專題8.9空間直線、平面的平行1．直線與直線平行(1)基本事實4

①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.

③作用：推斷或證明空間中兩條直線平行.(2)空間等角定理

①自然語言：假如空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

②符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2．直線與平面平行(1)判定定理①自然語言假如平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質定理①自然語言一條直線與一個平面平行，假如過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質定理的作用①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據.假如一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.3．平面與平面平行(1)判定定理①自然語言假如一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語售.該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言假如一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.②圖形語言③符號語言.(3)性質定理①自然語言兩個平面平行，假如另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個平面平行的其他性質①兩個平面平行，其中一個平面內的隨意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應成比例.

⑤假如兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面相互平行.4．平行關系的相互轉化及綜合應用(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質定理.

⑥利用面面平行的性質定理.

⑦利用反證法：假設兩條直線不平行，然后推出沖突，進而得出兩條直線是平行的.(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點.

②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.運用定理時，確定要說明“平面外一條直線與此平面內的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必需在平面內找一條直線b，使得a∥b，從而達到證明的目的，這三個條件缺一不行.

③利用面面平行的性質：若平面∥平面，直線a，則a∥.

④利用反證法.這時“平行”的否定有“在平面內”和“與平面相交”兩種，只有在解除“直線在平面內”和“直線與平面相交”這兩種位置關系后才能得到“直線與平面平行”的結論，在這一點上往往簡潔出錯，應引起重視.(3)平面與平面平行的判定方法

①依據定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時干脆證明特殊困難.

②依據判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

③依據判定定理的推論：在一個平面內找到兩條相交的直線分別與另一個平面內兩條相交的直線平行，則這兩個平面平行.

④依據平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面平行.

⑤利用反證法.(4)平行關系的相互轉化常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關系不是孤立的，而是相互聯系、相互轉化的，如圖所示.【題型1證明線線平行】【方法點撥】駕馭線線平行的判定方法，結合題目條件，進行求解，即可證明線線平行.【例1】（2024·上海·高二專題練習）若∠AOB=∠A1O1B1A．OB∥O1C．OB與O1B1不平行 D．OB【變式1-1】（2024·全國·高一專題練習）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1A．l與AD平行 B．l與AD不平行 C．l與AC平行 D．l與BD平行【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習）如圖所示，在長方體AC1中，E，F分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【變式1-3】（2024春·高一課時練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，E,A．PH||BG B．IE||CP【題型2直線與平面平行的判定】【方法點撥】運用直線與平面平行的判定定理時，關鍵是在平面內找到一條與已知直線平行的直線，具體操作中，我們可以利用幾何體的特征，合理利用中位線定理，或者構造平行四邊形等證明兩直線平行.【例2】（2024·高一課時練習）已知A、B、C、D是不共面四點，M、N分別是△ACD、△BCD的重心．以下平面中與直線MN平行的是（①平面ABC；

②平面ABD；

③平面ACD；

④平面BCD．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【變式2-1】（2024秋·內蒙古呼和浩特·高二期中）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（2024秋·廣東湛江·高三統考階段練習）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1A．B1C//平面A1C．BM//平面ACD1 D．【變式2-3】（2024秋·四川·高二階段練習）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1A．AD1 B．AA1【題型3平面與平面平行的判定】【方法點撥】第一步：在一個平面內找出兩條相交直線；其次步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結論.【例3】（2024·全國·高三專題練習）下列四個正方體中，A、B、C為所在棱的中點，則能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【變式3-1】（2024秋·北京海淀·高二期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【變式3-2】（2024·浙江·高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F，M，N分別為棱ABA．直線AD//平面MNE B．直線FCC．平面A1BC//平面MNE D．平面【變式3-3】（2024春·湖北·高二階段練習）如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【題型4線面平行性質定理的應用】【方法點撥】應用線面平行的性質定理時，關鍵是過已知直線作幫助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平行.還可以利用交線推斷已知平面內隨意一條直線與已知直線的位置關系，即在已知平面內，全部與交線平行的直線都與已知直線平行，全部與交線相交的直線都與已知直線異面.【例4】（2024春·浙江·高一期中）下列命題中正確的是（

）A．假如一條直線與一個平面平行，那么這條直線與平面內的隨意一條直線平行B．平面α內有不共線的三個點A，B，C到平面β的距離相等，則αC．b∥α，αD．a∥α，a∥b【變式4-1】（2024·全國·高三專題練習）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側棱和底面邊長均為1，M，N分別是棱BCA．34 B．23 C．1【變式4-2】（2024·全國·高三專題練習）若直線a//平面α，A?α，且直線a與點A位于α的兩側，B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點E，F，若BC=4，CF=5A．3 B．32 C．34【變式4-3】（2024春·江西南昌·高二階段練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，點D，E分別為棱PB、BC的中點，點G為CD、PE的交點，若點F在線段AC上，且滿足AD//A．1 B．2 C．12 D．【題型5面面平行性質定理的應用】【方法點撥】應用面面平行的性質定理時，找出一個平面中的一條直線，則該直線與另一個平面平行，據此可解題.【例5】（2024·高一課時練習）如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABA．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【變式5-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知平面α//平面β，點P為α，β外一點，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關系為（

A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面【變式5-2】（2024春·四川成都·高二期末）若平面α//平面β，直線m?α，則直線m與平面βA．相交 B．平行 C．m在β內 D．無法判定【變式5-3】（2024·高一課時練習）如圖，平面α/平面β，A，C是α內不同的兩點，B，D是內不同的兩點，E，F分別是線段AB，CD的中點，則下列全部正確推斷的編號是（

①當AB，CD共面時，直線AC②當AB=2CD時，E，③當AB，CD是異面直線時，直線EF確定與α平行④可能存在直線EF與α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【題型6平行問題的綜合應用】【方法點撥】在立體幾何中常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立的，而是相互聯系，并且可以相互轉化的.所以要解決平行關系的綜合問題，必須要靈敏運用三種平行關系的相互轉化.【例6】（2024秋·陜西渭南·高一期末）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1(1)A1B1(2)平面ABF//平面DE【變式6-1】（2024秋·河北