3.2.2函數(shù)的奇偶性

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.奇函數(shù)y=/（x）的局部圖象如圖所示，貝！］（）

A.A2）＞0＞/4）B.A2）＜0＜/4）

C.犬2）＞式4）＞0D./（2）＜A4）＜0

2.若奇函數(shù)兀c）在xd（—8,0）上的解析式為y（x）=x（l+x）,則攜x）在（0,+8）上有（）

A.最大值一（B.最大值（

C.最小值一（D.最小值;

3.（2021?南寧高一檢測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)人乃是奇函數(shù)且是增函數(shù)，若＜1）=1,則不等式次刈＜1的

解集為（）

A.（-1,1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（-8,-l）u（l,+8）

4.已知偶函數(shù)大x）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則滿足八2x—1）勺包的x的取值范圍是（）

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.已知函數(shù)五尤）QGR）為奇函數(shù)，＞+2）=/x）+l,則爪3）等于.

6.（2021.青島高一檢測(cè)）已知定義在（一8,+8）的偶函數(shù)八功在［0,+8）上單調(diào)遞減，五—1）=-g,若

火2x—1）》一百，則x取值范圍是.

三、解答題（每小題10分，共20分）

7.已知函數(shù)人x）=*,

⑴判斷函數(shù)的奇偶性.

（2）判斷函數(shù)在xe（-8,0）上的單調(diào)性，并證明.

8.已知函數(shù)式尤）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且當(dāng)龍》。時(shí)，y（x）=-X2+2X.

⑴求出函數(shù)兀0在R上的解析式.

（2）畫出函數(shù)人功的圖象.

I

（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)式》）的單調(diào)遞減區(qū)間及值域.

能力過關(guān)

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2021.重慶高一檢測(cè)）已知人x）=l一不、是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有五N一,內(nèi)十

2）>|,則m的取值范圍是（）

A.—2<m<2B.0<m<2

C.—4<m<4D.m>2

2.（多選題）已知>=式尤）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.y=AM）B.y=A-x）

C.y=xfix）D.y=fix）+x

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.已知函數(shù)y=/（x）為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程7（x）=0的所有實(shí)根之和是.

4.已知函數(shù)危）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，火尤）=N—5x,則加）=,不等式於一2）

>於）的解集為.

三、解答題（每小題10分，共20分）

5.已知式x）是定義在（T,1）上的奇函數(shù)，且於）在（一1,1）上是減函數(shù)，解不等式加一x）+/U—2x）0.

6.已知函數(shù)且犬2）=0.

（1）求實(shí)數(shù)m的值，并判斷#x）的奇偶性；

（2）作出函數(shù)<x）的圖象，并指出五刈的單調(diào)減區(qū)間；

（3）求xd[—2,3）時(shí)函數(shù)的值域.

4

3

2

I

-3-2-1°1234x

-1

-2

2

答案解析

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.奇函數(shù)>=/")的局部圖象如圖所示，貝i］()

A.八2)>0>黃4)B.A2)<0</4)

C./2)>/4)>0D.八2)中4)<0

分析選A.由題意可知，函數(shù)的圖象如圖:

可知42)>0><4).

2.若奇函數(shù)八x)在xG(—8,0)上的解析式為式x)=x(l+;c),則式尤)在(0,+8)上有()

A.最大值一1B.最大值;

C.最小值一9D.最小值(

分析選B.方法一(奇函數(shù)的圖象特征)：當(dāng)％<0時(shí)，y(x)=x2+x=(x+￡)一1,

所以月入)有最小值一］,因?yàn)槿斯?是奇函數(shù)，

所以當(dāng)x>0時(shí)，危)有最大值］.

方法二(直接法)：當(dāng)x>0時(shí)，一兀<0,

所以八一工)=一取1一%).又X一元)=-A%)，

所以/(X)=X(1_X)=_X2+X=_Q_0+/,

所以犬X)有最大值(.

3.(2021.南寧高一檢測(cè))已知定義在R上的函數(shù)1x)是奇函數(shù)且是增函數(shù)，若五1)=1,則不等式依x)|Vl的

解集為()

A.(-1,1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(—8,-1)U(1,+8)

3

分析選A.由心以<1得一ivy（x）<i,

因?yàn)槿龋┦瞧婧瘮?shù)且是增函數(shù)，yu）=i,

所以六一i）=-/U）=_i,

則不等式等價(jià)為八-1）<人￥）〈八1）,

所以一1<尤<1,

即不等式的解集為（一1,1）.

4.已知偶函數(shù)次x）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則滿足五2x—1）勺&的x的取值范圍是（）

A.由DB-［II)

1)

分析選A.由題意得|2x—l|<g=—；<2x—l<g

2c412

01<2x<^<X<2.

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.已知函數(shù)7U）（x￡R）為奇函數(shù)，7U+2）=/U）+l,則八3）等于.

分析因?yàn)?（%）為奇函數(shù)，令％=—1,得11）=八-1）+1=—八1）+1,所以11）=；.

13

令x=l,得13）=/（1）+1=5+1=2-

3

答案：5

6.（2021.青島高一檢測(cè)）已知定義在（一8,+8）的偶函數(shù)"x）在［0,+8）上單調(diào)遞減，八—1）=—3,若

黃2x—1）》一3,則無取值范圍是.

分析因?yàn)榕己瘮?shù)危）在［0,+8）上單調(diào)遞減，/（—1）=--,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，於）在（一8,0）上

單調(diào)遞增，且八1）=一；,由火2x—1）》一3，可得一lW2x—1W1,解得OWxWl.

答案：［0，1］

三、解答題（每小題10分，共20分）

7.已知函數(shù)y（x）=m,

⑴判斷函數(shù)的奇偶性.

（2）判斷函數(shù)在xd（—8,0）上的單調(diào)性，并證明.

分析（1）因?yàn)閥（x）=5的定義域?yàn)閧x|x#o},

4

fi-x）=（,）2=9=八%），所以函數(shù)yu）為偶函數(shù).

（2）函數(shù)?x）在x￡（—8,0）上單調(diào)遞增，

證明如下：任取Xi,X2e（—oo,0）,且Xi<X2，

~11A—/

所以犬為）一大冗2）=了一7="

（也―為）（愈+處）

因?yàn)閄l，X2e（—oo,0）,且為<12，

所以檢一方>0，xi+xi<0,

?（愈―Xl）（xz+xi）?

所以-----------------<0,即人XI）勺（X2）,

則函數(shù)加0在尤e（—8,0）上單調(diào)遞增.

8.已知函數(shù)八x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，式X）=-N+2X.

⑴求出函數(shù)式x）在R上的解析式.

（2）畫出函數(shù)式x）的圖象.

（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)xx）的單調(diào)遞減區(qū)間及值域.

分析（1）因?yàn)楹瘮?shù)4x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

所以式x)=/(—x).當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

所以fix)=/—X)=一尤2—2x

一N+2X,X》0,

綜上，危）=

~x2~2x,x<0.

（2）函數(shù)y（x）的圖象如圖所示:

（3）由（2）中圖象可知，式x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0],[1,+8）,函數(shù)八%）的值域?yàn)椋ㄒ?,1].

能力過關(guān)

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2021.重慶高一檢測(cè)）已知危）=1一f、是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有小2—妙+

2）>|,則m的取值范圍是（）

A.-2<m<2B.0<m<2

5

C.—4<m<4D.m>2

分析選A.由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，>(0)=1—=0,得〃=2,所以危)=1—,所以11)=1一弓=1.

而兀聲―g；+2)>g=yq)且犬%)單調(diào)遞增，所以12—祖工+2>1恒成立，即12—如+1〉。恒成立，

故有/=機(jī)2—4<0,得一2Vm<2.

2.(多選題)已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.y=/(W)B.y=/(—x)

C.y=xj(x)D.y=J{x}+x

分析選BD.由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知BD正確.

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.已知函數(shù)>=兀0為偶函數(shù)，其圖象與冗軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程人%)=0的所有實(shí)根之和是.

分析由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，四個(gè)交點(diǎn)

中，有兩個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，另外兩個(gè)在入軸的正半軸上，所以四個(gè)實(shí)根的和為0.

答案：0

4.已知函數(shù)於)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，於)=N—5%,則於)=,不等式於一2)

>作)的解集為.

分析因?yàn)殪?是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，兀0=/—5羽

所以xVO時(shí)，一%>0,

所以火一元)=(一%)2+5x

=x2+5x=-y(x),

所以y(x)=-A2—5元，

［x2—5x,%20

故，

〔一N—5x,x<0

因?yàn)?%—2)>大工)，

①%—220即%22時(shí)，(x—2)2—5(x—2)>x2—5x,

77

解得,此時(shí).

②xV。時(shí)，一(x—2)2—5(%—2)>—x2—5x,

33

解得x>一］,此時(shí)一］<x<0.

③當(dāng)0W%V2時(shí)，一(x—2)2—5(%—2)>x2—5%,

解得一1VXV3,此時(shí)0WxV2.

37

綜上可得一,<x<^.

2

答案：二(x—25-x,5…x20＜。卜(一3尸5T

6

三、解答題(每小題10分，共20分)

5.已知1x)是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，且八尤)在(一1,1)上是減函數(shù)，解不等式式1—x)+/(l—2x)<0.

分析因?yàn)樨?是定義在(一1,1)上的奇函數(shù)，

由犬1—X)+式1—2x)<0,

得犬1—x)<一Al—2x),

所以五l—x)勺Qx.l).

又因?yàn)槲鍃)在(一1,1)上是減函數(shù)，

-1<1-x<L

所以<―1<1-2x<l,

—x>2x—1,

2

解得0<x<^，

所以原不等式的解集為(0,1).

6.已知函數(shù)y(x)=g：—x|x|,且12)=0.

(1)求實(shí)數(shù)m的值，并判斷汽幻的奇偶性；

(2)作出函數(shù)的圖象，并指出兀0的單調(diào)減區(qū)間；

(3)求x￡[—2,3)時(shí)函數(shù)的值域.