河南省鄭州市2024屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.已知全集U=｛x|-l<x<5｝,集合A滿足24=｛乂0?》<3｝,則()

A.OGAB.UAC.2eAD.3^A

2.數(shù)據(jù)6.0,7.4,8.0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位數(shù)為()

A.8.5B.8.6C.8.7D.8.8

3.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列,且q=l,%=16,設(shè)等差數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為S”,

若仇=%，則S9=()

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,

wi(加>0)為整數(shù)，若a和)被根除得的余數(shù)相同，則稱a和6對(duì)模機(jī)同余，記為

220

a=b(modm).^a=C\0-2+Cl0-2++C;°-2,a三b(modlO),則人的值可以是()

A.2018B.2020C.2022D.2024

5.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)

y=Asin。/,但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為

復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)/(x)=sinx+；sin2x(xeR),則下列說(shuō)法正確

的是()

A./(x)的一個(gè)周期為兀8./(%)的最大值為：

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)］則對(duì)稱D./(x)在區(qū)間［0,可上有2個(gè)零點(diǎn)

6.在某次測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5,0.6和0.7,且

三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀

等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為()

57920

A.-B.-C.—D.—

882929

7.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)4(2,4),8(-2,T),動(dòng)點(diǎn)P滿足PO-PA=-1,貝U

tan/PBO的最大值為()

.2A/21。4729?2歷「6

A?----D.----L.----D.

2129412

22

8.已知雙曲線C：=-與=l（a>0,>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《、F,,雙曲線C

ab

的離心率為e,在第一象限存在雙曲線上的點(diǎn)P,滿足e-sinNPE鳥=1,且

S△怔=4片，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

二、多項(xiàng)選擇題

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=g-日i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,復(fù)數(shù)Z2=Z]-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為5,下列說(shuō)

法正確的是（）

2

A.|zJ=\z2\=1B.42=|zj

C.向量A3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1卜區(qū)-Z21

10.如圖，在矩形A54A中，人4=1，AB=4,點(diǎn)C,D,E與點(diǎn)、孰,Dx,g分別

是線段AB與A片的四等分點(diǎn).若把矩形ABBA卷成以A4為母線的圓柱的側(cè)面，使線

段AA與8片重合，則以下說(shuō)法正確的是（）

4CiR與3

ACDEB

A.直線A。與。&異面B.AE〃平面A。。

C.直線DEi與平面AEDX垂直D.點(diǎn)G到平面DDtEt的距離為巫

71

11.已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镽,且/（x+y）/（x-=[/（y）T，

/⑴=1,/（2x+l）為偶函數(shù)，貝!]（）

A./（O）=OB.〃x）為偶函數(shù)

2024

C.f（2+x）=-f（2-x）D.￡〃左）=0

k=l

三、填空題

12.拋物線爐=工'的準(zhǔn)線方程為y=l,則實(shí)數(shù)。的值為.

a

1]h

13.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則巳的最大值為.

a

四,雙空題

14.在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=后，6=4,

37r

ccosB+a=0,貝|邊。=，點(diǎn)。在線段AB上，^.ZCDA=—,則CD=.

4

五、解答題

15.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷

史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，

其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局

由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人

排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相

2

互獨(dú)立.

⑴求前3局比賽甲都取勝的概率；

(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.已知函數(shù)/(尤)=-Inx^+(l-2t72^x(a>0).

⑴若x=l是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

⑵求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

17.如圖，在多面體D43CE中，△ABC是等邊三角形，AB=AD=2,

DB=DC=EB=EC=41.

(1)求證：BC±AE；

(2)若二面角A—BC—E為30°,求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.

22

18.已知橢圓E：j+%=l(a〉6〉0)過(guò)點(diǎn)(0,1),且焦距為2百.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)S(l,0)作兩條互相垂直的弦A3,CD,設(shè)弦A3,CD的中點(diǎn)分別為M,N.

①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；

②若弦A3,CD的斜率均存在，求△MNS面積的最大值.

19.已知數(shù)列｛%｝為有窮數(shù)列，且%eN*,若數(shù)列｛4｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列

｛。”｝為機(jī)的左增數(shù)列：①q+4+/+…+4=根；②對(duì)于使得q<%的

正整數(shù)對(duì)。")有左個(gè).

⑴寫出所有4的1增數(shù)列；

(2)當(dāng)〃=5時(shí)，若存在機(jī)的6增數(shù)列，求機(jī)的最小值；

(3)若存在100的左增數(shù)列，求左的最大值.

參考答案

1.答案：B

解析：由0=何—l<x<5},^A={x|0<^<3},可得A={x|—l<x<0或3<x<5}

則UA,2eA,3eA,故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.

故選：B.

2.答案：D

解析：因?yàn)?義75%=6,

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為從小到大排列的第6、7兩數(shù)的平均數(shù)，即為

2

故選：D.

3.答案：C

解析：數(shù)列{q}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,且％=1,ag=16,

則發(fā)=淋=16,則/=4,

ax

貝I]b5=a5=q/-4,

則品=的「地=36,

故選：C.

4.答案：B

解析：因?yàn)閍=C；0.2+Cl?2?+...+C條22。,

所以a+l=Co+C02+C>22++C；；"°

22O1O10lo9

=(1+2)°=3=9=(1O-1)=C°oxlO-C；oxlO+...-C"oxlO+l,

所以a=C；oXlOi。一C；oxl()9+…一C；OX1O=1O(C；OX1O9—C；O><K)8+…—c；。),

即a被10除得的余數(shù)為0,結(jié)合選項(xiàng)可知只有2020被10除得的余數(shù)為0.

故選：B.

5.答案：D

解析：對(duì)于A,因?yàn)閥=sinx的周期為2兀，y=；sin2x的周期為兀，所以

〃x）=sin%+；sin2九的周期為2兀，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)丁=sinx的最大值為1,y=；sin2%的最大值為;,

故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，/（力的最大值為

此時(shí)需滿足九二百+2左兀，^eZM2^=—+2hi,keZ,不能同時(shí)成立,

22

故最大值不能同時(shí)取到，故/（力的最大值不為g,則B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,/（兀一%）=sin（兀-x）+；sin［2（兀一元）］=sin%-；sin2%則

/（%）+/（兀一x）=2sinxw0,

故/（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)?（九）=sinx+；sin2x=sinx（l+cos%）=。時(shí),sinx=0,又xe[0,7i],

所以尤=0或者x=7i；或者l+cosx=0,此時(shí)cosx=—l,又xe[0,7i],

所以％=兀，綜上可知，〃可在區(qū)間［0,可上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確,

故選：D.

6.答案：C

解析：分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)為事件A,B,C,

記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件。，

記乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件E.

由題知，尸（人）=0.5,尸（5）=0.6,P（C）=0.7,

所以P（D）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.3+0.5x0.6x0.3+0.5x0.4x0.7=0.29,

P（E）=P（ABC）=0.5x0.6x0.3=0.09.

所以P（E|D）=幽=2.

'70,2929

故選：C.

7.答案：C

解析：設(shè)P（羽y）,則PO=（-x,-y）,PA=（2-羽4一y）,

則PO.PA=-x（2-x）-y（4—y）=—l,BPx2-2x+_y2-4y+1=0,

化為（％-l『+（y-2尸=4,則點(diǎn)尸的軌跡為以。（1,2）為圓心，半徑為2的圓,

所以5,0,。三點(diǎn)共線，

2

顯然當(dāng)直線PB與此圓相切時(shí)，tan/PfiO的值最大.

又BD=1于+G=3行,PD=2,

則PB=ylBD--PD~=A/45-4=屈,

PD22聞

貝lJtanNP80=

一百一而,

故選：C.

8.答案：A

解析：設(shè)四|=/,則歸閭=/—2a,而e-sinNP耳工=1,所以sinNP耳＞=@

所以點(diǎn)尸到馬巴的距離為歸耳卜也/“耳=嚀,

又閨閭=2c,所以SF/&=；?2c"，=4〃,

解得/=4a,即閥|=4a,從而歸耳|=2a,

又因?yàn)閟inNP4[=-=-

b

所以cos/P打工=

c

在八PFR中，由余弦定理有cos/PF[F,=-=（甸+仍）-（2。）,

c2?4〃?2c

h1Ah

所以4"=44+。2一Q2=/+4Q2,即-—絲+4=0,

aa

h

解得2=2,雙曲線C的漸近線方程為2x土y=0.

a

故選：A.

9.答案：AD

解析：因?yàn)樗訸2=-g-#i,

㈤=艮|=J；+；=l，A正確;

2

叵、=-1,B錯(cuò)誤;

由上可得AB=(-1,0)，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為-1，C錯(cuò)誤；

|zi_z2(=—g―母i=1，kq=l，D正確.

故選：AD

10.答案：ABD

解析：A選項(xiàng)：由圖可知，。與「'平面ADC】=。，AC1是平面ADG內(nèi)不過(guò)。的直

線，

所以，直線AC1與異面，A正確；

4(H后

c

B選項(xiàng)：由題知，AD,CE是底面圓的直徑，且AOLCE,

所以四邊形ACDE為正方形，所以AE〃CD,

又CDu平面A。。，AE.平面A。。，

所以AE〃平面A。。，B正確；

C選項(xiàng)：由題知，劣弧DE的長(zhǎng)為1,D、=l,

所以DEwDR,所以長(zhǎng)方形。2&E的對(duì)角線。E「'E不垂直,

所以直線。&與平面AE2不垂直，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：同上可得AG2篤為正方向，所以￡。，2片,

由圓柱性質(zhì)可知，DD,1QDj,

又DD[DR=Dx,DDy,DRu平面DDXE}DX,

所以G2，平面

所以G。即為點(diǎn)G到平面月的距離，

7

記圓的半徑為八貝1J2口=4,得廠=工

兀

所以=R=述,D正確.

V7T71

故選：ABD.

11.答案：ACD

解析：令x=y=0,得"⑼丁="(0)丁—"⑼]2=0,即/(o)=o,A正確;

令％=0,得/'(y)/(-y)=[/⑼T-

又"0)=0,所以y)+〃y)]=0對(duì)任意yeR恒成立，

因?yàn)?(1)=1，所以/(丁)不恒為0，

所以/㈠)+〃y)=o,即/㈠)=-〃》)，B錯(cuò)誤;

將/(%)的圖象向左平移1個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;，縱坐

標(biāo)不變，可得/(2x+l)的圖象，

因?yàn)?(2x+l)的圖象關(guān)于％=0對(duì)稱，所以"％)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

所以/(力=/(2-力，

又/(“為奇函數(shù)，

所以/(2-尤)=一/(尤一2)=_/[2—(尤一2)]=—/(4—尤)=/(尤一4),

所以〃6=〃1),所以4為的周期.

由/(x)=/(x—4)可得/(x+2)=/(x—2)=—"2—x),C正確;

因?yàn)?3)=〃-1)=-=/(2)=/(2-2)=/(0)=0,/(4)=/(0)=0,

2024

所以(左)=506[/⑴+〃2)+〃3)+〃4)]=0,D正確.

k=l

故選：ACD.

12.答案：-L-0.25

4

解析：依題可知---=1,

4a

貝!ja=-L

4

故答案為：-L

4

13.答案：2—21n2

解析：令/=*一工+1,則x=f—1+工，不等式可化為：e'—2a?—1+4)2人對(duì)任意的實(shí)

aaa

數(shù)X恒成立，

即e'-2G+2a-b-220對(duì)任意的實(shí)數(shù)X恒成立.

設(shè)于⑦-2at+2a-b-2,則f'(t)=et-2a,

當(dāng)aWO時(shí)，/'⑺>0,/⑺在R上單調(diào)遞增，tTf,/?)3—8,不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由于'(t)=e'一2a=0可得/=ln(2a),

當(dāng)/<ln(2a)時(shí)，/'⑺<0,/⑺單調(diào)遞減，當(dāng)/>ln(2a)時(shí)，/'⑺>0,/⑺單調(diào)遞

增，

則當(dāng)"ln(2a)時(shí),/⑺mm=/(ln(2?))=4a—2aln(2a)-b-2.

因/⑺>0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，故/⑺疝n=/(ln(2a))=4a—2aln(2a)-b-2>0恒成

立，

h2

BPZ?<4a-2tzln(2tz)-2,貝！J—?4-21n(2a)——.

aa

令g(a)=4—21n(2a)—2,a>Q,貝ljg，(a)=—多+==

aaaa

當(dāng)0<a<l時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>l時(shí)，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減.

故g⑷皿=g6=2-21n2，

hh

即一<2-21n2,故2的最大值為2—21n2.

aa

故答案為：2-21n2.

14.答案：A/10；,I*加

2,2_72

解析：由余弦定理得：ca-+67=0,即3a?+c2—〃=0,

2ac

c2=Z?2—3tz2=16—6=10,解得：c=—A/TU（舍）或c=A/IU；

Z.22_

216+10-2_W10

在△ABC中，由余弦定理得：cosA=32——

2bc8瓦一10

sinA=A/1-COS2A=

10

心b.44而46

在△AOC中，由正弦定理得:CD=-------------sinA=x------

sinZCDA行10-I-

故答案為：M；孚.

15.答案：⑴,

8

Q

(2)分布列見(jiàn)解析，-

8

解析：(1)因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝,

則前3局甲都取勝的概率為尸=!」,=上

2228

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.

其中,X=0表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸,則P(x=o)f；

X=1表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸,

貝1JP（X=1）=!義+J_><J_=!

'722222

X=2表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸,

則P（X=2）=LXL><L=!

,72228

X=3表不第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏,

則P（X=3）=WLL

,72228

所以X的分布列為

X0123

j_11

P

4288

故X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=0XL+1X」+2XL+3XL=2.

42888

16.答案：(1)1

(2)見(jiàn)解析

26/X?+（1—2。2）X—CL

解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋∣,+8）,/（X）=------------------------

因?yàn)閤=l是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn),

所以/”)=]+。_2a2=0,解得或q=l,

因?yàn)閍?0,所以a=l.此時(shí)/(力=組土口=包皿二D,

XX

令/'(%)>。得X>1,令/(%)<。得。<]<1'

「./(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+00)單調(diào)遞增，所以1=1是函數(shù)的極小值點(diǎn).

所以〃二1.

(2)r⑺=2加+(1—2叫…=(2=+l)(x-a)

因?yàn)閍NO,所以2ax20,令/'(x)>0得x〉a；令/得0<%<a；

二所以a=0時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為(0,+8),

a>0時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(O,a),單調(diào)增區(qū)間為(a,轉(zhuǎn)).

17.答案：(1)證明見(jiàn)解析

Q）與

解析：（1）取3C中點(diǎn)。，連接A。，E0.

△ABC是等邊三角形，。為3c中點(diǎn),

AOLBC,

又EB=EC,EOrBC,

AOEO=O,AO,EO^^AEO,

BC,平面AEO,

又AEu平面AEO,..BC±AE.

E

（2）連接。。，則。

由AB=AC=5C=2,

DB=DC=EB=EC=6^AO=6,￡）0=1,

又AD=2,AO2+DO2=AD2,/.DOLAO,

又AOBC=O,AO,BCu平面ABC,

DO，平面ABC.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,。。所在直線分別為x,,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,

則0（0,0,。），A（A/3,0,0）,C（O,-I,O）,D（O,O,I）,

CA=（73,1,0）,CD=（0,1,1）,

設(shè)平面ACD的法向量為〃=（九,y,z）,

則即[瓜+『，

[n-CD=0,[y+z=O,

取x=l,則“=（1,—石,G）.

NAOE是二面角A—BC—E的平面角,

ZAOE=30°,

又OE=1,DE=f—,0,--

〔22；122J

則cosDE,n==--,

國(guó)〃|7

二直線DE與平面AS所成角的正弦值為乎.

丫2

18.答案：（1）二+/=1

4

（2）①證明見(jiàn)解析

解析：（1）依題意有匕=1,C=A/3,解得"=82+02=4,

所以橢圓的方程為土+丁=1.

4

(2)①設(shè)的：x=my+l(m^0),B(x,y),則牡：九=一—y+l(m^0),

22m

+1r,/°\0

聯(lián)上1=my,故(加2+4)^2+2沖-3=o,A=16m20+48>0,M+%=~-;2m

22V7122

x+4y=4m+4

x+x=m(y+y)+2=^—

l2l2m+4

2

IL(4-m.1小計(jì)ZR4mm

故M27,?7，由---代日相，4寸N―,—

+4m+4Jm(1+4m1+4mJ

當(dāng)忌r*'即3M,加4

x=j,過(guò)點(diǎn)

5

44m2

-?-----0------------7即癡w1時(shí),

m+41+4m

m5m(42i

y+—；——=—r~\——d1——5——mwl,加w

m2+44(m2-1)1m2+4

(加

42-i)44m2+164

令y=0,x=直線“V恒過(guò)點(diǎn)K(。

5(m2+4m2+45(m2+45

當(dāng)根=0,經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn)K^，o]

綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn)K1g,O).

②SMNS=SMKS+SNKS

I

m-\——

￡1mm￡m+m1m

----------7-l-----5----

2,542

1+4mm+424m+17m+424m2H——y+17

m

1

m-\——

1￡m￡t_1]

令，=m-\—