第1章三角函數

第一課時：1.L1任意角(課前先學案)

【自主學習】精讀課本P2-P5,完成課前先學案

【學習目標】

1.理解任意角的概念，學會在平面內建立適當的坐標系討論任意角.

2.能在0°到360°范圍內，找出一個與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角.

3.能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合.

【知識梳理】

1.角的概念：

角可以看成平面內一條繞著它的從一個位置到另一個位

置所形成的圖形。射線的端點稱為角的,射線旋轉的開始位置和終邊/

終止位置稱為角的例點

'正角：按旋轉方向形成的角

2.角的分類?零角：射線沒有任何旋轉形成的角

負角：按旋轉方向形成的角

3.終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個,即任一與角a終邊相同

的角，都可以表示成?

4.象限角、軸線角的概念

我們常在平面直角坐標系內討論角。為了討論問題的方便，使角的始邊與X軸的

非負半軸重合,角的頂點與原點重合。那么，角的終邊(除端點外)落在第幾象

限，我們就說這個角是第幾象限角。如果角的終邊落在坐標軸上，則稱這個角為軸線

角，軸線角不屬于任何一個象限。

象限角的集合：

(1)第一象限角的集合：{A|360Ok<x<36(r-k+90°,kez}

(2)第二象限角的集合：{乂90°+360°?左<x<360°/+l80P，左eZ}

(3)第三象限角的集合：

(4)第四象限角的集合：________________________________________

軸線角的集合：

(1)終邊在x軸正半軸的角的集合：Mx=360°M?eZ}

(2)終邊在x軸負半軸的角的集合：―

(3)終邊在x軸上的角的集合：NX=180°M,RGZ}

(4)終邊在y軸上的角的集合：________________________________________

(5)終邊在坐標軸上的角的集合：________________________________________

【預習自測】

1.指出這個角是第幾象限角。30°,150°,-60°,390°,-390°,-120°

2.在0°至哈60。的范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限角。

(1)650°(2)-150°(3)-240°(4)-990°!5

第一課時：1.1.1任意角(課堂正學案)

【課堂檢測】

1.(1)鐘表經過10分鐘，時針和分針分別轉了多少度？

(2)若將鐘表撥慢了10分鐘，則時針和分針分別轉了多少度？

?V

2.己知a與240°角的終邊相同，判斷一是第幾象限角。

2

【拓展探究】

n

己知角a是第二象限角，試判斷一為第幾象限角？

2

【當堂訓練】

1、下列說法中，正確的是（）

A.第一象限的角是銳角B.銳角是第一象限的角

C.小于90°的角是銳角D.0°到90°的角是第一象限的角

2、（1）終邊相同的角一定相等；（2）相等的角的終邊一定相同；（3）終邊相同的角有

無限多個；（4）終邊相同的角有有限多個。上面4個命題，其中真命題的個數是（）

A、0個B、1個C、2個D、3個

3、終邊在第二象限的角的集合可以表示為：()

A.{?|90°<a<180°)

B.{同90°+左?180°<a<180o+Z/80°,k&z\

C.{目一2700+公1800<a<—180°+hl80°,k&z}

D.{a|—270°+-36(^<&<—180°+h360。，&@z}

4、與2015°終邊相同的最小正角是，絕對值最小的角是

5、若角a的終邊為第一、三象限的角平分線，則角a集合是

【小結與反饋】本節內容延伸的流程圖為:

注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“Na”可以簡化成“a

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0。；

⑶角的概念經過推廣后，己包括正角、負角和零角.

第一課時：1.1.1任意角（課后溫學案）

【課外拓展】

必做：

1、設a=-60°,則與角a終邊相同的角的集合可以表示為.

2、把下列各角化成a+&-360°(0°Wa＜360°#eZ)的形式，并指出它們是第幾象限的

角。

(1)1200°(2)-55°(3)1563°(4)-1590°

3.終邊在30°角終邊的反向延長線上的角的集合.

4.集合A={a\a=k-90°-36°,k&Z},B={0一180°＜尸＜180°},則

Ar\B=________

a

5、若竺是第一象限角，則a的終邊在________________________________

2-

選做(考重點大學必做)：

1、若90°＜￡＜。＜135°,則a-尸的范圍是,a+4的范圍是.

2、(1)與一35°30'終邊相同的最小正角是;

(2)與715°終邊相同的最大負角是;

(3)與1000°終邊相同且絕對值最小的角是;

(4)與-1778°終邊相同且絕對值最小的角是.

3、與—15°終邊相同的在—1080°《，＜—360°之間的角夕為,

4、己知角a,"的終邊相同，則a-夕的終邊在.

5、若夕是第四象限角，則180°是第象限角；180°+￡是第一象限角。

6、已知a與60°角的終邊相同，分別判斷2a是第幾象限角。

附簡要答案：

選做

1、(0°,45°),(180°,270°)

2、324°30f,-5°,-80°,22°

3、―375°和—735°

4,x軸正半軸

5、三，二

a

6、上為第一或第三象限，2a為第二象限

2

必修四第1單元

第二課時：1.1.2弧度制(課前先學案)

【學習目標】

1.理解弧度制的意義，能正確地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數

2.掌握弧度制下的弧長公式和扇形的面積公式,會利用弧度制解決某些簡單的實際問題

3.了解角的集合與實數集之間可以建立起一一對應的關系

【知識梳理】

一、度的定義及相關知識

L1度角是指把圓周平均分成360等份,其中每一份所對的圓心角的度數。這種用度作

為單位來度量角的單位制叫角度制。

rijrrJn冗

2.設圓心角為〃。的圓弧長為/,圓的半徑為r,則/=絲；-=—o

180r180

二、弧度制

1.弧度制的定義

角還可以用弧度為單位進行度量,把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做］

弧度的角，用符號皮表示，讀作弧度。

2.弧度數：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為o

如果半徑為r的圓心角所對的弧的長為1,那么，角a的弧度數的絕對值是同=:。這

里，a的正負由3的終邊的旋轉方向決定。

3.角度制與弧度制相互換算

(1)基本公式：360°=rad180°=rad

(2)換算方法：在公式兩邊都乘以或除以同一個數(不為零)。

4.完成下面的填空：特殊角的度數與弧度數

角度制0°45°60°90°150°180°315°

712萬313萬

弧度制27r

6

5.弧度制下的弧長公式和扇形面積公式：設扇形的圓心角是arad,弧長為/,半徑為r,

角a的弧度數=,

弧長公式：_____________________________

扇形面積公式：S==(類似于三角形面積公式)

【預習自測】

L把下列各角從弧度化為度。

2.把下列各角從度化為弧度。

(1)-750°(2)-1440°

第二課時：1.1.2弧度制(課堂正學案)

【課堂檢測】

1、將下列弧度轉化為角度：

兀77r

(1)——二°；(2)一一=°'；⑶3二°；

12------8------------

2、將下列角度轉化為弧度：

(1)36°=rad；(2)—105。=rad；

5乃

3、角a的終邊落在區間(-3肛-二)內，則角a所在象限是()

2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4、半徑為)cm,中心角為120"的弧長為()

兀兀2c27t2乃2

A.—cmB.---cmC.——cmD.----cm

3333

5、(1)已知扇形的周長為8an,圓心角為2md,求該扇形的面積。

(2)己知扇形周長為4cm,求扇形面積的最大值，并求此時圓心角的弧度數。

【拓展探究】

1.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360。V尸＜720°的元素

夕寫出來。

【當堂訓練】

1、寫出角的終邊在下圖中陰影區域內角的集合(包括邊界)

()

(A)0(B){?M<a<4}

(C)[a\O<a<^](D){a|-44a4—萬或04aM乃}

3.圓的半徑變為原來的!，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的倍。

2------------------

4.若2弧度的圓心角所對的弧長是4c〃z,則這個圓心角所在的扇形面積是.

【小結與反饋】

角度制與弧度制是度量角的兩種制度。在進行角度與弧度的換算時關鍵要

抓住180°=乃rad這一關系式，熟練掌握弧度制下的扇形的弧長和面積公式。

第二課時：1.1.2弧度制(課后溫學案)

【課外拓展】

必做：

1。120°等于（）rad

,冗717124

A.——B.C.D.

~4

32T

c57rf十

2.7■等于()

6

Ao30°Bo60°C,120°D。150°

3.a=-2rad,則a終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限

4.一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓周角的弧度數為（）

_1c715_71—X5)

A.1B.—C.一或一萬D.一或——

26633

TT

5.扇形圓心角為一，半徑為R,則扇形內切圓面積與扇形面積之比（）

3

A.1：3B.2：3C.4：3D.4：9

6.240°=rad;--=度；225°=rad;-=度。

3------------8-----

7.一個扇形弧長為5cm,面積為5cm：則這個扇形圓心角的弧度數

選做（考重點大學必做）:

1、若角a=3,則角a的終邊在第象限；若。=-6,則角a的終邊在第象

限。

2、圓的半徑為10,則2弧度的圓心角所對的弧長為；扇形的面積為一

3、用弧度制表示下列角終邊的集合。

(1)直線y=Jit上的角

選做參考答案：

1.二，一

2.20,100

3.Mx=60°+H180°,左eZ}

必修四第1單元

第三課時：1.2.1任意角的三角函數(課前先學案)

【自主學習】精讀課本Pll-P17,完成課前先學案

【學習目標】

L掌握任意角的正弦，余弦，正切的定義.

2.掌握正弦，余弦，正切函數的定義域以及這三種函數的值在各象限的符號.

3.掌握特殊角的三角函數值

【知識梳理】

一、復習：銳角三角函數的定義：如圖1：在平面直角坐標系中，設P(x,y)是角a終邊上

不同于原點的任意一點，它與原點的距離|。仔|=Jf+J=「，軸，當a為

銳角時,

sintt=;cosa;tana=

三角函數定義域

二、自主學習：自學P11前2大段內容,完成下面

的填空：

1.三角函數的定義：設P(x,y)是角a終邊上不同于原點的任意一點，|。8=廠，

sina=;cosa=;tana=.

2.當巴的終邊在y軸上時,a的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標等于，所以

tana=?無意義。除此之外,對于確定的角a,上面三個值都是。所以，正

弦、余弦、正切函數都是以角為自變量的函數，我們將它們統稱為三角函數.

3.由于角的第合與實數第之間可以建立一一對應關系，三角函數可以看成是自變

量為實數的函數.

4.如圖2,三角函數的定義域：完成下表

5.根據任意角的三角函數定義將這三種函數的值在各象限的符號填入括號。

y=sinay—cosay=tana

記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

【預習自測】

1.已知角a的終邊經過點P(2,-3),求sina,cosa,tane的值。

2.填表

030456090180270360

弧度

sina

cosa

tana

第三課時：1.2.1任意角的三角函數(課堂正學案)

【課堂檢測】

1.已知角a的終邊經過點P(4a,—3a)(a>0),求a的正弦、余弦、正切的值。(變形awO

呢？)

2.已知角a的終邊經過點P(-%,-6),且cosa=--—,求x的值

3.(1)若costz>0且tana<0,則角a為第象限角。

(2)使sinacosa<0成立的角a的集合在第象限。

【拓展探究】

1.己知角a的終邊在直線y=-3x上，求a的正弦、余弦、正切的值

2.若AABC兩內角A、8滿足sinAcosS<0,判斷三角的形狀。

【當堂訓練】

1、已知角a的終邊過點尸(—1,2),cosa的值為

2、a是第四象限角，則下列數值中一定是正值的是

A.sinaB.cosaC.tanaD.——--

tana

3、己知角a的終邊過點P(4a,-3a)(a<0),則2sina+cose的值是.

2

4、若點P（—3,y）是角a終邊上一點，且sina=—則y的值是

5、已知a是第二象限角，P（x,行）為其終邊上一點，且cosa=Jx,則sina的值為

4

【小結與反饋】

L正確理解三角函數的定義，能靈活記憶三角函數值在各個象限的符號。2.掌握特殊角的三

角函數值。

第三課時：1.2.1任意角的三角函數（課后溫學案）

【課外拓展】

必做：

1、若角a終邊上有一點「（凡|。|）3e/?且。70）,則sina的值為（）

A、也B、-也C、土也D、以上都不對

222

2、下列各式中不成立的一個是（）

6汽\

~~>°D、tan^^>0

[5）3

3、己知a終邊經過P（—5,12）,則sine=.

4、若a是第二象限角，則點A(sina,cosa)是第象限的點.

5、已知角。的終邊在直線y=3-X上，則sin8=；tan8=

選做(考重點大學必做)：

6、設角x的終邊不在坐標軸上，求函數>=券=+詈空+霽二的值域。

|sinx\|cosx\|tanx|

7.已知a的終邊過(3k—9次+2)且cosa40,sine>0,則％的取值范圍

是o

8.函數y=sinx+tanx的定義域為。

9.5卜2-053-3!14的值為(正數，負數，0,不存在)

選做參考答案:

3攵一9W0

6.{3,-1}7.4-2<k<38.<x\x豐％+kn,keZ9.

攵+2>0

負數

必修四第1單元

第四課時：1.2.2同角三角函數關系（1）（課前先學案）

【自主學習】精讀課本P18-P20,完成課前先學案

【學習目標】本課時重點是公式的應用之方程思想，較難的變形在下一課時。

1.掌握同角三角函數的基本關系式sii^a+cos2a=1,tana吧；

cosa

2.靈活運用同角三角函數的兩個基本關系解決求值、化簡等問題。

3.“知一求二”的問題，靈活運用5皿。+（：05。,5111。一?05。,5111。（：05。之間的關系。

【知識梳理】

1.平方關系：sin2x+cos2%=l2.商數關系；出土=

COSX

說明：

①注意“同角”，是一個整體，至于角的形式無關重要，如sin2（2x+q）+cos2（2x+g）=l

等；

②注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如

k九

ta6rcoas=si/awez）；

③對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：

r73~.22sintz.

cos<7=±Vl-sina?sina=1-cosa,cost1=------等A。

tantz

【預習自測】

4,

1.已知cos。=一《，且。為第三象限角，求sin。,tan。的值。

2.已知sina=一,并且a是第二象限角，求cosa,tana的值

2

冗A717t717T

3.已知sin(2a--)=—,且一<2a---<乃，求cos(2。----),tan(2a----)的值。

352333

4.化簡

(1)Vl-sin244O.(2)Vl-2sin40cos40.

第四課時：1.2.2同角三角函數關系（1）（課堂正學案）

【課堂檢測】

1.已知sina=L,求cosa,tana的值。（預習自測2的變形）

2

2.已知tana=,且a為第四象限角，求sina,cosa的值。

解題回顧與反思：通過以上幾個例子，你能簡單歸納一下對于sina,cosa和tana的“知

一求二”問題的解題方法嗎？

【拓展探究】

1..已知sina-cosa=—，貝［sin2cosa=

3

2.已知0<0<7i,sin6+cos。=(,求tan。的值

【當堂訓練】

12.

1、已知0<a<7i,sin。cos。=----,則cos。-sina的值等于

25

2、若$指。,8$。是方程4犬2+2/?7*+m=0的兩根，則加的值為

【小結與反饋】

1.已知一個角的某一個三角函數值，便可運用基本關系式求出其它三角函數值。在求值中，

確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止

一種。

解題時產生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關系開

平方時，漏掉了負的平方根。

2.化簡三角函數式，化簡的一般要求是：

（1）盡量使函數種類最少，項數最少，次數最低；

（2）盡量使分母不含三角函數式；

（3）根式內的三角函數式盡量開出來；

（4）能求得數值的應計算出來，其次要注意在三角函數式變形時，常將式子中的“1”作巧

妙的變形。

第四課時：1.2.2同角三角函數關系（1）（課后溫學案）

【課外拓展】

必做:

3

1.已知cosa=——，。€(0,萬)，則tana等于()

4443

A.-B.--C.±-D.+-

3334

2.若e(0,24)，且-cos20+yji-sr\2(3=sh/?-cos/7,則夕的取值范圍是()

TV7T小「萬、

A.[0,-)B.[-,n]C.[n,-3-)D.[—,2

2222

n)

iTi—34—

3.已知sinQ=--------,cosa-)------,則加(

m+5m+5

A.可取[—■,9]中的一切值B.等于0

C.等于8D.等于0或8

3

4

4.已知sina=—且tana<0,貝l]cosa=

5----------------

3

5.已知sina=—,求cosa、tana的值。

5

選做（考重點大學必做）:

n0

l-2sin—cos—,那么,是第

1.若。為二象限角，且cos——sin—=象限角。

22222

必修四第1單元

第五課時：1.2.2同角三角函數關系(2)(課前先學案)

【自主學習】精讀課本P18-P20,完成課前先學案

【學習目標】本課時重點是弦切互化以及巧用“1”.

1.掌握同角三角函數的基本關系式，tana='吧；

cosa

2.靈活運用同角三角函數的兩個基本關系解決化簡、齊次式等問題。

3.掌握弦切互化思想

【知識梳理】

L平方關系：sin2x+cos2%=l2.商數關系；9二=

COSX

(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx

說明：對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變形用)，如：

~2?212sina

COS67=±V1—sina,sina-1-cos**atcosa=----等。

tan。

2.齊次整式：一個多項式中各個單項式的次數都相同的式子

3.齊次分式：分子和分母中，各個單項式的次數都相同的式子

【預習自測】

1.化簡cos0-tan0(2)

(1+tan2a)cos?a

—l-2sinacosal-tana

2.證明：--------=--------

cosa-sina1+tana

cc—sina+cosa心

3.己知tana=2,求------------的值.。

sina-cosa

第五課時：L2.2同角三角函數關系（2）（課堂正學案）

【課堂檢測】

2sina+3cosa

1、已知tana=3,求的值。

sina-cosa

2.化簡：（DtanaJ」一一1（a是第二象限角）

Vsirra

【拓展探究】

1.已知tana=3,求下列各式的值。

Q）2sin2-3cos2a

(2)2sin2(7-3COS2a

4sin2or-9cos2a

【當堂訓練】

1、如果角。滿足sin6+cos6=、歷，那么tan6+——的值是

tan。

c?兀.._/1+sina1-sina

2.右一VQVTT,化筒」--------

2Vl-sina1+sina

【小結與反饋】

1.巧用：1=sin2a+cos2a,

2,弦切互化思想，若已知tang的值，所求為關于sinacos。的齊次分式，可以弦化切，切

化弦求值。

第五課時：1.2.2同角三角函數關系（2）（課后溫學案）

【課外拓展】

必做：

一acosxsinxtanx,.?z、

1,函數.+/,+/）—的值域是（）

Vl-sin2xvl-cos2xVtan2x

A.{3,—1}B.{1,3}C.3,—1,1}D.{—1,1,3}

3sin6+2cos。3s“〃+cos：J⑶sin2。

2.已知tan。=2,求：（1）-----------------；(2)

2sin0-cos82cos2^-sin2(9

3.若sina=?里,cosa=K」(ZH3),(1)求女的值；(2)求吆二1■的值。

k-3k_3tana+1

必修四第1單元

第六課時：1.3.1三角函數的誘導公式（1）（課前先學案）

【自主學習】精讀課本P14、P23—P27,完成課前先學案

【學習目標】

1.鞏固理解三角函數知識，并能用三角函數定義推導誘導公式

2.準確記憶并理解誘導公式，靈活運用誘導公式求值

【知識梳理】

知識回顧：利用三角函數的定義，表示任意角a的三角函數值。設P（x,y）為角a的終邊上

(除原點外)任意一點，|。慨="/=r,則sina=),cosa=-,tana=-.

11rrx

1.誘導公式：由三角函數定義可以知道：

(1)(教材P14)終邊相同的角的同一三角函數值相等。

公式一(。+攵?2%，keZ)：

sin(a+2kjr)-；

cos0+2而)=；

tan(a+2Z〃)=

(2)(教材P23-24)角a的終邊與角；r+c的終邊關于原點對稱。角a的終邊上一點

P(x,y)關于原點對稱的點在角4+a的終邊上，且對稱點為P'(-x,-y)。

公式二(4+&)：

sin(%+a)-：

cos(%+a)=：

tan(4+a)=

(3)(教材P23-24)角a的終邊與角-。的終邊關于土軸對稱。角a的終邊上一點

P(x,y)關于土鈾對稱的點在角-a的終邊上，且對稱點為P'(羽-y)。

公式三(-e)：

sin(-a)=；

cos(-a)=：

tan(-a)=__________

(4)(教材P23-24)角a的終邊與角萬-a的終邊關于一y軸—對稱。角a的終邊上一

點P(x,y)關于上軸對稱的點在角n-a的終邊上，且對稱點為P'(-x,y)。

公式四(萬-a)：

sin(乃-?)=；

cos(zr-a)=;

tanQr-a)=

注意：這四組公式可以用口訣：“函數名不變，符號看象限”來記憶。

【預習自測】閱讀教材P24-P25例1

1、求下列三角函數值：(1)5抽(—240°)(2)cosgU萬)(3)tan(-1560°)

4

c"gcos(180°+G)sin(a+360°)tan(360°-a)

2、化間：-----------------------------------------