專題13利用導數證明或求函數的單調區間一、多選題1．已知函數，數列的前n項和為，且滿足，，則下列有關數列的敘述正確的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A．計算出的值，與比較大小并判斷是否正確；B．利用導數分析的最小值，由此判斷出是否正確；C．根據與的大小關系進行判斷；D．構造函數，分析其單調性和最值，由此確定出，將變形可得，再將變形可判斷結果.【詳解】A選項，，A正確；B選項，因為，所以當時，，所以單增，所以，因為，所以，所以，B正確；C選項，因為，所以，C錯誤；D選項，令，，所以在單調遞增，所以，所以，則，所以，即，所以，所以D錯誤.故選：AB.【點睛】易錯點睛：本題主要考查導數與數列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應該注意的事項：（1）轉化以函數為背景的條件時，應該注意題中的限制條件，如函數的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；（2）利用函數的方法研究數列中的相關問題時，應準確構造相應的函數，注意數列中相關限制條件的轉化.2．設函數的導函數為，則（）A． B．是的極值點C．存在零點 D．在單調遞增【答案】AD【分析】求出定義域，再求導，計算即可判斷A，由導函數，即可判斷選項B、D，由，即可判斷選項C，從而可得結論．【詳解】由題可知的定義域為，對于A，，則，故A正確；對于B、D，，所以函數單調遞增，故無極值點，故B錯誤，D正確；對于C，，故函數不存在零點，故C錯誤．故選：AD．3．已知函數，，則下列結論正確的有（）A．在區間上單調遞減B．若，則C．在區間上的值域為D．若函數，且，在上單調遞減【答案】ACD【分析】先求出函數的導數，然后對四個選項進行逐一分析解答即可，對于選項A：當時，可得，可得在區間上單調遞減；當，可得，可得在區間上單調遞減，最后作出判斷；對于選項B：由在區間上單調遞減可得，可得，進而作出判斷；對于選項C：由三角函數線可知，所以，，進而作出判斷；對于選項D：，可得，然后利用導數研究函數在區間上的單調性，可得，進而可得出函數在上的單調性，最后作出判斷.【詳解】，，當時，，由三角函數線可知，所以，即，所以，所以，所以在區間上單調遞減，當，，，所以，，所以在區間上單調遞減，所以在區間上單調遞減，故選項A正確；當時，，所以，即，故選項B錯誤；由三角函數線可知，所以，，所以當時，，故選項C正確；對進行求導可得：所以有，所以，所以在區間上的值域為，所以，在區間上單調遞增，因為，從而，所以函數在上單調遞減，故選項D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：本題考查導數的綜合應用，對于函數的性質，可先求出其導數，然后結合三角函數線的知識確定導數的符號，進而確定函數的單調性和極值，最后作出判斷，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.4．已知函數，給出下列四個結論，其中正確的是（）A．曲線在處的切線方程為B．恰有2個零點C．既有最大值，又有最小值D．若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據以及判斷出A錯誤，然后根據當時的函數單調性、當時的函數單調性、以及判斷出B正確和C錯誤，最后根據得出，根據函數單調性即可證得，D正確.【詳解】函數的定義域為，當時，，；當時，，，A項：，，則曲線在處的切線方程為，即，A錯誤；B項：當時，，函數是減函數，當時，，函數是減函數，因為，，所以函數恰有2個零點，B正確；C項：由函數的單調性易知，C錯誤；D項：當、時，因為，所以，因為在上為減函數，所以，，同理可證得當、時命題也成立，D正確，故選：BD.【點睛】本題考查函數在某點處的切線求法以及函數單調性的應用，考查根據導函數求函數在某點處的切線以及函數單調性，導函數值即切線斜率，若導函數值大于，則函數是增函數，若導函數值小于，則函數是減函數，考查函數方程思想，考查運算能力，是難題.5．已知函數，則下列說法正確的是（）A．當時，在單調遞增B．當時，在處的切線為軸C．當時，在存在唯一極小值點，且D．對任意，在一定存在零點【答案】AC【分析】結合函數的單調性、極值、最值及零點，分別對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】對于A，當時，，，因為時，，即，所以在上單調遞增，故A正確；對于B，當時，，，則，，即切點為，切線斜率為，故切線方程為，故B錯誤；對于C，當時，，，，當時，，，則恒成立，即在上單調遞增，又，，因為，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即在存在唯一極小值點，由，可得，因為，所以，則，故C正確；對于選項D，，，令，得，，，則，令，得，則，令，得，則，此時函數單調遞減，令，得，則，此時函數單調遞增，所以時，取得極小值，極小值為，在的極小值中，最小，當時，單調遞減，所以函數的最小值為，當時，即時，函數與無交點，即在不存在零點，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值、零點、最值，及切線方程的求法，考查學生的推理能力與計算求解能力，屬于難題.二、單選題6．已知定義域為R的函數的圖象連續不斷，且，，當時，，若，則實數m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件得到，構造函數，利用已知條件得到函數為奇函數且函數在上單調遞減，由奇偶性可知，函數在上單調遞減，得到，利用單調性求解即可.【詳解】依題意，，故，令，可知，函數為奇函數.因為當時，，即當時，，故函數在上單調遞減，由奇偶性可知，函數在上單調遞減，因為，故，即，故，故，故實數m的取值范圍為.故選：A.【點睛】關鍵點睛：構造函數，研究函數的奇偶性和單調性是解決本題的關鍵.7．函數的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】當時，,,求出此時函數的單調區間，根據選項的圖象，可得答案.【詳解】當時，，則當時，，則在上單調遞增.當時，，則在上單調遞減.根據選項，只有選項C滿足故選：C【點睛】思路點睛：函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.8．設函數在上存在導數，對于任意的實數，有，當時，，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造，由，可得為奇函數，利用導數可知在上單調遞減，結合函數的單調性解不等式即可.【詳解】，令，且，則在上單調遞減.又為奇函數，在上單調遞減.，且代入得，轉化為，即由于在上遞減，則，解得：故選：C.【點睛】方法點睛：利用進行抽象函數構造，常見類型：（1）利用與的構造，常用構造形式有：出現“”用，出現“”用；（2）利用與的構造，常用構造形式有：出現，構造函數；出現，構造函數；9．函數，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，可得在的單調性，利用單調性，即可得答案.【詳解】因為，所以，當時，，則在為減函數，因為，所以，即，故選：B10．已知函數，則其單調增區間是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導，求函數的單調遞增區間，即求不等式，解不等式即可的答案.【詳解】由，函數定義域為，求導，令，得或（舍去）所以單調增區間是故選：A.11．某數學興趣小組對形如的某三次函數的性質進行研究，得出如下四個結論，其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的結論一定是（）A．函數的圖象過點(2，1)B．函數在x＝0處有極值C．函數的單調遞減區間為[0，2]D．函數的圖象關于點(1，0)對稱【答案】D【分析】首先假設4個選項都正確，依題意只有一個錯誤選項，即可得到BC都正確，從而求出、的值，【詳解】解：題意對于A選項，；對于B選項，；對于C選項，由遞減區間可得；因為有且僅有一個選項錯誤，所以B、C正確，所以，對于D選項，函數的圖象關于點(1，0)對稱，則有，可賦值得到：當x=0時，，當x=1時，，即可得到解得與解得，顯然有兩個取值，故D錯誤；所以A正確，解得，所以，所以，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，故ABC均正確；故選：D【點睛】本題考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性與極值，函數的對稱性的應用，若，則關于成中心對稱；12．函數的圖象大致是（）A． B．

C． D．

【答案】B【分析】首先判斷函數的奇偶性，再利用導數研究函數的單調性即可得解；【詳解】解：因為，定義域關于原點對稱，又，所以為偶函數，函數圖象關于軸對稱，所以排除A、D；令，則，所以當時，所以在上單調遞減，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即函數在上單調遞減，故排除C，故選：B【點睛】函數圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.13．已知偶函數對于任意的滿足（其中是函數的導函數），則下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：令,因,故由題設可得,即函數在,故,即,所以,故應選D.考點：導數在研究函數的單調性方面的運用.【易錯點晴】本題將導數的知識和函數的單調性及不等式的解法等知識有機地結合起來,綜合考查學生的數學思想和數學方法及運用所學知識去分析問題解決問題的能力.求解時,先將巧妙地構造函數,再運用求導法則求得,故由題設可得,即函數在上單調遞增且是偶函數.再運用檢驗的方法逐一驗證四個答案的真偽,從而使得問題獲解.14．已知函數在定義域上的導函數為，若函數沒有零點，且，當在上與在上的單調性相同時，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導函數與單調性關系，可知為上的單調函數，設，利用換元法即可得，進而可得為增函數，即可知也為增函數，先求得，并令，結合正弦函數的性質即可確定k的取值范圍.【詳解】由函數沒有零點，即方程無解，則或恒成立，所以為上的單調函數，都有，則為定值，設，則，易知為上的增函數，∵，∴，又與的單調性相同，∴在上單調遞增，則當時，恒成立.當時，，所以由正弦函數性質可知，∴.所以，即，故選：A.【點睛】本題考查了導函數與單調性關系，換元法求函數解析式，正弦函數的性質求參數的取值范圍，屬于中檔題.15．函數y=f(x)的導函數y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：①-3是函數y=f(x)的極值點；②y=f(x)在區間(-3，1)上單調遞增；③-1是函數y=f(x)的最小值點；④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據導函數圖象可判定導函數的符號，從而確定函數的單調性，得到極值點，以及根據導數的幾何意義可知在某點處的導數即為在該點處的切線斜率．【詳解】根據導函數圖象可知：當時，，在時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，故②正確；則是函數的極小值點，故①正確；∵在上單調遞增，不是函數的最小值點，故③不正確；∵函數在處的導數大于，切線的斜率大于零，故④不正確.故選：A【點睛】方法點睛：本題考查導函數圖象在函數單調性和極值中的應用，考查導數的幾何意義，其中利用導函數判斷單調性的步驟為：1.先求出原函數的定義域；2.對原函數求導；3.令導數大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數的增區間；同理令導數小于零，得到減區間；4.若定義域在增區間內，則函數單增；若定義域在減區間內則函數單減，若以上都不滿足，則函數不單調．16．已知f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2）＝1，當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞1，則不等式的解集為（）A．(-∞，2)∪(2，+∞) B．(-∞，2)∪(0，2)C．(-2，0)∪(2，+∞) D．(-2，0)∪(0，2)【答案】B【分析】設由奇偶性的定義可判斷該函數的奇偶性，結合導數即可求出函數的單調性，從而可求出不等式的解集.【詳解】解：設，則，即在上單調遞增，因為在上為偶函數，即，則，，由，得在上為奇函數，所以在上單調遞增，等價于，當時，，則；當時，，則；綜上所述，的解集為，故選:B.【點睛】本題考查了函數奇偶性的判斷，考查了利用導數求函數的單調性，考查了利用單調性解不等式，屬于中檔題.本題的關鍵是合理構造新函數.17．已知函數，，若對任意，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】對任意，總存在，使得成立，等價于的值域是值域的子集，只要求出兩函數在上的值域，列出不等式組可求得答案【詳解】依題意，則，當時，，故函數在上單調遞增，當時，；而函數在上單調遞減，故，則只需，故，解得，所以實數的取值范圍為.故選：A.【點睛】結論點睛：本題考查恒成立問題，可按如下規則轉化：一般地，已知函數，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．18．若定義在上的函數滿足，且當時，，則滿足的值（）A．恒小于0 B．恒等于0 C．恒大于0 D．無法判斷【答案】C【分析】當時，求導，得出導函數恒小于零，得出在內是增函數.再由得的圖象關于直線對稱，從而得在內是減函數，由此可得選項．【詳解】當時，，則在內是增函數.由得的圖象關于直線對稱，∴在內是減函數，.∴.故選：C．【點睛】本題考查運用導函數研究函數的單調性，抽象函數的對稱性的應用，以及由函數的單調性比較其函數的大小關系，屬于中檔題．19．下列區間是函數的單調遞減區間的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出導函數，在給定的區間判斷導數的正負，從而判斷函數的單調性，逐項排除可得答案.【詳解】由已知得，A.當時，，所以，是單調遞增函數，錯誤；B.時，，，是單調遞減函數，正確；C.時，，所以，是單調遞增函數，錯誤；D.時，，所以，是單調遞增函數，錯誤.故選：B.【點睛】本題考查了利用導數判斷函數在給定區間的單調性，屬于基礎題.20．已知為偶函數，且，令，若時，，關于的不等式的解集為（）A．或 B．C． D．或【答案】C【分析】先對函數求導，根據題中條件，判定時，函數單調遞增，根據函數奇偶性，得到在上單調遞減；結合函數奇偶性與單調性，即可求出不等式的解集.【詳解】因為，則，當時，，所以，即函數在上單調遞增；又為偶函數，所以在上單調遞減；因為，所以，則不等式可化為，則，即，解得.故選：C.【點睛】本題主要考查由導數的方法判定函數單調性，考查由函數奇偶性與單調性解不等式，屬于常考題型.21．已知，則函數的單調減區間為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，對求導得，構造新函數，利用導數研究函數的單調性和最值，得出恒成立，從而得出在上恒成立，根據導函數和原函數的關系，即可求出的單調減區間.【詳解】解：由題可知，，且的定義域為，則，令，則，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則的最大值為：，故恒成立，故在上恒成立，所以在上單調遞減，即函數的單調減區間為.故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，還涉及利用構造函數法解決恒成立問題，考查運算能力和轉化思想.22．若函數在上是單調函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分段函數一側的單調性，確定另一側的單調性，再比較分界點處函數值的大小，求實數的取值范圍.【詳解】因為函數在上是單調函數，并且當時，，，所以函數在單調遞增，所以時，也是增函數，所以，即，并且在分界點處需滿足當時，，解得：，綜上可知實數的取值范圍是.故選：B【點睛】本題考查根據分段函數的單調性求參數的取值范圍，重點考查計算能力，屬于基礎題型.23．已知f(x)是定義在R上的連續函數，f′(x)是f(x)的導函數，且f(x)-f(-x)+4x=0.若當x>0時，f′(x)>-2，則不等式f(x-2)-f(x)>4的解集為（）A．(-∞，-1) B．(-∞，1) C．(-1，+∞) D．(1，+∞)【答案】B【分析】設函數，根據條件得出函數的奇偶性和單調性，再由條件可得，根據單調性和偶函數的性質解出不等式即可.【詳解】設函數，由，可得即，所以為偶函數.又，所以在上單調遞增.由，可得即，即所以，即，解得故選：B【點睛】本題考查構造函數，利用導數判斷出函數的單調性，利用單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.24．已知函數，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構造函數，，利用導數得到函數在上單調遞增，且，又函數在上單調遞增，且，所以函數，在上單調遞增，且，再利用函數奇偶性的定義得到函數是偶函數，所以，，利用指數函數和對數函數的性質得到，結合函數的單調性即可得到．【詳解】解：函數，設，，則在恒成立，函數在上單調遞增，，即函數在上單調遞增，且，又函數在上單調遞增，且，函數，在上單調遞增，且，又，函數是偶函數，，，，，而，，，又函數在上單調遞增，，即，故選：．【點睛】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數的奇偶性，是中檔題．三、解答題25．函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，恒成立，求整數的最大值.【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）2.【分析】（1）當時，對函數求導，利用導數判斷其單調性即可；（2）對函數求導，可得，分和兩種情況，分別討論函數的單調性，結合當時，恒成立，可求出答案.【詳解】（1）當時，，所以.當時，；當時，.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）因為，所以.①當時，由，可得恒成立，所以單調遞增，所以，而，所以恒成立；②當時，令，可得；由，可得.所以在單調遞減，在單調遞增.因為恒成立，所以，即，所以.設，則，因為，所以，所以，故在單調遞減.又因為，，，所以存在，使得，且當時，；當時，.又因為且為整數，所以的最大值為2.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立求參數的取值范圍的方法：（1）討論最值法：先構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出含參函數的最值，進而得出相應的含參不等式的參數的范圍；（2）分離參數：先分離參數變量，再構造函數，求出函數最值，從而求出參數的取值范圍.26．函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當，時，證明：.【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）證明見解析.【分析】（1）由得到求導由，求解.（2）求導，分，討論求解.【詳解】（1）當時，，.所以當時，；當時，.所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）因為，所以.①當，時，恒成立，所以單調遞增，所以，而，所以恒成立；②，時，由可得；由可得.所以在單調遞減，在單調遞增，所以.設，則，所以在單調遞減，故，所以，從而.綜上，當，時，.【點睛】方法點睛：1、利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論；若可導函數f(x)在指定的區間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．2、利用導數證明不等式常構造函數φ(x)，將不等式轉化為φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的單調性、最值，判定φ(x)與0的關系，從而證明不等式.27．函數.（1）若，求的單調性；（2）當時，若函數有兩個零點，求證：.【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）求導得，設，利用導數可得的單調性，并可得的零點，即可求出的單調性；（2）由函數有兩個零點，所以，即有兩個不等實根，利用導數求得的單調性，結合題意可得，求出的范圍，利用對勾函數的單調性即可證明.【詳解】（1）因為，（），所以.設，則，所以在單調遞增，又因為，所以當時，，則，單調遞減；當時，，則，單調遞增.綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：因為函數有兩個零點，所以方程有兩個不等實根.設，即有兩個不等實根，則.設，則由可知，而的對稱軸方程為，且，所以存在使得，即，且當時，，則，所以單調遞減；當時，，則，所以單調遞增.因為有兩個不等實根，所以必有，即.將，代入整理可得.設，則易得在上單調遞減，又，所以，結合對勾函數在單調遞增可知，即成立，命題得證.【點睛】解題的關鍵是利用導數判斷函數的單調性，當導函數無法直接判斷正負時，可構造新函數，并繼續求導，即可求出導函數的單調性和極值，進而可得導函數的正負，即原函數的單調性，考查分析理解，化簡求值的能力，屬中檔題.28．設為實數，已知函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）.【分析】（1）由得，對函數求導，根據導數的方法，即可求出單調區間；（2）先對函數求導，根據導數的方法判定函數單調性，得到，為使有兩個不同的零點，首先，解得，再判斷和時，函數都有零點，即可得出結果.【詳解】（1）當時，，則，令，則，所以當時，，所以單調遞減；當時，，所以單調遞增；即函數的單調遞增區間為；單調遞減區間為；（2）因為，所以，因為，由得；由得；所以在上單調遞減，在上單調遞增；因此，要使有兩個不同的零點，則首先，即，所以，解得；當時，，令，，則，，由得；由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因此在上單調遞增，因此，即在上恒成立，所以當時，，此時；當時，，令，可得；取且知，故滿足在和各有一個零點；綜上，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：1.直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間和極值，根據函數的性質畫出圖像，然后將問題轉化為函數圖像與軸交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合的思想和分類討論的思想；2.構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數的圖像的交點問題；3.分離參變量法：即由分離參變量，得，研究直線與的圖像的交點問題.29．已知函數.（1）若a=-2，求函數f(x)的單調區間；（2）若函數f(x)有兩個極值點x1，x2，求證.【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.【分析】（1）由a=-2，求導，再由，求解即可,（2）求導，根據f(x)有兩個極值點x1，x2，得到x1，x2為方程的兩個不等實根，然后結合韋達定理得到，再令，用導數法證明即可.【詳解】（1）f(x)的定義域是.當a=-2時，，，當時，，當時，，所以f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2），因為f(x)有兩個極值點x1，x2，故x1，x2為方程的兩個不等實根，所以，.,令，則，在單調遞增，故.【點睛】思路點睛：利用導數證明不等式常構造函數φ(x)，將不等式轉化為φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的單調性、最值，判定φ(x)與0的關系，從而證明不等式．30．設函數.（1）若，求的單調區間；（2）若時，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）.【分析】（1）求得，然后可得答案；（2）分、、三種情況討論，每種情況下利用導數研究其單調性，結合可得答案.【詳解】（1）的定義域為，當時，，，當時，，當時，，所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）由（1）知，當且僅當時等號成立..若，，不符合條件.若，，.令，得或，若，則當時，單調遞減，此時，不符合條件.若，則當時，，單調遞增，此時，即當時，.綜上所述，的取值范圍是【點睛】方法點睛：在處理函數有關的不等式時，一般是利用函數的單調性和特殊點的函數值解決.31．已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）在平面直角坐標系中，直線與曲線交于，兩點，設點的橫坐標為，的面積為.（i）求證：；（ii）當取得最小值時，求的值.【答案】（1）的增區間為和；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）求導，令，再利用導數法研究其正負即可.（2）（i）設，(其中)，則的面積，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（1）得到為增函數，則最小最小最小，令，再利用導數法求解.【詳解】（1）函數的定義域為，.，令，則.因為；，所以在上為減函數，在上為增函數.當時，，即，當時，，即.所以當時，，所以在區間和上都是增函數.因此的增區間為和，沒有減區間.（2）（i）證明：，設(其中)，由題意，得的面積，即.由，得，由及，得，所以，故成立.（ii）由（1），得為增函數，于是最小最小最小.令，則，再令，則，所以當時，單調遞增.又，，所以存在唯一的，使得，即.當時，，即；當時，，即，所以是的極小值點，也的最小值點，所以當時，取得最小值，等價于最小，此時，所以.【點睛】本題主要考查導數與函數的單調性，導數與函數的最值，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于較難題.32．已知函數.（1）求在點處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若的定義域為時，值域為，求的最大值.【答案】（1）；（2）的單調遞增區間為、；單調遞減區間為；（3）3.【分析】（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，根據點斜式求出切線方程；（2）令和分別可得單調遞減和遞增區間；（3）根據在上的單調性，結合；；；以及值域為可得，從而可得結果.【詳解】（1）由，得，所以所以切線方程為，即：（2）令，得，令，得或，.所以的單調遞增區間為、；單調遞減區間為.（3）由（1）知，函數在區間和上單調遞增；在區間上單調遞減，且；；；.所以當時，的值域為；當時，，的值域為.所以的最大值等于.【點睛】關鍵點點睛：第3問根據在上的單調性，利用；；；以及值域為解題是關鍵.33．如圖，點為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點，與平行，設.（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減小；（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的倍.當取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）時，觀光專線的修建總成本最低，理由見解析.【分析】（1）先由題意得到，所以，得出觀光專線的總長度，再由導數的方法判定其單調性，即可證明結論成立；（2）設翻新道