的距離關系出發，考查了圓的切線與圓的位置關系，解決此類題型應學會將條件進行有效轉化.4、C【解析】選C.5、B【解析】①由于社會購買力與收入有關系，所以應采用分層抽樣法；②由于人數少，可以采用簡單隨機抽樣法要完成下列二項調查：①從某社區125戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，95戶低收入家庭中，選出100戶調查社會解：∵社會購買力的某項指標，受到家庭收入的影響而社區中各個家庭收入差別明顯①用分層抽樣法，而從某中學的15名藝術特長生，要從中選出3人調查學習負擔情況的調查中個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，∴②用隨機抽樣法故選B6、C【解析】

根據函數最小正周期可求得,由函數圖象平移后為奇函數,可求得,即可得函數的解析式.再根據正弦函數的對稱性判斷①②,利用函數的單調區間判斷③,由正弦函數的圖象與性質判斷④即可.【詳解】函數的最小正周期是則,即向右平移個單位可得由為奇函數,可知解得因為所以當時,則對于①,當時,代入解析式可得,即點不為對稱中心,所以①錯誤;對于②,當時帶入的解析式可得,所以函數的圖象關于直線對稱,所以②正確;對于③,的單調遞減區間為解得當時,單調遞減區間為,而,所以函數在上是減函數,故③正確;對于④,當時,由正弦函數的圖像與性質可知,,故④正確.綜上可知,正確的為②③④故選:C【點睛】本題考查根據三角函數性質和平移變換求得解析式,再根據正弦函數的圖像與性質判斷選項,屬于基礎題.7、B【解析】

解：因為如果一條直線平行于兩條垂線中的一條，必定垂直于另一條．選項A，可能相交．選項C中，可能不共面，比如三棱柱的三條側棱，選項D，三線共點，可能是棱錐的三條棱，因此錯誤．選B.8、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數式是故選：C．【點睛】本題考查用數學歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．9、A【解析】

先根據向量的平行求出的值，再根據向量的加法運算求出答案．【詳解】向量，，

解得，

∴，

故選A．【點睛】本題考查了向量的平行和向量的坐標運算，屬于基礎題．10、D【解析】

滿足每個選項的條件時能否找到反例推翻結論即可。【詳解】A：當m,n中至少有一條垂直交線才滿足。B：很明顯m,n還可以異面直線不平行。C:只有當m垂直交線時，否則不成立。故選：D【點睛】此題考查直線和平面位置關系，一般通過反例排除法即可解決，屬于較易題目。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據向量減法運算得結果.【詳解】利用向量的三角形法則，可得，，又，，則，.故答案為.【點睛】本題考查向量表示，考查基本化解能力12、【解析】

由已知向量的坐標求得兩向量的模及數量積，代入數量積求夾角公式得答案．【詳解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，則cos，∴與的夾角等于．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量的數量積運算，考查了由數量積求向量的夾角，是基礎題．13、【解析】

利用等差數列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數列，求出a1，即可求出a1．【詳解】∵等差數列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查等差數列的通項，考查學生的計算能力，屬基礎題.．14、【解析】

根據對數的真數對于0，再結合不等式即可解決．【詳解】函數的定義域為等價于對于任意的實數，恒成立當時成立當時，等價于綜上可得【點睛】本題主要考查了函數的定義域以及不等式恒成立的問題，函數的定義域常考的由1、，2、，3、．屬于基礎題．15、51【解析】110011（2）16、1．【解析】

解：A種型號產品所占的比例為2/(2+3+5)=2/10，16÷2/10=1，故樣本容量n=1，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

⑴因為，所以，即,其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因為，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由已知可得是的兩根，利用韋達定理，化簡可得結論；（2）結合（1）原不等式可化為，利用一元二次不等式的解法可得結果.【詳解】（1）∵不等式的解集為∴是的兩根,且∴∴，所以;（2）因為，,所以，即,又即，解集為【點睛】本題考查了求一元二次不等式的解法，是基礎題目．若，則的解集是；的解集是.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根據題設知，再利用求得，驗證符合，最后答案可得．

（2）由題設可知，把代入，然后用錯位相減法求和；（3）計算，判斷其大于零時的范圍，可得數列取最大值時的項數，進而可得最大值..【詳解】解：（1）由已知得：，∵當時，，又當時，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最大，故最大值為.【點睛】本題主要考查了數列的遞推式解決數列的通項公式和求和問題，考查數列最大項的求解，是中檔題.20、(1)，.(2)時,達到最大此時八角形所覆蓋面積前最大值為.【解析】

（1）注意到，從而的周長為，故，所以，注意.（2）令，則，根據可求最大值.【詳解】(1)設為,，，，，(2)令,只需考慮取到最大值的情況,即為，當,即時,達到最大，此時八角形所覆蓋面積為16+4最大值為.【點睛】如果三角函數式中僅含有和，則可令后利用把三角函數式變成關于的函數，注意換元后的范圍.21、（1）（2）【解析】

（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大邊對大角可求C為銳角，根據同角三角函數基本關系式可求cosC的值．（2）利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式可求sinB的值，根據三角形的面積公式即可計算得