《點、直線、平面之間的位置關系》全章教案

2.1.1平面

授課類型：新授課授課時間：第周年月日（星期）

一、教學目標：

、知識與技能：利用生活中的實物對平面進行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直觀

圖；掌握平面的基本性質及作用；培養學生的空間想象能力。

、過程與方法：通過討論，對平面有了感性認識；歸納整理本節所學知識。

、情感態度與價值觀：認識到我們所處的世界是一個三維空間，增強學習的興趣。

二、教學重點：、平面的概念及表示；

、平面的基本性質：注意他們的條件、結論、作用、圖形語言及符號語言。

難點：平面基本性質的掌握與運用。

三、學法指導：通過閱讀教材，聯系身邊的實物思考、交流，師生共同討論等，從而

較好地完成本節課的教學目標。

四、教學過程

（-）實物引入、揭示課題

生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，請

舉出更多例子。

問題：平面的含義是什么？

（二）研探新知

、平面的含義

兒何里所說的“平面’’是從一些物體中抽象出來的（原始概念），平面是無限延展的。

、平面的畫法及表示

問題：在平面幾何中，怎樣畫直線？

類比、遷移：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角/7

畫成，橫邊長等于鄰邊的倍長?？?-----/

表示法：平面通常用希臘字母a、丫等表示，如平面a、平面。等，

也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫

字母來表示，如平面、平面等。

如果幾個平面畫在一起，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時,

AB

應畫成虛線或不畫。

平面內有無數個點，平面可以看成點的集合。

點在平面a內，記作：Ea:點在平面a外，記作：Ca。

、平面的基本性質：4------------------

（）思考：如果直線與平面a有一個公共點，直線是否在平面a內？

如果直線與平面a有兩個公共點呢？

演示：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌

面上。

歸納（公理）：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

符號語言：/'一—

公理作用：判斷直線是否在平面內。~~~———

直線在平面a內（平面a經過直線），記作：Iua；

直線在平面a外，記作：/<Za。__

O實物演示：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀。

自行車要放穩需幾個點？

歸納（公理）：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示：八三點不共線=有且只有一個平面a,使Ga、Ga、Ga。

公理作用：確定一個平面的依據。

推論：過一條直線和直線外一點確定一個平面。

推論：兩條相交直線確定一個平面。

推論：兩條平行直線確定一個平面。

O演示：長方體模型中，兩個平面的交線的含義。

思考：把一個三角板的一個角立在課桌上，三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只

相交于一點，為什么？

歸納（公理）：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線。

符號表示：GaDp=>arip，且G。

公理作用：判定兩個平面是否相交的依據。/_

、例題：用符號表示下列圖形中點、直線、平面之rII"〈"z-

間的位置關系：

分析（）（3=l,a[ya=A,a[y/3=B

（）。0戶=/,。ua,bu4,ad/=ROD/=P。

通過例子，讓學生掌握圖形中點、線、面的位置關系及符號的正確使用。

、課堂練習：課本練習、、、；習題組、。

（三）課時小結：（師生互動，共同歸納）

（）本節課我們學習了哪些知識內容？

（）三個公理的內容及作用是什么？

（）公理化方法：從一些原始概念（基本概念）和一些不加證明的原始命題（公理）出

發，運用邏輯推理，推導出其他命題和定理的方法。

（四）作業布置

（）復習本節課內容；

（）預習：同一平面內的兩條直線有幾種位置關系？

教學反思：

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

授課類型：新授課授課時間：第周年月日（星期）

一、教學目標：

、知識與技能：了解空間中兩條直線的位置關系：理解異面直線的概念、畫法，培養學生

的空間想象能力；理解并掌握公理、等角定理。

、過程與方法：師生的共同討論與講授法相結合，讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知

識。

、情感態度與價值觀：感受掌握空間兩直線關系的必要性，提高學習興趣。

二、教學重點：異面直線的概念；公理及等角定理。

難點：異面直線定義的理解。

三、學法指導：閱讀教材、思考、交流、概括，較好地完成本節課的教學目標。

四、教學過程

（-）創設情景、導入課題

問題：同一平面內的兩條直線有幾種位置關系？空間中的兩條直線呢？

問題：沒有公共點的兩條直線一定平行嗎？

問題：沒有公共點的兩條直線一定在同一個平面內嗎？

觀察：如圖，長方體”"中，線段'所在的直線與線段'所在直線

的位置關系如何？5-1--------------

舉例：舉出生活中類似的例子。

（二）講授新課夕----

、異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線。A

、空間兩條直線的位置關系：

相鎬膂為了一平面內，有且只有一個公共點；

I平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

課堂練習：正方體的棱所在的直線中，與直線異面的有哪些？

答案：，，，，，。

課堂練習：判斷下列命題是否正確，若正確，請簡述理由；若不正確，請舉出反例。

()沒有公共點的兩條直線是異面直線:

()互不平行的兩條直線是異面直線;

()分別在兩個平面內的兩條直線一定異面;

()一個平面內的直線與這個平面外的直線一定異面;

()分別與兩條異面直線都相交的兩條直線共面。

()分別與兩條異面直線都相交的兩條直線異面。

答案：()()都錯，反例略。

異面直線直觀圖的畫法:

異面直線的判定：()既不相交也不平行的兩條

直線是異面直線。

()過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的

直線是異面直線。

數學語言：A史a,8ea,/ua,8史/=直線與直線是異面直線。

探究：如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那

么、、、這四條線段所在的直線是異面直線的有對。

分析：與，與，與共對。

、平行公理:

引入：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

在空間中，是否有類似的規律？

觀察：如圖，長方體""中，'〃‘，那么'與'平行嗎？

舉出現實中相應的例子(如教室里的燈管)。

歸納(公理)：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設、、是三條直線，a//b,b//c=>a//c.

強調：公理實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

、等角定理：

引入：在同一平面內，如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

或互補，能否推廣到空間？

觀察：如圖，長方體""中，/與”、/與的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系

如何？

ZZ'",

歸納（等角定理）：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,

那么這兩個角相等或互補。

拓展：有關平面圖形的結論都可以推廣到空間中來嗎？試分別找出一個可以推廣和一個

不可以推廣的例子。（如對邊相等的四邊形為平行四邊形，在平面圖形中成立，但在空間卻不

成立。）

、例題鞏固:

如圖，空間四邊形中，、、、分別是、、、的中點，求證：四邊形是平行

四邊形。

證明：連接，因為是三角形的中位線，

所以，且同理，且

22

所以，且，所以四邊形為平行四邊形。

探究：如果再加上條件，那么四邊形是什么圖形？（菱形）

拓展：若J_,則四邊形又是什么圖形？（矩形）

（三）課堂練習：課本，練習；習題［組］

（四）本節課學習了哪些內容？

、異面直線的概念：不同在任何一個平面內的兩條直線，既不相交，也不平行，沒有公

共點。

、空間兩條直線的位置關系：相交、平行、異面。

、平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（平行線的傳遞性）。

、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

（五）布置作業：導與練，基礎應用。

教學反思:

異面直線所成的角

授課類型：新授課授課時間：第周年月日(星期)

一、教學目標

、知識與技能：理解并掌握異面直線所成的角的定義，熟記異面直線所成角的范圍，會

用平移轉換法求異面直線所成的角。

、過程與方法：借助正方體、長方體這一主要載體，以師為主導，引導學生主動參與，

探究異面直線所成角的概念形成過程，以及角的求解及其所蘊含的轉化思想與化歸方法。

、情感態度與價值觀：

()通過本節學習，培養學生不斷探索發現新知識的精神，滲透事物相互轉化和理論聯

系實際的辯證唯物主義觀點。

()培養學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力，使學生

初步掌握將空間問題轉化為平面問題的數學思想。

二、教學重點：異面直線所成的角的定義、范圍與計算。

難點：空間平移點的選取及解題規范。

三、教學過程

(-)創設情景，引入新課

復習：、異面直線的概念：不同在任何一個平面內的兩條直線，既不相交，也不平行，沒

有公共點。

、空間兩條直線的位置關系：相交、平行、異面。

、平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行(平行線的傳遞性)。

、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

相等或互補。二

問題：正方體一中，為的中點，判斷直線、、、與直線的位置關系。

說明：從位置關系一看，同為異面直線，但它們的相對位置卻是不同

的，說明僅用“異面”與考慮異面直線間的相對位置是不夠的。

問題：用什么來刻畫兩條異面直線的相對位置呢？

提示：在平面幾何中，用“距離”來刻畫兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻畫兩

相交直線間的相對位置。

問題：一張紙中畫有兩條能相交的直線、（但交點在紙外），現給你一副三角板和量角器,

限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段。問如何量出、f“'7

成角的大??？其理論依據是什么？

學生動手操作。

問題：能否將上述結論推廣到空間兩直線？

（-）新授課

、異面直線所成角的定義（學生類比問題給出定義）:

已知異面直線、，經過空間中任一點作直線’〃、力，把'與'所成的銳角（或直角）叫異面

直線與所成的角（夾角）。

范圍：^e（0,1]o

思考：兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任

音占待曾的不同而M亦？

點可任選，一般取特殊位置，如線段的中點或端

點。

、探究：（）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與

這條直線垂直？即〃，若，，則，？

（成立，因為、所成的角與、所成的角相等，都是。。）

（）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？

（否，兩條直線可能相交、平行或異面。）

、例、習題剖析：

例、在正方體一中，求：

（）與所成的角；

（）與所成的角；

（）與所成的角；L_\l/

（）與所成的角；

分析：（）?.?找

.??/，4啰4為與所成的角證

在△中，NA|BB|=45°；算

.?.與所成的角為答

()ZAI6B1=45°；()NA|C4=45°；()ZB^C,=60°?

這種求法就是利用平移將兩條異面直線轉化到同一個三角形中，通過解三角形來求解。

把這種方法叫做一一平移法，其基本解題思路是“異面化共面，認定再計算”，簡記為“找一

一證---算----答

變式一：(福建卷)如圖，在正方體一《中，、八分別為、、、的中點，則異面直線與所成

的角等于()

()°()°()°()°

解：連接，，C作

?9

.?./為與所成的角(或其補角)證

在三角形中，C

N。算

異面直線與所成的角等于。答

小結：求異面直線所成的角一般要有四個步驟：

()作圖：作出所求的角及題中涉及的有關圖形等;

()證明：證明所給圖形是符合題設要求的；

O計算：一般是利用解三角形計算得出結果。

()結論。

簡記為“作(或找)一一證一一算一一答”。

例、長方體一C中，，，求異面直線C與所成角的余弦值。

解：設C與交于，取中點，連接，

因為，所以/或其補角，就是異面直線C與所成的角或其補角。

在△中，0G=gA￡=W，

OE=-BD.=-^22+22+l=-,

2122

C{E=1=J『+]2=叵,

AB

浮)2+(?_(&>

OC；+OE2-CF

所以cosNCQE=22_________3

20GoE>3~5

2x-----x—

22

所以異面直線與所成的角的余弦值為上。

5

變式：（福建卷）如圖，長方體一C中，，，、、分別是、、的中點，則異

面直線與所成的角是。

變式：在正四面體一中，_L,、分別為、的中點，那么異面直線與所

成的角等于（）

()°()°()°()°

（三）課堂小結

、異面直線所成角的定義、范圍及其求解。

、求角的大小，常用“平移法”：“作（或找）一一證一一算一一答”。

、數學思想一一化異面為共面，化空間為平面。這是我們學習空間幾何最常用到的數學

思想一一轉化化歸思想。

（四）課后作業：

、空間四邊形中，、分別是、的中點，且百，，求與所成的角。

、正方體一＜中，為的中點，為的中點，求與所成角的余弦值。

、課本第題。

、變式題。

教學反思：

2.2.1直線與平面平行的判定

授課類型：新授課授課時間：第周年月II（星期）

一、教學目標：

、知識與技能：了解空間中直線與平面的位置關系，理解并掌握直線與平面平行的判定定

理，進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力。

、過程與方法：學生通過觀察圖形，借助已有知識，得出空間中直線與平面的位置關系,

直線與平面平行的判定定理。

、情感態度與價值觀：讓學生在發現中學習，培養空間問題平面化(降維)的思想，增

強學習的積極性。

二、教學重點：空間中直線與平面的位置關系，直線與平面平行的判定定理及應用。

難點：判定定理的應用，例題的證明。

三、學法指導：學生借助實例，通過觀察、類比、思考、探討，教師予以啟發，得出

直線與平面的位置關系，直線與平面平行的判定。

四、教學過程

(-)創設情景、導入課題

思考()一支筆所在的直線與一個作業本所在的平面，可能有幾種位置關系？

()如圖，線段所在的直線與長方體的六個面所在平面有幾種/_____________

位置關系？—r

(二)直線與平面的位置關系，心---

歸納：直線與平面有三種位置關系：

()直線在平面內一一有無數個公共點，記作：aaa；

()直線與平面相交一一有且只有一個公共點，記作：aC\ct^A；

()直線在平面平行一一沒有公共點，記作：alia.

直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用aaa來表示。

例：下列命題中正確的個數是()

()若直線上有無數個點不在平面a內，則a；

()若直線與平面a平行，則與平面a內的任意一條直線都平行；

()如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行;

()若直線與平面a平行，則與平面a內的任意一條直線都沒有公共點；

O平行于同一平面的兩條直線互相平行。

()()()()

答案：

課堂練習：若直線不平行于平面a,且aua,則下列結論成立的是()

()a內的所有直線與異面()a內不存在與平行的直線

()a內存在唯一的直線與平行()a內的直線與都相交

答案：

(三)直線與平面平行的判定

、揭示問題：根據定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒有公共點。

但是，直線無限伸長，平面無限延展，如何保證直線與平面沒有公共點呢？

、直觀感知，操作確認：

O轉動門扇：門扇轉動的一邊與門框所在的平面是否平行？

O觀察：將一本書平放在桌面上，翻動書的封面，封面邊緣所在的直線與桌面所在平

面具有什么樣的位置關系？

、探究：()如右圖，直線與平面a平行嗎？

()平面a外的直線平行于平面a內的直線，直

線與平面a的位置關系如何？

、歸納(直線與平面平行的判定定理)平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則

該直線與此平面平行?！?/p>

符號語言：a<za,baa,a//b=>a//a,,/卜

作用：線線平行，則線面平行。A/

將直線與平面平行關系(空間問題)轉化為直線間平行關系(平面問題)。

、感受生活中線面平行的例子：教室里日光燈與天花板，足球門的頂部與地面等。

、直線與平面平行的判定方法：

()利用定義，說明直線與平面沒有公共點；

O利用判定定理，應用時的關鍵是在平面內找到與已知直線平行的直線。

、思考：平行線有傳遞性，線面平行有傳遞性嗎？即以下命題是否成立？

()allb,bllalalia-,()alla,allp=>all[3o

說明：以上兩個命題都是假命題，線面平行沒有傳遞性。

課堂練習：若aua,bHa,則與。的位置關系是。

答案：bHa或bua。

（四）定理的應用

例、求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊所在的平面。

己知：如圖，空間四邊形中，、分別是、的中點。

求證：平面。

A

證明：連接，因為，，

所以（三角形中位線的性質），

因為平面，3￡>u平面，

由直線與平面平行的判定定理得平面。

小結：要證明一條已知直線與一個平面平行,只要在這個平面內找出/

一條直線與已知直線平行,就可斷定已知直線與這個平面平行。E!\F

^―=—,則/\

變式：如圖，空間四邊形中，、分別是、上的點

EBFDBL_\^

與平面的位置關系是。

答案：平面。

變式：如圖，四棱錐一中，底面為平行四邊形，為的中點，求

/1Xk

/?\

證：平面。/\\/TK

分析：連接交于點，則（中位線）。1

例：如圖在正方體-中，、分別是棱'的中點，求證平面。

x

分析：要證明線面平行，根據線面平行的判定定理，只需證明4r

與平面內的一條直線平行即可。

小結：、證明線面平行可先證線線平行，但要注意“三條件”n：

歹c

的說明，關鍵是找到面內的直線。K.....

AX___B

、證明線面平行的一般步驟是：（）證線線平行；（）說明

兩直線一條在面內，另一條在面外；（）由判定定理得到結論。刁

分別是對角線、的中點，證判直從氏~寧公

變式：如圖，正方體-中，

線分別與正方體六個面中的哪些平面平行？并證明你的結論。

課堂練習：、如圖，長方體-中，

()與平行的平面是；

()與平行的平面是；

()與平行的平面是。

、如圖，正方體-中，為的中點，試判斷與平面的位置關系,

并說明理由。

(五)課堂總結

、直線與平面的位置關系：相交，平行，直線在平面內。

、直線與平面平行的判定：平面外一條直線與此平面內的一

條直線平行，則該直線與此平面平行。

、證明線面平行的一般步驟是：()證線線平行；()說明兩

直線一條在面內，另一條在面外；()由判定定理得到結論。要注意“三條件”的說明，關鍵

是找到面內的直線。

(六)布置作業：

課本習題［組］第題，［組］第題；變式題。導與練,

教學反思：

平面與平面平行的判定

授課類型：新授課授課時間：第周年月日(星期)

一、教學目標：

、知識與技能：了解空間中平面與平面的位置關系，理解并掌握平面與平面平行的判定定

理，進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力。

、過程與方法：學生通過觀察圖形，借助己有知識，得出空間中平面與平面的位置關系,

平面與平面平行的判定定理。

、情感態度與價值觀：讓學生在發現中學習，培養空間問題平面化(降維)的思想，增

強學習的積極性。

二、教學重點：空間中平面與平面的位置關系，平面與平面平行的判定定理及應用。

難點：判定定理的應用，例題的證明。

三、學法指導：學生借助實例，通過觀察、類比、思考、探討，教師予以啟發，得出

平面與平面的位置關系，平面與平面平行的判定。

四、教學過程

(-)平面與平面的位置關系

思考：()拿出兩本書，看作兩個平面，上下、左右移動和翻轉，它們之間的位置關系有

幾種？

()如圖，圍成長方體的六個面，兩兩之間的位置關系有幾種？

兩個平面的位置關系：

()兩個平面平行——沒有公共點，記作：all13,

()兩個平面相交——有且只有一條公共直線，記作：aD尸=/。

用圖形表示為：

畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應7

邊平行。ZZ7

探究：已知平面a、夕，直線、，QallB，aua,bu0,則直線與直線具有怎樣的位置關

拓展：若=/呢？

課堂練習：如果三個平面兩兩相交，那么它們的交線有多少條？畫出圖形表示你的結論。

(二)平面與平面平行的判定

、觀察：三角板的一條邊所在直線與桌面平行，這個三角板所在

平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又>----------

如何呢？

、若一個平面內的所有直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行。

、探究：()平面B內有一條直線與平面a平行，a、B平行嗎？

()平面P內有兩條直線與平面a平行，a、0平行嗎？

()平面。內有兩條相交直線與平面a平行，a,p平行嗎？

通過長方體模型，引導學生觀察、思考、交流，得出結論。

、歸納(兩個平面平行的判定定理)：一個平面內的兩條交直線與

另一個平面平行，則這兩個平面平行。K線不在多，相交就行?！?/p>

符號語言：au/3,bu0,aCb=P,a//a,bHana//3。

作用：線面平行，則面面平行。

、平面平行的傳遞性：如果平面a平面仇平面B平面丫，則平面a平面小

課堂練習：

、判斷下列命題是否正確，正確的說明理由，錯誤的舉例說明：

()已知平面a,B和直線，，若u〃〃//7,〃〃/7,則邱；

()一個平面a內兩條不平行的直線都平行于另一個平面0,則a0。

、平面a與平面(3平行的條件可以是()

()a內有無窮多條直線都與p平行

()直線a,仇且直線不在a內，也不在。內

()直線aua,直線bu夕，Ha///3,blla

()a內的任何直線都與［J平行

(三)定理的應用：

例、已知正方體一，求證：平面平面。

分析：由，得平面；，得平面,

證明：因為一為正方體，

所以，，

又，，所以，，所以為平行四邊形，

所以,又A2a平面，BGu平面,

由直線與平面平行的判定定理得平面。

同理平面，又AB】AD{=A,所以平面平面。

變式：己知在正方體一中，、、、分別是、、、的中點。

求證()、、、四點共面；

()平面平面。

例：求證：如果一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面內

的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。

已知：qu心電ua,偽uu/J,"a2-A,axHbva211b2,

求證：部。

分析：由線線平行得線面平行，再得面面平行。

小結：面面平行的判定定理的實質就是一個平面內的兩條相

交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行，本例可作為定

理使用。

變式：已知四棱錐一，四邊形為平行四邊形，、、分別是一的

中點，求證：平面平面。

例：如圖，鄧，、ea,,G[3,且、、、不共面，、分別是、

的中點，求證：a,0。

分析：欲證線面平行，可先證面面平行，再結合面面平行的

定義從而得證。

證明：連結，取的中點為，連結，

因為為的中點，所以為△的中位線，所以，

因為2平面B，u平面p,所以8。

連結，同理證得p,又n,

所以平面平面又u平面，所以,同理a。

變式：如圖，在正方體一中，、分別是、的中點，在該正方體中

作出與平面平行的平面，并證明你的結論。

（四）歸納整理、整體認識

、平面與平面的位置關系：相交，平行；

、平面與平面平行的判定：一個平面內的兩條交直線與另一個

平面平行，則這兩個平面平行。

、面面平行的判定定理的實質就是一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面內的兩條

相交直線平行。

（五）布置作業：

課本第頁習題［組］第、題；變式題；導與練,

教學反思：

直線與平面平行的性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日（星期）

一、教學目標：

、知識與技能：掌握直線與平面平行的性質定理及其應用。

、過程與方法：學生通過觀察與類比，借助實物模型理解性質及應用。

、情感態度與價值觀：進一步提高學生空間想象能力、思維能力；體會類比的作用；滲

透等價轉化的思想。

二、教學重點：直線與平面平行的性質定理的理解。

難點：直線與平面平行的性質定理的證明及正確運用。

三、學法指導：學生借助實物，通過類比、交流等，得出性質及基本應用。

四、教學過程

（一）創設情景、引入新課,

復習：直線與平面平行的判定定理：a^a,b（za,a//b=>a//a.ZS_______

思考：（）如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面內的直線有哪些位置

關系？

（）教室內日光燈管所在的直線與地面平行，如何在地面上作一條直線與燈管所在的直

線平行？

（二）研探新知

問題：命題”若直線平行于平面a,則直線平行于平面a內的一切直線”對嗎？

直線會與平面內哪些直線平行呢？

問題：在上面的論述中平面a的直線滿足什么條件時可以與直線平行？

沒有公共點一一共面（平行）。

歸納（直線與平面平行的性質定理）：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平

面與此平面的交線與該直線平行。?-------------------

符號語言：aHa、au0,anB=bna//b。\

證明：因為an^=。，所以

因為a〃a,所以與沒有公共點，又因為au0,bu0,所以。

簡記為：線面平行則線線平行。作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

（三）例題剖析

例、如圖所示的一塊木料中，棱平竽于面A'C'。

（）要經過面A'C內的一點和棱將木料鋸開，應怎樣畫線？

（）所畫的線與平面是什么位置關系？

分析：（）經過木料表面AC'內的一點和棱將木料鋸開，實際上是經，乙二-

過及外一點作截面，也就是找出平面與平面的交線。可以由直線與平面平行的性質定理和公

理、公理作出。

()由于所作的直線平行于，所以所畫的線與平面平行，而、則與平面相交。

例、己知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，求證：另一

條也平行于這個平面。

已知:a<za,bcza,allb,alla,求證：blla■>

證明:過直線作平面//交平面a于直線，因為。〃a,au尸,。門戶=c，

所以,因為，所以，又因為cua,O(za,所以人〃。。

說明:線線平行o線面平行，轉化是立體幾何的一種重要的思想方法。

變式：求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行。

已知：aP=l,a//a,a///3,

求證：。

分析：利用線面平行的性質定理。

證明：過作平面/交a于，因為?！ā?，所以,

過作平面S交平面夕于，因為a〃4，所以，所以。

又因為。仁，且cu/7,所以以//7,

由于平面a過交;T于，所以，又，所以。

(四)課堂練習

、判斷下列命題的真假：

()allh,bca=>alia；()()alla,blla=>a//b；()

()aIIb,blla=>alia；()()a//a,h<^a=>a//b；()

()過平面外一點和這個平面平行的直線只有一條。()

、填空:

（）若兩直線、異面，且a,則與a的位置關系可能是。

（）若兩直線、相交，且a,則與a的位置關系可能是。

、長方體一中，點Pe8與（異于C,M血％=,PCBC、=N,求證：平面。

（五）歸納小結

證明線面平行的轉化思想：

要證a,通過構造過直線的平面p與平面a相交于直線，

只要證明即可。

線線平行。線面平行O面面平行（（）平行公理；（）三

角形中位線；（）平行線分線段成比例；（）相似三角形對應邊成比例；（）平行四邊形對邊平

行。）

（六）布置作業：

課本，習題［組］第，題；［組］第題；導與練，。

教學反思：

平面與平面平行的性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日（星期）

一、教學目標

、知識與技能：掌握兩個平面平行的性質定理及其應用。

、過程與方法：學生通過觀察與類比，借助實物模型理解性質及應用。

、情感態度與價值觀：進一步提高學生空間想象能力、思維能力，體會類比的作用，滲

透等價轉化的思想。

二、教學重點：平面與平面平行的性質定理的理解。

難點：面面平行性質定理的證明及正確應用。

三、學法指導：學生借助實物，通過類比、交流等，得出性質及基本應用。

四、教學過程

(-)創設情景，揭示課題

復習：兩個平面平行的判定定理：/3,b<^/3,aC\b-P,alla,bIIa=>all/3.

相關性質：、若兩個平面平行，那么一個平面內的任意一條直線都和另一個平面平行。

、平行于同一個平面的兩個平面平行。

問題：若兩個平面平行，則一個平面內的直線與另一個平面內的直線具有什么位置關系？

學生借助長方體模型思考、交流得出結論：異面或平行。

問題：分別在兩個平行平面內的兩條直線滿足什么條件時平行？(共面)

問題：長方體中，平面內哪些直線會與直線3'。'平行？怎么

樣找到這些直線？

(平面內的直線只要與3'。'共面即可)

(二)研探新知

例、如圖，已知平面&、0、7滿足?！ㄊ?￡07=4,夕口7=仇

求證：。

證明：因為afly=。，4，所以aua,"uQ,又因為

all(5,所以，沒有公共點，又因為，同在平面y內，所以。

歸納(兩個平面平行的性質定理)如果兩個平面同時與第三個平面

相交，那么它們的交線平行。

符號語言：aII/3,a^\y-a,/3C\Yallb.

可以由平面與平面平行得出直線與直線平行。

課堂練習：判斷下列命題是否正確。

()如果，是兩條直線，且，那么平行于經過的任何平面。

()如果直線和平面a滿足a,那么與a內的任何直線平行。

()如果直線，和平面a滿足a,a,那么。

()如果直線，和平面a滿足，a,baa,那么a。

例、求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等。.

已知：a〃尸,48〃。。,4€%。€%8€尸,。€夕，求證：。

證明：因為，所以過、可作平面了，且平面y與平面a和p分"'

別相交于和，因為印，所以，因此，四邊形是平行四邊形，所以。,15—

變式：如圖，apy,直線與分別交a,0,丫于點八和點、、，求證：/----

ABDE/

BC-EF°/-------

例：如圖，與是兩個全等的正方形，點在上，點在上，，求證：平面

變式：如圖，為平行四邊形所在平面外一點，、分別是、的中

點，平面平面。

()求證：；

()與平面是否平行？試證明你的結論。

(三)歸納小結

、平面與平面平行的幾條性質：

()性質定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號語言：all0,any=a，Bny=b=allb。

()兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

()夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

()經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行。

、通過對性質定理的學習，大家應注意些什么？

、本節課涉及到哪些主要的數學思想方法？

(五)布置作業：

課本第頁習題［組］第題；變式題；導與練，。

教學反思：

2.3.1直線與平面垂直的判定與性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日(星期)

一、教學目標

、知識與技能()掌握直線和平面垂直的定義及判定定理、性質定理；

()掌握判定直線和平面垂直的方法；掌握直線和平面垂直的性質。

()培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納、概括結

論。

、過程與方法()感受直線和平面垂直的定義的形成過程；

()探究判定直線與平面垂直的方法。

、情感態度與價值觀：培養學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知。

二、教學重點、難點：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。

三、教學設計

(一)創設情景，揭示課題

舉例：旗桿與地面，大橋的橋柱和水面等的位置關系。

模型演示：直棱柱的側棱與底面的位置關系。

(-)研探新知

、直線與平面垂直的定義：直線與平面內a的任意一條直線都垂直。記作：±ao

直線叫做平面a的垂線，平面a叫做直線的垂面，垂線與平面的交點

叫做垂足。,一I一

、直線與平面垂直的判定：4——j—

()探究：準備一塊三角形紙片。

過△的頂點翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(、與桌面接觸)。

①折痕與桌面所在平面a垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕與桌面所在平面a垂直？(是邊上的高)

()思考：

①有人說，折痕所在直線己桌面所在平面a上的一條直線垂直，就可以判斷垂直平面a,

你同意他的說法嗎？

②如圖，由折痕，，翻折之后垂直關系不變，即，，±,由此你能得到什么結論？

()歸納結論：(直線與平面垂直的判定定理)I

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此______________

平面垂直。//

符號語言：a(^a,b(^a,aOb-A,IA-a,l±b=>l±a^/,

作用：由線線垂直得到線面垂直。(線不在多，相交就行。)

強調：①定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

②定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

、實際應用，鞏固深化

例：有一根旗桿高米，它的頂端掛有一條長米的繩子，拉

緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條f-」-----------

直線上）、，如果這兩點都和旗桿腳的距離是米，那么旗桿就和

地面升起垂直，為什么？-一-------------1—

分析：±,且、、三點不共線。

課堂練習：已知三角形，直線，，求證

例：直線、和平面a有以下三種關系：（），（）a±a,（）bLa,如果任意取其中兩

個作為前提，另一個作為結論構造命題，能構成幾個命題？并判斷其真假。如果是真命題，

請予以證明；如果是假命題，請舉一個反例?！?/p>

命題：如圖，已知a〃6,a_La,求證：/7_La。/--------—

證明：在平面a內作兩條相交直線，，因為直線a_La,根據直線/,

與平面垂直的定義知aJ_機,又因為，所以b_Lm,b_L〃，又

因為/〃ua,"ua,,是兩條相交直線，所以Z?_La。

歸納：兩條互相平行的直線，如果有一條與一個平面垂直，則另一條也與這個平面垂直。

命題：如圖，已知直線J_a,±a,那么。.

耳*1/*

證明（反證法）假設、不平行，且。na=。，//是經過點與直線平/—

行的直線。直線與少確定平面p,設an〃=c，則Oec。因為J_a、乙二

_La,所以，、±,又因為//〃a,所以b'_Lc。這樣在平面p內，經過直

線上同一點就有兩條直線，〃與垂直，顯然不可能，因此。

歸納（直線與平面垂直的性質）：垂直于同一平面的兩條直線平行。

說明：可以由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行，性質定理揭示了“平行”與

“垂直”之間的內在聯系。V

（三）課堂練習：課本，練習、。

、如圖，在三棱錐一中，，，求證：±?I

、過三角形所在平面a外一點，作，a,垂足為，連接，，。

（）若，2°,則點是邊的點。

()若，則點是三角形的心。

()若，，±,±,則點是三角形的心。

(四)歸納小結:

()獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程。

()直線與平面垂直的判定定理，體現的數學思想方法是什么？

(五)課后作業：

、正方體一中，求證：

、如圖，已知J_平面，_L,、分別為、的中點，求證：J_平面。

、如圖，已知_L矩形所在的平面，、分別是'的中點，求證：±o

教學反思：

三垂線定理

授課類型：新授課授課時間：第周年月日(星期)

一、教學目標

、知識與技能：理解三垂線定理及其逆定理的證明，準確把握“空間三線”垂直關系的

實質；掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。

、過程與方法：通過三垂線定理的證明及應用，體會空間線線、線面垂直關系的轉化。

、情感態度與價值觀：培養學生的觀察、猜想和論證能力；