蘇州市相城區2020～2021學年第一學期階段性診斷測試高三數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項選擇題（第1題～第8題）、多項選擇題（第9題～第12題）、填空題（第13題～第16題）、解答題（第17題～第22題）.本卷滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，請將答題卡交回.2.答題前，請您務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規定位置.3.請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效.作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.，集合，則（）A. B. C. D.的展開式的中間項為（）A.－10 B. D.服從正態分布，若，則（）4.《九章算術》中《方田》章有弧田面積計算問題，術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面積計算公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圓弧（呱田）和以圓弧的端點為端點的線段（弧田弦）圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在的圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現有一弧田，其弧田弦等于12米，其弧田弧所在的圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為32平方米，則（）A. B. C. D.a，b為正實數，則“”是“”的（）中，拋物線的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的方程為（）A. B. C. D.R，若其近月點、遠月點離月面的距離大約分別是，，則此階段嫦娥五號軌道器運行軌道的離心率是（）A. B. C. D.是定義在上的偶函數，且當時，，若函數有且僅有三個零點，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，選錯或不答的得0分.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.，則下列不等式成立的有（）A. B. C. D.，則（）的最小正周期為為偶函數，則，則函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到，則函數的圖象的對稱中心為11.如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上在第一象限內的一個點，直線與y軸相交于點Q，及為等邊三角形，則（）C的漸近線方程為C的離心率為在雙曲線C上，則雙曲線C的標準方程為在雙曲線C上，則點Q的坐標為，則（）A.在上是增函數 B.的最大值為C.在上有3個零點 D.在上有3個極值點三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.，，則______.14.在等差數列中，，，記，則數列的最大項是第______項.15.考古發現，在埃及金字塔內有一組神秘的數字142857，因為，，……所以這組數字又叫走馬燈數.該組數字還有如下規律：，，……若從1，4，2，8，5，7這6個數字中任意取出3個數字構成一個三位數x，則的結果恰好是剩下3個數字構成的一個三位數的概率為______.中，點在直線上，點B，C在圓上，若四邊形為正方形，則______；若為直角，則實數m的取值范圍是______.（本小題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題10分）在條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出問題解答.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，______.求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.（本小題12分）函數.（1）若函數在處的切線方程為，求m的值；（2）若對任意，恒成立，求實數m的取值范圍.19.（本小題12分）已知等比數列的首項為2，且，，的首項為1，前n項和為，且.（1）求等比數列的通項公式；（2）求證：數列為等差數列；（3）若數列的公差為2，數列的前n項和為，求證：.20.（本小題12分）讀書可以使人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然正氣.書籍是文化的重要載體，讀書是承繼文化的重要方式.某地區為了解學生課余時間的讀書情況，隨機抽取了n名學生進行調查，根據調查得到的學生日均課余讀書時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.將日均課余讀書時間不低于40分鐘的學生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時間低于40分鐘的學生稱為“非讀書之星”.已知抽取的樣本中日均課余讀書時間低于10分鐘的有10人.（1）求n，p的值；（2）根據已知條件完成下面的列聯表，并判斷是否有95%以上的把握認為“讀書之星”與性別有關？非讀書之星讀書之星總結男女1055總計（3）將上述調查所得到的頻率視為概率，現從該地區大量學生中，隨機抽取3名學生，每次抽取1名，已知每個人是否被抽到互不影響，記被抽取的“讀書之星”人數為隨機變量X，求X的分布列和期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.879121.（本小題12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點.22.（本小題12分）已知函數，函數.（1）討論函數的單調性；（2）證明：當時，；（3）證明：當時，.2020～2021學年第一學期階段性診斷測試高三數學參考答案一、單選題二、多選題三、填空題13.15.16.四、解答題17.解：若選①：由正弦定理得，即，所以，因為，所以.又，，，所以，所以.若選②：由正弦定理得.因為，所以，，化簡得，即，因為，所以.又因為，所以，即，所以.若選③：由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以，因為，，所以，所以，，所以.又，，，所以，所以.18.解：（1）由于函數在處的切線方程為，所以，所以，（2）因為對任意，恒成立，即對任意恒成立，令，得對恒成立，法一：令，，由于的圖象開口向下，要使在恒成立，只需且，又，，所以.法二：即對恒成立，只需，，令，，由于，所以在上單調遞增，所以，所以.19.解（1）由于，，成等差數列，所以，又是等比數列，首項為2，設公比為q，所以有，即，即所以所以（2）因為①所以當時，②①－②得：③法一：④③－④得：所以即所以數列為等差數列；法一：由③式得到，所以，所以即，檢驗時，上式也成立，所以為常數所以為等差數列.（3）法一：令所以所以所以所以所以法二：所以所以20.解：（1）由頻率分布直方圖可知，，所以.（2）因為，所以“讀書之星”有，從而列聯表如下圖所示：非讀書之星讀書之星總結男301545女451055總計7525100將列聯表中的數據代入公式計算得，因為3.030＜3.841，所以沒有95%以上的把握認為“讀書之星”與性別有關.（3）將頻率視為概率，即從該地區學生中抽取一名學生是“讀書之星”的概率為.由題意可知，所以，，，，所以X的分布列為X0123P故.21.解（1）因為橢圓的離心率為，即.所以又點在該橢圓上，所以所以，所以橢圓C的標準方程為（2）由于的斜率為k，則聯立，得：所以所以，從而即同理，由于的斜率為，則聯立得：即所以所以，從而即當時即；時，，過點當時，，即，所以直線過點綜上，直線過點22.解：（1）定義域為，當時，