課時分層作業(二十)復數的三角表示一、選擇題1．(多選)復數z＝2-2i的三角形式可以是(A．2cosB．2cosC．2cosD．2cos2．復數z＝2cos75°+A．1－i B．1＋iC．1 D．i3．復數z＝3+i1+2i，將復數z對應向量按逆時針方向旋轉π4A．2 B．2iC．1 D．i4．復數sin50°－isin140°的輻角的主值是()A．150° B．40°C．－40° D．320°5．(多選)已知復數z對應的向量為OZ，復數z1＝(－1－3i)z對應的向量為OZ1，復數z2＝14-34iA．將OZ的模擴大為原來的2倍，再逆時針旋轉4π3B．將OZ的模擴大為原來的2倍，再順時針旋轉4π3C．將OZ的模縮小為原來的12，再逆時針旋轉π3D．將OZ的模縮小為原來的12，再順時針旋轉π3二、填空題6．若|z|＝2，argz＝π3，則復數z＝________7．arg-12-8．設(1＋i)z＝i，則復數z的三角形式為________．三、解答題9．設復數z＝(1－3i)5，求z的模和輻角的主值．10．若復數z＝(a＋i)2的輻角的主值是3π2，則實數a的值是(A．1 B．－1C．－2 D．－311．“復數z1，z2的模與輻角分別相等”是“z1＝z2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件12．(多選)下列各角可以作為復數33－3i的輻角的是()A．－π6 B．C．－π3 D．13．設復數2＋i和－3－i的輻角的主值分別是α，β，則tan(α＋β)＝________．14．在復平面內，一個正方形的四個頂點依據逆時針方向依次為Z1，Z2，Z3，O(其中O為原點)．已知點Z2對應的復數z2＝1＋3i，求Z1和Z3分別對應的復數z1，z3．15．在復平面上A，B表示復數為α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，推斷△AOB形態，并證明S△AOB＝12|α|2課時分層作業(二十)1．CD[∵r＝22+-cosθ＝22，sinθ＝－2∴θ可取7π4或－2．B[z＝2＝2[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]＝2(cos45°＋isin45°)＝1＋i．故選B．]3．A[z＝3+i1+2i＝1又將復數z對應的向量按逆時針方向旋轉π4∴旋轉后的向量對應復數(1－i)cos＝(1－i)22+24．D[sin50°－isin140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos320°＋isin320°．]5．AD[因為(－1－3i)z＝2z-＝2zcos4π3＝12z＝12zcos5π6．1＋3i[由題意知，z＝2cosπ3+isinπ7．4π3[復數z＝－12－32i對應的點位于第三象限，且cosθ＝－12，所以8．22cosπ4+isinπ4[∴z＝i1+i＝i1-i＝229．解∵z＝(1－3i)5＝251＝32cos53π＝32cosπ∴復數z的模為32，輻角的主值為π310．B[因為z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝3π所以a2-1=0，a＜11．A[當復數z1，z2的模與輻角分別相等時，確定有z1＝z2，充分性成立；但當z1＝z2時，z1與z2的輻角可以相等，也可以相差2π的整數倍，必要性不成立．綜上，“復數z1，z2的模與輻角分別相等”是“z1＝z2”的充分不必要條件．故選A．]12．AB[依題意得，r＝332+cosθ＝336＝32，復數33－3i對應的點在第四象限，所以arg(33－3i)所以2kπ＋11π6(k∈Z)都可以作為復數33－3i13．1[因為復數2＋i和－3－i的輻角的主值分別是α，β，所以tanα＝12，tanβ＝13，所以tan(α＋β)＝tan14．解依據題意畫出草圖，如圖所示．由復數運算的幾何意義知z1＝12·z2·[cos-π4＋＝22(1＋3i)＝3+12＋3z3＝12·z2·＝22(1＋3i)＝1-3215．解△AOB為等腰直角三角形．證明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，∴βα＝1＋i＝