專題09余弦定理、正弦定理的應用（十大題型+跟蹤訓練）目錄：題型1：正、余弦定理判定三角形形狀題型2：正、余弦定理證明三角形中的恒等式或不等式題型3：求三角形中的邊長或周長的最值或取值范圍題型4：幾何圖形中的計算題型5：距離測量問題題型6：高度測量問題題型7：角度測量問題題型8：正、余弦定理的其他應用題型9：求三角形面積的最值或范圍題型10：正、余弦定理與三角函數性質的結合題型1：正、余弦定理判定三角形形狀1．在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理化角為邊，即可得解.【解析】因為，由正弦定理得，則，即，所以的形狀一定是等腰三角形.故選：A.2．設中角，，所對的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能【答案】A【分析】根據余弦定理即可求解.【解析】由余弦定理可得,故為銳角，由于，因此均為銳角，故為銳角三角形，故選：A3．在中，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據正弦定理得到邊的關系，再利用余弦定理判斷即可.【解析】設中，角對應的邊分別是，由正弦定理得:，即，所以，因為，所以為鈍角，即為鈍角三角形.故選:C.題型2：正、余弦定理證明三角形中的恒等式或不等式4．若A，B，C是△ABC的三個內角，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理、三角形內角及余弦函數性質判斷A、B；特殊值即可判斷C、D.【解析】由，則，而，則，A錯；由，結合余弦函數性質知：，B對；對于，則，，C、D錯；故選：B5．在中，，，，，則下列關系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在直角三角形中，根據銳角三角函數的定義對各個選項進行變形，判斷即可．【解析】解：對于A，，則，故A成立；對于B，因為，所以，故B成立；對于C，，則，故C成立；對于D，，則，故D不成立.故選：D.6．在中，內角，都是銳角.(1)若，，求周長的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據正弦定理可得，然后可得，然后結合的范圍求出的范圍可得答案；（2）由條件可得為銳角，然后由可得，即可證明.【解析】（1）因為，，所以，所以，因為所以，因為內角，都是銳角，，所以，即，所以，所以，所以周長的取值范圍為，（2）若，則，所以為銳角，所以，所以，因為內角，都是銳角，所以，所以，所以.題型3：求三角形中的邊長或周長的最值或取值范圍7．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將表示為角的形式，結合三角恒等變換以及三角函數的值域等知識確定正確答案.【解析】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，則，函數的開口向上，對稱軸為，所以.故選：A8．記的內角的對邊分別為．若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據邊的關系求出的范圍，然后表示出，求出其范圍，進而可得的范圍i，則的范圍可求.【解析】根據三角形三邊關系可得，即，又，因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以，所以，又為三角形的內角，所以，所以.故選：C.9．在銳角中，角的對邊分別為為的面積，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由余弦定理結合面積公式，再應用同角三角函數關系求出，由正弦定理邊角互化，再應用兩角和差公式化簡，最后應用基本不等式及對勾函數的單調性求解即得.【解析】中，由余弦定理得，且的面積為，由，得，化簡得，又，，所以，化簡得，解得，或（不合題意，舍去）所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以，設，其中，所以，當且僅當時，即時取最小值，令，由對勾函數可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，又，，所以．故選：C.題型4：幾何圖形中的計算10．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，在與中，由余弦定理求出，根據求出，進而求得的面積.【解析】設，在中，，在中，，所以，解得，因為，所以，所以的面積為.故選：C11．已知凸四邊形內接于圓，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據結合正弦定理可得，再利用三角恒等變換可得，進而利用正弦定理可得，即可得結果.【解析】設，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，因為，即，且，可知，則，即，又因為，則，可得，則，在中，由正弦定理可得，在中，可知，由正弦定理可得，則，可得，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故選：D.【點睛】方法點睛：與解三角形有關的交匯問題的關注點（1）根據條件恰當選擇正弦、余弦定理完成邊角互化．（2）結合內角和定理、面積公式等，靈活運用三角恒等變換公式．12．設，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，構造三角形，利用余弦定理及線段和的不等關系求解即得.【解析】當，時，令，則，如圖，在等腰中，，在的三等分線上取點，令，

在中，由余弦定理得，，于是，當且僅當點都在線段上時取等號，當點在線段上時，，，由正弦定理得，同理，所以當時，.故選：C題型5：距離測量問題13．我國遼代著名的前衛斜塔（又名瑞州古塔）位于葫蘆島市綏中縣.現存塔身已經傾斜且與地面夾角60°，若將塔身看做直線，從塔的第三層地面到第三層頂可看做線段，且在地面的射影為1m，則該塔第三層地面到第三層頂的距離是（

）A． B． C． D．2m【答案】D【分析】應用特殊三角函數值及已知、線段間的關系求該塔第三層地面到第三層頂的距離.【解析】由題設，如下圖中該塔第三層地面到第三層頂的距離.

故選：D14．如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖可知，由正弦定理即可求出BC的值.【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為.故選：B.15．某地為響應習近平總書記關于生態文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數據.如圖所示，測得∠C＝120°，米，米，則A，B間的直線距離約為（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【解析】由題設，在中，由余弦定理，所以米.故選：B.題型6：高度測量問題16．如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區甲秀路，是該市的標志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復原名、現存建筑是宣統元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進.某研究小組將測量甲秀樓最高點離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數據：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的長，根據正切函數的定，可得答案.【解析】由題意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因為，所以，故選:C.17．如圖，某人為測量塔高，在河對岸相距的，處分別測得，，（其中，與塔底在同一水平面內），則塔高（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據給定條件，在中，利用正弦定理求出，再利用直角三角形邊角關系求解即得.【解析】在中，由正弦定理得，，則，在中，.故選：A18．某校數學興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點處分別測得點的仰角為，且，則高度約為（

）（參考數據：）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案【解析】由題知，設，則，，，又，所以在中，，①在中，，②聯立①②，解得.故選：B題型7：角度測量問題19．一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正確答案.【解析】如圖，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以解得，由正弦定理得，故或，因為，故為銳角，所以，此時燈塔位于游輪的南偏西方向.故選：C20．位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求得，進而由正弦定理求得答案．【解析】由題意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故選：A．21．北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果．在衛星導航系統中，地球靜止同步軌道衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測者與某顆地球靜止同步軌道衛星處于相同經度，且能直接觀測到，設點的維度（與赤道平面所成角的度數）的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過構造直角三角形的方法求得.【解析】設表示衛星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，，線段交圓于，如圖，則，，，，則.故選：B題型8：正、余弦定理的其他應用22．如圖，已知正方形的邊長為，點從頂點沿著的方向，向頂點運動，速度為，同時，點從頂點沿著的方向，向頂點運動，速度為，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】先設，運動的時間為，根據題中條件，得到，，由配方法求出的最小值，即可得出結果.【解析】設，運動的時間為，則，，因此，由得，因此，當且僅當時，取得最小值，則的最小值為.故選：B.23．某社區為了美化社區環境，欲建一塊休閑草坪，其形狀如圖所示為四邊形，，（單位：百米），，，且擬在、兩點間修建一條筆直的小路（路的寬度忽略不計），則當草坪的面積最大時，（

）A．百米 B．百米 C．百米 D．百米【答案】C【分析】先求出，再由，結合三角形面積公式與三角恒等變換轉化為三角函數的最值即可【解析】設，在中，，由，，所以為等邊三角形，當時，草坪的面積最大，此時，故選：C24．我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知為田幾何．”題意是有一個三角形的沙田，其三邊長分別為13里、14里、15里、1里為300步，設6尺為1步，1尺＝0.231米，則該沙田的面積約為（

）（結果精確到0.1，參考數據：）A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米【答案】D【分析】根據由海倫公式即可得到沙田面積.【解析】由海倫公式其中，分別為三角形三邊長，可得：該沙田的面積平方米≈14.5平方千米，故選：D題型9：求三角形面積的最值或范圍25．在中，內角所對的邊分別是，若，且外接圓的半徑為2，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正弦定理得，由余弦定理結合不等式可得，進而由面積公式即可求解.【解析】由于，且外接圓的半徑為2，所以．由余弦定理得，，則故選：D．26．已知中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點（靠近點A）且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，由正弦定理化簡得到，求得，設，得到，再結合正弦定理，化簡得到，結合三角函數的性質，即可求解.【解析】因為，由正弦定理得，可得，即，所以，，則，設，則，且，在中，且，則，在中，由，則，由，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又因為，故當，即時，所以.故選：B.

27．我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術”，即的面積，其中分別為的內角的對邊，若，且，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據求出關系，代入面積公式，利用二次函數的知識求解最值.【解析】因為，所以，即；由正弦定理可得，所以；當時，取到最大值.故選：A.題型10：正、余弦定理與三角函數性質的結合28．若是垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂心的性質，連接并延長交于，得到，把已知條件中的式子化簡，得到，再兩邊同乘以，利用數量積、正弦定理進行整理化簡，得到，再把化為，整理后得到值.【解析】在中，，由，得，連接并延長交于，因為是的垂心，所以，，所以同乘以得，因為，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故選：D.【點睛】本題考查了平面向量線性運算、數量積、正弦定理、兩角差的余弦公式、誘導公式、三角形垂心性質等知識綜合運用，采用數形結合的思想方法．屬于難題．29．在中,內角所對的邊分別為,且,若為銳角,則的最大值為A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：根據完全平方公式將化簡，再利用余弦定理求出角C，進而由三角形內角和定理表示出B，代入的表達式，利用兩角差的正弦公式和輔助角公式化簡，求得其最大值.詳解：

，即

由余弦定理，得，代入上式，

，解得，

為銳角，，，，

，其中，故選A.點睛：本題考查兩角差的正弦公式和輔助角公式，以及余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力．解三角形的范圍問題常見兩類，一類是根據基本不等式求范圍，注意相等條件的判斷；另一類是根據邊或角的范圍計算，解題時要注意題干信息給出的限制條件.30．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結合同角三角函數關系得到，，由正弦定理得到，且根據三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數得到的最值，求出的取值范圍.【解析】由三角形面積公式可得：，故，，故，因為，所以，解得：或0，因為為銳角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因為為銳角三角形所以，故，所以，，，，令，則為對勾函數，在上單調遞減，在上單調遞增，則，又，因為，所以，則.故選：C【點睛】解三角形中求解取值范圍問題，通常有兩種思路，一是利用正弦定理將角轉化為邊，利用基本不等式進行求解，二是利用正弦定理將邊轉化為角，結合三角函數的圖象，求出答案.一、單選題1．在中，，則（

）A．為直角 B．為鈍角 C．為直角 D．為鈍角【答案】C【分析】由正弦定理邊化角得，結合余弦定理和化解，可求出.【解析】由，即，，又，所以，化簡得，則，故在中，，故選：C2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結合余弦定理可求得，再利用等面積法結合基本不等式即可得解.【解析】因為，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.3．如圖，已知在的內接四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理，結合圓內接四邊形的對角互補，即可求出長度.【解析】連接，由題意四邊形為的內接四邊形知，則在三角形中由余弦定理得,在三角形中由余弦定理得,因為，所以，即，解得.故選：C4．學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，A＝30°，則其跨度AB的長為（

）A．12m B．8mC．2m D．4m【答案】D【分析】利用余弦定理求得.【解析】由于三角形是等腰三角形，所以，且，由余弦定理得.故選：D5．在一幢米高的樓頂測得對面一塔吊頂的仰角為，塔基的俯角為，那么這座塔吊的高是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題意作出圖形，解三角形即可.【解析】根據題意作圖如下：由題意知：，仰角，俯角，在等腰直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，所以塔高，故選：B【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是能根據題意畫出圖形，能找出俯角和仰角，6．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若a+b＝2，則△ABC的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理將邊化角，再結合三角形內角和定理與兩角和公式可求出cosC，從而得sinC，再由基本不等式與面積公式求解即可【解析】由正弦定理知，＝＝，∵，∴sinB＝4（sinA﹣sinCcosB），∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴sinB＝4sinBcosC，又sinB≠0，∴cosC＝，sinC＝＝，∵，∴，當且僅當a＝b＝1時，等號成立，∴△ABC的面積S＝absinC＝．則△ABC的面積的最大值為故選：D．7．如圖所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正東方向，且與A相距120km，D在A的北偏東30°方向，且與A相距60km，C在B的北偏東30°方向，且與B相距km，一架飛機從城市D出發，以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了15min，接到命令改變航向，飛向城市B，此時飛機距離城市B有（

）A．120km B．km C．km D．km【答案】D【分析】設15min后飛機到了處，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，這樣易得，從而得出，然后在中由余弦定理得出．【解析】設15min后飛機到了處，則，由題意，，，，，所以，所以，從而，于是，，中，，．故選：D．8．在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，b=c，且滿足.若點O是ΔABC外一點，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，則平面四邊形OACB面積的最大值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意可得ΔABC為等邊三角形，利用三角形的面積公式和余弦定理可以求出平面四邊形OACB的面積，，再根據三角函數求最值的方法即可求出．【解析】因為，可得，所以又，所以ΔABC為等邊三角形．在中，，．，所以，因為，所以當時，平面四邊形OACB面積的最大，最大值為．故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數恒等變換、三角形面積公式、余弦定理以及三角函數的最值求法應用，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于難題．二、多選題9．在中，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰三角形D．若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】AB【分析】根據正弦定理和余弦定理逐個判斷即可.【解析】對于A：因為，所以，所以，A正確；對于B：因為是銳角三角形，所以，即，因為且，在區間單調遞增，所以，B正確；對于C：，即，即，所以，而A,B為三角形內角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯誤；對于D：易求出，而，所以，化簡可得，解得或者，當時此時是最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，當時此時為最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，所以D錯誤，故選：AB10．如圖，四個全等的直角三角形拼成圖1所示的菱形和圖2所示的正方形弦圖．若直角三角形的斜邊長為10，則以下結論正確的是（

）A．圖1菱形面積的最大值為100B．圖1菱形的兩條對角線之和的最小值為C．當圖2小正方形的邊長為2時，圖1菱形的一條對角線長為12D．當圖1菱形的一個銳角的余弦值為時，圖2小正方形的面積為20【答案】ACD【分析】對于，設小邊所對的角為，則直角三角形的兩個直角邊長為，，利用三角形的面積公式，二倍角的正弦公式，正弦函數的性質即可求解；對于，利用兩角和的正弦公式，正弦函數的性質即可求解；對于，令長直角邊為，短直角邊為，可得，，解得，的值，即可求解；對于，令長直角邊為，短直角邊為，由余弦定理可得，的值，即可求解．【解析】解：因為直角三角形的斜邊長為10，設小邊所對的角為，則直角三角形的兩個直角邊長為，，所以圖1菱形面積，故正確；圖1菱形的兩條對角線之和為，故錯誤；當圖2小正方形的邊長為2時，令長直角邊為，短直角邊為，可得，，解得，，可得圖1菱形的一條對角線長為12，一條對角線為16，故正確；當圖1菱形的一個銳角的余弦值為時，令長直角邊為，短直角邊為，由余弦定理可得，解得，，可得圖2小正方形的面積，故正確．故選：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質的應用和二倍角公式的計算，考查了正弦函數的性質，考查了轉化思想和數形結合思想的應用．11．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若，且，O為的內心，則的面積為【答案】ACD【分析】先由正弦定理得到，選項A，求出，進而由正弦定理得到的外接圓的半徑和表面積；B選項，又余弦定理得到，將其看做關于的二次方程，結合方程有兩正解，得到不等式，求出b的取值范圍；C選項，由正弦定理結合得到，再根據為銳角三角形得到，從而得到c的取值范圍；D選項，由正弦定理得到，，結合三角恒等變換得到，從而得到，，，由求出，由直角三角形性質得到內切圓半徑，進而求出的面積.【解析】因為，所以由正弦定理，得，即，因為，所以，且，所以.選項A：若，則，所以的外接圓的直徑，所以，所以的外接圓的面積為，選項A正確；選項B：由余弦定理得，將此式看作關于的二次方程，由題意得此方程有兩個正解，故，解得b，所以選項B錯誤；選項C：由正弦定理，得，即，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，故選項C正確；選項D：因為，由正弦定理得，因為，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因為，所以，故，，解得，因為，所以，即是直角三角形，所以內切圓的半徑為，所以的面積為，選項D正確.故選：ACD.【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.12．在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知，若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】首先由正弦定理將條件化成邊，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范圍即可.【解析】因為，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，所以.由正弦定理得，，所以故選：ABD【點睛】本題考查的是正余弦定理和三角恒等變換，考查了學生對基礎知識的掌握情況，屬于中檔題.三、填空題13．在中，邊所對的角分別為，若，，則；.【答案】【分析】先根據求出A的值，再根據求出B的值即得C的值.【解析】由題得,所以.因為，所以,所以C=.故答案為

(1).

(2).【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角恒等變換，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.14．如圖所示，為了測量A、B處島嶼的距離，小海在D處觀測，A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西45°方向，則A、B兩島嶼的距離為海里．【答案】20【分析】直接利用正弦定理和直角三角形及等邊三角形的應用求出結果．【解析】解：如圖所示：連接AB，由題意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，，解得AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝，CD＝20．在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝BD，所以△ABD為等邊三角形，所以，AB＝20．故答案為：2015．在中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，則該三角形為三角形.【答案】直角【分析】首先由余弦定理得，再由同角三角函數的基本關系結合正弦定理可得，則三角形的形狀可判斷.【解析】∵，∴，∵，∴該三角形為直角三角形.故答案為：直角.16．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據正弦定理結合兩角和差的正余弦公式求解可得，再根據正弦定理化簡，結合三角函數值與角度范圍的關系求解即可.【解析】由正弦定理結合，得，則，即，故，則，故，解得.由正弦定理，有，故，設，且，則.又，故，且，故.故，即，故.故答案為：四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)證明：；(2)記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【答案】(1)證明見解析；(2)直角三角形.【分析】（1）利用正弦定理計算即可；（2）利用正弦定理及（1）的結論證明即可.【解析】（1）因為，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因為，所以，所以或（舍去），所以；（2）根據等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.18．在某次地震時，震中A(產生震動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B，C，D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示，某時刻C市感到地表震動，8s后B市感到地表震動，20s后D市感到地表震動，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距離.【答案】震中A到B，C，D三市的距離分別為km，km，km.【分析】設，得到，分別在和中，利用余弦定理求得和，列出方程求得的值，即可求解.【解析】由題意，在中，可得，在中，可得，設，在中，可得，在中，可得，因為B，C，D在一條直線上，所以，解得，所以，即震中A到B，C，D三市的距離分別為km，km，km.19．在①；②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內角所對的邊分別是，且______．(1)求角的大小；(2)若點滿足，且線段，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）①由三角恒等變換可得；②由正弦定理和正弦展開式可得；（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面積最值即可.【解析】（1）選①，，所以．因為，所以，即，所以．選②．由及正弦定理得，所以．因為，，所以，所以，所以．（2）如圖，點滿足，則，故，又，故，即，即，當且僅當時，取等號，故，即面積的最大值為．20．如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為，山路AC長為1260m，經測量，，.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應控制在什么范圍內？【答案】(1)1040m(2)(3)【分析】（1）先求得，然