2025屆黑龍江省牡丹江市高一下數學期末經典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．邊長為的正三角形中，點在邊上，，是的中點，則（）A． B． C． D．2．設點是函數圖象士的任意一點，點滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．3．對于空間中的兩條直線，和一個平面，下列結論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．在中，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．已知等比數列中，，，則（）A．10 B．7 C．4 D．126．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）7．已知等比數列的公比為正數，且，則()A． B． C． D．8．已知函數的圖象過點，且在上單調，同時的圖象向左平移個單位之后與原來的圖象重合，當，且時，，則A． B． C． D．9．已知，則的值等于（）A． B． C． D．10．已知為的一個內角，向量.若，則角()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則________.12．設函數，則使得成立的的取值范圍是_______________．13．若、、這三個的數字可適當排序后成為等差數列，也可適當排序后成等比數列，則________________.14．無窮等比數列的首項是某個正整數，公比為單位分數（即形如：的分數，為正整數），若該數列的各項和為3，則________.15．（理）已知函數，若對恒成立，則的取值范圍為．16．正三棱錐的底面邊長為2，側面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）解方程：；（2）有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數；18．已知數列中，．.（1）寫出、、；（2）猜想的表達式，并用數學歸納法證明．19．已知向量，，函數.（1）若，，求的值；（2）若函數在區間上是單調遞增函數，求正數的取值范圍.20．已知向量的夾角為60°，且.（1）求與的值；（2）求與的夾角.21．已知數列的前項和為，滿足且，數列的前項為，滿足（Ⅰ）設，求證：數列為等比數列；（Ⅱ）求的通項公式；（Ⅲ）若對任意的恒成立，求實數的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

，故選D．2、B【解析】

函數表示圓位于x軸下面的部分。利用點到直線的距離公式，求出最小值。【詳解】函數化簡得。圓心坐標,半徑為2.所以【點睛】本題考查點到直線的距離公式，屬于基礎題。3、C【解析】

依次分析每個選項中兩條直線與平面的位置關系，確定兩條直線的位置關系即可.【詳解】平行于同一平面的兩條直線不一定相互平行，故選項A錯誤，平行于平面的直線不一定與該平面內的直線平行，故選項B錯誤，垂直于平面的直線，垂直于與該平面平行的所有線，故選項C正確，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故選項D錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了直線與平面位置關系的辨析，屬于基礎題.4、A【解析】

首先根據降冪公式把等式右邊降冪你，再根據把換成與的關系，進一步化簡即可．【詳解】，，,選A.【點睛】本題主要考查了二倍角，兩角和與差的余弦等，需熟記兩角和與差的正弦余弦等相關公式，以及特殊三角函數的值是解決本題的關鍵，屬于基礎題．5、C【解析】

由等比數列性質可知,進而根據對數的運算法則計算即可【詳解】由題,因為等比數列,所以,則,故選:C【點睛】本題考查等比數列的性質的應用,考查對數的運算6、D【解析】

直接利用向量的坐標運算法則化簡求解即可．【詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【點睛】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力．7、D【解析】設公比為，由已知得，即，又因為等比數列的公比為正數，所以，故，故選D.8、A【解析】由題設可知該函數的周期是，則過點且可得，故，由可得，所以由可得，注意到，故，所以，應選答案A點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.9、B【解析】．10、C【解析】

帶入計算即可．【詳解】即,選C.【點睛】本題考查向量向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先算出的坐標，然后利用即可求出【詳解】因為，所以因為，所以即，解得故答案為：【點睛】本題考查的是向量在坐標形式下的相關計算，較簡單.12、【解析】

根據函數的表達式判斷出函數為偶函數，判斷函數在的單調性為遞增，根據偶函數的對稱性可得，解絕對值不等式即可.【詳解】解：，定義域為,因為，所以函數為偶函數.當時，易知函數在為增函數，根據偶函數的性質可知：由可知，所以，解得：或.故答案為：.【點睛】本題考查偶函數的性質和利用偶函數對稱性的特點解決問題，屬于基礎題.13、【解析】

由，，可知，、、成等比數列，可得出，由、、或、、成等差數列，可得出關于、的方程組，解出這兩個未知數的值，即可計算出的值.【詳解】由于，，若不是等比中項，則有或，兩個等式左邊均為正數，右邊均為負數，不合題意，則必為等比中項，所以，將三個數由大到小依次排列，則有、、成等差數列或、、成等差數列.①若、、成等差數列，則，聯立，解得，此時，；②若、、成等差數列，則，聯立，解得，此時，.綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列和等差數列定義的應用，根據題意列出方程組是解題的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.14、【解析】

利用無窮等比數列的各項和，可求得，從而，利用首項是某個自然數，可求，進而可求出.【詳解】無窮等比數列各項和為3，，是個自然數，則，.故答案為：【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.15、【解析】試題分析：函數要使對恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需滿足，解得.考點：恒成立問題.16、【解析】

由題意可得：該三棱錐的三條側棱兩兩垂直，長都為，所以三棱錐的體積.考點：三棱錐的體積公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或。（2）、、、，或、、、【解析】

（1）由正弦的倍角公式，化簡得，得到解得或，結合正弦和余弦的性質，即可求解；（2）設這四個數分別為，得到，且，即可求解，得到答案.【詳解】（1）由題意，方程，可得，即，解得或，所以或.（2）由題意，設這四個數分別為，可得，且，解得：或，所以這四個數為：、、、，或、、、.【點睛】本題主要考查了三角方程的求解，以及等差、等比中項的應用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及等差、等比數列中項公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.18、（1），，；（2）猜想，證明見解析.【解析】

（1）利用遞推公式可計算出、、的值；（2）根據數列的前四項可猜想出，然后利用數學歸納法即可證明出猜想成立.【詳解】（1），，則，，；（2）猜想，下面利用數學歸納法證明.假設當時成立，即，那么當時，，這說明當時，猜想也成立.由歸納原理可知，.【點睛】本題考查利用數列遞推公式寫出數列中的項，同時也考查了利用數學歸納法證明數列通項公式，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用數量積公式結合二倍角公式，輔助角公式化簡函數解析式，由，結合的范圍以及平方關系得出的值，由結合兩角差的余弦公式求解即可；（2）由整體法結合正弦函數的單調性得出該函數的單調增區間，則區間應該包含在的一個增區間內，根據包含關系列出不等式組，求解即可得出正數的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，即.因為，所以所以.所以.（2）.令，得，因為函數在區間上是單調遞增函數所以存在，使得所以有，即因為，所以又因為，所以，則，所以從而有，所以，所以.【點睛】本題主要考查了利用同角三角函數的基本關系，二倍角公式，兩角差的余弦公式化簡求值以及根據正弦型函數的單調性求參數范圍，屬于較難題.20、（1），；（2）.【解析】

（1）根據，即可得解；（2）根據公式計算求解.【詳解】（1）由題向量的夾角為60°，所以，，；（2），所以【點睛】此題考查平面向量數量積，根據定義計算兩個向量的數量積，求向量的模長和根據數量積與模長關系求向量夾角.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）對遞推公式變形可得，根據等比數列的定義，即可得證；（Ⅱ）化簡可得，然后再利用裂項相消法求和，即可得到結果；（Ⅲ）先求出，然后再利用分組求和求出，然后再利用分離常數法，可得，最后對進行分