北京市房山區2023-2024學年高一下學期學業水平調研(一)

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.300°化成弧度是()

77r

A.&B.也C.更D.

366T

2.己知sin8>0且cos9<0,則角8的終邊所在的象限是

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量2=(-5,6),。=(6,5),則°與人()

A.平行且同向B.平行且反向

C.垂直D.不垂直也不平行

JT

4.要得到函數y=si〃(4x-1)的圖象，只需要將函數y=si〃4x的圖象

A.向左平移三個單位

12

B.向右平移三個單位

12

TT

C.向左平移2個單位

TT

D.向右平移;個單位

5.下列函數中，最小正周期為兀且為奇函數的是()

A.=tan2xB.y=tanlx+yI

C.y-cos2xD.y=sinxcosx

6.已知函數f(x)=2sin3+9)(o>(),網的部分圖象如圖所示，則()

A1冗「1元

A.co——f(p——B.co——，(p———

2323

cc兀ec兀

C.(0=2,(p=—D.69=2,(p=~—

33

7.設a,〃是非零向量，則“a石=|aHW'是“a/4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若向量a力滿足|4=石，忖=2,且則向量a與方的夾角為()

兀e兀一2兀八5兀

A.-B.-C.—D.—

3636

9.已知。是實數，則函數f(x)=I+asinax的圖象不可能是()

10.設函數/(x)=Asin(s+0)(4>O,0>O,O4°<27r)在區間似；］上是單調函數,

/(-y)=/(0)=-/(^)=p貝1」/(2024兀)=()

A—B-4CT

二、填空題

11.sin—=

6-----

12.函數y=tan(2x-"的定義域為.

13.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示，那么向量a力的夾角的余弦值為.

J

14.己知向量)=(1,2),〃為單位向量，?Uo,則向量〃的坐標為一.(寫出一個即可)

試卷第2頁，共4頁

15.在平面直角坐標系xOy中，角a的終邊過點A(4,3),則tana=_；將射線0A繞原點0

沿逆時針方向旋轉到角夕的終邊，貝ijsin?=_.

16.聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音.若一個復

合音的數學模型是函數/(x)=sinx+gsin2x(x€R),給出下列四個結論：

①〃x)的一個周期為2兀；

②Ax)的圖象關于原點對稱；

③"X)的最大值為g；

④/(x)在區間［0,2K］上有3個零點.

其中所有正確結論的序號為.

三、解答題

17.已知向量a方滿足，a=%=2且°與方的夾角為彳.

(1)求a。；

(2)求卜-年

(3)若0-2取，(h+6)，求實數女的值.

18.己知函數/(x)=6sin2x+2cos2x.

TT

⑴求/(§)的值；

(2)求函數〃x)的最小正周期；

(3)求函數/&)的單調遞增區間.

19.設函數/(x)=sin0xcos*+cos<yxsin°(0>O,O<『<5)由下列三個條件中的兩個來確定：①

/(0)=-2；②最小正周期為無；③《4)=0.

(1)寫出能確定函數/(x)的兩個條件，并求出的解析式；

(2)求函數/(x)在區間［。，之上的最小值及相應的x的值.

20.將圖(I)所示的摩天輪抽象成圖(2)所示的平面圖形.摩天輪直徑為40米，中心。距

地面21米，按逆時針方向勻速轉動，某游客從最低點A處登上摩天輪，6分鐘后第一次到

達最局點.

(1)⑵

(1)游客登上摩天輪4分鐘后到達B處，求該游客距離地面的高度;

(2)求該游客距離地面的高度〃(單位:米)與他登上摩天輪的時間x(單位:分鐘)的函數關系式;

(3)當該游客登上摩天輪2分鐘時，他的朋友在摩天輪最低點A處登上摩天輪.求他和他的朋

友距離地面的高度之差的絕對值的最大值.

21.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數，若存在實數機，〃使〃(》)=機/。)+〃8(幻對任

意xeR都成立，則稱〃(x)為Ax),g(x)在R上生成的函數.

⑴判斷函數y=sin(x+1)是否為f(x)=sinx,g(x)=cosx在R上生成的函數，說明理由；

⑵判斷函數y=sin2x是否為/(x)=sinx,&(x)=cos2x在R上生成的函數，說明理由；

⑶若人(幻為f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上的一個生成函數，且加>0,〃>0,〃(x)的最

小值為-2,〃圖=】，求心)的解析式.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據角度制與弧度制的互化公式求解

【詳解】因為180=兀，所以300=300x去Jr=?57r.

18()3

故選：A

2.B

【分析】利用三角函數的定義，可確定且x<o,進而可知。所在的象限，得到結果.

【詳解】依據題設及三角函數的定義

可知角。終邊上的點的橫坐標小于零，縱坐標大于零，

所以終邊在第二象限，

故選B.

【點睛】該題考查的是有關根據三角函數值的符號斷定角所屬的象限，涉及到的知識點有三

角函數的定義，三角函數值在各個象限內的符號，屬于簡單題目.

3.C

【分析】利用向量數量積的坐標表示即可得出判斷.

【詳解】因為“6=-30+30=0,所以￡j_很,

故選：C.

4.B

【詳解】因為函數丫="4x后卜詛4*-鄉］,要得到函數三“〃小-?)的圖象，只

需要將函數y=s山?的圖象向右平移專個單位.

本題選擇B選項.

點睛：三角函數圖象進行平移變換時注意提取x的系數，進行周期變換時，需要將x的系數

變為原來的。倍，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同.

5.D

【分析】根據正切函數的周期與奇偶性可判斷AB,根據誘導公式化簡D的解析式，再根據

正余弦型函數的奇偶性和周期性可判斷CD.

【詳解】函數y=tan2x的最小正周期為l，故A錯誤；

答案第1頁，共10頁

函數y=tanx+1定義域為+定義域不關于原點對稱，函數是非奇非偶

6

函數，故B錯誤;

函數y=cos2x,函數定義域為R,由cos2(-x)=cos(-2x)=cos2x,函數是偶函數，故C錯

誤;

函數定義域為R.由；sin2(-x)=；sin(-2x)=-；sin2x

函數y=sinxcosx=—sin2x函

數為奇函數,

最小正周期為7=5=%故D正確.

故選：D.

6.C

【分析】根據函數圖象，由兀，求得周期，進而得到再根據點(弓，。］在圖象上即

44<3)

可求解.

【詳解】由圖象知，7r=^r-?=77t-即T=兀，則。="=2,

41234兀

所以73=2sin(2x+。)，

因為點C，oj在/(x)圖象上，所以281+0=2祈+兀住€2),即e=2E+%Z€Z),

因為所以3=t，

故選：C.

7.A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】因為22=|〃卜聞,所以。力=|。|忡《?。=(4陰,

則cos8=l,解得6=0,所以”//6，故充分性成立：

當a//b時，6=0或8=兀，則。石=|。||，或。彷=-1。1仍1，故必要性不成立;

綜上，"ab=|a|.網”是“力店”的充分不必要條件.

故選:A

8.B

【分析】設向量a與匕的夾角為。翅0,可，由(a-8)，a得(a-6)-a=0,根據平面向量數量

積的運算律求解即可.

答案第2頁，共10頁

【詳解】設向量。與b的夾角為。￡［。，利，

Jo

由得，(a—b)-a=a-a-b=3—2＞/3cos0=0即cos6=-^-,

因為。e［0,兀］,所以。==,

6

故選：B.

9.D

【分析】由實數。的取值范圍，討論函數的最值和周期，對選項中的圖象進行判斷.

2兀

【詳解】當0＜時＜1時，丁=可＞2兀，且/(x)的最小值為正數，故A正確；

2兀

當時＞1時，7=時＜2兀，且/(x)的最小值為負數，故B正確；

當。=0時，=故C正確；

在選項D中，由振幅得向＞1,則7＜2兀，而由圖象知7＞2兀，故D錯誤.

故選：D.

10.A

【分析】由/(x)在區間［0,會上是單調函數得出0＜343,由/(-^)=/(0)=-/(^)=^分析出。

的值，即可計算出“20242.

【詳解】因為Ax)在區間似爭上是單調函數，且切＞0,

iTTTT

所以:7=工2合，解得0M3,

2。3

又因為/(-1)=/(0)=-/(?,

所以x=J是〃x)的一條對稱軸，管°)是73的一個對稱中心，

若x=-搟和(己，0)是同一周期中相鄰的對稱軸和對稱中心，

則q=F=B+g=即0=［，符合題意

4206632

若x=-［和是同一周期不相鄰的對稱軸和對稱中心，

門.3T3兀7t7i7i9—人口：E.

則二~=—=~+—=—,n即n69=7＞3,不合就意，

42&6632

、131

又/(。)=Asin(9)=Q,所以/(2024n)=Asin(-^x2024n+(p)=Asin(p=—,

故選:A.

答案第3頁，共10頁

【分析】將所求式子中的角2變形為萬+9,然后利用誘導公式sin(〃+?)=-sina化簡后,

66

再利用特殊角的三角函數值即可求出值.

【詳解】sin-

6

.(吟

=sin兀+—

I6J

.71

=-sin—

6

——1

2,

故答案為-;

【點睛】此題考查了運用誘導公式化簡求值，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握誘導公式

是解本題的關鍵.

12.j乂xw+彳,ZwZ;

【分析】解不等式2》-97T3也+7￡T&€2,即得解.

62

JTJT

【詳解】由題意得

62

解得xg+gkZ.

23

故答案為：卜"勺+守火或｝.

13.一回

10

【分析】以向量。的起點為原點，建立平面直角坐標系，利用坐標法求解即可.

【詳解】如圖所示，以向量。的起點為原點，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1,

,ab-1V10加

所以cosa/=^=及&=-［相，即向量”力的夾角的余弦值為-三.

答案第4頁，共10頁

Vio

故答案為:記

2遙

(或者

【分析】設b=(x,y),根據向量垂直的坐標表示結合模長公式列式求解即可.

【詳解】設b=(x,y)

ab=x+2y=0

由題意可得:

275亞

~T'~5

2也加

故答案為:述_也

34

15.-/0.75-/0.8

45

【分析】根據題意結合三角函數值的定義求tana；因為￡=a+5,利用誘導公式結合三角

函數值的定義求sin￡.

【詳解】因為角a的終邊過點A(4,3),即x=4,y=3,

所以tana=上=g；

jr

由題意可知：/=。+萬,

4

所以sin/?=sin=cosa=

5-

34

故答案為：—;—.

45

16.①②④

【分析】對于①：代入周期的定義，即可判斷；對于②：根據奇函數的定義分析判斷；對于

③：分別比較兩個函數分別取得最大值的x值，即可判斷；對于④：根據零點的定義，解方

程，即可判斷.

【'詳解】對于①：EI^./'(x+27t)=sin(x+27t)+^sin(2x+47t)=sinx+^sin2A'=/(x)

答案第5頁，共10頁

所以/(X)的一個周期為2兀，故①正確.

對于②：因為/*)的定義域為R,

且/(-%)=sin(-x)+；sin(-2x)=-sinx-Jsin2x=-f(x),

可知"X)為奇函數，所以/*)的圖象關于原點對稱，故②正確;

對于③：對于y=sinx,當且僅當了=萬+2依時，取得最大值1,

對于y=；sin2x,當且僅當2x=>2E,后eZ,即x=；+E,ZeZEl寸，取得最大值;,

a

所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以/(X)的最大值不是故③錯誤.

對于④：^/(x)=sinx4-sin2x=sinx+sinxcosx=sinx(1+cosx)=0,

解得sinx=0或cosx=-l,

又因為工￡［0,2兀］,可得工=0或工=兀或工=2兀，

所以/⑶在區間［0,2可上有3個零點，故④正確.

故答案為：①②④.

17.(1)-2

(2)2^

⑶女=：

4

【分析】(1)利用向量數量積的定義求解；

(2)*+=由2_2由6+好,代入已知數據求解即可;

(3)利用向量垂直數量積為0,求實數人的值.

【詳解】⑴因為悶=卜|=2,且“為=年，

所以a加=|a||z?|cosa,/?=2x2xcos=2x2x

-2a-b+好=&-2x(-2)+2?=2yli.

)--I一F

(3)由(〃一2b)JL(總+Z?),得(〃一2/?).(%〃+/?)=0,即〃同~-2版+0-2網=0.

所以4Z+(l-2Z)x(-2)—8=0.

答案第6頁，共10頁

解得k=[.

4

18.(1)2

(2)T=TI

(3)-§++E伏￡Z)

【分析】(1)直接代入X=(,由特殊角的三角函數值求出/號)的值；

(2)根據二倍角公式化簡整理把函數/(x)=^sin2x+2cos2x化成一個角的一種三角函數

的形式得〃x)=2sin(2x+*+l,由正弦型函數的周期公式求出最小正周期；

(3)根據正弦函數y=sinx的單調遞增區間，把2x+$看成一個整體，解不等式

6

—+2fai<2x+5<^+2WeZ),求出f(x)的單調遞增區間.

262

【詳解】(1)/(^)=>/3sin(-y)+2cos2y=5/3x(^)+2x(i)2=-|+i=2

(2)因為/(x)=Gsin2x+cos2x+l

=2(sin2x?+cos2x?g)+1

=2(sin2xcos—+cos2xsin—)+1

66

=2sin(2x+—)+1

6

所以函數/(X)的最小正周期T=,=TT.

7TTT

(3)因為函數，=力4在區間-,+2航,,+2航(keZ)上單調遞增.

TTIT7E

由--F2EW2.xH—W—F2kii(kGZ),

262

得-胃+2knW2xW1+2An(keZ).

即--+EWXW2+E(ZWZ).

36

TTTT

所以函數/(x)的單調遞增區間為-二+也二+E(keZ).

30

19.⑴兩個條件為②③，/(x)=sin(2x+1)

(2)x=］時，函數f(x)的最小值為-日

答案第7頁，共10頁

【分析】（I）條件①不成立，選擇兩個條件②③，由最小正周期求0,由/卜^=0求出巴

（2）由代卜闈，有〃+卜仁，學］，結合正弦函數的性質求最小值和最小值點.

【詳解】（1）/（o）=sinOcos（P+cosOsin=sin*-2,條件①不成立，

能確定函數/W的兩個條件為②③.

/（x）=sin<yxcoscp+coswxsin<p=sin（<wx+<p）.

因為函數的最小正周期為兀，兀，所以。=2.

又/（-看）=0,得$皿（一］+9）=0,所以-1+e=E（KeZ）,得力=far+至AeZ）.

由o<e<g,得0=弓.

乙J

所以f（x）=sin（2x+］）.

（2）因為xw0,g，所以+.

所以當2x+1=亨,即Y時，函數當x）的最小值為佃=sin傳卜-冬

20.（1）31米

(2)h=-20COS-A-+21(x^0)

6

(3)20

【分析】（1）由已知條件得ZAOB的大小，可得B點到地面的高度；

（2）以。為原點建立平面直角坐標系，表示出8點坐標，可得距離地面的高度"與時間x的

函數關系式；

（3）兩人距離地面的高度都表示為與時間x的函數，作差后通過三角恒等變換化簡后結合

正弦函數的性質求最大值.

【詳解】（1）因為從最低點A處登上摩天輪，6分鐘后第一次到達最高點，所以登上摩天輪

4分鐘后，ZAOB=~,

所以游客距離地面的高度為20sin［+21=31米.

O

（2）如圖以。為原點建立平面直角坐標系.

答案第8頁，共10頁

則420cos信x-9,20sin信冶))，

〃與x的函數關系式為/?=20sin借xg)+21,

CPA=-20cos—x+21(x^O).

6

(3)設無分鐘后兩人距離地面的高度之差的絕對值為

他一/zj=—20cos—+2)+21—^—20cos—x+21)

，兀兀、兀

7t71

=20cos—(x+2)-cos—x=20cos—x+--cos-X

66V63j6

717t.71.7171=20^sin4+hos%

=20cos-xcos——sm—xsin——cos—x=20si喂x+方

636362626

所以當即工=2+6*,及eZ時，隹-可