2024屆福建省三明市梅列區梅列、永安十校聯考最后數學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.

3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.下列運算正確的是（）

A.2a2+a=3a3B.Cm）=m5

C.（x+y>=x2+y2D,a6+a3=a3

2.如圖，從一塊圓形紙片上剪出一個圓心角為90。的扇形ABC,使點A、B、C在圓周上，將剪下的扇形作為一個圓錐側

面，如果圓錐的高為3J而?！?，則這塊圓形紙片的直徑為（）

3.在平面直角坐標系內，點P（a,a+3）的位置一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在。O中，已知半徑為5,弦AB的長為8,則圓心O到AB的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

1

5.2的相反數是（）

O

11

A.6B.-6C.-D.——

66

6.小華在做解方程作業時，不小心將方程中的一個常數弄臟了而看不清楚，被弄臟的方程是

1,X—1X▲

W（——5—+尤）=1一三一，這該怎么辦呢？他想了一想，然后看了一下書后面的答案，知道此方程的解是x=5,于

是，他很快便補好了這個常數，并迅速地做完了作業。同學們，你能補出這個常數嗎？它應該是（）

A.2B.3C.4D.5

7.青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面積是2500000平方千米.將2500000用科學記數法表示應為（）

A.0.25x107B.2.5x107C.2.5x106D.25x105

8.如圖，直線45與直線CD相交于點O,E是/C05內一點，且ZAOC=35°,則/EOZ>的度數是（)

9.下列敘述，錯誤的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的四邊形是矩形

10.設a,p是一元二次方程x2+2x—1=0的兩個根，則a|J的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.函數y=上—中，自變量x的取值范圍是_____.

x-2

4

12.在平面直角坐標系xOy中，點A、B為反比例函數丁=一（x>0）的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均

x

4

為1,將y=—（x>0）的圖象繞原點O順時針旋轉90。，A點的對應點為A，，B點的對應點為B，.此時點B，的坐標是

x

13.一個不透明的袋子中裝有三個小球，它們除分別標有的數字1,3,5不同外，其他完全相同.從袋子中任意摸出

一球后放回，再任意摸出一球，則兩次摸出的球所標數字之和為8的概率是

14.1-31=；

15.一組“數值轉換機”按下面的程序計算，如果輸入的數是36,則輸出的結果為106,要使輸出的結果為127,則輸

入的最小正整數是,

16.如圖，小陽發現電線桿A3的影子落在土坡的坡面和地面8C上，量得CD=8,6C=20米，CD與地面

成30。角，且此時測得1米的影長為2米，則電線桿的高度為=米.

17.如圖，將一對直角三角形卡片的斜邊AC重合擺放，直角頂點3,。在AC的兩側，連接3。，交AC于點0,取

AC,8。的中點E,F,連接EF.若48=12,BC=5,且AO=C。，則EF的長為.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）某高中進行“選科走班”教學改革，語文、數學、英語三門為必修學科，另外還需從物理、化學、生物、

政治、歷史、地理（分別記為A、B、C、D、E、F）六門選修學科中任選三門，現對該校某班選科情況進行調查，對

調查結果進行了分析統計，并制作了兩幅不完整的統計圖.

請根據以上信息，完成下列問題：該班共有學生人；請將條形統計圖補充完整；該班某同學物理成績特別優異，已經

從選修學科中選定物理，還需從余下選修學科中任意選擇兩門，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出該同學恰好選中化

學、歷史兩科的概率.

19.（5分）某公司10名銷售員，去年完成的銷售額情況如表：

銷售額（單位：萬元）34567810

銷售員人數（單位：人）1321111

（1）求銷售額的平均數、眾數、中位數;

（2）今年公司為了調動員工積極性，提高年銷售額，準備采取超額有獎的措施，請根據（1）的結果，通過比較，合

理確定今年每個銷售員統一的銷售額標準是多少萬元？

20.（8分）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，聯結AD,ZADB=ZCDE,DE交邊AC于點E,DE交BA延長

線于點F,且AD2=DE?DF.

(1)求證：ABFDs/\CAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

21.（10分）現有四張分別標有數字1、2、2、3的卡片，他們除數字外完全相同.把卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽

出一張后放回，再背朝上洗勻，從中隨機抽出一張，則兩次抽出的卡片所標數字不同的概率（）

5111

A-B3-C—D—

88162

22.（10分）某汽車制造公司計劃生產A、B兩種新型汽車共40輛投放到市場銷售.已知A型汽車每輛成本34萬元，

售價39萬元；B型汽車每輛成本42萬元，售價50萬元.若該公司對此項計劃的投資不低于1536萬元，不高于1552

萬元.請解答下列問題：

（1）該公司有哪幾種生產方案？

（2）該公司按照哪種方案生產汽車，才能在這批汽車全部售出后，所獲利潤最大，最大利潤是多少？

（3）在（2）的情況下，公司決定拿出利潤的2.5%全部用于生產甲乙兩種鋼板（兩種都生產），甲鋼板每噸5000元，

乙鋼板每噸6000元，共有多少種生產方案？（直接寫出答案）

23.（12分）拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左邊），與y軸正半軸交于點C.

（1）如圖1,若A（-1,0）,B（3,0）,

①求拋物線y=-x2+bx+c的解析式；

②P為拋物線上一點，連接AC,PC,若/PCO=3NACO,求點P的橫坐標；

（2）如圖2,D為x軸下方拋物線上一點，連DA,DB,若NBDA+2/BAD=90。，求點D的縱坐標.

24.（14分）（1）計算：1一31+（6+九）o-（--）2-2COS60°；

114+2a

⑵先化簡，再求值”力,其中a=-2+JI.

〃+1〃2—1

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解題分析】

根據整式的混合運算計算得到結果，即可作出判斷.

【題目詳解】

A、2a2與a不是同類項，不能合并，不符合題意；

B、On）=m6,不符合題意；

C、原式=x2+2盯+y2,不符合題意；

D、a6+a3=a3,符合題意，

故選D.

【題目點撥】

此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

2、C

【解題分析】

設這塊圓形紙片的半徑為R,圓錐的底面圓的半徑為r,利用等腰直徑三角形的性質得到45=7傷R,利用圓錐的側面

展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓扇底面的周長得到2M,解得r=這&然后利用勾股定理得到

1804

（V27?）2=（3廊）2+（R）2,再解方程求出R即可得到這塊圓形紙片的直徑.

【題目詳解】

設這塊圓形紙片的半徑為尺，圓錐的底面圓的半徑為r,則根據題意得：

2M=9"兀,解得：，.=、2尺，所以（加尺）2=（3同）2+（巫R）2,解得：7?=12,所以這塊圓形紙片的直

18044

徑為24c”?.

故選C.

【題目點撥】

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的

母線長.

3、D

【解題分析】

判斷出P的橫縱坐標的符號,即可判斷出點P所在的相應象限.

【題目詳解】

當a為正數的時候,a+3一定為正數,所以點P可能在第一象限,一定不在第四象限，當a為負數的時候,a+3可能為正數，

也可能為負數,所以點P可能在第二象限，也可能在第三象限，

故選D.

【題目點撥】

本題考查了點的坐標的知識點，解題的關鍵是由a的取值判斷出相應的象限.

4、A

【解題分析】

11

解：作0C_LA5于C,連結04,如圖.：OC±AB,：.AC=BC=2AB=2x8=1在RSAOC中，OA=5,

：.OC=gA2-AC2=,52-42=3,即圓心。到A5的距離為2.故選A.

B

5、D

【解題分析】

根據相反數的定義解答即可.

【題目詳解】

11

根據相反數的定義有：工的相反數是一

66

故選D.

【題目點撥】

本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相

反數是正數，1的相反數是L

6、D

【解題分析】

設這個數是a,把x=l代入方程得出一個關于a的方程，求出方程的解即可.

【題目詳解】

設這個數是a,

15-a

把x=l代入得：—(-2+1)=1—--,

解得:a=l.

故選：D.

【題目點撥】

本題主要考查對解一元一次方程，等式的性質，一元一次方程的解等知識點的理解和掌握，能得出一個關于a的方程

是解此題的關鍵.

7、C

【解題分析】

分析：在實際生活中，許多比較大的數，我們習慣上都用科學記數法表示，使書寫、計算簡便.

解答：解:根據題意:2500000=2.5x1.

故選C.

8、D

【解題分析】

解：?.?/49C=35,

?.ZBOD=35,

：EOLAB,

：.ZEOB=90,

ZEOD=ZEOB+ZBOD=90+35=125,

故選D.

9、D

【解題分析】

【分析】根據正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理對選項逐一進行分析，即可判斷出答

案.

【題目詳解】A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，不符合題意；

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，不符合題意；

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意；

D.對角線相等的平行四邊形是矩形，故D選項錯誤，符合題意，

故選D.

【題目點撥】本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟練掌握相關判定定理是

解答此類問題的關鍵.

10、D

【解題分析】

試題分析：..,<!、p是一元二次方程J+2x-/=0的兩個根，，印==-1,故選D.

考點：根與系數的關系.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11,x2-1且xw2.

【解題分析】

試題分析：求函數自變量的取值范圍，就是求函數解析式有意義的條件，根據二次根式被開方數必須是非負數和分式

分母不為0的條件，要使其~~在實數范圍內有意義，必須｛。c=>X2—1且xw2.

x-2x—2w0xw2

考點：1.函數自變量的取值范圍；2.二次根式和分式有意義的條件.

12、(1,-4)

【解題分析】

利用旋轉的性質即可解決問題.

【題目詳解】

由題意A(1,4),B(4,1),A根據旋轉的性質可知，(4,-1),B，(1,-4)；

所以，B'(1,-4)；

故答案為(1,-4).

【題目點撥】

本題考查反比例函數的旋轉變換，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

2

13、9

【解題分析】

根據題意列出表格或樹狀圖即可解答.

【題目詳解】

解：根據題意畫出樹狀圖如下：

總共有9種情況，其中兩個數字之和為8的有2種情況,

P=3,

(兩個數字之和為8)9'

2

故答案為：—.

【題目點撥】

本題考查了概率的求解，解題的關鍵是畫出樹狀圖或列出表格，并熟記概率的計算公式.

14、1

【解題分析】

分析：根據負數的絕對值等于這個數的相反數，即可得出答案.

解答：解：1-11=1.

故答案為1.

15、15

【解題分析】

分析：設輸出結果為y,觀察圖形我們可以得出*和y的關系式為：y=3x-2,將y的值代入即可求得上的值.

詳解：...y=3x—2,

當y=127時，3x—2=127,解得：x=43；

當y=43時，3x—2=43,解得:x=15；

17

當y=15時,3%-2=15,解得X=3_.不符合條件.

則輸入的最小正整數是15.

故答案為15.

點睛：考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵.

16、(14+2#)米

【解題分析】

過。作。EL5c的延長線于E,連接AD并延長交5c的延長線于尸，根據直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊

的一半求出。E,再根據勾股定理求出CE,然后根據同時同地物高與影長成正比列式求出EF,再求出3F,再次利用

同時同地物高與影長成正比列式求解即可.

【題目詳解】

如圖，過。作。E_LBC的延長線于E,連接并延長交的延長線于F.

：CD=8,CD與地面成30。角，

11

.*.DE=—CD=—x8=4,

22

根據勾股定理得：CE=QCD2-DE2=742-22782-42=4#.

*.*1m桿的影長為2m,

DE1

----=一,

EF2

：.EF=2DE=2x4=8,

：.BF=BC+CE+EF=20+473+8=(28+473).

.AB1

a-----—,

BF2

1=L

(28+4^)=14+2V3.

故答案為(14+2。).

【題目點撥】

本題考查了相似三角形的應用，主要利用了同時同地物高與影長成正比的性質，作輔助線求出45的影長若全在水平

地面上的長3歹是解題的關鍵.

【解題分析】

先求出BE的值，作DM_LAB,DN_LBC延長線，先證明AADM也ZSCDN(AAS),得出AM=CN,DM=DN,再根

717

據正方形的性質得BM=BN,設AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,求出x=1,BN=y,根據BD為正方形

17117,__________7

的對角線可得出BD=2JI，BF=-BD=-72,EF={BE-BF2=彳

【題目詳解】

,?ZABC=ZADC,

.\A,B,C,D四點共圓,

.,AC為直徑，

VE為AC的中點，

.'.E為此圓圓心,

為弦BD中點，

.,.EFXBD,

11__________1,_______13

連接BE,BE=—AC=-yjAB2+BC2=—+122=—；

作DM_LAB,DNJ_BC延長線，ZBAD=ZBCN,

在A八》乂和4CDN中，

AD=DN

<ZBAD=NNCD,

ZAMD=NCND

：.AADM^ACDN(AAS),

.,.AM=CN,DM=DN,

,?ZDMB=ZDNC=ZABC=90°,

四邊形BNDM為矩形，

又：DM=DN,

二矩形BNDM為正方形，

；.BM=BN,

設AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,

717

12-x=5+x,x=—,BN=—,

VBD為正方形BNDM的對角線，

L17L117L

.1.BD=V2BN=y,BF=-BD=—,

【題目點撥】

本題考查了正方形的性質與全等三角形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握正方形與全等三角形的性質與應用.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

1

18、（1）50人；（2）補圖見解析；（3）—.

【解題分析】

分析：（1）根據化學學科人數及其所占百分比可得總人數；

（2）根據各學科人數之和等于總人數求得歷史的人數即可；

（3）列表得出所有等可能結果，從中找到恰好選中化學、歷史兩科的結果數，再利用概率公式計算可得.

詳解：（1）該班學生總數為10+20%=50人；

（2）歷史學科的人數為50-（5+10+15+6+6）=8人，

補全圖形如下：

（3）列表如下:

化學生物政治歷史地理

化學生物、化學政治、化學歷史、化學地理、化學

生物化學、生物政治、生物歷史、生物地理、生物

政治化學、政治生物、政治歷史、政治地理、政治

歷史化學、歷史生物、歷史政治、歷史地理、歷史

地理化學、地理生物、地理政治、地理歷史、地理

由表可知，共有20種等可能結果，其中該同學恰好選中化學、歷史兩科的有2種結果，

21

所以該同學恰好選中化學、歷史兩科的概率為方=布.

點睛：本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B

的結果數目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

19、（1）平均數5.6（萬元）；眾數是4（萬元）；中位數是5（萬元）；（2）今年每個銷售人員統一的銷售標準應是5

萬元.

【解題分析】

（1）根據平均數公式求得平均數，根據次數出現最多的數確定眾數，按從小到大順序排列好后求得中位數.

（2）根據平均數，中位數，眾數的意義回答.

【題目詳解】

解：

（1）平均數星（3x1+4x3+5x2+6x1+7x1+8x1+10x1）=5.6（萬元）；

出現次數最多的是4萬元，所以眾數是4（萬元）；

因為第五，第六個數均是5萬元，所以中位數是5（萬元）.

（2）今年每個銷售人員統一的銷售標準應是5萬元.

理由如下：若規定平均數5.6萬元為標準，則多數人無法或不可能超額完成，會挫傷員工的積極性；若規定眾數4萬

元為標準，則大多數人不必努力就可以超額完成，不利于提高年銷售額；若規定中位數5萬元為標準，則大多數人能

完成或超額完成，少數人經過努力也能完成.因此把5萬元定為標準比較合理.

【題目點撥】

本題考查的知識點是眾數、平均數以及中位數，解題的關鍵是熟練的掌握眾數、平均數以及中位數.

20、見解析

【解題分析】

試題分析：(1)AD2=DE-DF,ZADF=ZEDA，可得AADFSAEDA，從而得/F=/DAE,

再根據/BDF=ZCDA即可證;

…一BFDFBFAD…一

(2)由ABFDsACAD,可得廠=從而可得入再由ABFDsACAD可得/B=/C從而得

ACADACDE

e—BFAD

AB=AC,繼而可得—=—,得到BF-DE=AB-AD.

ABDE

ADDF

試題解析:(1)VAD2=DE?DF，

~DE~AD

-.,ZADF=NEDA,：.^ADF-AEZM,

ZF=ZDAE,

又：ZADB=ZCDE,/.ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

即/5Db=NCZM,

ABFDsACAD；

BFDF

(2),:KBFDs^CAD,——=——

ACAD

AD_DFBF_AD

~DE~~AD~AC~~DE

?：ABFD^ACAD9：.ZB=ZC,：.AB=AC,

BFAD

/.=,BF-DE=AB-AD.

ABDE

【題目點撥】本題考查了相似三角形的性質與判定，能結合圖形以及已知條件靈活選擇恰當的方法進行證明是關鍵.

21、A

【解題分析】

分析：根據題意畫出樹狀圖，從而可以得到兩次兩次抽出的卡片所標數字不同的情況及所有等可能發生的情況，進而

根據概率公式求出兩次抽出的卡片所標數字不同的概率.

詳解：由題意可得，

故選：A.

點睛：本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數機除以

所有等可能發生的情況數"即可，即「=竺.

n

22、（1）共有三種方案，分別為①A型號16輛時，B型號24輛；②A型號17輛時，B型號23輛；③A型號18輛

時，B型號22輛；（2）當x=16時，=272萬元；（3）A型號4輛，B型號8輛；A型號10輛，B型號3輛

兩種方案

【解題分析】

（1）設A型號的轎車為x輛，可根據題意列出不等式組，根據問題的實際意義推出整數值；

（2）根據“利潤=售價-成本”列出一次函數的解析式解答；

（3）根據（2）中方案設計計算.

【題目詳解】

（1）設生產A型號x輛，則B型號（40-x）輛

1536<34x+42(40-x)<1552

解得16WXW18,x可以取值16,17,18共有三種方案，分別為

A型號16輛時，B型號24輛

A型號17輛時，B型號23輛

A型號18輛時，B型號22輛

(2)設總利潤W萬元

貝［w=5x+8(40-x)

=—3x+320

?左二—3<0

二?W隨X的增大而減小

當x=16時，W=272萬元

取大

(3)A型號4輛，B型號8輛；A型號10輛，B型號3輛兩種方案

【題目點撥】

本題主要考查了一次函數的應用，以及一元一次不等式組的應用，此題是典型的數學建模問題，要先將實際問題轉化

為不等式組解應用題.

35

23、(1)①y=-x2+2x+3②石(2)-1

【解題分析】

分析：(1)①把4、5的坐標代入解析式，解方程組即可得到結論；

②延長CP交x軸于點E,在x軸上取點。使CD=C4,作EMLCD交CD的延長線于N.由C0=C4,OC±AD,得

到/。C0=N4C0.由/PCO=3NAC。，得到/ACD=NECD,從而有tan/ACD=tanNECD,

AIENAIEN3

—,即可得出A/、C/的長，進而得到可=不7=”.設EN=3X,則CN=4X,由tan/CDO=tan/EDM得

ENOC3

到=故設ONB,則CD=CN-ON=3X=M，解方程即可得出E的坐標，進而求出CE的直線解析式，

DNOD1

聯立解方程組即可得到結論；

BIID

(2)作軸，垂足為/.可以證明由相似三角形對應邊成比例得到丁=-片，

IDAI

即T~&=——」，整理得y2=X2—(x+x)x+XX.令尸0,得：一%2+"+。=0.

—yX—XDDABDAB」

DDA

故x+x=b,xx=-c,從而得到y2=x2-bx-c.由y=-x2+bx+c,得到y2=_y,解方程即可

ABABDDDDDDDD

得到結論.

詳解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y=-%2+阮+。得:

—1—b+c=0[b=2

解得：

一9+3/?+c=0c=3

y=-X2+2x+3

②延長C尸交工軸于點E