第2講一元二次方程的實際問題1根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據參系數的性質確定根的范圍；

(3)解與根有關的證明題．

2.一元二次方程根與系數的應用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．【例題精選】例1(2023?漢陽區校級模擬）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個根，則方程的另一個根是_______.例2(2023秋?五華縣期末）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則x1+x2+2x1x2的值為________．【隨堂練習】1．(2023?金平區一模）關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個根為﹣3，則另一根為（）A．1 B．﹣2 C．2 D．32．(2023秋?滄州期末）下列方程中，滿足兩個實數根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5＝0 B．2x2﹣3x﹣5＝0 C．2x2﹣6x+5＝0 D．2x2﹣6x﹣5＝02增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)

【例題精選】例1(2023?晉安區一模）隨著生產技術的進步，某廠生產一件產品的成本從兩年前的100元，下降到現在的64元，求年平均下降率．設年平均下降率為x，通過解方程得到一個根為1.8，則正確的解釋是（）A．年平均下降率為80%，符合題意 B．年平均下降率為18%，符合題意 C．年平均下降率為1.8%，不符合題意 D．年平均下降率為180%，不符合題意【隨堂練習】1．(2023秋?江油市期末）一種藥品原價每盒25元，經過兩次降價后每盒16元，設兩次降價的百分率都為x，則x滿足等式（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．16（1+x）2＝252．(2023?三明模擬）受益于電子商務發展和法治環境改善等多重因素，“快遞業”成為我國經濟的一匹“黑馬”，2016年我國快遞業務量為300億件，2018年快遞量將達到450億件，若設快遞量平均每年增長率為x，則下列方程中，正確的是（）A．300（1+x）＝450 B．300（1+2x）＝450 C．300（1+x）2＝450 D．450（1﹣x）2＝3003．(2023?渝中區校級一模）我市某樓盤準備以每平方10000元的均價對外銷售由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉，房地產開發商對價格經過連續兩次下調后，決定以每平方8100元的均價開盤銷售，則平均每次下調的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%3利潤問題利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

【例題精選】例1(2023秋?龍崗區期末）某超市經銷一種成本為40元/kg的水產品，市場調查發現，按50元/kg銷售，一個月能售出500kg，銷售單位每漲0.1元，月銷售量就減少1kg，針對這種水產品的銷售情況，超市在月成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，請你幫忙算算，銷售單價定為多少？例2(2023秋?澧縣期末）某汽車專賣店經銷某種型號的汽車．已知該型號汽車的進價為15萬元/輛，經銷一段時間后發現：當該型號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛．（1）當售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售利潤為_______萬元；（2）若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價．【隨堂練習】1．(2023秋?清江浦區期末）某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就減少100件．如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優惠，那么這種襯衫應提價多少元？（1）設這種襯衫應提價x元，則這種襯衫的銷售價為________元，銷售量為________件．（2）列方程并完成本題的解答．4其他問題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

【例題精選】例1(2023秋?大渡口區期末）為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉發的方式傳播．他設計了如下的傳播規則：將倡議書發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請n個互不相同的好友轉發，依此類推．已知經過兩輪轉發后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【隨堂練習】1．(2023秋?諸城市期末）如圖，把長40cm，寬30cm的長方形紙板剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計），若折成長方體盒子的表面積是950cm2，則x的值是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm綜合練習一．解答題（共7小題）1．某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪被感染后就會有144臺電腦被感染，每輪感染中平均一臺電腦會感染多少臺電腦？2．社區利用一塊矩形空地建了一個小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）該停車場共有車位64個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；當每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為14400元？3．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該種商品每次降價的百分率；（2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為500m2，那么小道進出口的寬度應為多少米？5．某公司2016年的生產成本是100萬元，由于改進技術，生產成本逐年下降，2018年的生產成本是81萬元，若該公司2017、2018年每年生產成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生產成本下降的百分率；（2）假設2019年該公司生產成本下降的百分率與前兩次相同，請你預測2019年該公司的生產成本．6．如圖，要利用一面墻（墻長為15米）建羊圈，用30米的圍欄圍成兩個大小相同的矩形羊圈，設羊圈的一邊AB為xm，總面積為ym2．（1）求y與x的函數關系式．（2）如果要圍成總面積為63m2的羊圈，AB的長是多少？7．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個小正方形和2個小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm．（紙板的厚度忽略不計）（1）EF＝cm，GH＝cm；（用含x的代數式表示）（2）若折成的長方體盒子底面M的面積為300cm2，求剪掉的小正方形的邊長．第2講一元二次方程的實際問題1根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據參系數的性質確定根的范圍；

(3)解與根有關的證明題．

2.一元二次方程根與系數的應用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程．【例題精選】例1(2023?漢陽區校級模擬）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個根，則方程的另一個根是_______.分析：設另一根為a，直接利用根與系數的關系可得到關于a的方程，則可求得答案．【解答】解：設方程的另一根為a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個根，∴﹣3+a＝4，解得a＝7，故答案為：7．【點評】本題有要考查根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關鍵．例2(2023秋?五華縣期末）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則x1+x2+2x1x2的值為________．分析：先利用根與系數的關系式求得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再整體代入即可求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根∴x1+x2＝﹣＝2，x1x2＝＝﹣1∴x1+x2+2x1x2＝2﹣2＝0．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系．要掌握根與系數的關系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．【隨堂練習】1．(2023?金平區一模）關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個根為﹣3，則另一根為（）A．1 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：設方程x2+kx﹣3＝0的另一個根為a，∵關于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一個根為﹣3，∴由根與系數的關系得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即方程的另一個根為1，故選：A．2．(2023秋?滄州期末）下列方程中，滿足兩個實數根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5＝0 B．2x2﹣3x﹣5＝0 C．2x2﹣6x+5＝0 D．2x2﹣6x﹣5＝0【解答】解：滿足兩個實數根的和等于3的方程是2x2﹣6x﹣5＝0，故選：D．2增長率問題列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數、后來數、增長率或降低率，以及增長或降低的次數之間的數量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數，x為平均降低率，n為降低次數，b為降低后的量.)

【例題精選】例1(2023?晉安區一模）隨著生產技術的進步，某廠生產一件產品的成本從兩年前的100元，下降到現在的64元，求年平均下降率．設年平均下降率為x，通過解方程得到一個根為1.8，則正確的解釋是（）A．年平均下降率為80%，符合題意 B．年平均下降率為18%，符合題意 C．年平均下降率為1.8%，不符合題意 D．年平均下降率為180%，不符合題意分析：等量關系為：2年前的生產成本×（1﹣下降率）2＝現在的生產成本，把相關數值代入計算即可．【解答】解：設年平均下降率為x，則可得：100（1﹣x）2＝64，通過解方程得到一個根為1.8，即x＝1.8＝180%，所以年平均下降率為180%，不符合題意，故選：D．【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵是掌握增長率問題的計算公式：變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2＝b．【隨堂練習】1．(2023秋?江油市期末）一種藥品原價每盒25元，經過兩次降價后每盒16元，設兩次降價的百分率都為x，則x滿足等式（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．16（1+x）2＝25【解答】解：第一次降價后的價格為：25×（1﹣x）；第二次降價后的價格為：25×（1﹣x）2；∵兩次降價后的價格為16元，∴25（1﹣x）2＝16．故選：C．2．(2023?三明模擬）受益于電子商務發展和法治環境改善等多重因素，“快遞業”成為我國經濟的一匹“黑馬”，2016年我國快遞業務量為300億件，2018年快遞量將達到450億件，若設快遞量平均每年增長率為x，則下列方程中，正確的是（）A．300（1+x）＝450 B．300（1+2x）＝450 C．300（1+x）2＝450 D．450（1﹣x）2＝300【解答】解：設快遞量平均每年增長率為x，依題意，得：300（1+x）2＝450．故選：C．3．(2023?渝中區校級一模）我市某樓盤準備以每平方10000元的均價對外銷售由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉，房地產開發商對價格經過連續兩次下調后，決定以每平方8100元的均價開盤銷售，則平均每次下調的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%【解答】解：設平均每次下調的百分率是x，依題意，得：10000（1﹣x）2＝8100，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．故選：C．3利潤問題利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數

【例題精選】例1(2023秋?龍崗區期末）某超市經銷一種成本為40元/kg的水產品，市場調查發現，按50元/kg銷售，一個月能售出500kg，銷售單位每漲0.1元，月銷售量就減少1kg，針對這種水產品的銷售情況，超市在月成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，請你幫忙算算，銷售單價定為多少？分析：先根據銷售利潤＝每件利潤×數量，再設出單價應定為x元，再根據這個等式列出方程，即可求出答案．【解答】解：設銷售單價定為x元，根據題意得：（x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]＝8000．解得：x1＝60，x2＝80當售價為60時，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40＝16000＞10000，所以舍去．當售價為80時，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40＝8000＜10000．答：銷售單價定為80元．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，根據銷售利潤＝每件利潤×數量這個等式列出方程是解決本題的關鍵．例2(2023秋?澧縣期末）某汽車專賣店經銷某種型號的汽車．已知該型號汽車的進價為15萬元/輛，經銷一段時間后發現：當該型號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛．（1）當售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售利潤為_______萬元；（2）若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價．分析：（1）根據銷售價減去進價等于利潤，單件的利潤乘以銷售量即可求解；（2）根據銷售利潤等于單件利潤乘以總銷售量即為總利潤．【解答】（1）根據題意，得（22﹣15）（8+6）＝98．故答案為98．（2）設每輛汽車降價x萬元，則售價為（25﹣x）萬元，根據題意，得（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90整理，得x2﹣6x+5＝0解得x1＝1，x2＝5．為了盡快減少庫存，x＝5，25﹣x＝20．答：每輛汽車的售價為20萬元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解決本題的關鍵是掌握銷售問題的數量關系．【隨堂練習】1．(2023秋?清江浦區期末）某商場銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就減少100件．如果商場銷售這批襯衫要獲利潤12000元，又使顧客獲得更多的優惠，那么這種襯衫應提價多少元？（1）設這種襯衫應提價x元，則這種襯衫的銷售價為________元，銷售量為________件．（2）列方程并完成本題的解答．【解答】解：（1）設這種襯衫應提價x元，則這種襯衫的銷售價為（60+x）元，銷售量為（800﹣x）＝（800﹣20x）件．故答案為（60+x）、（800﹣20x）．（2）根據（1）得：（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．為使顧客獲得更多的優惠，所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．答：這種襯衫應提價10元，則這種襯衫的銷售價為70元，銷售量為600件．4其他問題1.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

2.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

【例題精選】例1(2023秋?大渡口區期末）為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉發的方式傳播．他設計了如下的傳播規則：將倡議書發表在自己的微博上，再邀請n個好友轉發，每個好友轉發之后，又邀請n個互不相同的好友轉發，依此類推．已知經過兩輪轉發后，共有111個人參與了宣傳活動，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12分析：根據傳播規則結合經過兩輪轉發后共有111個人參與了宣傳活動，即可得出關于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：依題意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023秋?諸城市期末）如圖，把長40cm，寬30cm的長方形紙板剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計），若折成長方體盒子的表面積是950cm2，則x的值是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【解答】解：依題意，得：40×30﹣2x2﹣2x?（x+）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合題意，舍去）．故選：D．綜合練習一．解答題（共7小題）1．某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經過兩輪被感染后就會有144臺電腦被感染，每輪感染中平均一臺電腦會感染多少臺電腦？【解答】解：設每輪感染中平均一臺電腦感染x臺，依題意，得：（1+x）2＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一臺電腦感染11臺．2．社區利用一塊矩形空地建了一個小型的惠民停車場，其布局如圖所示．已知停車場的長為52米，寬為28米，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分是等寬的通道．已知鋪花磚的面積為640平方米．（1）求通道的寬是多少米？（2）該停車場共有車位64個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；當每個車位的月租金每上漲10元，就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為14400元？【解答】解：（1）設甬道的寬為x米，根據題意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的寬為6米；（2）設月租金上漲a元，停車場的月租金收入為14400元，根據題意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400（舍去），a2＝40答：每個車位的月租金上漲40元時，停車場的月租金收入為14400元．3．某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該種商品每次降價的百分率；（2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元，問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？【解答】解：（1）設該種商品每次降價的百分率為x%，依題意得：400×（1﹣x%）2＝324，解得：x＝10，或x＝190（舍去）．答：該種商品每次降價的百分率為10%．（2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件，第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；第二次降價后的單件利潤為：324﹣300＝24（元/件）．依題意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．答：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價后至少要售出該種商品23件．4．某公園要在一塊長40m，寬30m的長方形空地上建成一個矩形花園，要求在花園中修三條縱向平行和兩條橫向平行的寬度相同的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，