2024年山東省濟寧市泗水縣中考數學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若向東走10〃?，記為+10zn,則向西走6m記為（）

A.-6mB.-10mC.+6mD.+10zn

2.風能是?種清潔能源，我國風能儲量很大，僅陸地上風能儲量就有253000兆瓦，將數據253000用科學

記數法表示為（）

A.25.3x104B.2.53x104C.2.53x10sD.0.253x106

3.為發揚“中國航天精神”，設立每年4月24日為“中國航天日”.正方體的每個面上m

都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，在原正方體中，與“中”字所在面相對|國|航|天

的面卜的漢字是（）~~同神

A.航B.天C.精D.神

4.如圖，已知a〃b,直角三角板的直角頂點在直線。上，若41=29。46',

則42等于（）

A.59"3^

B.59。1,///

C.60。54'

D.60”4'

5.如圖是關于某市某天7時~16時這10人整點時刻的氣溫折線統計圖，則下列說法錯誤的是（）

A.7時?16時氣溫的極差是8。。B.7時?16時氣溫的眾數是9。。

C.7時?16時氣溫的中位數是6.S。。D.7時?16時氣溫的平均數是5.6。。

6.“孔子周游列國”是流傳很廣的故事.有一次他和學生到離他們住的驛站30里的書院參觀，學生步行出

發1小時后，孔子坐牛車出發，牛車的速度是步行的1.5倍，孔子和學生們同時到達書院，設學生步行的速

度為每小時x里，則可列方程為()

A3030-n3030八30304n3030

A=而+iBT=B^T=DT=T^T

7.如圖，點A的坐標為(0,4),點8的坐標為(4,0),將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉得到線段AC,若

點C的坐標為0,6),則〃?的值為()

A.5B.2/7C.3/3D.6

8.我們在學習一次函數、二次函數圖象的平移時知道：將一次函數y=2》的圖

象向上平移1個單位得到y=2x+1的圖象；將二次函數.y=/+1的圖象向

左平移2個單位得到y=Q+2)2+1的圖象.若將反比例函數y=5的圖象向下

平移1個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數表達式是()

A.V=-^-7B.V=--1C.V=D.V=-+1

Jx-l7XJx+lJx

9.如圖，在等腰直角三角形4BC中，AC=BC=9.在邊AC,A8上分別取點D

和點E,使DC=3,乙BOE=45。，則線段AE的長為（）

D

B.472

CB

8/5

—

10.如圖，四邊形ABC。是邊長為2cm的正方形，點E,點尸分別為邊AD,CO中

點，點。為正方形的中心，連接OE,OF,點P從點E出發沿E一。一產運動，同時

點。從點8出發沿運動，兩點運動速度均為lcm/s,當點P運動到點尸時二兩點

同時停止運動，設運動時間為心，連接BP,PQ,ABPQ的面積為Scm?,下列圖象能

正確反映出S與［的函數關系的是（）

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.若二次根式，有意義，則工的取值范圍為

12.分解因式：ma2+2mab+mb2=

13.如圖，在小山的東側點4處有一個熱氣球,

0.5米/秒的速度沿與地面成75。角的方向飛行,

側A,8兩點間的距離為

14.如圖，。力的半徑為3,作正六邊形

A8CQE/，點8,點尸在04匕若圖中陰影

部分扇形恰是一個圓錐的側面展開圖，則這個

圓錐高為.

15.觀察下列一組數:2,1,專…,它們按一定規律排列，第〃個數記為0n，且滿足白土=帚?則

a2024=

三、解答題：本題共7小題，共56分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題8分）

先化簡，再求值：（。+2）（。-2）—（。—2）2,其中a=（］一】一，方+3tan60。.

17.（本小題8分）

某校以“我最喜愛的體育運動”為主題對全校學生進行隨機抽樣調查，調查的運動項目有：籃球、羽毛

球、乒乓球、跳繩及其它項目（要求每人必須參加且每位同學僅選一項）.根據調查結果繪制了如下不完整的

頻數分布表和扇形統計圖：

運動項目頻數（人數）頻率

籃球300.25

羽毛球m0.20

乒乓球36n

跳繩180.15

其它120.10

請根據圖表信息解答下列問題：

（1）頻數分布表中的m=,n=；

（2）在扇形統計圖中，“乒乓球”所在的扇形的圓心角的度數為______；

（3）從喜愛跳繩運動表現優秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加跳繩比賽，請用列表或畫樹

狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率.

籃球

25%

18.（本小題8分）

如圖，在△A8C中，4c=90°,AO是乙的角平分線.

(1)尺規作圖：過點。作DE_LAB交AB于點E.(保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)

(2)在(1)的條件下，AC=6,BC=8,求CO的長.

19.(本小題8分)

某學校舉行跳繩比賽需購買A、8兩種獎品.若購買A種獎品3件和8種獎品2件，共需60元；若購買A

種獎品5件和B種獎品3件，共需95元.

(1)求A、B兩種獎品單價各是多少元？

(2)該學校計劃購買A、B兩種獎品共100件，購買費用不超過1200元，且A種獎品的數量不大于8種獎

品數量的3倍.設購買4種獎品小件，購買費用為W元，寫出W(元)與m(件)之間的函數關系式，求出自變

量機的取值范圍，確定最少費用W的值和最少費用方案.

20.(本小題8分)

如圖，AB是。0的直徑，點C,D為。。上的兩點且檢=比，連接AC,BD交于點區點尸為BD延長

線上一點，連接AF,使AF=4E.

(1)求證：A尸是00的切線；

(2)若AB=6,BC=2,求AF的長.

21.(本小題8分)

【問題情境】

如圖1,將矩形紙片A3。先沿對角線3。折疊，展開后再折疊，使點8落在射線80上，點8的對應點

記為夕，折痕與邊A。,分別交于點￡F.

A'

【操作猜想】

(1)如圖2,當點B'與點。重合時，EF與BD交于點0,求證：四邊形BED產是菱形.

【拓展應用】

(2)在矩形紙片A8CO中，若邊48=6,BC=673,

①如圖3,請判斷49與對角線AC的位置關系為_____；

②當83=3時，求4七的長度.

22.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a/+b%+c(aH0)交工軸于或一6,0)、3(2,0)兩點，交y軸

于點C(0,6),連接AC.

(1)求效物線表達式；

(2)點P從點C以每秒泥個單位長度的速度沿。運動到點A,點。從點O以每秒1個單位長度的速度沿

OC運動到點C,點P和點。同時出發，連接P。，設點夕和點Q的運動時間為7,求SACPQ的最大值及此

時點尸的坐標；

(3)拋物線上存在點使得乙4cM=15。，請直接寫出點M的坐標.

備用圖

答案和解析

1.【答案】4

【解析】解：向東走與向西走是一對意義相反的量，

如果向東走10加，記為+107H,

???向西走6〃?，記為一6m,

故選：A.

根據正負數是表示一對意義相反的量進行辨別.

此題考查了正負數的應用，解題的關鍵是能準確問題間的數量關系和具有意義相反的量.

2.【答案】C

【解析】解：253000=2.S3x105.

故選：C.

科學記數法的表示形式為axl()n的形式，其中iw|a|vio,〃為整數.確定〃的值時，要看把原數變成。

時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值N10時，〃是正數；當原

數的絕對值VI時，〃是負數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax10日的形式，其中iw|a|vio,〃為整

數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.【答案】C

【解析】解.：原正方體中，與“中”字所在面相對的面上的漢字是“精”，

故選：C.

根據正方體的表面展開圖找出相對面的文字，即可解答.

本題考查了正方體相對面上的文字，熟練掌握根據正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：???直角三角板的直角頂點在直線。上，Z1=29°46\

:.Z3=90°-29。46'=60。14',

???a//b,

Z2=z3=60T4'：

故選：D.

8

I

根據直角三角形的直角與平角之間的關系可得到乙3與乙1互余，再根據平行線的性質可知乙2的度數.

本題考查的是平行線的性質，關鍵是注意：兩宜線平行，內錯角相等.

5.【答案】B

【解析】解：4極差是9-1=8"),故此選項正確，不符合題意；

及301℃,2℃,廣,6℃,7℃,80909070眾數是7℃,9℃,故此選項不正確，符合題意；

C.氣溫按從低到高順序排列為1℃,2℃,3。4℃,607。7℃,80909℃,故中位數是警=

65(℃).故此選項正確,不符合題意：

D平均數為之(10c+2℃+3℃+40c+6℃+7℃+70c+8℃+90c+9°c)=5.6(℃),故此選項正確，不符合題

意：

故選：B.

直接利用平均數、中位數、眾數以及極差的定義分別分析得出答案.

本題考查了平均數、中位數、眾數以及極差的定義，掌握平均數、中位數概念是關鍵.

6.【答案】A

【解析】解：???學生步行的速度為每小時工里，牛車的速度是步行的1.5倍，

牛車的速度是1.5%里/時，

山題意可得；當=黑+1,

故選：A.

根據題意可知：步行的時間=牛車用的時間+1,然后即可列出相應的方程.

本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程.

7.【答案】B

【解析】解：過點C作CDly軸交于點。，如圖:

???點4的坐標為(0,4),點B的坐標為(4,0),

OA=4,OB=4,

???/.AOR=90°.

/.AB=y/OA2+OB2=4/2，

由旋轉可知，AC=AB=4/2,

???點C的坐標為(m,6),

???OD=6,

:.AD=OD-OA=2t

CD1y,

CD=yjAC2-AD2=J(4/2)2-22=2廳

???點C的坐標為(2/7,6),

瓶的值為2/7，

故選：B.

過點C作COly軸交于點。，先求出AC=4B=4，5,再根據勾股定理即可求解.

本題考查了旋轉的性質，勾股定理，平面坐標系中點的坐標，掌握相關知識是解題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：由題意知，將反比例函數y=：的圖象向下平移1個單位，得到的圖象對應的函數表達式為:

Jy=-X-1,

故選：B.

根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

本題考查的是一次函數、二次函數、反比例函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則

是解答此題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：???△A3C是等腰直角三角形，

:.LA=45°,AB=>[2AC=9/2,

v乙BDE=45°,

:.乙BDE=Z.A,

乙DBE=乙DBA,

???△BDEs〉BAD,

，些=更，

BABD

???zr=90°.CD=3.BC=9.

???BD=>JCD2+BC2=3710,

.3G_BE

9\f2=35'

BE=5-/2,

AE=AB-BE=4/2.

故選：B.

證明/4=45°,AB=y[2AC=9AA2,再證明△B/。，可得罄=黑，求解BD=JCD?+BC2=

HADD

3/10,再建立方程求解即可.

本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，證明

是解本題的關鍵.

10.【答案】D

【解析】解：如圖，當0<tWl時，

由題得，PE=BQ=tcm,

?.?正方向ABCD是邊長為2cm,

P到的距離為（2-。cm,

S=t?(2—t)=-^t2+t?

由題得，PF=CQ=(2-t)cm,

四邊形C尸PQ為矩形，

PQ=CF=1cm,

S=?1=

故選：D.

當0<tWl時，點尸在OE上，當1<"2時，點尸在O尸上，分別求出S與，的函數關系，即可解答.

本題考查了動點問題的函數圖象應用，三角形面積的計算是解題關鍵.

11.【答案】x>8

【解析】解：要使二次根式療口有意義，

則》-820,

解得：%>8.

故答案為：x>8.

直接利用二次根式的定義得出答案.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵.

12.【答案】m(a+b)2

【解析】解：原式=血(。2+2ab+b?)=m(a+b)2,

故答窠為：m(a+b)2

原式提取再利用完全平方公式分解即可.

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解不題的關鍵.

13.【答案】600/2

【解析】解：如圖，過點4作AHJLBC于從

在RtA4cH中，LACH=75°-30°=45°,AC=0.5m/sx20x60s=600（米），

；,AH=AC-sin450=300/1米，

在RtAABH中，

???乙B=30°,

AB=2AH=600，1米，

故答案為:600/1.

作AH18C于”，根據速度和時間先求得AC的長，在RtZkAC”中，求得乙4CH的度數，再求得4,的長

度，然后根據=30。求出AB的長.

本題考查了解直角三角形的應用，銳角三角函數，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形并解

直角三角形.

14.【答案】2/2

【解析】解：?.?正六邊形的外角和為360。，

每一個外角的度數為360。+6=60。，

???正六邊形的每個內角為180。-60°=120°,

設這個圓錐底面圓的半徑是r,

根據題意得，2口=壬需，

1OV

解得：r=l,

???這個圓錐高=V32-l2=2/2.

故答案為：2/2.

首先確定扇形的圓心角的度數，然后利用圓錐的底面圓周長是扇形的弧長計算即可.

本題考查了正多邊形和圓及圓錐的計算的知識，解題的關鍵是求得正六邊形的內角的度數并理解圓錐的母

線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

15.【答案】熹

【解析】解：由題意得：。1=2=*Q2=H1。3=5，

?二+工=2,

anan+2an+l

1,12

?*----1--=--9

a2a4a3

.?.24--=7,

?4

12

?.?%=1元，

1,12

—+———,

。3aSa4

2

?,9二百，

2

',%=3（n-1）+1'

._2_2_]

???02024=3（2024-1）+1=6070=3035,

故答案為：3^5.

由題意得：ax=2=a2=|=p。34，根據題；+=丁"，可得=[=。5=高由此可

1424n7anan+2Q〃+i51013

得°…而樂T即可求解?

本題考查了數字的變化類，找出數字的變化規律是解題的關鍵.

16.【答案】解：（a+2）（Q-2）—（a-2）2

=a2-4—a24-4a-4

=4a-8；

???Q=（新1-/27+3tan600,

a=3—3\/~3+3>A3=3,

.?.原式=4x3-8=12-8=4；

【解析】先計算整式的乘法運算，合并同類項，得到化簡的結果，再把。化簡，代入計算即可.

本題考查的是含特殊角的三角函數值的混合運算，整式的混合運算，熟記運算法則是解本題的關鍵.

17.【答案】240,30108°

【解析】解：（1）總人數為:30+0.25=120,

m=120X0.20=24>

n=36+120=0.30,

故答案為：24,0.30.

(2)360°x0.30=108°,

.??在扇形統計圖中，“乒乓球”所在的扇形的圓心角的度數為108。.

故答案為:108。

(3)畫樹狀圖如下:

共有12種可能出現的結果，其中四名同學恰好選中甲和乙兩名同學的只有2種，

;四名同學恰好選中甲和乙兩名同學的概率=2

1ZO

(1)先求出總人數即可求解；

(2)用360。乘以“乒乓球”所占的百分比即可求出圓心角的度數；

(3)根據畫樹狀圖法求概率即可.

本題考查了頻數分布表和扇形統計圖，畫樹狀圖法求概率，掌握相關知識是解的關鍵.

18.【答案】解：(1)如圖，DELAB,OE就是所求，交A8于點E.

(2)vDElABt"=90°,AD是NBAC的角平分線,

DE=DC,乙DEB=90°,

又???DE=DC,AD=AD,

/.AD2-ED2=AD2-DC2,

???AE=AC,

vAC=6,

AAE=AC=6,

???"=90°,AC=6,BC=8,

AB=y[AC2+BC2=10^

BE=AB-AE=4,

設DE=DC=%,則8。=8-%,

在RtABEO中，(8-x)2=42+x2,

X=3>

???CD=3.

【解析】(1)根據點到直線的垂線的尺規作圖即可得；

(2)根據角平分線性質知DE=DC,繼而可得4E=4C=6,設DE=DC=%，則BD=8-在Rt△BED

中利用勾股定理可得x的值.

本題主要考查作圖?基本作圖，解題的關鍵是掌握角平分線的尺規作圖及角平分線的性質、勾股定理等.

19.【答案】解：(1)設A獎品的單價為x元，8獎品的單價為)，元，

由題意得，｛墨第的

解蹴兒，

答：A獎品的單價為10元，8獎品的單價為15元；

(2)由題意得，W=10m+15(100-m)=-5m+1500,

(-5m+1500<1200

'1m<3(100-m)'

解得60<m<75,

???m為整數，

??.m為60至75之間的整數(含60,75),

???W=-5m+15UU,

:.k<0,W隨機的增大而減小，

???當m=75時，W最小，卬最小費用為-5x75+1500=1125,

??.當A種獎品購買75件，8種獎品購買25件時，花費最少，最少費用為1125元.

【解析】(1)設A獎品的單價為x元，8獎品的單價為y元，根據條件建立方程組求解即可；

(2)根據總費用=兩種獎品的費用之和表示出W與6的關系式，并由條件建立不等式組求出m的取值范

圍，由一次函數的性質即可得出結論.

本題考查一次函數的性質和運用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，解題時求出一次函

數的表達式是解題的關鍵.

20.【答案】解：（1）證明：連接AQ,

-AD=CD.

乙CBD=Z.ABD,

???A8是。。直徑，

Z.ACB=90°,

Z.CBD+Z.CEB=90°,

Z.ABD+乙CEB=90°,

-AF=AE,

:.乙AEF=Z.F,

UEF=乙CEB,

???Z.F=乙CEB,

:.Z.ABD+Z,F=90%

Z.FAB=90°,

??.4/為。。的切線；

(2)解：???4B=6,BC=2,Z.ACB=90°,

AC=V62-22=4\^2>

???乙CBD=LABD,LACB=Z.FAB=90°,

???△BCESABAF,

tCE_BC

???AF='BA，

.?.設Ar=AE=X,則生23=2,

x6

解得：x=3A/~2?

AF=3>f2.

【解析】(1)先證明NCBD=乙ABD,乙4cB=90°,再證明4尸=4CEB,進而得到乙48。+Z.F=90°,即

可得到結論；

(2)由勾股定理得4C=4/2,再證明進而即可求解.

木題主要考查圓的基木性質以及相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握圓周角定理的推論，切線的

性質，相似三角形的判定和性質定理.

21.【答案】A^'Z/AC

【解析】解：(1)由折疊得點夕與點8關于直線E尸對稱，

???直線E/垂直平分8夕，

???點B'與點。重合，

???直線EF垂直平分80，

BE=DE,BF=DF,

???四邊形ABC。是矩形，

:.AD//BC,

乙DEF=Z.BFE,

:Z.DFE=Z.BFE,

???Z.DEF=乙DFE,

DE=DF,

???BE=DE=BF=DF,

.??四邊形BED廣是菱形，

(2)①487/4。；

證明：如圖3.1,AC,BD交于0,

BD=AC=7AB?+BC2=J62+(6/3)2=12,

0A=OC=^AC=6,OB=OD=^BD=6,

???AB=OA=OBf

.??△A08是等邊三角形,

Z-AOB=Z.ABO=60°,

---乙4'B'B=AABO=60。，

???乙A'B'B=44OB,

???A'B'/fAC,

故答案為：A'B'I/AC,

②AE的長度為V3或3，5，理由如下：

如圖3.2,點B'在線段8。上，設NB'交AD于點G,

圖3.2

???=/.BAD=90。，乙4?8=/.ABO=60°,

???乙4。8=90°-乙480=30°,

???NA'GE=LB'GD=Z.A'B'B-Z.ADB=30°,

???LADB=乙B'GD,

B'G=B'D=3,

???AE==6,

???AG=4?-B'G=6—3=3,

裝=tanZ.ArGE=tan300=苧，

???AE=A'E=苧4G=號x3=V3：

如圖3.3,點B'在線段8。的延長線上，延長A。、A'B'交于點H,

圖3.3

???乙B'DH=Z.ADB=30°,

zH=Z-A'B'B-Z-^DH=30°,

，AB'DH=AH,

??.B'H=B'D=3,

:.A'H=A'B'+B'H=6+3=9,

???HE=2ArE,

??.A'H=VHE2-A'E2=V(lA'E)2-A'E2=y/lA'E=9，

???AE=A'E=3V3>

綜上所述，AE的長度為3c或C.

(1)由折疊得點B'與點B關于直線E尸對稱，則直線E”垂直平分8￡),所以8E=DE,BF=DF,由矩形的

性質得AD//BC,則NDE尸ilij\angDFE=\angBFE,所以4DEF=zDFE,則DE=DF,所以

BE=DE=BF=DF,即可證明四邊形8灰)尸是菱形，于是得到問題的答案；

(2)①由44BC=90°,/IB=6,BC=6門，求得8。=4C=TAB?+Bl=12,所以48=。4=。8=

6,貝IJ乙4。8=乙480=60°,而乙4'夕8=乙480=60°,所以乙4'B'B=乙4。8,則八夕〃人。；

②分兩種情況討論，一是點夕在線段8。上，設AB'交4。于點G,可證明乙408=30。，則B'G=B'D=

3,求得4G=3,由痣=tan3(T=苧，^AE=<3：二是點*在線段8。的延長線上，延長A。、AE交

于點從可證明NB'D”=N”=30°,則B'”=B'D=3,求得A”=4'8'+B'”=9,因為=2A'E,

AH=9,求得AE=AE=3C，于是得到問題的答案.

此題重點考查矩形的性質、軸對稱的性質、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質