第2節平面向量基本定理及向量坐標運算高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標解讀1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.研考點精準突破目錄索引

強基礎固本增分12強基礎固本增分知識梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,__________一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個__________.

零向量不能組成基底

有且只有

基底

2.平面向量的坐標運算

當向量用坐標表示時,其加法、減法、數乘運算的法則

運算坐標表示(設a=(x1,y1),b=(x2,y2))加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法a-b=(x1-x2,y1-y2)數乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R向量與坐標之間用等號連接

微點撥1.

的坐標是用點B的橫、縱坐標減去點A的橫、縱坐標,既有方向的信息也有大小的信息.2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=b?x1=x2且y1=y2.3.平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?__________.

x1y2-x2y1=0自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.平面內的任何兩個非零向量都可以組成一個基底.(

)2.同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

)3.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.(

)4.一個平面向量不論經過怎樣的平移變換,其坐標不變.(

)××√√題組二

回源教材5.(人教A版必修第二冊6.3.4節例6改編)已知a=(2,1),b=(-3,4),則3a+4b的坐標為__________.

(-6,19)解析

3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).6.(人教A版必修第二冊6.3.3節例5改編)如圖,已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別是(-2,1),(-1,3),(3,4),則頂點D的坐標為__________.

(2,2)題組三

連線高考

A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)

D.(1,4)A8.(2021·全國乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=__________.

研考點精準突破考點一平面向量基本定理的應用ABC規律方法應用平面向量基本定理的注意事項(1)選定基底后,通過向量的加法、減法、數乘運算以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一個基底表示出來.(2)強調幾何性質在向量運算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質,如平行、相似等.(3)強化共線向量定理的應用.BD考點二平面向量的坐標運算例2(1)(2024·安徽合肥模擬)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則實數λ1,λ2的值分別為(

)A.-2,1

B.1,-2

C.2,-1

D.-1,2D3規律方法平面向量坐標運算的技巧利用向量的坐標運算解題時,首先利用向量的加法、減法、數乘運算法則進行運算,然后根據“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則,轉化為方程(組)進行求解.[對點訓練2](1)在△ABC中,頂點A的坐標為(3,1),邊BC的中點D的坐標為(-3,1),則△ABC的重心坐標為__________.

(-1,1)(2)(2024·湖北襄陽模擬)在平行四邊形ABCD中,點A(0,0),B(-4,4),D(2,6).若AC與BD的交點為M,則DM的中點E的坐標為__________.

解析

在平行四邊形ABCD中,因為AC與BD的交點為M,且E為DM的中點,考點三向量共線的坐標表示(多考向探究預測)考向1利用向量共線求參數例3(2024·浙江紹興模擬)已知平面向量a=(3,4),b=(-k,2),若(a+b)∥ka,則實數k(k≠0)的值為(

)C

考向2利用向量共線求向量或點的坐標例4已知點A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若點M在線段AC上,且BM=2,則點M的坐標為__________.

變式探究1(變結論)本例中,若已知條件不變,則在線段AC上是否存在點M,使得BM=4?變式探究2(變結論)本例中,條件不變,若O為坐標原點,試求直線OB與直線AC的交點P的坐標.[對點訓練3](1)(多選題)(2024·江蘇昆山中學校考)在平面直角坐標系Oxy內,O為坐標原點,已知

.若P是線段AB的三等分點,則點P的坐標可以是(

)A.(2,1)

B.(3,0)

C.(4,-1)

D.(5,-2)AD(2)(2024·湖北襄陽模擬)已知a=(m,7),b=(2,-3),c=(-3,m),若a∥(2b+c),則實數m=__________.

-1或7解析

∵b=(2,-3),c=(-3