內蒙自治區烏蘭察布市集寧二中2025屆高一下數學期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知非零向量、，“函數為偶函數”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件2．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側面積（單位：cm2）為（）A．48 B．64 C．120 D．803．將的圖象向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的圖象，若，則（）A． B． C． D．4．函數的圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．5．在等差數列an中，若a3+A．6 B．7 C．8 D．96．從裝有紅球和綠球的口袋內任取2個球(其中紅球和綠球都多于2個)，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個紅球，至少有一個綠球B．恰有一個紅球，恰有兩個綠球C．至少有一個紅球，都是紅球D．至少有一個紅球，都是綠球7．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．8．三角函數是刻畫客觀世界周期性變化規律的數學模型，單位圓定義法是任意角的三角函數常用的定義方法，是以角度（數學上最常用弧度制）為自變量，任意角的終邊與單位圓交點坐標為因變量的函數.平面直角坐標系中的單位圓指的是平面直角坐標系上，以原點為圓心，半徑為單位長度的圓.問題：已知角的終邊與單位圓的交點為，則（）A． B． C． D．9．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形10．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發獎金投入，若該公司年全年投入研發獎金萬元，在此基礎上，每年投入的研發獎金比上一年增長，則該公司全年投入的研發獎金開始超過萬元的年份是（）（參考數據：，，）A．年 B．年 C．年 D．年二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．與30°角終邊相同的角_____________.12．已知數列滿足，，則______．13．若角的終邊經過點，則的值為________14．已知實數，滿足不等式組，則的最大值為_______.15．函數，的反函數為__________．16．已知數列前項和，則該數列的通項公式______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫單位：有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份每天的最高氣溫數據，得到下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）18．近年來，我國自主研發的長征系列火箭的頻頻發射成功，標志著我國在該領域已逐步達到世界一流水平.火箭推進劑的質量為，去除推進劑后的火箭有效載荷質量為，火箭的飛行速度為，初始速度為，已知其關系式為齊奧爾科夫斯基公式：，其中是火箭發動機噴流相對火箭的速度，假設，，，是以為底的自然對數，，.（1）如果希望火箭飛行速度分別達到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度時，求的值（精確到小數點后面1位）.（2）如果希望達到，但火箭起飛質量最大值為，請問的最小值為多少（精確到小數點后面1位）？由此指出其實際意義.19．已知向量，滿足，，且.（1）求;（2）在中，若，，求.20．已知函數，(1)求的值；(2)求的單調遞增區間.21．已知數列和滿足：，，，，且是以q為公比的等比數列．（1）求證：；（2）若，試判斷是否為等比數列，并說明理由．（3）求和：．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據，求出向量的關系，再利用必要條件和充分條件的定義，即可判定，得到答案．【詳解】由題意，函數，又為偶函數，所以，則，即，可得，所以，若，則，所以，則，所以函數是偶函數，所以“函數為偶函數”是“”的充要條件．故選C．【點睛】本題主要考查了向量的數量積的運算，函數奇偶性的定義及其判定，以及充分條件和必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、D【解析】

先還原幾何體，再根據錐體側面積公式求結果.【詳解】幾何體為一個正四棱錐，底面為邊長為8的正方體，側面為等腰三角形，底邊上的高為5，因此四棱錐的側面積為，選D.【點睛】解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．3、D【解析】因為，所以，因此，選D.點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.4、A【解析】

由,得，,故選A.5、C【解析】

通過等差數列的性質可得答案.【詳解】因為a3+a9=17【點睛】本題主要考查等差數列的性質，難度不大.6、B【解析】由于從口袋中任取2個球有三個事件，恰有一個紅球，恰有兩個綠球,一紅球和一綠球.所以恰有一個紅球，恰有兩個綠球是互斥而不對立的兩個事件.因而應選B.7、B【解析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【詳解】因為，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因為為第Ⅱ象限角即，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【點睛】本題主要考查二倍角公式的應用以及象限角的集合應用．8、A【解析】

先求出和的值，再根據誘導公式即可得解.【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點為，所以，，則.故選：A.【點睛】本題考查任意角三角函數值的求法，考查誘導公式的應用，屬于基礎題,9、D【解析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗符合題意，可判斷三角形形狀．【詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當時，，無意義.當時，，此時為正三角形.故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據三角公式求出角是解題的基本方法．10、B【解析】試題分析：設從2015年開始第年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，故選B.【考點】增長率問題，常用對數的應用【名師點睛】本題考查等比數列的實際應用．在實際問題中平均增長率問題可以看作等比數列的應用，解題時要注意把哪個數作為數列的首項，然后根據等比數列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據終邊相同的角的定義可得答案.【詳解】與30°角終邊相同的角，故答案為：【點睛】本題考查了終邊相同的角的定義，屬于基礎題.12、1023【解析】

根據等比數列的定義以及前項和公式即可．【詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數列，所以【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和：屬于基礎題．13、.【解析】

根據三角函數的定義求出的值，然后利用反三角函數的定義得出的值.【詳解】由三角函數的定義可得，，故答案為.【點睛】本題考查三角函數的定義以及反三角函數的定義，解本題的關鍵就是利用三角函數的定義求出的值，考查計算能力，屬于基礎題.14、2【解析】

作出不等式組表示的平面區域，根據目標函數的幾何意義，結合圖象，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區域，如圖所示，又由，即表示平面區域內任一點與點之間連線的斜率，顯然直線的斜率最大，又由，解得，則，所以的最大值為2.【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．15、【解析】

將函數變形為的形式，然后得到反函數，注意定義域.【詳解】因為，所以，則反函數為：且.【點睛】本題考查反三角函數的知識，難度較易.給定定義域的時候，要注意函數定義域.16、【解析】

由，n≥2時，兩式相減，可得{an}的通項公式；【詳解】∵Sn＝2n2（n∈N*），∴n＝1時，a1＝S1＝2；n≥2時，an＝Sn﹣＝4n﹣2，a1＝2也滿足上式，∴an＝4n﹣2故答案為【點睛】本題考查數列的遞推式，考查數列的通項，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）460元.【解析】

（1）根據表中的數據，求得最高氣溫位于區間和最高氣溫低于20的天數，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【詳解】（1）根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區間和最高氣溫低于20的天數為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率．（2）當溫度大于等于時，需求量為500瓶，利潤為：元，當溫度在時，需求量為300瓶，利潤為：元，當溫度低于時，需求量為200瓶，利潤為：元，平均利潤為【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及概率的實際應用，其中解答中認真審題，熟練應用古典概型及其概率的計算公式，以及平均利潤的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．18、（1）（2）見解析【解析】

（1）弄清題意，將相關數據代入齊奧爾科夫斯基公式：，即可得出各個等級的速度對應的的值；（2）弄清題意與相關名詞，火箭起飛質量即為，將公式變形，分離出，解不等式即可得，的最小值為.【詳解】（1）由題意可得，，，且，，當達到第一宇宙速度時，有，；當達到第二宇宙速度時，有，；當達到第三宇宙速度時，有，.（2）因為希望達到，但火箭起飛質量最大值為，，，即，得，的最小值為比較（1）中當達到第三宇宙速度時，；火箭起飛質量為，此時，達到，但火箭起飛質量最大值為，的最小值為.由以上說明實際意義為：不是火箭的推進劑質量越大，火箭達到的速度越大，當減少推進劑質量，增大火箭發動機噴流相對火箭的速度，同樣可以達到想要的速度.【點睛】本題是一個典型的數學模型的應用問題，用數學的知識解決實際問題，這類題目關鍵是弄清題意；建立適當的函數模型進行解答．屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

（1）將展開得到答案.（2），平方計算得到答案.【詳解】解：（1）因為所以，，所以，，又夾角在上，∴；（2）因為，所以，，所以，邊的長度為.【點睛】本題考查了向量的夾角，向量的加減計算，意在考查學生的計算能力.20、（1）（2）【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數化為，(1)將代入，利用特殊角的三角函數可得的值；(2)利用正弦函數的單調性解不等式，可得到函數的遞增區間.詳解：（Ⅰ）===（Ⅱ）由題可得，函數的單調遞增區間是點睛：本題主要考查三角函數的單調性、三角函數的恒等變換，屬于中檔題.函數的單調區間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個整體，由求得函數的減區間，求得增區間；②若,則利用誘導公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或根據復合函數的單調性規律進行求解；(2)圖象法：