2025屆安徽省皖南地區高一數學第二學期期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的值等于（）A． B． C． D．2．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元3．設，,則的值可表示為（）A． B． C． D．4．在中，，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．某學生用隨機模擬的方法推算圓周率的近似值，在邊長為的正方形內有一內切圓，向正方形內隨機投入粒芝麻，（假定這些芝麻全部落入該正方形中）發現有粒芝麻落入圓內，則該學生得到圓周率的近似值為（）A． B． C． D．6．在下列結論中，正確的為（）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量與向量的長度相等C．向量就是有向線段D．零向量是沒有方向的7．已知數列的前項為和，且，則（）A．5 B． C． D．98．集合，，則（）A． B．C． D．9．等比數列的前項和為，，且成等差數列，則等于()A． B． C． D．10．在公比為2的等比數列中，，則等于（）A．4 B．8 C．12 D．24二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列是等比數列，若，，則公比________.12．如圖，海岸線上有相距海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西，與A相距海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與B相距海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為海里，兩艘輪船之間的距離為海里．13．如圖1，動點在以為圓心，半徑為1米的圓周上運動，從最低點開始計時，用時4分鐘逆時針勻速旋轉一圈后停止.設點的縱坐標（米）關于時間（分）的函數為，則該函數的圖像大致為________.（請注明關鍵點）14．如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數．現從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為．15．不等式的解為_______．16．已知x、y、z∈R,且，則的最小值為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱臺中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，E為DC中點．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求三棱錐的高．（注：棱臺的兩底面相似）18．某種筆記本的單價是5元，買個筆記本需要y元，試用函數的三種表示法表示函數.19．學生會有共名同學,其中名男生名女生,現從中隨機選出名代表發言.求：同學被選中的概率；至少有名女同學被選中的概率.20．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集為，求不等式的解集.21．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若D為BC邊上一點，，求DC的長度．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據特殊角的三角函數值，得到答案.【詳解】.故選C項.【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，屬于簡單題.2、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．3、A【解析】

由，可得到，然后根據反余弦函數的圖象與性質即可得到答案.【詳解】因為，所以，則.故選：A【點睛】本題主要考查反余弦函數的運用，熟練掌握反余弦函數的概念及性質是解決本題的關鍵.4、D【解析】

先由可得，然后利用與三角函數的和差公式可推出，從而得到是直角三角形【詳解】因為，所以所以因為所以即所以所以因為，所以因為，所以，即是直角三角形故選：D【點睛】要判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要有以下兩條途徑：①角化邊：把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得到邊的對應關系，從而判斷三角形形狀，②邊化角：把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.5、B【解析】

由落入圓內的芝麻數占落入正方形區域內的芝麻數的比例等于圓的面積與正方形的面積比相等，列等式求出的近似值.【詳解】邊長為的正方形內有一內切圓的半徑為，圓的面積為，正方形的面積為，由幾何概型的概率公式可得，得，因此，該學生得到圓周率的近似值為，故選：B.【點睛】本題考查利用隨機模擬思想求圓周率的近似值，解題的關鍵就是利用概率相等結合幾何概型的概率公式列等式求解，考查計算能力，屬于基礎題.6、B【解析】

逐一分析選項，得到答案.【詳解】A.單位向量的方向任意，所以當起點相同時，終點在以起點為圓心的單位圓上，終點不一定相同，所以選項不正確；B.向量與向量是相反向量，方向相反，長度相等，所以選項正確；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向線段表示，但不能說向量就是有向線段，所以選項不正確；D.規定零向量的方向任意，而不是沒有方向，所以選項不正確.故選B.【點睛】本題考查了向量的基本概念，屬于基礎題型.7、D【解析】

先根據已知求出數列的通項，再求解.【詳解】當時，，可得；當且時，，得，故數列為等比數列，首項為4，公比為2.所以所以.故選D【點睛】本題主要考查項和公式求數列通項，考查等比數列的通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.8、B【解析】

求出中不等式的解集確定出，找出與的交集即可．【詳解】解：由中不等式變形得：，解得：，即，，，故選：．【點睛】本題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵，屬于基礎題．9、A【解析】

根據等差中項的性質列方程，并轉化為的形式，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】由于成等差數列，故，即，所以，，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查等差中項的性質，考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題.10、D【解析】

由等比數列的性質可得，可求出，則答案可求解.【詳解】等比數列的公比為2，由，即，所以舍所以故選：D【點睛】本題考查等比數列的性質和通項公式的應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等比數列的通項公式即可得出．【詳解】∵數列是等比數列，若，，則，解得，即.故答案為：【點睛】本題考查了等比數列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題．12、5,【解析】

為等邊三角形，所以算出，,再在中根據余弦定理易得CD的長．【詳解】因為為等邊三角形，所以．在中根據余弦定理解得．【點睛】此題考查余弦定理的實際應用，關鍵點通過已知條件轉換為數學模型再通過余弦定理求解即可，屬于較易題目．13、【解析】

根據題意先得出，再畫圖．【詳解】解：設，，，，，則當時，處于最低點，則，，可畫圖為：故答案為：【點睛】本題考查了三角模型的實際應用，關鍵是根據題意建立函數模型，屬中檔題．14、．【解析】試題分析：從中任取3個不同的數，有，，，，，，，，，共10種，其中只有為勾股數，故這3個數構成一組勾股數的概率為．考點：用列舉法求隨機事件的概率．15、【解析】

把不等式轉化為，即可求解．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得．即不等式的解為故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、【解析】試題分析：由柯西不等式，，因為.所以，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.考點：柯西不等式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】

（1）連結，可證四邊形為平行四邊形，故可證平面；（2）連結BD，在中運用余弦定理可得：，利用勾股定理和線面垂直的性質，可得平面，因此可證；（3）根據題意，不難求，再利用即可求三棱錐的高．【詳解】（1）證明：連結，因為為四棱臺，所以，又因為四邊形ABCD為平行四邊形，，，所以，又，且，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）證明：連結BD，在中運用余弦定理可得：，∴由勾股定理逆定理得，即．又平面ABCD，，平面，所以．（3）在中，，，，所以，故．由（1）知，由（2）知，，所以．在中，由勾股定理得，在中，由，可得，設O為DB的中點，連結，則，且，又，所以，由勾股定理得，在中，因為，，，所以，即，故，設所求棱錐的高為h，則，所以．【點睛】本題考查線面平行、線線垂直的證明，棱錐的高，考查了三棱錐體積計算公式，利用體積轉化法求高，屬于中等題.18、見解析.【解析】

根據定義域，分別利用解析法，列表法，圖像法表示即可.【詳解】解：這個函數的定義域是數集.用解析法可將函數表示為，.用列表法可將函數表示為筆記本數12345錢數510152025用圖象法可將函數表示為：【點睛】本題考查函數的表示方法，注意函數的定義域，是基礎題.19、（1）（2）【解析】

(1)用列舉法列出所有基本事件,得到基本事件的總數和同學被選中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用對立事件的概率公式即可求得.【詳解】解：選兩名代表發言一共有,,共種情況,其中.被選中的情況是共種.所以被選中的概本為.不妨設四位同學為男同學,則沒有女同學被選中的情況是:共種,則至少有一名女同學被選中的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式和對立事件的概率公式,屬基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合，再求交集即可；（2）由待定系數法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因為集合，集合，即；（2）由不等式的解集為