第1頁（共1頁）2024年廣東省河源市龍川縣登云中學中考數學一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）如果收入3萬元，記作+3萬元，那么﹣2萬元表示（）A．收入2萬元 B．支出﹣2萬元 C．支出2萬元 D．利潤是2萬元2．（3分）體育是一個鍛煉身體，增強體質，培養道德和意志品質的教育過程，是培養全面發展的人的一個重要方面，下列體育圖標是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計算正確的是（）A．a2+a3＝a5 B．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2 C．a8÷a4＝a4 D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）如圖所示，直線a∥b，直角△ABC的頂點C在直線b上．若∠1＝33°，則∠2的度數為（）A．57° B．47° C．67° D．33°5．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則下列三角函數值不正確的是（）A． B． C． D．6．（3分）將拋物線y＝2（x+1）2向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式是（）A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+2）2+1 D．y＝2（x﹣1）2﹣17．（3分）一組數據0，1，1，2，若添加一個數1后得到一組新數據，則前后兩組數據的統計量會變小的是（）A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差8．（3分）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數量關系嗎？設籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）某幾何體由若干個大小相同的小正方體組成，其主視圖、左視圖和俯視圖都如圖所示．則組成該幾何體的小正方體的個數最少為（）A．4個 B．6個 C．7個 D．8個10．（3分）下列關于等邊三角形的說法不成立的是（）A．等邊三角形的三條邊相等，三個角相等 B．等邊三角形三條高線所在的直線是它的三條對稱軸 C．角的平分線與對邊上的中線或高重合的三角形是等邊三角形 D．有兩邊相等且有一個角為60°的三角形是等邊三角形二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）若一個正數的平方根是3a+1和a﹣5，那么a＝．12．（3分）已知直角三角形斜邊長為16，則這個直角三角形斜邊上的中線長為．13．（3分）一個布袋中放有4個黑球和6個黃球，除顏色外其余均相同，從布袋中任取一個球，取出黃球的概率為．14．（3分）如圖所示，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB＝40°，點C是⊙O上不同于A、B的任意一點，則∠ACB的度數為．15．（3分）如圖，量筒的液面A﹣C﹣B呈凹形，近似看成圓弧，讀數時視線要與液面相切于最低點C（即弧中點）．小溫想探究仰視、俯視對讀數的影響，當他俯視點C時，記錄量筒上點D的高度為37mm；仰視點C（點E、C、B在同一直線），記錄量筒上點E的高度為23mm，若點D在液面圓弧所在圓上，量筒直徑為10mm，則平視點C，點C的高度為mm．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）先化簡，再求值：（5a2﹣3b2）+2（2b2﹣3a2），其中a＝﹣1，b＝2．17．（8分）已知關于x的方程x2+ax+a﹣3＝0．若該方程的一個根為1，求a的值及另一個根．18．（8分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，僅用無刻度的直尺作圖：（1）在BC上取點M，使四邊形ABME為平行四邊形；（2）在CD的延長線上取一點F，使四邊形BDFA為平行四邊形．19．（9分）為落實“雙減”政策，優化作業管理，某中學從全體學生中隨機抽取部分學生，調查他們每天完成書面作業的時間t（單位：分鐘），按照完成時間分成五組：A組“t≤45”，B組“45＜t≤60”，C組“60＜t≤75”，D組“75＜t≤90”，E組“t＞90”．將收集的數據整理后，繪制成如圖所示兩幅不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）這次調查的樣本容量是，請補全條形統計圖；（2）在扇形統計圖中，B組的圓心角是度；（3）若該校有1800名學生，請你估計該校每天完成書面作業不超過90分鐘的學生人數．20．（9分）某銷售商準備采購一批兒童玩具，有A，B兩種品牌可供選擇，其進價和售價如下：A品牌B品牌進價（元/件）150120售價（元/件）200150銷售商購進A，B兩種品牌的兒童玩具共30件．（1）若銷售商購進A品牌的兒童玩具為x（件），求銷售商售完這30件兒童玩具獲得的總利潤y（元）與x之間的函數關系式；（2）若想使得銷售完這30件兒童玩具獲得的總利潤為1300元，則應購進A品牌的兒童玩具多少件？21．（9分）如圖，已知點C是以AB為直徑的半圓上一點，D是AB延長線上一點，過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E，連結CD，且CD＝ED．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．22．（12分）綜合實踐問題背景：借助三角形的中位線可構造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉，對應頂點連線的長度存在特殊的數量關系，數學小組對此進行了研究，如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，分別取AB，AC的中點D，E，作△ADE．如圖2所示，將△ADE繞點A逆時針旋轉，連接BD，CE．（1）探究發現：旋轉過程中，線段BD和CE的長度存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明．（2）性質應用：如圖3，當DE所在直線首次經過點B時，求CE的長．23．（12分）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．（1）求二次函數的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）若P是第四象限內拋物線上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M．求線段PM的最大值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．解：收入和支出是互為相反意義的量．若收入記作“+”，那么支出用“﹣”表示．﹣2萬元表示支出2萬元．故選：C．2．解：A．圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；B．圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；C．圖形是軸對稱圖形，符合題意；D．圖形不是軸對稱圖形，不符合題意．故選：C．3．解：A、a2+a3，無法合并，故此選項錯誤；B、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此選項錯誤；C、a8÷a4＝a4，正確；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此選項錯誤；故選：C．4．解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠1＝33°，∴∠3＝180°﹣90°﹣33°＝57°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝57°，故選：A．5．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，，，．觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．6．解：拋物線y＝2（x+l）2的頂點坐標為（﹣1，0），把點（﹣1，0）向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度所得對應點的坐標為（﹣2，﹣1），所以平移后的拋物線解析式為y＝2（x+2）2﹣1．故選：A．7．解：原數據的平均數為＝1，中位數為＝1，眾數為1，方差為×[（0﹣1）2+2×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.5；新數據的平均數為＝1，中位數為1，眾數為1，方差為×[（0﹣1）2+3×（1﹣1）2+（2﹣1）2]＝0.4；所以前后兩組數據的統計量會變小的是方差，故選：D．8．解：根據題意，可列方程組為．故選：C．9．解：如圖所示：或，故組成該幾何體的小正方體的個數最少為：2+2+1+1＝6（個）．故選：B．10．解：等邊三角形的三條邊相等，三個角相等，A不符合題意；等邊三角形三條高線所在的直線是它的三條對稱軸，B不符合題意；角的平分線與對邊上的中線或高重合的三角形是等邊三角形或者等腰三角形，C符合題意；有兩邊相等且有一個角為60°的三角形是等邊三角形，D不符合題意；故選：C．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．解：∵一個正數的平方根是3a+1和a﹣5，∴3a+1+a﹣5＝0，解得：a＝1，故答案為：1．12．解：∵在△ACB中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，AB＝16，∴CD＝AB＝8，故答案為：8．13．解：∵一個布袋中放有4個黑球和6個黃球，它們除了顏色外其余都相同，∴從布袋中任意摸出一個球是黃球的概率為：＝．故答案為：．14．解：連接OA、OB，在AB弧上任取一點C，連接AC、BC，∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝40°，∴在四邊形OAPB中，∠AOB＝360°﹣∠APB﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°．①若C點在優弧AB上，則∠ACB＝∠AOB＝70°；②若C點在劣弧AB上，則∠ACB＝180°﹣70°＝110°，故答案為：70°或110°．15．解：如圖，連接BD、OA、OB、OC，OC交AB于點G，∵∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直徑，由垂徑定理得AG＝BG，∴OG是△BAD的中位線，∴OC∥DE，∴，∴BC＝CE，∴，∴⊙O的直徑為14，∵AB＝10，∴，∴，∵CF∥AB，∴，∴，∴點F的高度即點C的高度為，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．解：原式＝5a2﹣3b2+4b2﹣6a2＝b2﹣a2；當a＝﹣1，b＝2時，原式＝22﹣（﹣1）2＝4﹣1＝3．17．解：把x＝1代入x2+ax+a﹣3＝0，得12+a+a﹣3＝0．解得a＝1．設該方程的另一根為x2，則1?x2＝﹣3．故x2＝﹣3．綜上所述，a的值為1，另一個根是﹣3．18．解：（1）如圖，點M即為所求．（2）如圖，點F即為所求．19．解：（1）這次調查的樣本容量是：25÷25%＝100，D組的人數為：100﹣10﹣20﹣25﹣5＝40，補全的條形統計圖如圖所示：故答案為：100；（2）在扇形統計圖中，B組的圓心角是：360°×＝72°，故答案為：72；（3）1800×＝1710（人），答：估計該校每天完成書面作業不超過90分鐘的學生有1710人．20．解：（1）由題意可得：y＝（200﹣150）x+（150﹣120）（30﹣x）＝20x+900，∴銷售商售完這30件兒童玩具獲得的總利潤y（元）與x之間的函數關系式y＝20x+900；（2）當y＝1300，則1300＝20x+900，解得x＝20，答：應購進A品牌的兒童玩具20件．21．解：（1）連接OC，如圖：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）連接BC，如圖：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，＝2，設⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x+1，∴＝2，∴ED＝x+＝CD，∵CD是⊙O的切線，∴CD2＝BD?AD，∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），∴⊙O的半徑為．22．解：（1）猜想，證明如下：∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，AB，AC的中點分別為D，E，∴，，∴，則，∵∠B＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAC＝45°，∴，∴，將△ADE繞點A逆時針旋轉，連接BD，CE，根據旋轉的性質可得：∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∴；（2）∵AB＝BC＝4，分別取AB，AC的中點D，E，∴DE∥BC，，∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∴當DE所在直線經過點B時，AD⊥BE，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，根據勾股定理可得：，由（1）可得：，∵，解得：．23．解：（