2024學年鄭州市宇華實驗學校高三（下）第二次模擬考試

數學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上

填寫清楚。

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試題卷上作答無效。

3.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.如果復數z=療+”一2-（加一l）i是純虛數，加eR,i是虛數單位,則（）

A."zwl且〃/一2B.m=lC.m=-2D.機=1或機=一2

2.集合A=｛尤|x=〃.180°+（—l）"-90°,〃eZ｝與5=3x=m-360°+90°,機eZ｝之間的關系是（）

A.AUBB.BUAC.A=BD.AB=0

3.已知。為第一象限角，若函數〃x）=2cos（尤-0）+co&r的最大值是后，則/11）=（）

A1-3^N1+3A/503-3君n3+3若

4444

4.有一塊半徑為2,圓心角為45。的扇形鋼板,從這個扇形中切割下一個矩形（矩形的各個頂點都在扇形的

半徑或弧上,且矩形的一邊在扇形的半徑上），則這個內接矩形的面積最大值為（）

A-2+72B-2-V2c-2V2-2D.20+2

11121

5.若〃=—”，/?二—=一，則（）

563

A.b>c>ac>a>bC.a>b>ca>c>b

6.已知數列｛qj為等差數列,其前n項和為，〃eN*,且2a2=3qw0,｛g+1｝也是等差數列，則

%=（）

88

A.nB.〃+lC.—TID.—（n+1）

99

7.已知S,A,B,。是球。表面上的不同點，SA_L平面ABC,ABLBC,A3=l,BC=A/2,若球

。的表面積為4兀，則S4=（）

A.---B.1C.A/2D.A/3

2

8.如圖，〃為四面體的6c的棱6c的中點,N為嗣的中點，點戶在線段上，且AP=2/W,設

04=。，。3=乩OC=c,則。P=()

A.OP——ciH—bH—c

366

211

C.OP——a—bH—cD.OP=-a-\---b——c

3663126

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3

分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學、建筑學、美學中有著廣泛的應用.

在空間直角坐標系中，將一條xOz平面內開口向上的拋物線沿著另一條yO2平面內開口向下的拋物線滑

動(兩條拋物線的頂點重合)所形成的就是馬鞍面，其坐標原點被稱為馬鞍面的鞍點，其標準方程為

22

=—]=2z(a〉0]〉0),則下列說法正確的是()

A.用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線

B.用法向量為(1,0,0)的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線

D.用過原點且法向量為(1,1,0)的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

2x

10.iS/(x)=x,g(x)=2,h(x)=log2x,當xe(4,+s)時,對這三個函數的增長速度進行比較,下列結

論中，錯誤的是()

A.〃龍)的增長速度最快，/?(%)的增長速度最慢

B.g(%)的增長速度最快，可可的增長速度最慢

C.g(x)的增長速度最快，/(力的增長速度最慢

D.”力的增長速度最快，g(x)的增長速度最慢

11.現有4個哥函數的部分圖象如圖所示,則下列選項可能成5工的是()

m

y=xg

xn

-1012~^X

A.p=3,相=2,q=g，n=-3

B.p=4,m=3,q=；，〃=-2

C.p=2,m=3,q=——，n=-3

2

D.p=-,m=-,q=-2,n=-

234

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

f4-2|x-2|,xe[0,4)

12.己知/⑴滿足“"=/"+8),當XG[0,8),〃X)=<1'J"，右函數

2x-8,xe[4,8)

8(%)=/2(%)+4(%)-。一1在％?-8,8]上恰有八個不同的零點，則實數a的取值范圍為_

13.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(a—6卜inA=Asin8-csinC,若△ABC外接圓面

積為兀，則4ABC面積的最大值為_____.

14.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-中,￡為BC的中點，點戶在線段RE上，點尸到直線CC]

的距離的最小值為___________.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在一次購物抽獎活動中,假設某10張券中有一等獎券1張,可獲價值50元的獎品；有二等獎券

3張,每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎.某顧客從此10張券中任抽2張，求：

(1)該顧客中獎的概率；

(2)該顧客獲得的獎品總價值J(元)的概率分布列和期望E?.

16.(15分)若數列｛%｝滿足：存在等比數列｛%｝,使得集合｛毛+c，HGN*｝元素個數不大于%(左eN*),

則稱數列｛%｝具有P(Q性質.如數列％=1,存在等比數列cn=(-1)"，使得集合

｛X?+C?|HGN*｝=｛0,2｝,則數列｛九“｝具有P⑵性質.若數列｛4｝滿足

q=0,%1M+記數列｛%｝的前〃項和為證明：

(1)數列｛%+(—!)"｝為等比數列；

(2)數列｛S“｝具有P(2)性質.

17.(15分)如圖所示，在直四棱柱ABCD-中，AB//CD,且

AB=AD=1,CD=2,AA1=2,〃是DDX的中點.

（1）證明BC，4M；

⑵求點8到平面的距離.

22l（a〉6〉0）的離心率為@，且過點P（2,2）.

18.（17分）已知橢圓。：工+2L=

a2b72

（1）求橢圓。的方程;

（2）過點”（-1,0）作直線，與橢圓C交于46兩點,且橢圓C的左,右焦點分別為

FpF2,△K,△耳3.的面積分別為S],邑，求5—S?|的最大值.

19.（17分）已知函數/㈤一加y―a（x—i）2,"R.

（1）當a=1時，求"％）的單調區間;

（2）若尤=1是/（%）的極小值點，求a的取值范圍.

2024學年鄭州市宇華實驗學校高三(下)第二次模擬考試

數學?參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.答案：c

rri_2-0

解析：由復數Z=+m—2—(m—l)i是純虛數,得｛,解得機=一2.

故選：C.

2.答案：C

解析：當〃=24次EZ)時，％=公360。+90。/￡2)；當〃=2k+1伏￡Z)時，

%=h360。+90。伏￡2),所以A=6.

3.答案：D

解析：由題意可得：/(x)=2cos(x-^7)+cosx=2cosxcos<p+2sinxsin^>+cosx

=2sin港inx+(2cos夕+1)cosx=J(2sin0)？+(2cos0+1，sin(x+0,

貝ljJ(2sin°)2+(2COS0+1)2=76，解得cos0=—,

且。為第一象限角，則sine=Jl-cos?0=@5，

4

故f[mj=2cos一—+cosm=cos。+^^口夕+g=3+：”.

故選：D.

4.答案：C

解析：如圖：

。小

0AB

在RtAOCB中,設Z.COB=a，

則OB=2cosa.BC=2sina,

DA

在Rt^aiD中，一=tan45°=L所以Q4=ZM=2sine

OA

AB=OB—OA=2cosa—2sina>

設矩形46切的面積為S,

則S=AB-BC=（2costz-2sin?）-2sin?=4（^sin2tz-sin2a）

=2（sin2a+cos2tz）-2=2^2sin-2,

由于0<tz（二，

4

所以當&=2時，S最大=2夜一2，

8

故選:C

5.答案:B

9112

解析：由題意知2a=*e3，26=±e5

53

令〃x）=f（0<x<l），則尸（x）=e'（l）<o,

XX

所以/（X）在（0,1）上單調遞減，又0<；<|<1，

工2

所以H>/[I]，即了>亍，所以如馬>g”，即2〃>2/?，所以〃〉。，

35.一

又54=￡=泥，5c=]又g=返〉泥，所以5c>5a‘

所以c〉a,所以c〉。〉力

故選：B.

6.答案：D

解析：設｛4｝的公差為d由2a2=3q,

得q=2d,Sn+\=nax+"與"d+'=；/+[q-^H+1,

由題意知，此式為完全平方形式，全平方形式，故A=[q-g]-2d=0,

解得d=g或0（舍去），則％則a〃=|（〃+1）.

故選：D.

7.答案:B

解析：如下圖所示：

由SA_L平面ABC可知S4_LAB,SALBC,又A5L5C,

所以四面體S-ABC的外接球半徑等于以長寬高分別為S4,AB,BC三邊長的長方體的外接球半徑，

設外接球半徑為R,

由球。的表面積為4兀，可得4兀尺2=4兀，即R=l；

又AB=1,BC=s/2,4R-AB-+BC2+SA2,

所以￡4=1.

故選：B.

8.答案：A

解析：由題意，

221211

OP=OA+AP=OA+-AN=OA+-(ON-OA)=-OA+-ON=-ON+-OM

333333

=joA+1x|((?B+C>C)

1-1,1-

--a+—b+—c

366

故選:A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3

分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.答案：AB

22

解析：因為馬鞍面的標準方程為9=2z(a〉0力〉0),

對于A,平行于xQy平面的面中為常數，不妨設為Zo(z0W0),

得2r=2z0,故所得軌跡是雙曲線.，故A正確;

對于B,法向量為(1,0,0)的平面中為常數，不妨設為寺,

iZ2

則y2=—2/z+R,為拋物線方程，故B正確；

a

對于C,垂直于y軸的平面中p為常數，不妨設為先,

22

則X2=2/Z+B，為拋物線方程，故C錯誤；

b

對于D,不妨設平面上的點坐標為A(x,y,z),

因為平面過原點且法向量為〃=(1,1,0),由。4?〃=0,得x+y=0,

故,=—%,代入馬鞍面標準方程，得j]x2=2z,

當a=5時，方程為z=0,不是物物線，故D錯誤.

故選：AB.

10.答案：ACD

解析：國出函數=g(x)=2*,//(%)=log?光的圖象，如圖所不，

結合圖象可得三個函數/(%)=%2,g(x)=2',/z(x)=log2X中，

當xe(4,+8)時，函數g(x)=2、增長速度最快，人(光)=log,x增長速度最慢.

所以選項B正確；選項ACD不正確.

故選：ACD.

H.答案：AB

解析：對于塞函數>=J，若函數在(0,+8)上單調遞增,則a〉0,若函數在(0,+8)上單調遞減,則

。<0,所以〃<0，D選項錯誤；

當X>1時，若y=X。的圖象在y=X的上方,則[〉1，若y=的圖象在y=X的下方，則a<1,

所以”>1,m>l<0<q<l,C選項錯誤；

因為當1>1時，指數越大，圖象越高，所以p>m,

綜上，p>m>l>q>0>n,^B選項正確.

故選:AB

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.答案：-9<a<-5

解析：因為/(x)=/(x+8)，所以〃龍)為周期是8的周期函數,則/⑻=/(O)=4—2|0—2|=0,

由g(x)=/2(x)+qf(x)—a—l=[/(x)—l][/(x)+(a+l)]=0,得/(尤)=1或/(%)=—a—1，

作出函數在xe[-8,8]上的大致圖象如圖，

由圖可知,在xe[-8,8]上，函數/(x)的圖象與直線y=1有六個交點,即/(%)=1時,有六個實根,從而

/(%)=—a-1時,應該有兩個實根,即函數/(尤)的圖象與直線y=—a—1有兩個交點，故4<—a—1<8，

傳—9<a<一5,

故答案為：一9<a<一5.

,,2+yJ3

13.答案：——

4

解析：由已知及正弦定理得。2一耳,=及-C?,所以/+,2—〃=島0,

所以cos3="+'2-”=走，又8€(0,兀)，所以8=工.由&ABC的外接圓面積為兀，得外接圓的半

徑為1.由正弦定理得b=2sin5=l,所以。2+。2—1=6",所以/+c2=J§ac+122ac,解得

。。<2+百，所以7^^。的面積5=,。。5：1115=工收<2±2/1,當且僅當a=c時等號成立.

244

14.答案：氈

5

解析：點尸到直線eq的距離等于點尸在平面/及力上的射影到點。的距離,

設點尸在平面四切上的射影為p',

顯然點P到直線cq的距離的最小值為PC的長度的最小值,

當P'C_LDE時，PC的長度最小,

此時P'C=2義1=冬后

@+15

取數列G=—11—aJ,則kJ是等比數列，

并且S“+Q=-，一!(—1)"，因此集合｛s“+”neN*

62

所以數列｛S“｝具有P(2)性質.

17.答案：(1)見解析

⑵空

3

解析：(1)如圖、連接30,

AB=AD=1,CD—2,BD=BC=A/2

BD2+BC2=CD2,：.BC±BD,

BB[1平面ABCD,BBl1BC,

又BB[50=3,平面48。。],

B]Mu平面BiBDDl,BC±B}M.

(2)連接BXDX.

由已知可得B】M={BQ；+2/=2,CM=y/CD'+MD2=J4,

2222

BXC=^BB^+BC=J10,:.CM+BXM=B,C,B,M1CM

設點8到平面”3。的距離為h,

由(1)知BC,平面用BOQ,

???三棱錐C—耳的體積;XBCXS.MBB,=gxSAMB、。，

BP-xV2x-xV2x2V2=-Ax-x2xV6,

3232

解得〃叵，即點6到平面MB。的距離為之叵.

313

22

18.答案：(1)土+匕=1

126

⑵V3

c_42

a2

解析：（1）由橢圓C的離心率為白，且過點2（2,2）得＜44〃2=12,

=1=>V

a1b1=6,

a2=c2+b2

22

橢圓。的方程為土+乙=1

126

（2）當直線/的斜率不存在時，耳=邑，則瓜―S2|=0；

當直線1斜率存在且不等于零時,設直線I：y=左（％+1）,

y=/r(x+l),

聯立%2,2可得(1+2左2)d+4左2%+26_]2=0,

A2+~6~，

設A（%,yJ，8（x2，%），則石+々=一4k22左2—12

--------，X.X2=T

1+242----121+2/

5=QX2&|X|,S2=-x2y[6\y2\^

顯然46在x軸兩側，%,為異號,

所以5-S21=#氏+%|=布|左(石+1)+左(%2+1)|

4k之、2k

-A/6k—+2k=76=A/6

1+2左2,1+2左2

當且僅當工=2左，左=±受時,取等號.

k2

所以⑸一S2I的最大值為由.

19.答案：（1）/（力在（O,y）上單調遞減;

(2)e(^x),l)

G1。

解析：(1)當a=l時，/''(x)=——-2(x-l)=—(in%-%2+A：),

設g(x)=Inx-x2+x,貝！Ig'(x)=--2%+1=⑵"+D"——

xX

所以當xe(O,l)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

當xe(l,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

當x=1時，g(x)取得極大值g(l)=0,所以g(取Vg(l)=0,

所以/'(x)<0,/(x)在(0,+oo)上單調遞減；

(2)f\x)=——-2(7(X-1)=—(inx-txx2+ox)

XXv7

2

、FL7/、i?rm,/、1c-2ax+ax+1

攻/z(x)=Inx-ax+依，貝(J用(%)=——2ax+a--------------,