河南省許昌市高級中學2025屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點，設等差數列的前n項和為，若，則（）A．25 B． C． D．552．向量，，，滿足條件．，則A． B． C． D．3．在中，若，則（）A． B． C． D．4．已知函數，則（）A．的最小正周期為，最大值為1 B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為1 D．的最小正周期為，最大值為5．設集合，則()A． B． C． D．6．已知函數則的是A． B． C． D．7．．設、是關于x的方程的兩個不相等的實數根，那么過兩點，的直線與圓的位置關系是（）A．相離. B．相切. C．相交. D．隨m的變化而變化.8．若a,b,c∈R，且滿足a>b>c，則下列不等式成立的是（）A．1a<C．ac29．若是一個圓的方程，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知組數據，，…，的平均數為2,方差為5,則數據2+1，2+1，…，2+1的平均數與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=21二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數的取值范圍為______．12．設向量，，______.13．在《九章算術·商功》中將四個面均為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（biēnào），在如下圖所示的鱉臑中，，，，則的直角頂點為______.14．設等差數列，的前項和分別為，，若，則__________．15．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點圖分析，與線性相關，且，則______．16．如圖，四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，則直線與直線所成角的余弦值為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數列是等比數列；（2）求數列的通項；（3）設、分別為數列、的前項和是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.18．設向量，，令函數，若函數的部分圖象如圖所示，且點的坐標為.（1）求點的坐標；（2）求函數的單調增區間及對稱軸方程；（3）若把方程的正實根從小到大依次排列為，求的值.19．已知向量，.求：（1）；（2）與的夾角的余弦值；（3）求的值使與為平行向量.20．已知數列滿足：（1）設數列滿足，求的前項和：（2）證明數列是等差數列，并求其通項公式；21．已知向量，其中．函數的圖象過點，點與其相鄰的最高點的距離為1．（Ⅰ）求函數的單調遞減區間；（Ⅱ）計算的值；（Ⅲ）設函數，試討論函數在區間[0，3]上的零點個數．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據向量的加法和平面向量定理，得到和的值，從而得到等差數列的公差，根據等差數列求和公式，得到答案.【詳解】因為E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點，所以，因為，所以，，所以等差數列的公差，所以.故選：D.【點睛】本題考查向量的加法和平面向量定理，等差數列求和公式，屬于簡單題.2、C【解析】向量，則，故解得.故答案為：C。3、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．4、D【解析】

結合二倍角公式，對化簡，可求得函數的最小正周期和最大值.【詳解】由題意，，所以，當時，取得最大值為.由函數的最小正周期為，故的最小正周期為.故選：D.【點睛】本題考查三角函數周期性與最值，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.5、B【解析】

先求得集合，再結合集合的交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的交集的運算，其中解答中正確求解集合B，結合集合的交集的概念與運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、D【解析】

根據自變量的范圍確定表達式，從里往外一步步計算即可求出.【詳解】因為，所以，因為，所以＝＝3.【點睛】主要考查了分段函數求值問題，以及對數的運算，屬于基礎題.對于分段函數求值問題，一定要注意根據自變量的范圍，選擇正確的表達式代入求值.7、D【解析】直線AB的方程為.即，所以直線AB的方程為,因為,所以,所以,所以直線AB與圓可能相交，也可能相切，也可能相離.8、C【解析】

通過反例可依次排除A,B,D選項；根據不等式的性質可判斷出C正確.【詳解】A選項：若a=1，b=-2，則1a>1B選項：若a=1，b=12，則1aC選項：c2+1>0又a>b∴ac2D選項：當c=0時，ac=bc本題正確選項：C【點睛】本題考查不等式性質的應用，解決此類問題通常采用排除法，利用反例來排除錯誤選項即可，屬于基礎題.9、C【解析】

根據即可求出結果.【詳解】據題意，得，所以.【點睛】本題考查圓的一般方程，屬于基礎題型.10、C【解析】

根據題意，利用數據的平均數和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據題意，數據，，，的平均數為2，方差為5，則數據，，，的平均數，其方差；故選．【點睛】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據的平均數、方差的計算公式，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出與的坐標，再根據與夾角是銳角，則它們的數量積為正值，且它們不共線，求出實數的取值范圍，．【詳解】向量，，，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們乘積為正值，即，且，求得，且．【點睛】本題主要考查利用向量的數量積解決向量夾角有關的問題，以及數量積的坐標表示，向量平行的條件等．條件的等價轉化是解題的關鍵．12、【解析】

利用向量夾角的坐標公式即可計算.【詳解】.【點睛】本題主要考查了向量夾角公式的坐標運算，屬于容易題.13、【解析】

根據，可得平面，進而可得，再由，證明平面，即可得出，是的直角頂點.【詳解】在三棱錐中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角頂點為.故答案為：.【點睛】本題考查了直線與直線以及直線與平面垂直的應用問題，屬于基礎題.14、【解析】分析：首先根據等差數列的性質得到，利用分數的性質，將項的比值轉化為和的比值，從而求得結果.詳解：根據題意有，所以答案是.點睛：該題考查的是有關等差數列的性質的問題，將兩個等差數列的項的比值可以轉化為其和的比值，結論為，從而求得結果.15、【解析】

根據數據表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據表中數據得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結果：【點睛】本題考查利用回歸直線求實際數據，關鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構造出關于的方程.16、.【解析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與直線所成角的余弦值．【詳解】解：四棱錐中，所有棱長均為2，是底面正方形中心，為中點，，平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設直線與直線所成角為，則，直線與直線所成角的余弦值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數，使得數列為等差數列.【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數列的通項；（3）把數列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達式代入Tn，進而推斷當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．【詳解】（1）因為點在直線上，所以，因此由得所以數列是以為公比的等比數列；（2）因為，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數列是等差數列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當且僅當λ＝2時，數列是等差數列．【點睛】本題主要考查等差數列與等比數列的綜合，熟記等比數列的定義，等比數列的通項公式，以及等差數列與等比數列的求和公式即可，屬于常考題型.18、(1)(2)單調遞增區間為；對稱軸方程為，；(3)14800【解析】

（1）先求出，令求出點B的坐標；（2）利用復合函數的單調性原理求函數的單調增區間，利用三角函數的圖像和性質求對稱軸方程；（3）由（2）知對稱軸方程為，，所以，，…，，即得解.【詳解】解:（1）由已知，得∴令，得，，∴，.當時，，∴得坐標為（2）單調遞增區間，得，∴單調遞增區間為對稱軸，得，∴對稱軸方程為，（3）由，得，根據正弦函數圖象的對稱性，且由（2）知對稱軸方程為，∴，，…，∴【點睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數的圖像和性質，考查等差數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.19、（1）5（2）（3）【解析】

(1)利用向量坐標運算法則,先求出向量的坐標,再求模;(2)利用兩個向量的數量積的定義和公式,則可求出與的夾角的余弦值;(3)利用兩個向量共線的性質,求出的值.【詳解】(1)向量,,,;(2)設與的夾角為,∵,,,所以,即與的夾角的余弦值為;(3)由題可得:,∵與為平行向量,∴,解得,即滿足使與為平行向量.【點睛】本題主要考查向量的坐標運算,涉及向量的模,數量積,共線等相關知識,屬于基礎題.20、（1）（2）證明見解析,【解析】

（1）令n=1，即可求出，計算出，利用錯位相減求出。（2）利用公式化簡即可得證。再利用，求出公差，即可寫出通項公式。【詳解】解：在中，令，得，所以，①，②①②得化簡得由得：，兩式相減整理得：從而有，相減得：即故數列為等差數列，又，故公差【點睛】本題主要考查利用錯位相減法求等差乘等比數列的前n項的和，屬于基礎題。21、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由數量積的坐標運算可得f（x），由題意求得ω，再由函數f（x）的圖象過點B（2，2）列式求得．則函數解析式可求，由復合函數的單調性求得f（x）的單調遞增區間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期為2的周期函數，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．進一步可得結論；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數g（x）在[0，3]上的零點個數，即為函數y＝sin的圖象與直線y＝m在[0，3]上的交點個數．數形結合得答案．【詳解】（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），∴f（x）max＝2，則點B（2，2）為函數f（x）的圖象的一個最高點．∵點B與其相鄰的最高點的距離為2，∴，得ω．∵函數f（x）的圖象過點B（2，2），∴，即sin2φ＝2．∵0＜，∴．∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，由，得，．的單調遞減區間是，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，∴f（x）是周期為2的周期函數，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．而2027＝2×502+2，∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函數g（x）在[0，3]上的零點個數，即為函數y＝sin的圖象與直線y＝m在[0