高三數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：小題考查集合、常用邏輯用語、不等式、函數、導數、三角函數、數列、平面向量，大題考查高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題，，則p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據題意，由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結果.【詳解】因為命題，，則其否定為，.故選：A2.定義集合．已知集合，，則元素的個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據題中條件，直接進行計算即可.【詳解】因為，，所以，故的元素的個數為4．故選：3.已知函數的圖象在處的切線的斜率為，則（）A.的最小值為6 B.的最大值為6C.的最小值為4 D.的最大值為4【答案】C【解析】【分析】求導，結合基本不等式即可求解.【詳解】，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為4．故選：C4.已知某公司第1年的銷售額為a萬元，假設該公司從第2年開始每年的銷售額為上一年的倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數據：取）A.萬元 B.萬元 C.萬元 D.萬元【答案】D【解析】【分析】根據題意，由條件可得數列是首項為a，公比為的等比數列，結合等比數列的前項和公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】設第年的銷售額為萬元，依題意可得數列是首項為a，公比為的等比數列，則該公司從第1年到第11年的銷售總額為萬元．故選：D5.設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇函數、偶函數的性質求解即可.【詳解】因為是奇函數，所以，則．又是偶函數，所以，所以．故選：C.6.設，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據同角三角函數關系式及兩角和的正弦公式及誘導公式對題中條件進行化簡，即可求得.【詳解】因為，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．故選：7.已知函數，，則“曲線關于直線對稱”是“曲線關于直線對稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別求出兩個函數的對稱軸的集合，利用兩個集合的關系即可判斷.【詳解】令，得，所以曲線關于直線對稱．令，得，所以曲線關于直線對稱．因為所以“曲線關于直線對稱”是“曲線關于直線對稱”的充分不必要條件．故選：8.對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，激發學生對數學的興趣．如圖，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是四個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為（）A. B.3 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】就和分類討論，后者可根據對稱性只需考慮在對應的半圓弧上，前者，后者，而后者可建系處理.【詳解】連接.若，則，若不為零，則，這與題設矛盾，若為零，則與重合.若，則，設，故，且三點共線.由對稱可知只需考慮在對應的半圓弧上.當在對應的半圓弧上（除外）時，總在的延長線上，故此時.當在對應的半圓弧上，總在之間，故此時建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，設，當時，，而，此時.當時，則，由可得，故.，當時，.綜上，故選：A【點睛】思路點睛：與向量的線性表示有關的最值問題中，如果考慮基底向量前系數的和的最值，則可利用三點共線構造系數和的幾何意義，這樣便于求最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.最小值為1 B.，C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據對數函數的單調性即可求解AB，由二次函數的性質，結合對數的運算，即可求解CD.【詳解】，當且僅當時，取得最小值1，A正確．因為當且僅當時，取得最小值，且最小值為1，所以，所以，B錯誤．因為，所以，又，且在上單調遞減，在上單調遞增，所以，C正確．因為，所以，所以，D正確．故選：ACD10.若正項數列是等差數列，且，則（）A.當時， B.的取值范圍是C.當為整數時，的最大值為29 D.公差d的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】對于根據等差數列的定義求出公差的值，即可求出；又數列是正項等差數列，根據，及，即可求出公差的取值范圍，繼而可以判斷【詳解】當時，公差，，A正確．因為是正項等差數列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，D錯誤．因為，所以的取值范圍是，B正確．，當為整數時，的最大值為29，C正確．故選：11.若函數的定義域為D，對于任意，都存在唯一的，使得，則稱為“A函數”，則下列說法正確的是（）A.函數是“A函數”B.已知函數，的定義域相同，若是“A函數”，則也是“A函數”C.已知，都是“A函數”，且定義域相同，則也是“A函數”D.已知，若，是“A函數”，則【答案】BD【解析】【分析】題干給出了“A函數”的定義，按照定義，判斷函數是否是“A函數”，其中一定注意在定義域中恒成立，選項中不正確的舉出反例，正確的嚴格按照“A函數”的定義證明即可.【詳解】對于選項A，當時，，此時不存在，使得．A不正確；對于選項B，由，的定義域相同，若是“A函數”，則對于任意，都存在唯一的，使得，則對于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函數”．B正確；對于選項C，不妨取，，，令，則，故不是“A函數”．C不正確；對于選項D，因為，，是“A函數”，所以在上恒成立．又，所以，且，即對于任意，都存在唯一的，使得，因為，所以，即由解得．D正確．故選：BD12.定義在上的函數的導函數為，且恒成立，則（）A.B.，函數有極值C.D.，函數為單調函數【答案】AD【解析】【分析】法一：構造函數，考查其單調性，可判斷;利用其單調性知的大小關系可判斷；法二：取，逐項驗證即可.【詳解】解法一：設函數，則，所以在上單調遞減，故B錯誤，D正確．從而，即，因為，所以，，所以，故C錯誤，A正確．解法二：取，滿足且，則，，函數為單調函數．故選：【點睛】關鍵點睛：構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設向量在向量上的投影向量為，則________．【答案】1【解析】【分析】利用向量在向量上的投影向量計算公式建立方程，解出即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，則，解得．故答案為：14.若，，則________．【答案】##【解析】【分析】根據同角關系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.【詳解】因為，所以，所以，因為，，所以，，所以．故答案為：15.若關于x的不等式的解集恰有50個整數元素，則a的取值范圍是________，這50個整數元素之和為________．【答案】①.②.或1625【解析】【分析】討論的范圍，解出不等式，結合題意確定的范圍及解集中的整數解，再利用等差數列求和公式求和即可.【詳解】不等式等價于不等式．當時，的解集為，不合題意；當時，的解集為，則50個整數解為，，…，5，6，所以，這50個整數元素之和為；當時，的解集為，則50個整數解為8，9，…，56，57，所以，這50個整數元素之和．綜上，a的取值范圍是，這50個整數元素之和為或1625．故答案為：；或162516.如圖，已知平面五邊形的周長為12，若四邊形為正方形，且，則當的面積取得最大值時，______．【答案】【解析】【分析】根據幾何關系構造函數關系式利用導數求函數的最值.【詳解】過點作，垂足為．設，則，∵，∴，則，由，得．在中，．記的面積為，則．設函數，則，令，得或．當時，；當時，．故當時，取得最大值，則取得最大值，此時．故答案為：.【點睛】利用導數求最值的方法就是先求出函數的極值，若極值有多個，則需要比較各極值與端點值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；若函數只有一個極大（小）值，則這個極大（小）值就是函數的最大（小）值.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.的內角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理得，從而求得；（2）根據面積公式和余弦定理即可求得的周長.【小問1詳解】因為，所以．又，所以．因為，所以．又，所以，．【小問2詳解】的面積，則．由，得，所以，故的周長為．18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為正方形，，E，F，M分別是PB，CD，PD的中點．（1）證明：平面PAD．（2）求平面AMF與平面EMF的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PA的中點N，證明后可得線面平行；（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【小問1詳解】證明：取PA的中點N，連接EN，DN，因為E是PB的中點，所以，．又底面ABCD為正方形，F是CD的中點，所以，，所以四邊形ENDF為平行四邊形，所以．因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．【小問2詳解】以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，，，．從而，，．設平面AMF的法向量為，則，令，得．設平面EMF的法向量為，則，令，得．．故平面AMF與平面EMF的夾角的余弦值為．19.已知數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據遞推關系作差即可求解，（2）根據錯位相減法即可求和.【小問1詳解】當時，．當時，，即，當時，上式也成立，所以．當時，也符合，所以．【小問2詳解】由（1）知．，，則，所以．20.某商場在6月20日開展開業酬賓活動．顧客憑購物小票從6~20這15個號碼中依次不放回地抽取2個號碼，第1個號碼為a，第2個號碼為b．設X是不超過的最大整數，顧客將獲得購物金額X倍的商場代金券（若，則沒有代金券），代金券可以在活動結束后使用．（1）已知某顧客抽到的a是偶數，求該顧客能獲得代金券的概率；（2）求X的數學期望．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值及其對應的概率，再由數學期望公式求解即可.【小問1詳解】當時，該顧客能獲得代金券．設“a是偶數”為事件A，“”為事件B，則，，所以，所以當顧客抽到a是偶數時，該顧客能獲得代金券的概率為．【小問2詳解】X可能的取值為0，1，2，3．當時，，則．當時，，若，則．對每一個a，b有種不同的取值，則共有種可能的取值．若，對每一個a，b有種不同的取值，則共有種可能的取值，所以．當時，．若，則．對每一個a，b有種不同的取值，則共有種情況．若，則，共有6種可能的取值．所以．當時，，只有，，這3種情況，所以．所以．21.以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸橢圓過點．（1）求橢圓的方程．（2）設是橢圓上一點（異于），直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點，使得是定值，并求此定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為.【解析】【分析】（1）根據給定條件，設出橢圓方程，利用待定系數法求解即得.（2）設出點的坐標，利用向量共線探討出點的坐標，再求出，并確定的坐標，再計算即得.【小問1詳解】設橢圓方程為，則，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設，，則，由，得，而，于是，，同理，而，于是，則，，令，而是橢圓上的動點，則，得，于是，所以存在和，使得是定值，且定值為.【點睛】方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．22.已知函數有兩個零點．（1）求的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1