3.1.2用二分法求方程的近似解

教學設計（一）

學習準備

教師需要明了：

1.新教材為什么增加求方程的近似解？

2.為什么用“二分法”求方程的近似解？

3.本節內容在教材中的地位和作用.

4.明確學生現有的水平和可能的發展水平.

學生需要復習：方程的根與函數的零點的相關知識.

在此基礎上，根據學生“最近發展區”確定本課時教學和學習目標.

教學目標

1.了解二分法是求方程近似解的一種方法.

2.會用二分法求給定精確度的方程的近似解.

3.在具體問題情境中感受逐步逼近的過程.

4.培養學生觀察、分析數據的能力.

5.培養學生合作與交流的意識和對新知探求的精神.

教學重點與難點

重點：二分.法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解.

難點：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解.

教學方法與教學手段

教學方法：“問題驅動”，啟發、探究

學法：自主探究、分組合作、辨析討論、深化理解

教輔工具：計算機、投影儀、計算器

教學過程

1.設置情境，提出問題

問題1：你會求哪些類型方程的解？

寫一寫你不會求解的方程.

設計意圖

讓學生感受有大量的方程不，能求解，引起學生的認知沖突，激發學生的求知欲.

問題2：能不能求方程的近似解?

2.自主探究，獲得新知

以求方程/+3%—1=0的近似解(精確度0.1)為例進行探究.

探究1：怎樣確定解所在的區間？

(1)圖象法(數形結合)：

(2)試值法：

設犬x)=V+3x—l,/0)=-1<0,y(l)=3>0.

復習：(1)方程的根與函數零點的關系；

(2)根的存在性定理.

探究2：怎樣縮小解所在的區間？

幸運52中猜商品價格環節，讓學生思考：

(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的價格？

設計意圖

在學生“最近發展區”設置問題，搭建平臺，拉近數學與現實的距離，不僅激發學.生

學習興趣，學生也在猜測的過程中逐步體會二分法思想.

問題3：為什么要取中點，好處是什么？

設計意圖

體會二分法優于其他如“三分法”，“四分法”，華羅庚的“優選法”等.

探究3：區間縮小到什么程度滿足要求？

設計意圖

利用計算器進行了多次計算，逐步縮小實數解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然,

突破了教學上的難點，提高了探究活動的有效性.

問題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？

通過對以上問題的探究，給出二分法的定義就水到渠成了.

二分法的定義：

對于在區間［a,加上連續不斷且滿足/(a)7(b)＜0的函數y=/(x),通過不斷地把函數/(x)

的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法

叫做二分法.

用二分法求零點近似值的步驟：

給定精確度￡,用二分法求函數段)的零點近似值的步驟如下：

(1)確定區間［a,b］,驗證。a)7(b)＜：0,給定精確度￡;

(2)求區間(a,6)的中點c；

(3)計算的＞；

①若7(c)=0,則c,就是函數的零點；

②若1a)7(c)vo,則令6=c(此時零點xoW(a,c))；

③若＜’)次力＜0,則令a=c(此時零點x()G(c,b)).

(4)判斷是否達到精確度e：

即若|a—臼〈心則得到零點近似值。(或勿：否則重復步驟(2)?(4).

3.例題剖析，鞏固新知

【例】借助計算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近.似解(精確度0.01).

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結果；學生講解縮小區間的方法和過程，教師

點評.同時演示用Excel程序求方程的近似解.

設計意圖

(1)演示Excel程序求方程的近似解，界畫活潑，充分體現了信息技術與教學課程有機整

合.進一步明確為什么用“二分法”求方程的近似解.(2)算法流程比較簡潔，便.于編寫計

算機程序，利用計算器和多媒體輔助教學，直觀明了.

4.知識遷移，生活應用

(1)猜商品價格；

(2)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接點發生故障，需及時修理，

為了盡快斷定故障發生點，一般至少需要檢查接點的個數為.

5.檢驗成果，鞏固提升

(1)下列函數的圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求其零點的是()

ABCD

思維升華：在零點的附近連續且式。)皿與＜0.

(2)方程4，+2x—11=0的解在下列哪個區間內？你能給出一個滿足精確度為0.1的近似

解嗎？

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

說明：二分法不僅能求方程的近似解，有時也能求方程的精確解.

6.回顧反思

本節課你學到了哪些知識？有哪些收獲？還有什么疑問？

(1)預設課堂生成問題(有些同學可能會有這樣的疑惑，若沒有就作為課下拓展留給學生

思考).

如圖所示，區間m，加上有多個零點，還能否用二分法求方程的近似解？如果能，該怎

樣做？

(2)學生課堂生成新問題(不同的班級可能會有不同的問題，具體問題具體解決).

課外作業

1.書面作業

⑴習題3.1A組3,4,5；

⑵求2、+3x=7的近似解(精確度0.1).

2.知識鏈接閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

板書設計

課題：(投影顯示)

1.提出問題：

2.自主探究：

3.抽象概括：

4.鞏固練習：

5.歸納總結：

教學反思

1.注重學生參與知識的形成過程；

2”注重培養學生的應用意識；

3.恰當地利用現代信息技術.

教學設計（二）

作者：馮紅果，泉州市第七中學教師.本教學設計獲福,建省教學設計大賽一等獎.

整體設計

教學內容分析

本節選自《普通高中課程標準實驗教科書?數學1》人教A版第三章第一節第二課，主

要是分析函數與方程的關系.教材分三步來進行：第一步，從學生認為較簡單的一元二次方

程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應函數的零點的聯

系.然后推廣為一般方程與相應函數的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，

通過函數圖象和性質來研究方程的解，體現方程和函數的關系；第三步，在函數模型的應用

過程中，通過函數模型以及模型的求解，更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數

與方程的聯系.

本節課是這一小節的第二節課，即用二分法求方程的近似解.它以上節課的“連續函數

的零點存在定理”為確定方程解所在區間的依據，從求方程近似解這個側面來體現“方程與

函數的關系”：而且在“用二分法求函數零點的步驟”中滲透了算法的思想，為學生后續學

習算法的內容埋下伏筆；充分體現新課程“滲透算學方法，關注數學文化以及重視信息技術

應用”的理念.求方程近似解其中隱含“逼進”的數學思想，并且運用“二分法”來逼近目

標是一種普通而有效的方法，其關鍵是逼近的依據.

學生學習情況分析

同學們有了第一節課的基礎，對函數的零點具備基本的認識；而二分法來自生活，是由

生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發學生的學習興趣，達到滲透數學思想關注

數學文化的目的，學生也能夠很容易理解這種方法.其中運用“二分法”進行區間縮小的依

據、總結出“運用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運用到生活實際，是需要

學生“跳跳”才能摘到的“桃子”.

設計理念

本節課倡導積極主動、勇于探索的學習方式，應用從生活實際——理論——實際應用的

過程，應用數形結合、圖表、信息技術，采用教師引導——學生探索相結合的教學方法，注

重提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生經歷直觀感知、觀察發現、抽象

與概括、符號表示、運算求解、數據處理、反思與建構等思維過程.

教學目標

1.理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法；利用信息技術輔助

教學，讓學生用計算器自己驗證求方程近似值的過程；

2.體會二分法的思想和方法，使學生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學

生能夠了解近似逼近思想，培養學生探究問題的能力和創新能力，以及嚴謹的科學態度；

3.體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法；感受正面解決問題困難時，通

過迂回的方法使問題得到解決的快樂.

教學重點與難點

教學重點：能夠借用計算器用二分法求相應方程的近似解，根所在區間的確定及逼近的

思想.

教學難點：對二分法的理論支撐的理解，區間長度的縮小.

教學過程

教學基本流程圖

教學情境設計

教學設計學情預設設計意圖知識鏈接

創71.教師從學生熟悉的電視1.利用視屏與游戲

看商品W

設猜價格節目，引導學生體會、分析、歸的形式，學生會踴躍參

點擊將有

情納迅速猜價的方法.與：商品價格競猜也是學

學生能夠主動參與游戲，生熟悉的，競猜的方法會

境配舍:/#2.

并且參與游戲的同學可以比較很多樣，可以進行競賽.

和體:li鈍

引并總結經驗.學生會有很多種方2.通過問題2,啟發

出1.大家都看過《幸運52》吧,案.學生尋找確定區間的依

課今天咱也試一回（出示游戲）.3.對于“問題2”學生能夠據，為后面探索“用二分

題2.競猜中，“高了”、“低順利地得出“主持人的“高了，法求方程近似解”的時

了”的含義是什么？如何確定價低了”的回答是判斷價格所在候埋下伏筆.

格的最可能的范圍？區間的依據”這個結論.3.通過游戲，讓學

3.如何才能更快地猜中商品4.此時教師通過“問題3”生經歷游戲過程，感受數

的預定價格？引導學生進行比較哪種方法更學來自生活，激發學生的

4.“二分”的思路是什么快？更好.從中學生可以得到用二學習興趣；引導學生善于

分法解決問題的思路——二分發現身邊的數學，培養學

指的是將解所在區間平均地分生的歸納演繹的能力；學

為兩個區間.會將實際情境轉化為數

學模型.

4.通過比較不同的

方法得出最快的競猜的

方法一二分法.

1.教師通過“問題1”對上［設計意圖］

節課的內容進行復習引入，點出1.開門見山，延續

今天的課題.并且有刖面游戲作上一節課的內容繼續深

為伏筆，學生能夠得出“連續函入地研究，使得知識有一

數零點存在定理”是判斷方程個鏈接，讓學生能夠很容

1.上節課我們學了什么定

的根所在區間的依據.易地將新知識建構到舊

理，它的作用是什么？還有什么

2.通過“問題2”應用具體的知識體系中.

問題沒有解決？

的題目引導學生進行思考.學生2.運用問題1,將學

2.已知函數火x)=1nx+2x—

通過引導將方程的解與商品的生的思路與前面已解決

6在區間(2,3)內存在一個零點；如

價格聯系到一起，運用剛才的游的問題聯系起來，引導學

何求出方程Inx+2x-6=0在區

戲的經驗，得到縮小區間的想生層層深入，抽絲撥繭，

間(2,3)的近似解(精確度為

師法.學習如何分析問題、如何

0.01)?與剛才的游戲是否有類似

生3.學生對精確度的概念可利用新的知識解決問題；

之處？

探能有所遺忘.教師可以借助數軸培養學生分析問題、解決

3.精確度的含義是什么？怎

究解釋說明精確度的含義，引導學問題的能力，以及運用知

樣的區間才算滿足設定的精確

生思考什么時候停止操作.識、駕馭知識的能力.

度？

構4.教師通過''問題4?6”3.師生的互動有利

4.區間(2,3)的精確度為多

建引導學生將“二分法”與“零于一邊引導一邊總結.將

少？

新點存在定理”相結合得到正確二分法應用于解決實際

5.如何將零點所在的范圍縮

知的新的零點所在的區間.并確定問題，即將新的知識應用

小(即

結束的時間.于解決新的問題.培養學

如何將精確度縮小)？縮小的

5.學生按照游戲的方法也生實際應用的

依據是什么？

就是按照“二分法”的思路，不能力，加強解決問題

6.如何利用今天“猜價

斷縮小零點存在的區間，進行具的嚴謹性，總結知識的邏

格”--“二分法”的逼近思想

體操作，填出(附錄1)中的表輯性.使得最后方法的總

來縮小區間？

格.表格剛開始的前幾行學生可結能夠順利進行.

7.近似解是多少？

能會比較慢，也有可能會出錯；4.有了前面的商品

通過多次的重復以及經驗的總競猜過程的經歷，學生比

結，后面的表格可以正確地、快較容易入手，分析比較容

速地回答出來；使得最后的“應易到位，從而降低思維的

用二分法求函數的零點”的方難度.

法的總結更加順利.［知識鏈接］

6.對于“問題7"學生不太1.函數零點存在定

容易得到比較簡潔的結論.教師理：如果函數在區

可以進行解釋說明：“由于整個間［a,句上的圖象是連續

區間內的數均滿足精確度的條不斷的一條曲線，并且有

件，因此區間內的所有數均可以那么，函數

作為近似解，但區間端點a,by=/(x)在區間(“，/內有

是已知的值，所以可以取a或b零點，即存在cW(a,b),

作為近似解.”，最后得到方程使得xc)=0,這個c?也就

的近似解(附錄1的表格后面的是方程式x)=0的根.

內容).2.精確度是對同一

個量的不同近似數的精

確程度的度量.一般是：

一個近似數，四舍五入到

哪一位,就說這個近似數

精確到哪一位.

形學生經過老師“問題1?［設計意圖］

1.我們剛才的求解過程中有

成2”的提示與引導，可以得到1.不斷的引導,將

哪些過程是一直重復出現的？

概“取區間的中點，計算函數值，剛才的解題過程經過

2.我們取其一段，大家看如

念比較符號，確定新的區間”這樣“自然語言——數學語

何用數學語言來描述？的相同的過程.言——去其糟粕取其精

深3.點明求方程的近似解的學生根據“二分法”的定華一具體步驟”的過

化“二分法”：對于在區間3,力義進行歸納總結：運用二分法求程，幫助學生學會歸納總

提上連續不斷、且式（份＜0的函方程的近似解的步驟（附錄2）.其結的方法.

高數y=Ax）,通過不斷地把方程的中步驟①“畫圖或利用函數值2.課間的及時總結

解所在的區間一分為二，使區間的正負，確定初始區間3，b）,有利于學生對當前所學

的兩個端點逐步逼近近似解，進驗證犬4求份〈0"；學生很有可的內容進行升華，了解自

而得到近似解的方法叫二分法.能會有遺漏.此時可以提出“問己掌握了什么知識，在后

題5”引導學生回憶、思考，從面的做題中可以有法可

而得至IIi云ffl一分件的前樨依，可以提高解題的正確

即步驟①.率，增強自信.

對于“問題6”，較好的學3.問題6的設計是

生才能回答出來.將學生的思維進一步升

華，不再停留在技能這一

個層次，而是上升為數學

思想方法的層次.

4.進一步提出問題：運用二

［知識鏈接］

分法求方程的近似解的步驟是什

1.運用二分法的前

么？

提是要先判斷根在某個

5.運用二分法的前提是什么

所在的區間.

（游戲開始時要先做什么工作）？

2.二分法實際上是

引例條件的內涵是什么？

通過縮小區間長度尋找

6.二分法的實質是什么？它

解的一種方法.

有什么作用？

課1.練習：（1）（2）題為例題仿照練習1.（1）（2）題經過同桌兩［設計意圖］

內題，由同桌協助完成.（3）（4）題考位同學合作可以順利完成.（3）（4）1.不同層次的題目，

練查二分法的含義，由同學獨立完題獨立完成如果有困難的同學層層遞進，不斷提高學生

習成，可以尋求幫助.（附錄4）在同伴或老師的幫助下可以完的能力.不僅鞏固新學的

2.思考：兩道題均為實際應成.知識，而且讓不同層次的

課用題，為學有余力的同學提高能練習2實際應用：學有余力學生得到不同的收獲；

后力.（附錄4）的同學與同伴合作探討，也可以2.培養合作、互助

作3.課后作業：習題3.1A組解決.精神；

業3,4；B組1,2.3.培養學生應用與

創新的能力，利用二分法

的逼近思想解決實際問

題.

［設計意圖］

教師通過點名提問，學生借

學生的歸納總結的

助教師的幫助對整節課進行最

本能力不強，需要不斷的培

請同學們回顧一下本節課的后的歸納總結，得到以下兩點：

課養；課后的總結有利于學

教學過程，你覺彳導你已經掌握了（1）二分法是一種求一元方程近

小生對整節課的內容進行

哪些知識？似解的通法.（2）利用二分法來解

結升華，了解自己掌握了什

一元方程近似解的操作步驟（附

么知識，養成良好的學習

錄3）.

習慣，建立自信心.

教學反思

1.本節課有兩條線，明線：“從生活實際、從學生熟知的現實生活、從學生喜愛的游

戲——“競猜商品的價格”入手，引導學生進入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游

戲？與學生一道進行新知識的探索過程——二分法的得來；再將二分法充分地運用在函數零

點的求解上；最后將二分法求解函數零點的過程程序化”；暗線：“生活實際（特殊）——二

分法的理論（一般）——二分法的應用（特殊）”.讓學生經歷知識的形成與應用過程，培養發

現問題、提出問題、解決問題的能力，體現數學的基礎性、時代性、典型性和可接受性，體

會數學來自生活，應用于生活的最高境界，感受數學之美.

2.引入課題的方式，（1）從生活中的常見現象——“商品價格的競猜”引入；（2）開門見

山一“繼續前面的研究”引入.

（附錄1）解：設/）=lnx+2x—6,xd（2,3）,先取區間的中點，再計算中點的函數值,

接著應用“零點存在定理”確定零點所在的區間，從而縮小精確度，得到下表：

區間中點的值中點函數近似值精確度

(2,3)2.5-0.0837092681

(2.5,3)2.750.5116009120.5

(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25

(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125

(2.5,2.5625)2.53125-0.0087867480.0625

(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125

(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625

(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813

(2.53125,2.53515625)2.533203125-0.0041091910.003906

(2.533203125,2.53515625)2.534179688-0.0017706340.001953

(2.534179688,2.53515625)2.534667969-0.0006014120.000977

(2.534667969,2.53515625)2.534912109-1.68166X10-0.000488

所以,當精確度為0.01時,由于12.5390625-2.531251=0.0078125V0.01,因此我們

可以將x=2.53125作為函數外）=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程Inx+2x-6=0根

的近似值.

（附錄2）二分法求解方程Hx）=0（或g（x）=〃（x））近似解的基本步驟：

①畫圖或利用函數值的正負，確定初始區間①，h）,驗證人a）?火力V0；

②求區間3，份的中點xg=W"））；

③計算應⑴：若兀q）=0,則xi就是函數兀0的零點，為就是大x）=0的根，計算終止；

若加）穴內）＜0,則選擇區間（a,X1）；

若加次V1）＞O,則選擇區間（XI，b）；

④循環操作②、③，直到當區間的精確度達到事先指定的精確度￡（若是要求精確到￡,

兩端點精確到同一個近似值時才終止計算）.

（附錄3）

1.練習：（1）應用計算器，求方程V+3x—1=0的一個正的近似解.

（2）應用計算器，求方程2、+x=4的近似解.

（3）用二分法判斷方程2'=/的根的個數（）

A.1B.2C.3D.4

（4）方程lg（x+4）=10,的根的情況是（）

A.僅有一根B.有一正根一負根

C.有兩負根D.無實根

2.思考：（1）從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接點發生故障，需

及時修理，為了盡快斷定故障發生點，一般至少需要檢查接點的個數為幾個？

（2）一天，泉州七中校區與現代中學（分校）校區的電纜線路出了故障（相距大約10km）,

電工是怎樣檢測的呢？

答案：略

教學設計（三）

作者：羅志強，長汀縣第一中學教師.本教學設計獲福建省教學設計大賽三等獎.

整體設計

三維目標

1.知識與技能：

①通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件；

②借助科學計算器，掌握運用二分法求滿足一定精確度要求的簡單方程近似解的方法.

2.過程與方法：

①了解數學上的逼近思想、極限思想；

②體驗二分法的算法思想，培養自主探究的能力，為學習算法做準備.

3.情感、態度與價值觀：

①通過了解數學家的史料來提高數學素養，并增強學習數學的興趣；

②體會數學逼近過程，感受精確與近似的相對統一：

③通過具體實例的探究，歸納發現的結論或規律，體會從具體到一般的認知過程.

教學重點與難點

教學重點：二分法的基本思想的理解，運用二分法求函數零點的近似值的步驟和過程；

教學難點：精確度概念的理解及恰當地使用信息技術工具，利用二分法求給定精確度的

方程的近似解.

教材分析

本節課在學生應用數形結合的數學思想指導下學習了方程的根與對應函數零點之間的

關系的基礎上，再介紹求函數零點的近似值的“二分法”，并在總結“用二分法求方程近似

解步驟”中滲透算法的思想，為學生后續學習算法內容做準備.教科書不僅希望學生在數學

思想與運用信息技術的能力上有所收獲，而且希望學生通過了解古今中外數學家求方程的解

的史料來滲透數學文化，提高數學素養.

學情分析

學生基礎較好，學習的主動性較強，所以通過一節課掌握用二分法求方程的近似解的方

法，體驗二分法中的逼近思想、算法思想.但在求解的過程中，由于數值計算較為復雜，因

此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學生具備恰當地使用信息技術工具解決

這一問題的能力.

信息技術分析

多媒體教室及幾何畫板、VisualBasic應用程序.

教學方法

動手操作、分組討論、合作交流、課后實踐.

教學過程

教學設計流程圖

創設情境導入|——由模仿中央電視臺節目“幸運52”中的猜價游戲導入新課,提出二

分法的思想

例題回顧|—回顧例題，復習零點存在性定理，提出新問題：能不能求出零點《幾何

畫板》演示

合作探究——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解

師生小結——總結出用二分法求方程近似解的步驟

學以致用——學生借助科學計算器，用二分法求方程的近似解

數學文化——介紹數學家求方程的近似解的歷史

知識遷移|——利用VisualBasic編寫程序，滲透算法思想

教學設計理念

1.倡導積極主動、勇于探索的學習方式.

2.鼓勵學生自主探究、合作交流.

3.注重信息技術與數學課程的整合.

4.體現數學的文化價值.

教學情境設計

一、創設情境，導入新課

問題情境：中央電視臺有一檔娛樂節目“幸運52”，主持人李詠會給選手在限定時間

內猜某一物品的售價的機會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標.某次猜

一種品牌的手機，價格在500?1000元之間，選手開始報價：1000元，主持人回答：高了；

緊接著報價900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851

元，恭喜你，你猜中了.

設計意圖

1.創設學生熟悉的游戲情境，制造懸念，引發.學生的學習興趣，并在教師的指導下設

計猜價方案.

2.在學生設計猜價方案的基礎上，提出設計此方案的思想后引入''二分法"，水到渠

成.

師生活動：

師:表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分,實際中，游戲的報價過程體現了“逼近”

的數學思想，你能設計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎？請學生思考后，提問學生用你

的猜價方案猜手機價格？

生：猜價方案

區間中點（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875問J

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851ok

師：用兒何畫板配合學生演示猜價的過程后，提問此方案的設計思想（附圖一）.

生：關鍵是取區間的中點，不斷地縮小價格所在的區間.

師：此方法在數學上稱作“二分法”，并在黑板上板書，從而引入課題.

二、例題回顧

人教A版3.1.1節例1

求函數/（x）=lnx+2x-6的零點的個數？方程lnx+2x—6=0的實數解的個數？

問題1：如何來確定函數零點的存在性，即方程的實數解的存在性？

問題2：共助=111；＜:+2%—6在區間（2,3）內有零點，如何找出？

設計意圖

通過例題回顧，引導學生將找方程的實數解與找對應函數的零點的問題等同起來，體會

數學模型之間的轉換.

師生活動：

師：借助幾何畫板直觀演示（附圖二）函數零點所在區間，并復習零點存在性定理后，讓

學生思考問題2,提示學生回顧猜價方案的思想.

生：使用科學計算器進行計算，思考，交流思路.

師：提問學生.

生：1.取(2,3)的中點2.5,發現佳2.5)次3)V0,所以零點在(2.5,3)內.

2.以此類推，發現零點所在的區間在不斷縮小.

三、合作探究

問題1：零點存在區間的大小能說明什么問題？

問題2：你能夠總結出使零點存在的區間越來越小的規律嗎？

問題3：當我們能夠將零點所在的區間不斷地縮小時，怎樣確定零點的近似值？

設計意圖

1.讓學生在教師的指導下學會發現問題、分析問題，初步體會極限思想.

2.引導學生從具體的實例出發，總結出一般性的規律，符合學生的思維意識，并讓學

生充分體會二分法思想.

3.引導學生將函數零點的近似值求出來，讓學生體會精確度的作用.

師生活動：

1.師：借助幾何畫板(附圖三)引導學生思考，并讓學生交流、討論.

生：零點存在區間越小，區間兩端點越接近該區間的實數解.

2.師：說明讓零點存在區間越來越小是解決問題的關鍵，請思考問題2.

生：分組交流.

生：經合作整理，規律如下：

每次將區間二等分，留下區間端點函數值符號相反的區間.

師：實質是根據什么定理？

生：零點存在性定理.

3.師：順勢讓學生思考問題3后，指出給定精確度e,只要將上述步驟進行有限次重

復后即區間兩端點差的絕對值小于￡,則區間內的任意一點都可以作為函數零點的近似值.

幾何畫板直觀演示(附圖四).

四、師生小結

你能說出二分法的意義及用二分法求函數y=/(x)零點近似值的步驟嗎？

1.二分法的意義

對于在區間［“，回上連續不斷且滿足(份＜0的函數通過不斷地把函數人幻

的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法

叫做二分法.

2.給定精確度€,用二分法求函數式X)零點近似值的步驟如下：幾何畫板分布演示(附

圖五).

設計意圖

引導學生小結二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟，培養學生從特殊到一般的

思想，體險解決問題的成就感.

師生活動：

師：闡述二分法的逼近原理，引導學生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數近似

零點的具體步驟.

師：分析關鍵詞：

犬〃)7(/?)<0、=精確度￡、|。一句<￡的意義.

生：結合求函數;(x)=ln(x)+2x-6在區間(2,3)內的零點，理解二分法的算法思想與計

算原理.

五、學以致用

問題1：實際生活中有沒有利用到二分法的思想方法的例子呢？試舉例.

問題2：借助計算器或計算機用二分法求方程2*+3x=7的近似解.(精確度0.1)

設計意圖

1.培養學生聯系實際的能力，讓學生體會數學與實際生活的密切聯系.

2.培養學生的動手能力，讓學生逐步掌握運用二分法求方程近似解的思想方法，并使

學生的認識不斷加深.

師生活動：

1.師：讓學生討論，學生思考聯想實際生活，嘗試舉出運用二分法的例子.

生：電力工人檢測電線，找故障.

2.(1)學生利用科學計算器動手操作、進行小組交流，老師作課堂巡視指導.

(2)師借助幾何畫板分布，直觀演示(附圖六).

六、數學文化

閱讀本節閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

設計意圖

讓學生感受數學文化方面的熏陶，增強數學素養.

七、知識遷移

問題：回憶用二分法求方程的近似解的步驟中，縮小零點所在的區間的步驟是否可以進

行重復，如果給定精確度后重復的步驟是否是有限次的？

設計意圖

初步介紹算法思想，為必修3的算法教學埋下伏筆.

師生活動：

師：如果一種計算方法對某一類問題都有效，計算可以一步一步地進行，每一步都能得

到唯一的結果，我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法.它的優點

是一種通法，更大的優點是，它可以讓計算機來實現.例如我們可以編寫用二分法求方程的

近似解的程序，快速地求出一個函數的零點.

程序框圖及程序（附圖七）

八、課堂小結

問題：本節課學習了哪些知識、方法、思想？

設計意圖

學生在回顧、總結、反思的過程中，將所學的知識條理化、系統化，使自己的認知結構

更趨合理.注重數學方法的提煉，可使學生逐漸把經驗■化為能力.

師生活動：

師：引導學生從知識、方法兩方面進行總結后板書：

1.要找方程的實數解可先利用函數的連續性判定方程實數解的存在性，再利用二分法

求方程的近似解；

2.二分法的意義；

3.二分法求方程的近似解的步驟；

4.逼近、極限、二分法.

教學設計附圖：

區間中點（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875高了

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851課題

附圖?

附圖二

/(x)=(lnx+2,x)-6

n\\ba±b!/(粵)

T!：a-bi㈣：的）

0；2.00000；3.00000；2.50000；-0.084\1.00000；-1.307；1.099

1；2.50000；3.00000|2.75000;0.512；0.50000|-0.084；1.099

2]2.50000!2.7500012.62500!0.215J0.250001-0.084J0.512

3；2.50000；2.62500；2.56250；0.066；0.12500；-0.084；0.215

4]2.50000[2.56250]2.53125|-0.009；0.06250?-0.084[0.066

5：2.5312512.56250：2.54688!0.029!0.03125；-0.009!0.066

6[2.53125；2.54688；2.53906；0.010；0.01563|-0.009；0.029

!2.53125I2.53906I；；；

7???2.5351610.00110.007811-0.00910.010

附圖三

1-

0.8'/(x)=(lnx+2?x)-6?=7.00(

Tl。I6II/除ITbIA>)?Ab)

一T—一—一f'___1__——4_—__L——__|_一

0.60^2flOOOO'WOOOT2.5OOOO'-OOM?1,000003071l.(W

jJ運恒(??(超2副私21工運3工近應匚國■匚口,麗

2|2j0000|2.75000|2.62S00|0215|Q23000|-0.084|0.512

0.4

0.22:53906_OO1O匚12fxi_|_?噌

isisTiT~ooi-o.oo7?FjVob9"jb.oio'

0.511.522.53

-0.2-

-0.4-/

-。6

-0.8■

-1.2-1

附圖四

二分法求解方程近似解的基本步驟：（精確度￡）

1.利用計算或作圖的方法，確定初始區間I”,b]-,

2.驗證人07（力＜0；

3.求區間（“，6）的中點c=W"；

4.計算7（c）：（1）若y（c）=O，則C就是函數的零點；（2）若丸。）哄。）＜0,則令6=c（此時

零點XoG（a,c））；（3）若〃）小初＜0,則令a=c（此時零點X（）e（c,勿）；

5.判斷是否達到精確度打即若|4一目＜￡,則得到零點的近似值。（或加；否則重復3?

4.

附圖五

附圖六

附visualbasic程序

PrivateSubCommandl_Click（）

DimaAsSingle

DimbAsSingle

DimdAsSingle

a=InputBox（"a”，”區間左端點”）

b=InputBox（"b”,“區間右端點”）

d=InputBox（“d”,“精