安徽省淮北市2024屆高三第二次質量檢測數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合

題目要求的.

L已知集合U={1,2,3,4,5},4={1,2},5={1,3,5},則加。8=

A.{2}B,{1,2,4}C.{1,2,3,5)D.{1,3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意，結合結合的運算法則，準確運算，即可求解.

【詳解】由集合。={L23,4,5},A={1,2},3={1,3,5）,

可得屯3={2,4},所以4_電5={1,2,4}.

故選：B.

2.若復數z=cos」+isin」（i為虛數單位），則z2=（）

33

A1A/3.-1石.r173.D[+爭

222222

【答案】A

【解析】

【分析】先根據三角函數化簡復數z,然后在進行平方運算.

【詳解】因為2=cos&+isin0=—L+3i，

3322

[13、2

所以z2—?—1

2242422

7

故選：A.

3.已知a,beR,下列命題正確的是(

A若a)=1,則a+/??2

B.若貝！

ab

C.若a>b,則ln(a—〃)>0

D.若a>b>0,則an—>b-\—

ba

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可推出A,B,C錯誤，D利用反比例函數單調性和不等式可加性即可證得.

【詳解】當a=—11=—1時，a+b=-2,所以A錯.

當。<0,。>0時，a<b,所以B錯.

當a=2力=1時，ln(a—/?)=0,所以C錯.

若a>6>0,則工>,〉0,則4+工>人+工成立，所以D正確.

baba

故選：D

xsin%

4.函數=j-［的大致圖像為()

cosx

【解析】

37c

【分析】利用函數的奇偶性排除B,D兩項，再根據圖象取特殊值》=二，排除A項即得.

4

sinx7T

【詳解】由/(x)=可知,cosxwO,即XH—+E,左eZ,顯然該函數定義域關于原點對稱,

COSX2

sin(-x)sinx

由〃r)==-/(%)可知，函數為奇函數，排除B,D兩項,

|cos(-x)||cosx|

,3兀

3兀sin~T

X/(—)=——A=l〉0,排除A項，故C項正確.

4?劃?

cos——

4

故選：c.

5.某次考試一共5道判斷題，有三名考生參加考試，每人均答對4道題，答錯一道題，三人回答具體情況

記錄如下:

題號12345

考生甲TFFFT

考生乙TTFTT

考試丙FFFTT

則這5道題的正確答案依次為()

A.FFFTT

B.FTFTT

C.TFFTF

D.TFFTT

【答案】D

【解析】

【分析】根據答題情況，對第1題的答錯情況進行判斷，可得全部正確答案.

【詳解】每個考生都均答對4道題，答錯一道題，

第1題，若甲乙答錯，則甲乙的后四題答案應相同，不成立，故丙答錯了第1題；

丙答錯了第1題，則丙的后四題全部正確，對比可知，甲答錯了第4題，乙答錯了第2題,

則這5道題的正確答案依次為TFFTT.

故選：D

6.若函數"x)=ta+ln(e￡+l)是偶函數(e是自然對數的底數)，則實數”的值為()

11

A-—2B.一一C.-D.

ee

【答案】B

【解析】

【分析】根據偶函數的定義，得出—ax+ln(ef+1)=依+ln(e，+l),利用對數的運算性質整理成

(2a+l)x=0,分析即得.

詳解】依題意，/(—%)=/(%)，即一6+ln(eT+l)=?x+ln(e*+l),

ex+1

整理得：2a%+ln--------=0,即2ax+lne*=0，則有(2a+l)x=。，

ell

因x不恒為0,故必有2〃+1=0,解得，a=—.

2

故選：B.

22

7.已知A為雙曲線E:二—斗=1(。〉0]〉0)的右頂點，。為坐標原點，5,C為雙曲線E上兩點，且

ab

AB+AC=2AO^直線A&AC的斜率分別為4和則雙曲線E的離心率為()

A.73B.好C.—D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由AB+AC=2AO可得：。是的中點，即反C關于原點對稱，然后設點3(%”),

9a

TH——

C(-m,-〃)去表達直線ABAC的斜率，聯立方程組可解得,?，最后把這點3(四，漢)代入雙曲

8a77

n=——

[7

線方程E,就可以得到一個關于離心率的方程，并解得結果.

【詳解】由AB+AC=2AO可得：。是的中點，即5c關于原點對稱，

不妨假設點B(m,ri),則C(-m,-ri),

由A(a,0)及直線AB,AC的斜率分別為4和g可得:

9a

m-——

m-a~n=4m-4tz7

=I聯立解得:

-n1\2n=m+a8。

n二——

、一m-a27

所以把點3(——,一)代入雙曲線方程E得：

77

%丫

T),8164/,

b24949(c2-a2)

6432

再由e=(代入得：4咐_］)=&，解得：e2=3，

e>1,.\e=y/3，

故選：A.

8.當實數/變化時，函數/(%)=,+4,%?—4,4］最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先對內函數丁=必+/對應的方程的根的情況分類討論，得出『20時，結果為16,對于/<0時,

求出兩根，根據圖象，就內函數的零點與區間端點的位置進行分類考慮，利用函數單調性分析即得.

【詳解】若_=一4/<0,即tNO時，f(x)^x2+t,其對稱軸為x=o,/(x)max=r+16,

此時，因『20,故g?)=7+16的最小值為16；

圖1

(I)如圖1,當C<4時，即—16口<0時，/(x)=|x2+r|［—4,—J二］上遞減,

在［-Q,0］上遞增，

在［0,、/匚7］上遞減，在4］上遞增,又K(±4)=|/+16|=/+16,/(0)=|止T,

①當—16WM—8時，/+16WT,故/(￡)1mx=-，而g⑺=一在［—16,—8］上單調遞

減,則此時，g?)血n=g(-8)=8；

②當一8V/<0時,f+16>T,故/(x)111ax=/+16,而丸⑺=/+16在(-8,0)上單調

遞增，則此時，g?)>丸(―8)=8.

圖2

(II)如圖2,當J：〉4,即/<—16時，/(力=,+力在［-4,0］上單調遞增，在［0,4］上單調遞減，

則此時/(%)1mx=/(0)=W=T,而(p3=T在(f,—16)上單調遞減，則9⑺〉奴—16)=16.

綜上，函數/(%)=,+/|,%e［-4,4］最大值的最小值為8.

故選：D.

【點睛】方法點睛：本題主考查絕對值函數在給定區間上的最值問題，屬于難題.

解決絕對值函數的方法，主要是根據其內部函數的特點，結合圖象，就參數分類討論去掉絕對值，再利用

函數的單調性，即可求其最值.

二、多項選擇題:木題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知數列｛%｝,也｝的前幾項和分別為5“工，若4=2“-l,1=2"+i—2,則()

A.兀=100B,仇0=1024

1191】……1023

C.\------卜的前10項和為一D.〈二卜的前10項和為----

〔44+1J19bn1024

【答案】ABD

【解析】

【分析】本題首先根據題意判斷出數列｛%｝、他“｝分別是等差數列、等比數列，求出等比數列｛%｝的通項

公式，進而分析!也是等比數列并求出其通項公式，可解決選項A、B、D的問題，再依據裂項法,

1111、

-------=—(z--------)可解決選項C的問題.

danan+l

【詳解】q=2〃—1,所以｛%｝是首項4=1,公差d=2的等差數歹!J,

10x10

■?■S10=10xl+^-^x2=100,故選項A正確.

1z111111111、

C1+C2++。10=5(------+------++--------不,-------)，

乙ci-yci?ci?ci-yody?乙ay?

又q=1,a”=21,

Cj+c2+?+c10=—(1---)=—,故選項C錯誤.

121022121

又(=2._2,.?.a=,_,_]=2向_2_2〃+2=2"(“>l,“eN*),

又1瓦=4=2i+i—2=2,4=2]=2,.?.2=2"(“eN*),

也｝是首項為4=2,公比q=2的等比數列，

1O

.../?IO=2=1O24,故選項B正確.

是首項為:，公比為;的等比數歹！J,

也J-

1111023

—+—+—+，故選項D正確.

偽打b31024

故選：ABD.

10.已知正方體ABC。-AACA的棱長為2,M,N分別是棱AB,CG的中點，下列結論正確的是

)

A.MN//AQ

B.MN1CDl

C.棱5c的中點在平面內

D.四面體腦網。1的體積為1

【答案】BD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量研究線線關系可判定A、B,利用空間向量研究點面距離結合

錐體體積公式可判定D,補全平面D、MN截正方體的截面可判定C.

【詳解】

如圖所示建立空間直角坐標系，

則"（2,1,0）,N（0,2,1）,A（2,0,0）6（0,2,2）,C（0,2,0）,0（0,0,2）,

所以初V=（—2,1,1）,AQ=（-2,2,2）,0）1=（0,-2,2）,

f-2=-22

由空間向量共線的充要條件知若MN//AG，則有=

[1=24

顯然上述方程無解，故A錯誤；

又初V.CD]=_2x0+lx（-2）+lx2=0,所以B正確；

延長D]N,DC交于H點，連接Affir交于G點，

由平行線分線段成比例可知G為靠近B點的線段的一個三等分點，故C錯誤;

設平面AQ"的一個法向量為〃=（X,y,z）,

易知RA=（2,0,0）,A"=（0,L-2）,AN=（-2,2,-1）,

n-D,A=2x=0

則〈，令y=2=x=0,z=l,即〃=（0,2,l）,

n-A^M=y—2z=0

孔?ANQ

則N到平面ARM的距離為d=I1二二，

|〃|非

而S杷幽=；*2><萬萬=火，

所以Kv-AA”=§xdxS&D幽=1,故D正確.

故選：BD

11.如圖所示的鐘表中，時針初始指向“12”，每次擲一枚均勻的硬幣，若出現正面則時針按順時針方向旋轉

150，若出現反面則時針按逆時針方向旋轉150，用X“表示九次后時針指向的數字，則（）

（）

A.E（Xj=6B.PX2=12=1

。「（乂7=7）=冷D.E（X8）＞6

IZO

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，X］的可能取值為5,7,求出相應的概率，得到期望；B選項，2次旋轉中，1次順時針

方向旋轉，1次逆時針方向旋轉，得到概率；C選項，設硬幣正面朝上的次數為x,列出方程，求出

35

X=3,求出尸（X7=7）=—；D選項，求出Xg的可能取值及對應的概率，得到數學期望，得到答案.

128

【詳解】A選項，X1的可能取值為5,7,

且尸（X]=7）=P（X]=5）=（,故E（X]）=5xg+7xg=6,A正確;

B選項，X2=12,即2次旋轉中，1次順時針方向旋轉，1次逆時針方向旋轉,

故P（X2=12）=C；；x；=g,B錯誤；

C選項，X1=7,即順時針走了210。或逆時針走了150。,

設硬幣正面朝上的次數為X,則反面朝上的次數為(7-%),

150°（7-x）-150°x=150°,解得％=3,

34

故P"7=7）=G,C正確;

D選項，若硬幣8次均正面朝上，此時Xg=4,

故p（4=4）=m*

JJ2JO

若硬幣7次正面朝上，1次反面朝上,此時Xg=6,

故尸(4=6)=嗯

若硬幣6次正面朝上，2次反面朝上,此時X&=8,

故尸(X8=8)Y(9S系

若硬幣5次正面朝上，3次反面朝上,此時Xg=10,

故0區=1°)=程出5出31

若硬幣4次正面朝上，4次反面朝上,止匕時Xg=12,

若硬幣3次正面朝上，5次反面朝上,此時Xg=2,

尸(X—)Y/V，

若硬幣2次正面朝上，6次反面朝上,此時Xg=4,

若硬幣1次正面朝上，7次反面朝上,此時Xg=6,

P（"6）d1

32

若硬幣8次均反面朝上，此時*8=8,

1177357711

故￡(X?)=4義一+6x——+8x—+10x——+12x—+2x——+4x——+6x—+8義—

v87256326432128326432256

489

=—>6,D正確.

64

故選：ACD

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量若2a+匕與a+2b共線，則實數/

【答案】2

【解析】

【分析】利用平面向量共線坐標式列出方程，求解即得.

【詳解】由a=(1,2),Z?=(1/)可得，2a+b=(3,/+4),a+2b=(3,2?+2),

因2a+b與a+2人共線，則有3?+4)=3(2f+2),解得r=2.

故答案為：2.

13.在3x3的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個2x2的方格中的四個小方格的

顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數為

【答案】72

【解析】

【分析】根據題意，第一個2x2的方格有A：種涂法，假設第一個2x2的方格，涂如圖所示ABCD四種顏

色，分類求得不同的涂色方法，結合分步計數原理，即可求解.

【詳解】設四種顏色分別為A3CD，對于第一個2x2的方格，共有川=24種不同的涂法,

假設第一個2x2的方格，涂如圖所示ABCD四種顏色,

①若第三列的一個方格涂A,第三列的第二方格涂C,則第三列的第三方格涂A或8,

當第三列的第三方格涂A時，則第三行的第一、二方格，分別涂A,3；

當第三列的第三方格涂B時，則第三行的第一、二方格，分別涂5,A；

②若第三列的一個方格涂C,第三列的第二方格涂A,則第三列的第三方格涂C或8,

當第三列的第三方格涂。時，則第三行的第一、二方格，分別涂A,3；

當第三列的第三方格涂3時，則第三行的第一、二方格，分別涂氏A；

所以，共有3類涂法，則共有24x3=72種不同的涂色方法

故答案為：72.

14.在等腰梯形ABCD中，AB//CD,DA±DB,若AB=z則梯形周長的最大值為______,梯形面積的

最大值為______.

DC

AB

【答案】0.10②.3上

【解析】

【分析】過。作￡)石工鉆，E為垂足，設=ZDAB=a,把梯形周長和面積表示為關于x的函數，

利用二次函數的性質和基本不等式求最大值.

DAx.716-%2

【詳解】設=ZDAB=a,則RtZMB中，costz二-T二二二'SH1。=--------，

AB44

2

V、口-XV16-X2

過。作E為垂足，則AE=D4cosa=—，1JE=DAsma---------，

44

DC

AEB

—Lx=-—+2x+8=-t^+10,

等腰梯形ABCD周長為A3+3C+CO+D4=4+x+4-

2)22

所以當ZM=2時，梯形周長的最大值為10.

2

a_xxy/16-xI-------------

梯形面積_(A3+CD>DE[一4_,06—x?)-3必

S~22—16金

=牛=3萬

16V316V3

當且僅當16-f=3f,即x=2時等號成立,

所以梯形面積的最大值為3省.

故答案為：10；3K.

【點睛】思路點睛：設ZM=x,利用圖形特征，把梯形周長和面積表示為關于％的函數，借助函數的思

想，利用函數的單調性等性質，或不等式的性質，求最大值.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,A

15.記ABC的內角A,B,C的對邊分別為"c,已知c一b=2csirr—

2

（1）試判斷ABC的形狀；

（2）若c=l,求）LBC周長的最大值.

【答案】（1）A5C是直角三角形

（2）72+1

【解析】

b

【分析】（1）根據題意，求得cosA=—,利用余弦定理列出方程，得至!]/+/=02,即可求解；

c

（2）由（1）和c=l,得到a=sinA,Z?=cosA,貝!]ABC周長為1+sinA+cosA,結合三角函數的性

質，即可求解.

【小問1詳解】

._,,c?。A—r/口-2Ac—b,1—cosAc—b

解：由c—b=2csm"一,可得sin2—=----,所以--------=-----

222c22c

,所以COSA=2,

嗎嚀22cc

序2_2右-

又由余弦定理得可得a2+b2=c2,所以C=—,

2bcc2

所以_A5C是直角三角形

【小問2詳解】

解：由（1）知，ABC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,Z?=cosA,

所以一ABC周長為1+sinA+cosA=l+J^sin[A+-1j,

因為可待A+

JT

所以，當A=a時，即ABC為等腰直角三角形，周長有最大值為亞+1.

16.如圖，在長方體ABC。—44Goi中，點、E、P分別在8片，上，且AEL/B,AFLA.D.

（1）求證：平面AEF；

（2）當AB=4，AD=3,A4=5時，求平面AE尸與平面2片3。的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）I2正

25

【解析】

【分析】（1）以線面垂直判定定理去證明即可解決；

（2）建立空間直角坐標系，以向量法去求平面AM與平面。片的夾角的余弦值即可解決.

【小問1詳解】

因為8C1平面AB與A，AEu平面43與4,所以AEL3c.

又\BIBC^B,所以AE,平面ABC

因為ACu平面ABC,所以AE^AC

同理：因為CD,平面AD，A，A戶u平面AD，A，所以AELCD.

又AF，A。，\DCD=D,所以AF,平面AC。

因為ACu平面ACD,所以AB，AC

又因為AEL/C,AEr>AF=A，所以A。，平面AM

【小問2詳解】

以A為原點，分別以AB、AD，A4所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖.

則4(0,0,0),A(0,0,5)，8(4,0,0),4(4,0,5),￡>(0,3,0),C(4,3,0).

所以4^=(4,3,—5),且4。是平面AEF的一個法向量.

BBi=(0,0,5),BD=(-4,3,0)

設平面D^BD的法向量為n=(x,y,z)

n-BB=0f5z=0

則}即《

n-BD=0-4x+3y=0

所以z=0,令x=3,得y=4.

則平面2與的一個法向量為〃=(3,4,0).

所以”-AC=12+12=24.

|止行+42=5,|4。|=52+32+(-5)2=5后

/人n-AjC241272

所以cos伊，aq=

l?|-|Acl5x5加25

所以平面AE尸與平面〃的夾角的余弦值為上也.

25

17.塔山石榴，產自安徽省淮北市烈山區塔山，種植迄今已有千年歷史.為了進一步發展高效農業，豐富石

榴品種，壯大石榴產業，當地政府委托某種業科研公司培育了A3兩種新品石榴，將它們分別種植在兩塊

土質和大小相同的試驗田內，并從收獲的果實中各隨機抽取300個，按質量（單位:g）將它們分成4組：

[50,70）,[70,90）,[90,110）,[110,130）,得到如下頻率分布直方圖：

（1）分別估計A3品種石榴單個果實的質量；

（2）經篩選檢測，除去壞果和瑕疵果，兩種石榴的合格率如下表:

[50,70)[70,90)[90,110)[110,130]

A品種合格

0.70.80.70.8

率

8品種合格

0.70.80.80.9

率

已知A品種混放在一個庫房，3品種混放在另一個庫房，現分別從兩個庫房中隨機各抽取2個石榴，其中

合格石榴的總個數記為X,求X的分布列及數學期望.

【答案】（1）94g,90g

（2）分布列見解析，期望為3.1

【解析】

【分析】（1）分別根據頻率分布直方圖計算平均數估計即可；

（2）根據頻率分布直方圖及合格率表先得出兩個品種取得合格品的概率，再分別計算隨機抽取到合格品個

數的概率，列出其分布列并計算期望即可.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖得樣本中A品種石榴單個果實質量的估計值為：

兀=0.005x20x60+0.015x20x80+0.020x20xlOO+O.OlOx20x120=94g,

樣本中B品種石榴單個果實質量的估計值為：

^=0.005x20x60+0.020x20x80+0.020x20x100+0.005x20x120=90g.

【小問2詳解】

設A從A品種石榴中任取1個為合格品；8：從3品種石榴中任取1個為合格品；貝上

P(A)=0.005x20x0.7+0.015x20x0.8+0.020x20x0.7+0.010x20x0.8=0.75;

P(B)=0.005x20x0.7+0.020x20x0.8+0.020x20x0.8+0.005x20x0.9=0.8.

由題意得x=0,1,2,3,4,

則尸(X=0)=(1—0.75)2x(l-0.8)2=0.0025,

P(X=1)=C；x0.75x(l-0.75)x(l-0.8)2+(1-0.75)2xC；x(1—0.8)x0.8=0,035,

尸(X=2)=C；x0.752x(l-0.8)2+C；x0.75x(l-0.75)xC；x0.8x(1—0.8)

+(1-0.75)2XC|X0.82=0.1825,

P(X=3)=C；x0.752xC；x0.8x(1—0.8)+C；x0.75x(l-0.75)xC^x0.82=0.42,

P(X=4)=0.752x0.82=0.36.

所以X的分布列為

X01234

P0.00250.0350.18250.420.36

所以E(X)=0x0.0025+1x0.035+2x0.1825+3x0.42+4x0.36=3.1.

18.如圖，已知橢圓r：鼻+左=l,（a〉6〉o）的左右焦點為耳,工，短軸長為6,A為r上一點,

G1,；為△4月工的重心.

(1)求橢圓「的方程;

⑵橢圓「上不同三點3C，滿足5，。心，且忸閭,|。閭,|。閭成等差數列，線段30中垂線交

y軸于E點，求點七縱坐標的取值范圍；

(3)直線/:y=Ax-2與「交于M,N點，交y軸于p點，若PM=2PN，求實數X的取值范圍.

22

【答案】(1)—+^=1

129

(2)9

(3)-5<2<--

5

【分析】(1)利用三角形重心坐標公式先求A坐標，再代入橢圓方程結合其性質計算即可；

(2)設瓦D、E坐標，并根據焦半徑公式得3工,。工，由等差中項的性質得出/=；(%+%2)=6,

4%_4%

,表示中垂線方程，結合點在橢圓內計算范圍即可;

再根據點差法得出中垂線的斜率3/一373

(3)設N坐標，聯立橢圓方程結合韋達定理得出其橫坐標關系，再根據平面向量的坐標表示

,1064k2

%+力+2=_5(止+3)，利用函數的性質計算范圍即可.

【小問1詳解】

不妨設耳(―c,0),瑞(G。)，

因G&為ZXAE8的重心，所以A3，m

9

所以9,4」，

------........-1

?2b2

又短軸長為6,所以6=3,代入解得片=12,

所以橢圓方程為:工+工=1；

129

【小問2詳解】

由上可知8（小,0）,設中點后（1，%），

則忸閭=J（%—+,

22i

Xn+9=1,消去一并整理得忸用=2痛-

同理I。用=26一3工2，

又叫=浮，

由題意得2百—gxI+26—g/=2x

因8,。在「上，易得五二考■+工一貢=0,化簡得絲1%9%+/_3%

129再一九212%+%4%

4%_分。

所以線段5。中垂線的斜率

3x036

線段BD中垂線方程:V-%=

41

令x=o得

又線段中點在橢圓內所以2+宜＜1=一地＜為＜述,

129202

出莖

所以為e

【小問3詳解】

設M（毛,%）,"（4,丁4），由PM=2PN得%=九%4,2＜0,

|22

土+丁-1

聯立《129?肖丁整理得(4左2+3)尤2-16辰-20=0,

y=kx-2

16人-20

得%3+%=z,XQXA—z

4左2+3344左2+3

所以2+4+2=巴+巴+2=fe±^=^m，

2%4尤3%3%4—5(4上~+3)

當左=0時，2=—1,

6481648

當左w0時,2+-+2=1~G

2-5(442+3)48+3

【點睛】思路點睛：根據焦半徑公式及等差中項的性質可確定中點橫坐

標，再由中垂線方程得出E與中點的關系結合點在橢圓內計算范圍即可解決第二問；利用平面向量共

線的坐標表示結合韋達定理計算河、N橫坐標關系，分類討論斜率是否為零，再含參表示2+5+2結合

函數的性質求范圍解不等式即可.

19.已知函數/'(x)=acos2x+x2-。，其中aeR

⑴若a=l,記g(x)=/'(x)，試判斷g(x)在(0喜上的單調性；

(2)求證:當時，f(x)>0;

2

(3)若對MxeR,不等式cos(2sinx)wg/(x)+。—gf恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)在單調遞減，在單調遞增

(2)證明見解析(3)[1,+co)

【解析】

【分析】(1)直接利用導數的運算法則計算g'(x),利用三角函數的性質計算即可判定單調區間;

⑵根據“力為偶函數，則只判定xe[0,+oo)時，/(x)20即可；法一、分區間討論aWO顯然成立，

0<a<g時，多次求導結合三角函數有界性判定即可；法二，在0<a<g時，放縮證明W—|sinx|2O即

可，構造函數。(x)=x-sinx,利用導數研究其單調性證明即可；

(3)將題設通過換元法化簡為有cos/〈a1-L恒成立，當時，放縮得

I4J

'/\i1產

1---ci—cost>1——--cost,構造函數"%)=1------cos(—2因為其為偶函數，只判定正

\4J44

4cost

區間即可；法一、多次求導結合隱零點判定其單調性即可；法二、分離參數a2——丁，多次求導判定函數

4-r

4cost

rn(r)=-的單調性并求其最值即可.

')4-rr

【小問1詳解】

由a=1,可知/(x)=cos2x+x2-l,g(%)=/(x)=-2sin2x+2x=2(x-sin2x),

則g'(%)=2(1—2cos2)),

在X￡[0,51寸,

令g'(x)>0=>cos2x<g,解之得XC

令g〈xX0ncos2x)g,解之得