第四章幾何圖形初步壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地停靠3分鐘．大貨車從B地出發，以5m/s的速度向A地行駛，途經D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數為（）A．2 B．3 C．4 D．52．如果線段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C兩點的距離d的長度為（）A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm3．用折紙的方法，可以直接剪出一個正五邊形(如圖)．方法是：拿一張長方形紙對折，折痕為AB，以AB的中點O為頂點將平角五等分，并沿五等分的線折疊，再沿CD剪開，使展開后的圖形為正五邊形，則∠OCD等于()A．108° B．90° C．72° D．60°4．如圖，點、、在同一直線上，為的中點，為的中點，為的中點，則下列說法：，其中正確的是（）A． B． C． D．5．如圖1，線段表示一條拉直的細線，、兩點在線段上，且，.若先固定點，將折向，使得重疊在上；如圖2，再從圖2的點及與點重疊處一起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比是（

）A． B． C． D．6．一個正方體鋸掉一個角后，頂點的個數是（

）A．7個或8個 B．8個或9個C．7個或8個或9個 D．7個或8個或9個或10個評卷人得分二、填空題7．已知∠AOB＝80°，射線OC在∠AOB內部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射線OE、OF分別平分∠BOC、∠COD，則∠EOF的度數是．8．已知一條射線OA由點O引射線OB，OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，則∠AOC等于．9．如圖，已知∠AOB＝40°，自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC與∠AOB的平分線所成的角的度數為．10．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉至P′Q′，設運動時間為m秒（0≤m≤20），當直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝．評卷人得分三、解答題11．如圖，內部有一射線OC，，與的度數比為，射線從出發，以10度/秒的速度繞點O順時針旋轉，同時射線從出發以20度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當射線與射線重合后，立即以原速逆時針旋轉，當與重合后再次改變方向順時針向旋轉（即在與之間來回擺動），當與重合時，與都停止旋轉．旋轉過程中設旋轉的時間為t秒．(1)時，；(2)當t為何值時，恰好是的平分線；(3)在旋轉的過程中，作的角平分線，是否存在某個時間段，使得的度數保持不變？如果存在，求出的度數，并寫出對應的t的取值范圍；如果不存在，請說明理由．12．已知：如圖1，點A、O、B依次在直線上，現將射線繞點O按順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點O按逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒秒）（1）用含t的代數式表示的度數．（2）在運動過程中，當第二次達到時，求t的值．（3）如果讓射線改變方向，繞點O逆時針方向旋轉，在用時不超過30秒的情況下，用時多少秒，能使得，請直接寫出t的值．13．已知線段，(，為常數，且)，線段在直線上運動(點B，M在點A的右側，點N在點M的右側)．P是線段的中點，Q是線段的中點．(1)如圖①，當點N與點B重合時，求線段的長度(用含a，b的代數式表示)；(2)如圖②，當線段運動到點B，M重合時，求線段，之間的數量關系；(3)當線段運動至點Q在點B的右側時，請你畫圖探究線段，，三者之間的數量關系．14．如圖，射線上有三點、、，滿足，，，點從點出發，沿方向以的速度勻速運動，點從點出發在線段上向點勻速運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點、停止運動.（1）若點運動速度為，經過多長時間、兩點相遇？（2）當時，點運動到的位置恰好是線段的中點，求點的運動速度;（3）設運動時間為，當點運動到線段上時，分別取和的中點、，則____________.15．如圖，線段，，點以的速度從點沿線段向點運動；同時點以從點出發，在線段上做來回往返運動（即沿運動），當點運動到點時，點、都停止運動，設點運動的時間為秒．(1)當時，______；(2)當為何值時，點為線段的中點？(3)若點是線段的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使的長度保持不變？如果存在，求出的長度；如果不存在，請說明理由．

第四章幾何圖形初步壓軸題考點訓練評卷人得分一、單選題1．如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地停靠3分鐘．大貨車從B地出發，以5m/s的速度向A地行駛，途經D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由題意可求出，，，．再根據題意結合速度=路程÷時間討論即可．【詳解】解：由題意可知．∵，∴，，∴，．當大貨車第一次到達D地時，用時，∴此時小車行駛路程為．∵，∴此過程兩車不相遇；當大貨車第一次由D地返回B地，且到達C地的過程中，∵，∴大貨車到達C地用時．假設此過程中兩車相遇，且又經過t秒相遇，則，解得：，即說明大貨車到達C地之前沒相遇；當大貨車繼續由C地返回B地時，∵，∴大貨車到達B地用時．此時大貨車共行駛．∵小車到達C地用時，∴當大貨車到達B地時，小車已經到達C地停靠．∵小車中途在C地停靠3分鐘，即，∴當大貨車到達B地時，小車在C地還需停靠．當大貨車又從B地出發前往D地時，用時，∴當大貨車到達D地時小車還在停靠，即此時第一次相遇，∴此時小車剩余停靠時間，∴當小車出發時，大貨車第二次從D地前往B地行駛了．假設大貨車到達B地前小車能追上大貨車，且用時為，則，解得：，即說明大貨車到達B地前小車沒追上大貨車，∴此過程兩車沒相遇．當大貨車最后由B地前往A地時，小車正在向B地行駛，∴兩車此過程必相遇．綜上可知，兩車相遇的次數為2次．故選A．【點睛】本題考查線段的n等分點，線段的和與差，一元一次方程的實際應用．讀懂題意，列出算式或方程是解題關鍵．2．如果線段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C兩點的距離d的長度為（）A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm【答案】D【詳解】試題分析：①當A，B，C三點在一條直線上時，分點B在A、C之間和點C在A、B之間兩種情況討論；②當A，B，C三點不在一條直線上時，根據三角形三邊關系討論.解：當點A、B、C在同一條直線上時，①點B在A、C之間時：AC=AB+BC=3+1=4；②點C在A、B之間時：AC=AB-BC=3-1=2，當點A、B、C不在同一條直線上時，A、B、C三點組成三角形，根據三角形的三邊關系AB-BC＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，綜上所述，選D.故選D.點睛：本題主要考查點與線段的位置關系..利用分類思想得出所有情況的圖形是解題的關鍵，3．用折紙的方法，可以直接剪出一個正五邊形(如圖)．方法是：拿一張長方形紙對折，折痕為AB，以AB的中點O為頂點將平角五等分，并沿五等分的線折疊，再沿CD剪開，使展開后的圖形為正五邊形，則∠OCD等于()A．108° B．90° C．72° D．60°【答案】B【分析】根據折疊可知∠DOC為36°，根據正五邊形內角為108°可知∠ODC為54°，由三角形內角和為180°即可得.【詳解】由折疊可知周角被平分為10份，所以∠DOC為36°，由正五邊形一個內角為108°，所以∠ODC為108°=54°，所以∠OCD=180°-54°-36°=90°，故選B.【點睛】此題考查了折疊的性質和三角形內角和定理，熟練掌握折疊性質是解本題關鍵.4．如圖，點、、在同一直線上，為的中點，為的中點，為的中點，則下列說法：，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據線段中點的定義和線段的和差分別計算即可.【詳解】①∵H是的中點，∵分別是的中點，.

∴①正確.②由①知∴②錯誤.③∴③正確.④

∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D【點睛】本題主要考查了線段中點的定義，線段的和差.根據線段的和差進行求解是解題的關鍵.5．如圖1，線段表示一條拉直的細線，、兩點在線段上，且，.若先固定點，將折向，使得重疊在上；如圖2，再從圖2的點及與點重疊處一起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的長度，折疊后從點B處剪開得到AB段為2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.【詳解】設OB=3x，則BP=7x，∴OP=OB+BP=10x，∵，∴OA=4x，AP=6x，∴AB=OA-OB=x，將折向，使得重疊在上，再從點重疊處一起剪開，得到的三段分別為：2x、3x、5x，故選：D.【點睛】此題考查線段的和差計算，設未知數分別表示各段的長度使分析更加簡單，注意折疊后AB段的長度應是原AB段的2倍，由此計算即可.6．一個正方體鋸掉一個角后，頂點的個數是（

）A．7個或8個 B．8個或9個C．7個或8個或9個 D．7個或8個或9個或10個【答案】D【詳解】如下圖，一個正方體鋸掉一個角，存在以下四種不同的情形，新的幾何體的頂點個數分別為：7個、8個、9個或10個.故選D.評卷人得分二、填空題7．已知∠AOB＝80°，射線OC在∠AOB內部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射線OE、OF分別平分∠BOC、∠COD，則∠EOF的度數是．【答案】或【分析】先根據題意畫出圖形，再分OD在內和OD在外，根據角的和差關系、角平分線的定義可求的度數．【詳解】（1）如圖1，OD在內，，,，射線OE平分，，射線OF平分，，，；（2）如圖2，OD在外，，,，射線OE平分，，射線OF平分，，，.則的度數是或.故答案為：或.【點睛】本題考查了角的和差關系、角平分線的定義，OD在外的情形易被忽略，從而出現漏解是本題的難點．8．已知一條射線OA由點O引射線OB，OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，則∠AOC等于．【答案】36°或108°【詳解】根據題意畫圖，可知：當OC在∠AOB的外部時，∠AOC=∠AOB+∠BOC=72+36°=108°；當OC在∠AOB的內部，∠AOC=∠AOB-∠BOC=72-36°=36°.故答案為36°或108°.9．如圖，已知∠AOB＝40°，自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB＝2：3，OC與∠AOB的平分線所成的角的度數為．【答案】4°或100°．【分析】由題意∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC的度數，OD是角平分線，可以求得∠AOD的度數，∠COD=∠AOD-∠AOC．【詳解】解：若OC在∠AOB內部，∵∠AOC：∠COB＝2：3，∴設∠AOC＝2x，∠COB＝3x，∵∠AOB＝40°，∴2x+3x＝40°，得x＝8°，∴∠AOC＝2x＝2×8°＝16°，∠COB＝3x＝3×8°＝24°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°﹣16°＝4°．若OC在∠AOB外部，∵∠AOC：∠COB＝2：3，∴設∠AOC＝2x，∠COB＝3x，∵∠AOB＝40°，∴3x﹣2x＝40°，得x＝40°，∴∠AOC＝2x＝2×40°＝80°，∠COB＝3x＝3×40°＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝20°，∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝80°+20°＝100°．∴OC與∠AOB的平分線所成的角的度數為4°或100°．【點睛】本題考查角的計算，結合角平分線的性質分析，當涉及到角的倍分關系時，一般通過設未知數，建立方程進行解決．10．如圖，直線AB⊥OC于點O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一個頂點與點O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，現將三角形EOF以每秒6°的速度繞點O逆時針旋轉至三角形E′OF′，同時直線PQ也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉至P′Q′，設運動時間為m秒（0≤m≤20），當直線P′Q′平分∠E′OF′時，則∠COP′＝．【答案】或【分析】由題意，分兩種情況討論，當平分時，當平分時作出圖形，分別畫出對應圖，對比開始時刻的角度，通過角度的加減計算即可．【詳解】平分，，以每秒的速度繞點O逆時針旋轉，以每秒的速度點O順時針旋轉，①如圖1中，當平分時，解得，②如圖2，當平分時，解得故答案為：或【點睛】本題考查了角度的計算，角平分線的定義，垂直的定義，通過旋轉的速度和時間可得旋轉的角度，對比旋轉之前的圖形是解題的關鍵．評卷人得分三、解答題11．如圖，內部有一射線OC，，與的度數比為，射線從出發，以10度/秒的速度繞點O順時針旋轉，同時射線從出發以20度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當射線與射線重合后，立即以原速逆時針旋轉，當與重合后再次改變方向順時針向旋轉（即在與之間來回擺動），當與重合時，與都停止旋轉．旋轉過程中設旋轉的時間為t秒．(1)時，；(2)當t為何值時，恰好是的平分線；(3)在旋轉的過程中，作的角平分線，是否存在某個時間段，使得的度數保持不變？如果存在，求出的度數，并寫出對應的t的取值范圍；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，時，的度數保持不變，；時，的度數保持不變，【分析】（1）當時，，，故，即得；（2），與的度數比為，知，，故從旋轉到（或從旋轉到需要（秒），從旋轉到需要（秒），當時，；當時，；當時，，解方程可得答案；（3）當時，；當時，；當時，，即可得到答案．【詳解】（1）解：（1）當時，，，，；故答案為：100；（2），與的度數比為，，，從旋轉到或從旋轉到需要（秒），從旋轉到需要（秒），當時，，，恰好是的平分線，，解得；當時，，，恰好是的平分線，，解得（舍去）；當時，，，恰好是的平分線，，解得；綜上所述，當為3或7時，恰好是的平分線；（3）存在某個時間段，使得的度數保持不變，理由如下：當時，，，平分，，，時，的度數保持不變，；當時，，，平分，，，時，的度數隨的改變而改變；當時，，，平分，，，時，的度數保持不變，；綜上所述，時，的度數保持不變，；時，的度數保持不變，．【點睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能應用分類討論思想解決問題．12．已知：如圖1，點A、O、B依次在直線上，現將射線繞點O按順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點O按逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖2，設旋轉時間為t（0秒秒）（1）用含t的代數式表示的度數．（2）在運動過程中，當第二次達到時，求t的值．（3）如果讓射線改變方向，繞點O逆時針方向旋轉，在用時不超過30秒的情況下，用時多少秒，能使得，請直接寫出t的值．【答案】（1）當0≤t≤9時，∠MOA＝20t，當9＜t≤18時，∠MOA＝360°-20t，當18＜t≤27時，∠MOA＝20t-360°，當27＜t≤30時，∠MOA＝；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5【分析】（1）分四種情況，分別求出∠MOA的度數，即可；（2）當∠AOB第二次達到120°時，射線OB在OA的左側，∠AOM與∠BON重疊部分為∠AOB，故有等量關系∠MOA＋∠NOB?∠AOB＝180°，列方程求解可得t．（3）OA、OB都是逆時針旋轉，可理解為初始路程差為180°的追及問題：當∠AOB第一次達到30°時，即OB差30°追上OA，路程差為（180?30）°，即40t?20t＝180?30；第二次達到30°時，即OB追上OA且超過30°，路程差為（180＋30）°；第三次達到30°時，OB再走一圈差30°追上OA，路程差為（180＋360?30）°；第四次達到30°時，OB再次追上且超過30°，路程差為（180＋360＋30）°，此時求出的t已接近30，故不需再求第五次．【詳解】解：（1）當0≤t≤9時，∠MOA＝20t，當9＜t≤18時，∠MOA＝360°-20t，當18＜t≤27時，∠MOA＝20t-360°，當27＜t≤30時，∠MOA＝，（2）當∠AOB第二次達到120°時，如圖1，得：∠MOA＋∠NOB?∠AOB＝180°∴20t＋40t?120＝180，解得t＝5；（3）如圖2，當∠AOB第一次達到30°時，OB比OA多轉了（180?30）°，得：40t?20t＝180?30解得：t＝7.5如圖3，當∠AOB第二次達到30°時，OB比OA多轉了（180＋30）°，得：40t?20t＝180＋30解得：t＝10.5當∠AOB第三次達到30°時，OB比OA多轉了（180＋360?30）°，得：40t?20t＝180＋360?30解得：t＝25.5當∠AOB第四次達到30°時，OB比OA多轉了（180＋360＋30）°，得：40t?20t＝180＋360＋30解得：t＝28.5綜上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5時，∠AOB＝30°．【點睛】本題考查了角度計算，一元一次方程的應用．第（3）題轉化為追及問題來思考，可把每次∠AOB達到30°的分類計算方法更統一且好理解．13．已知線段，(，為常數，且)，線段在直線上運動(點B，M在點A的右側，點N在點M的右側)．P是線段的中點，Q是線段的中點．(1)如圖①，當點N與點B重合時，求線段的長度(用含a，b的代數式表示)；(2)如圖②，當線段運動到點B，M重合時，求線段，之間的數量關系；(3)當線段運動至點Q在點B的右側時，請你畫圖探究線段，，三者之間的數量關系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據題意表示出和的長度，然后即可求出；（2）根據題意表示出和的長度，再表示出和的長度，即可發現和之間的數量關系；（3）分兩種情況討論：①點M在點B的左側，②點M在點B的右側．表示出和，即可發現，，三者之間的數量關系．【詳解】（1）因為P是線段的中點，Q是線段的中點，所以，，∴．（2）因為P是線段的中點，Q是線段的中點，所以，，因為，所以，因為，所以．（3）如圖①，當點M在點B的左側時，，所以；如圖②，當點M在點B的右側時，，所以．綜上所述，或．【點睛】本題考查了線段的和差問題，動點問題，畫好線段圖，分類討論是解題的關鍵．14．如圖，射線上有三點、、，滿足，，，點從點出發，沿方向以的速度勻速運動，點從點出發在線段上向點勻速運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點、停止運動.（1）若點運動速度為，經過多長時間、兩點相遇？（2）當時，點運動到的位置恰好是線段的中點，求點的運動速度;（3）設運動時間為，當點運動到線段上時，分別取和的中點、，則____________.【答案】（1）經過，、兩點相遇（2）答案不唯一，具體見解析（3）【分析】（1）設經過t秒時間P、Q兩點相遇，根據OP+CQ=OA+AB+AC列出方程即可解決問題；（2）分兩種情形求解即可；（3）用t表示AP、EF的長，代入化簡即可解決問題；【詳解】（1）設運動時間為，則，；所以經過，、兩點相遇（2）當點在線段上時，如下圖,AP+PB=60,∴AP=40,OP=50,∴P用時50s,∵Q是OB中點,∴CQ=50,點的運動速度為；當點在線段的延長線上時，如下圖,AP=2PB,∴AP=1